基于Ito演算的Clark-Ocone型公式及其应用

981

收藏 2022-06-24

英文标题：
《A Clark-Ocone type formula via Ito calculus and its application to
finance》
---
作者：
Takuji Arai and Ryoichi Suzuki
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
An explicit martingale representation for random variables described as a functional of a Levy process will be given. The Clark-Ocone theorem shows that integrands appeared in a martingale representation are given by conditional expectations of Malliavin derivatives. Our goal is to extend it to random variables which are not Malliavin differentiable. To this end, we make use of Ito\'s formula, instead of Malliavin calculus. As an application to mathematical finance, we shall give an explicit representation of locally risk-minimizing strategy of digital options for exponential Levy models. Since the payoff of digital options is described by an indicator function, we also discuss the Malliavin differentiability of indicator functions with respect to Levy processes.
---
中文摘要：
将给出描述为Levy过程函数的随机变量的显式鞅表示。Clark-Ocone定理表明，鞅表示中出现的被积函数是由Malliavin导数的条件期望给出的。我们的目标是将其推广到不可Malliavin微分的随机变量。为此，我们使用伊藤公式，而不是马利亚文微积分。作为数学金融的一个应用，我们将给出指数Levy模型中数字期权局部风险最小化策略的显式表示。由于数字期权的收益是用指标函数来描述的，因此我们还讨论了指标函数相对于Levy过程的Malliavin可微性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
-->

A_Clark-Ocone_type_formula_via_Ito_calculus_and_its_application_to_finance.pdf
大小:(232.56 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

kedemingshi

2022-6-24 04:49:40

基于It^o演算的Clark-Ocone型公式及其在金融领域的应用*和铃木良一+2019年6月18日，将给出描述为L'evy过程函数的随机变量的抽象合法鞅表示。Clark-Ocone定理表明，鞅表示中出现的被积函数是由Malliavin d导数的条件期望给出的。我们的目标是将其推广到马利雅文不可微的随机变量。为此，我们使用It^o公式，而不是Malliavin微积分。作为对数学金融的应用，我们将给出指数所有evy模型数字期权局部风险最小化策略的明确表示。由于数字运算的结果是由指标函数描述的，我们还讨论了指标函数相对于L'evy过程的Malliavin可微性。MSC代码：60G51、91G20、60H07。关键词：L'evy过程，鞅表示定理，局部风险最小化，数字期权，Malliavin演算。1引言将使用It^o公式，而不是Malliavincalculus，给出描述为L'evy过程函数的随机变量的显式鞅表示。作为数学金融的一个应用，我们为指数所有evy模型提供了数字期权局部风险最小化（LRM）策略的表示。考虑一个平方可积的一维L'evy过程X，表示为xt=X+ut+σWt+ZRxeN（[0，t]，dx）（1.1）*庆应义塾大学经济系，2-15-45 Mita，Minato ku，Tokyo，108-8345，Japan(arai@econ.keio.ac.jp)+庆应义塾大学数学系，3-14-1 Hiyoshi，Kohoku，Yokohama，223-8522，Japan(rsuzuki@z3.keio.jp)对于t≥ 0，其中X∈ R、 u∈ R、 σ≥ 0和R：=R \\{0}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-24 04:49:43

这里，W是一维标准布朗运动，N是泊松随机测度；andeN是N的补偿度量，即表示为N（dt，dx）=N（dt，dx）- ν（dx）dt，其中ν是满足rrxν（dx）<∞. 对于时间范围T>0和可测函数f:R→ R使得f（XT）是平方可积的，鞅表示定理意味着对于一些可预测过程uf和f，f（XT）=E[f（XT）]+ZTufsdWs+ZTZRθfs，xeN（ds，dx）（1.2）。Clark-Ocone定理（例如，见Delong[6]的定理3.5.2）说，如果f（XT）是Malliavin可微的，则ufandθfare被描述为f（XT）的Malliavin导数的条件期望，即，f（XT）属于[6]第2.2节中定义的空间D1,2。另一方面，当f（XT）不是Malliavin可微时，例如，1{XT≥0}σ>0时，无法明确计算ufandθfex。在本文中，我们打算在与f（XT）的Malliavin可微性无关的条件下，用It^o公式而不是Malliavin演算给出ufandθfb的具体表示。为此，将条件期望E[f（XT）| XT=x]视为（t，x）上的函数∈ [0，T]×R，用F表示，我们将其^o公式应用于F。因此，我们得到了一个Clark-Ocone型公式（1.2），其中ufandθ分别作为偏导数和差值F给出。利用得到的Clark-Ocone型公式，我们将在本文的第二部分为指数L'evy模型提供数字期权的LRM策略的表示。请注意，LRM策略是一种著名的二次规划方法，对于不完全市场中的未定权益，已经研究了大约三十年。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 04:49:46

考虑一个由一项利率为r的无风险资产组成的金融市场≥ 0和一项风险资产，其波动由以下指数L'evy过程S描述：St：=ert+Xt（1.3），对于t≥ 0。然后，数字期权的收益表示为1{ST≥K} K>0时。注意，为了使用我们的Clark-Ocone型公式，我们需要在X上假设一些条件。考虑到三个L'evy过程：Merton跳跃扩散、方差gamma（VG）和正态逆高斯（NIG）过程，作为数学金融中经常出现的代表性L'evy过程的例子，Merton跳跃扩散和NIG过程满足我们的条件，但VG过程不满足。然而，已知1{XT≥c}∈ D1,2对于c∈ 里弗尔| x |ν（dx）<∞ σ=0，如VG过程。因此，当X是VG过程时，Arai和Suzuki的示例3.9给出了数字期权的LRM策略的表示[3]，它通过Malliavin演算提供了指数L'evy模型的LRM策略的一般表达式。另一方面，众所周知，1{XT≥c}/∈ D1,2每当σ>0时，这类梅顿跳跃扩散过程。此外，我们将在本文的最后一部分显示，1{XT≥c}/∈ D1,2保持ifRR | x |ν（dx）=∞ σ=0，如NIG过程。综上所述，我们在第二部分的结果提供了计算数字期权LRM策略的唯一方法，其中X是默顿跳跃扩散过程或NIG过程。本文的其余部分组织如下：第2节显示了f（XT）的Clark-Ocone类型公式。在第2.4节中，将介绍各种函数f的显式鞅表示。第3节专门讨论数字期权的风险管理策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 04:49:50

在最后一小节中，我们讨论了指标函数相对于L'evy过程的Malliavin可微性。（1.1）中描述的L'evy过程X的Clark-Ocone型公式和可测函数f:R→ R、我们的目的是使用It^o公式为f（XT）提供一个Clark-Ocone型公式。2.1准备在陈述我们的主要定理之前，我们需要做一些准备。表示XT的特征函数-Xtbyφ（t，z）（t，z）∈ [0，T]×C，我们有and表示φ（T，z）：=E[eiz（XT-Xt）]=E[eiz（Xt-t型-十） ]=E经验值iz公司u（T- t） +σWT-t+ZRxeN（[0，t- t] ，dx）= 经验值（T- t）izu-σz+ZR（eizx- 1.- izx）ν（dx）=: exp{（T- t） ψ（z）}（2.1），通过L'evy-Khintchine公式（例如，见佐藤[10]中的（8.8））。现在，我们对X给出如下假设：假设2.1。（1）存在α>0，使得EeαXT< ∞.（2）对于任何α>0且EeαXT< ∞ 和任何t∈ [0，T），R上存在一个可积函数ht（v），使得|φ（T，izv）|1+| zv+| zv|ZR（e-零电压x- 1+zvx）ν（dx）≤ ht（v）堡垒∈ [t，t+t]，其中zv=iv- α.备注2.2。根据Cont和Tankov[5]的命题3.14，上述条件（1）等价于以下两个条件：（1）′存在α>0的such，EeαXt< ∞ 对于任何t∈ [0，T]，（1）′存在α>0的such thatZ{| x|≥1} eαxν（dx）<∞.另一方面，在（2）项下，XT具有[10]命题2.5（xii）中的有界连续统密度。我们介绍了三个经常出现在数学金融文献中的L'evy过程的例子，并讨论了它们是否满足假设2.1。示例2.3（默顿跳跃扩散过程）。如果σ>0且ν（dx）=γ，则（1.1）描述的L'evy过程X称为默顿跳跃扩散过程√2πδexp-（十）- m） 2δdx，其中m∈ R、 δ>0，γ>0。在这种情况下，X由布朗分量和强度为γ的复合泊松跳跃组成。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-24 04:49:53

注意，跳跃大小与平均值m和方差δ呈正态分布，而ν是有限的，即ν（R）<∞. 显然，对于任何α>0，X满足假设2.1（1）。对于任何固定α>0，RR（e-零电压x- 1+zvx）ν（dx）在v上有界，这意味着|φ（t，izv）|≤ C扩展-σv（T- t）对于某些常数C>0。因此，（2）也满足要求。示例2.4（方差伽马过程）。当σ=0且ν（dx）=C时{x<0}eGx+1{x>0}e-Mx公司dx | x |当C，G，M>0时，x称为方差伽马（VG）过程。对于任何α∈（0，M），X满足假设2.1（1），但（2）通常不满足，因为我们有|φ（t，izv）|≤ CV G | v|-2C（T- t）从Arai等人的命题4.7来看，对于某些常数CV G>0。例2。5（正态逆高斯过程）。如果σ=0且ν（dx）=δaπebxK（a | X |）| X | dx，其中a>0，-a<b<a，δ>0，Kis是参数为1的第二类修正贝塞尔函数。有关函数K的更多详细信息，请参见[5]的附录A。SinceK（x）=e-xrπ2x1+O（x-1)当x→ ∞, 假设2.1（1）满足α∈ （0，a- b）。此外，取α∈ （0，a-b）任意地，我们可以找到一个常数C>0，这样ZR（e-零电压x- 1+zvx）ν（dx）≤ C（1+| zv |）和|φ（t，izv）|≤ 总工程师-（T-t） δ| v |对于任何v∈ R从Schoutens【11】第5.3.8节的观点来看。因此，（2）也成立。此后，我们可以任意确定满足假设2.1（1）的α>0。在此，我们将与函数f相关的假设附加如下：假设2.6。（1） f（XT）∈ L（P）。（2） f（x）e-αxis是在R.2.2主要理论上具有有限变化的L（R）函数。以下是f（XT）的Clark-Ocone型公式。它的证明被推迟到下一小节。定理2.7。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

kedemingshi

2022-6-24 04:49:56

在假设2.1和2.6下，f（XT）表示为f（XT）=E[f（XT）]+ZTFx（s，Xs）σdWs+ZTZRF（s，Xs-+ y）- F（s，Xs-)eN（ds，dy），（2.2），其中函数F定义为F（t，x）：=E[F（XT）| XT=x]=E[F（XT- Xt+x）]（2.3）对于（t，x）∈ [0，T]×R.备注2.8。如导言所述，克拉克-奥肯定理（例如，见[6]中的定理3.5.2）给出了与（2.2）相同的表示形式：f（XT）=e[f（XT）]+ZTE[Ds，0f（XT）| Fs]σdWs+ZTZRE[xDs，xf（XT）| Fs-]eN（ds，dx），当f（XT）时∈ D1,2。注意，Malliavin导数运算符Ds，xfor（s，x）∈[0，T]×R和空间D1,2在[6]的第2.2节中定义。例如，[6]的命题2.6.4意味着f（XT）∈ D1,2if为Lipschitz continuous，x为连续密度。因此，取绝对值函数asf，我们得到| XT |=E[| XT |]+ZTE[sgn（X′T-s+Xs）| Xs]σdWs+ZTZREh | X′T-s+Xs-+ y |- |X′T-s+Xs-|Xs型-ieN（ds，dy），其中X′T-sis是XT的独立副本-Xs。只要满足假设2.1，该表达式不仅可以从Clark-Ocone定理推导出来，还可以从定理2.7推导出来。请注意，我们需要将| XT |分解为XT{XT>0}，并且-XT公司{-XT>0}，以便通过定理2.7得到上述表达式。另一方面，当f（XT）/∈ D1,2，t克拉克-奥肯定理不可用，但只要满足假设2.1和2.6，定理2.7仍然可用。下面第2.4节将讨论此类情况的一些示例。根据下面第2.3节中出现的（2.8）和（2.10），我们可以将（2.2）重写如下：推论2.9。在假设2.1和2.6下，f（XT）表示为f（XT）=E[f（XT）]+ZT2πZR(-zv）bg（Xs，-izv）φ（s，izv）dvσdWs+ZTZR2πZRbg（Xs-, -izv）φ（s，izv）（e-兹维- 1） dveN（ds，dy），其中函数bg（x，z）表示（x，z）∈ R×C定义为bg（x，z）：=ZReizyf（x+y）dy=e-izxbg（0，z）。（2.4）备注2.10。Di Nunno等人的定理14.9。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-24 04:49:59

[7] 对纯跳跃L'evy过程引入了相同的结果推论2.9，即σ=0的情况，但据我们所知，尚未推广到σ>0的情况。（通过使用[7]中的定理14.15，这种推广可能是可行的。）请注意，Theiragumen t基于Levy Wick微积分，与我们的方法有很大不同。推论2.9的结果对于发展基于快速傅立叶变换的数值格式非常有用。2.3定理2.7的证明首先，我们证明F∈ C1,2（（0，T）×R）。修复t∈ （0，T）和x∈ R任意。注意（2.3）中定义的F表示为F（t，x）=2πZRbg（x，-izv）φ（t，izv）dvby命题2在Tankov【16】中，其中bg（x，z）在（2.4）中定义。假设2.6（2）确保存在大于0的常数，使得| zvbg（0，-izv）|<bC，（2.5），这意味着，对于任何∈t、 t+t,bg（x，-izv）φt（t，izv）=e-zvxbg（0，-izv）φ（t，izv）(-ψ（izv））≤bCeαxφ（t，izv）|u|+σ| zv |+| zv|ZR（e-兹维- 1+zvy）ν（dy）≤某些可积函数的bCeαxht（v）由（2.1）和假设2.1（2）给出。因此，福兰德[8]中的定理2.27 b规定Ft（t，x）存在于（0，t）×R上，且Ft（t，x）=2πZRbg（x，-izv）φt（t，izv）dv=2πZRbg（x，-izv）φ（t，izv）(-ψ（izv））dv=2πZRbg（x，-izv）φ（t，izv）uzv-σzv-ZR（e-兹维- 1+zvy）ν（dy）dv（2.6）保持不变。接下来，我们关注FX和Fx、请注意bg公司x（x，-izv）=-zve公司-zvxbg（0，-izv）=-zvbg（x，-izv）。因此，对于anyx≤ x、假设2.1（2）和（2.5）意味着bg公司x（x，-izv）φ（t，izv）= eαx|(-zv）bg（0，-izv）φ（t，izv）|≤bCeαx |φ（t，izv）|和bg公司x（x，-izv）φ（t，izv）≤ eαx | zvbg（0，-izv）φ（t，izv）|≤bCeαx | zvφ（t，izv）|是v在R上的可积函数。因此，我们得到F∈ C1,2（（0，T）×R）根据文献[8]中的定理2.27。其次，我们证明Ft（t，Xt）+Fx（t，Xt）u+σFx（t，Xt）+ZRF（t，Xt+y）- F（t，Xt）-Fx（t，Xt）yν（dy）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-24 04:50:02

（2.7）我们有Fx（t，Xt）=2πZRbg公司x（Xt，-izv）φ（t，izv）dv=2πZR(-zv）bg（Xt，-izv）φ（t，izv）dv，（2.8）和Fx（t，Xt）=2πZRzvbg（Xt，-izv）φ（t，izv）dv。（2.9）注意到f（t，Xt+y）=2πZRbg（Xt，-izv）φ（t，izv）e-任何y的zvydvholds∈ R、我们有f（t，Xt+y）- F（t，Xt）-Fx（t，Xt）y=2πZRbg（Xt，-izv）φ（t，izv）（e-兹维- 1+zvy）dv。（2.10）因此，（2.7）适用于（2.6）和（2.8）–（2.10）。最后，由于F∈ C1,2（（0，T）×R），It^o的公式（参见，例如，[7]中的定理9.4]）可用。因此，（2.7）意味着F（XT）=F（T，XT）=F（0，X）+ZTFt（s，Xs）ds+ZTFx（s，Xs）uds+ZTFx（s，Xs）σdWs+ZTFx（s，Xs）σds+ZTZRF（s、Xs+y）- F（s，Xs）-Fx（s，Xs）yν（dy）ds+ZTZRF（s，Xs-+ y）- F（s，Xs-)eN（ds，dy）=F（0，X）+ZTFx（s，Xs）σdWs+ZTZRF（s，Xs-+ y）- F（s，Xs-)eN（ds，dy），定理2.7如下。2.4示例我们使用Rem 2.7和推论2.9来说明f的各种示例的鞅表示。示例2。11（XT的多项式函数）。当f是多项式函数时，它基本上不具有Lipschitz连续性，但我们可以看到f（XT）∈D1,2在假设2.1下，使用铃木的命题2.5【15】。因此，我们不仅可以通过定理2.7，还可以通过克拉克-奥肯定理得到以下表示：f（XT）=E[f（XT）]+ZTE[f′（X′T-s+Xs）| Xs]σdWs+ZTZRE[f（X′T-s+Xs-+ y）- f（X′T-s+Xs-)|Xs型-]eN（ds，dy），其中X′T-sis是XT的独立副本- Xs。示例2.12（p | XT |）。利用定理2.7或推论2.9，我们引入了p | XT |的鞅表示。请注意，克拉克-奥肯定理在这种情况下不可用，因为我们不能期望p | XT |∈ D1,2σ>0时。假设X满足假设2.1。然后我们有E[| XT |]<∞, 这确保了假设2.6（1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 04:50:05

由于cep | x |不满足假设2.6（2），对于任何α>0，我们将其分解为√x个∨ 0（=：f+（x））和P(-x）∨ 0（=：f）-（x））。对于函数f+和f-, 表示DF±（x）：=f′±（x），如果x 6=0,0，如果x=0，我们有并表示-izbg±（x，z）：=-izZReizyf±（x+y）dy=-尺寸-Izzzreizyf±（y）dy=e-izxZReizyDf±（y）dy=ZReizyDf±（x+y）dy=：bgD±（x，z）（x，z）∈ R×C。因此，我们有xE[f±（X′T-s+x）]x=Xs=2πZR(-zv）bg±（Xs，-izv）φ（s，izv）dv=2πZRbgD±（Xs，-izv）φ（s，izv）dv，表示f±（XT）=E[f±（XT）]+ZT2πZRbgD±（Xs，-izv）φ（s，izv）dvσdWs+ZTZRE[f±（X′T-s+Xs-+ y）- f±（X′T-s+Xs-)|Xs型-]eN（ds，dy）由定理2.7或推论2.9得出。因此，sincep | XT |=f+（XT）+f-（XT），我们有p | XT |=Ehp | XT | i+ZT2πZRbgD（Xs，-izv）φ（s，izv）dvσdWs+ZTZREhq | X′T-s+Xs-+ y |-q | X′T-s+Xs-|Xs型-ieN（ds，dy），（2.11），其中bgD（x，z）：=ZReizyDf+（x+y）+Df-（x+y）dy.请注意，我们不能将上述（2.11）的第二项改写为条件期望zte[Df+（X′T-s+Xs）+Df-（X′T-s+Xs）| Xs]σdWs，自Df±（±x）e起-αx不是任何α>0的有限变化。示例2.13（1{XT≥c} ）。我们取一个指示函数为f，即f（x）={x≥c} 对于c∈ R、如第3.4节f（XT）所示/∈ D1,2当σ=0或∞|x |ν（dx）=∞. 这里，我们举例说明1{XT的鞅表示≥c} 利用定理2.7。假设X满足假设2.1。另一方面，假设2.6自动满足。表示f（t，x）：=E[1{XT≥c} |Xt=x]=E[1{Xt-Xt公司≥c-x} ]=P（XT- Xt公司≥ c- x），我们有Fx（t，x）=pt（c- x） =2πZR(-zv）bg（x，-izv）φ（t，izv）dv，其中Pti是XT的密度函数- Xt和BG（x，z）=-izeiz（c-x）注意，假设2.1（2）确保了pt的存在。定理2.7隐含以下鞅表示：{XT≥c} =P（XT≥ c） +ZTps（c- Xs）σdWs+ZTZRP（X′T-s≥ c- Xs型-- y | Xs-)- P（X′T-s≥ c- Xs型-|Xs型-)eN（ds，dy）。例2。14（eXT{XT>0}）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-24 04:50:08

我们考虑f（x）=ex{x>0}的情况。假设假设2.1适用于某些α≥ 2、假设2.6自动满足。定义F（t，x）：=E[F（XT）| XT=x]，我们有F（t，x）=exZ∞-xeypt（y）dywhere pti是XT的密度函数- Xt。因此，我们获得Fx（t，x）=F（t，x）+pt(-x）。因此，定理2.7提供了ext{XT>0}=EeXT{XT>0}+ZT公司EheX′T-s+Xs{X′T-s+Xs>0}Xsi+ps(-Xs）σdWs+ZTZREheX′T-s+Xs-ey{X′T-s+Xs-+y> 0}- 1{X′T-s+Xs->0}Xs型-ieN（ds，dy）。3数字期权的局部风险最小化本节的主要目标是通过使用定理2.7为指数L'evy模型（1.3）提供数字期权的LRM策略表示。此外，我们还讨论了1{XT的Malliavin可微性≥c} 在本节的最后一部分。3.1准备我们考虑一个到期日T>0的金融市场，该市场由利率为r的无风险资产组成≥ 0和一项风险资产。时间t的风险资产价格∈ [0，T]描述为：=ert+Xt，其中X是（1.1）给出的L'evy过程。此外，我们用BS表示资产价格贴现过程，即bSt：=e-rtSt，也作为以下随机微分方程的解给出：dbSt=bSt-budt+σdWt+ZR（ex- 1） eN（dt，dx）, （3.1）其中bu：=u+σ+ZR（ex- 1.- x） ν（dx）。接下来，我们对LRM战略进行了定义。以下定义是基于Schweizer【13】定理1.6的简化版本，因为Schweizer【12】和【13】提出的原始定义相当复杂。注意，[13]在假设r=0的情况下处理了这个问题。对于r>0的情况，参见，例如，Biagini和Cretarola【4】。定义3.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-24 04:50:11

（1）策略定义为一对φ=（ξ，η），其中ξ是一个可预测的过程，满足“ZTξsdhbSis#<∞, （3.2）且η是一个经过调整的过程，使得在时间t时的贴现值∈ [0，T]，定义为bVt（Д）：=ξtbSt+η这是一个右连续过程，其中e[bVt（Д）]<∞ 每t∈ [0，T]。注意，ξ和η分别表示投资者在时间t时持有的风险资产和无风险资产的单位数量。（2）对于策略Д，由bct（Д）定义的过程bc（Д）：=bVt（Д）-ZtξsdbSsfor t∈ [0，T]被称为^1的贴现成本过程。自我融资ifbC的策略是一个常数。（3）设H为平方可积随机变量，表示到期日T时或有权益的支付。如果策略Д复制H，则称为H的局部风险最小化（LRM）策略，即满足bvt（ДH）=bH，[bC（ДH），cM]是一致可积鞅，其中cM是bs的鞅部分。粗略地说，如果在所有复制策略中，策略ДH=（ξH，ηH）是将BC（ДH）引起的风险最小化的复制策略，则不一定是自我融资的策略，称为LRM策略。【13】的命题5.2规定，在所谓的结构条件（SC）下，LRM策略ДH=（ξH，ηH）对于H∈ L（P）存在的条件是且仅当bh（=e-rTH）允许F¨ollmer-Schweizer分解，即bH具有以下分解bH=bH+ZTξF SsdbSs+LF ST，（3.3），其中bH∈ R、 ξF Sis是满足（3.2）的可预测过程，LF Sis是LF S=0的平方可积鞅正交tocM。此外，ИHis givenbyξHt=ξF St，ηHt=bH+ZtξHsdbSs+LF St- ξHtbSt。因此，有必要获得ξHor的表示，等价地，ξF Sinorder可以得到ДH。因此，我们在本文中用ДHin来识别ξhw。为了讨论LRM策略，我们需要考虑最小鞅测度（MMM），用P表示*.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-24 04:50:14

它被定义为一个等价的鞅测度，在此测度下，任何平方可积的P-鞅正交tocM都保持不变。因此，（3.3）中的LF不仅在P下是鞅，而且在P下也是鞅*, 和正交tocM，即hLF S，cMi=0。P的密度*提供asdP*dP=exp(-buσ+CWT-buσ2（σ+C）T+ZRlog1.-bu（ex- 1） σ+CeN（[0，T]，dx）+TZR日志1.-bu（ex- 1） σ+C+bu（ex- 1） σ+Cν（dx）），其中C：=RR（ex- 1） ν（dx）。请注意，Cis FINITE和P*存在于以下假设3.2下。此外，根据Girsanov定理，W*t： =Wt+b|∑σ+Ct（3.4）andeN*（[0，t]，dx）：=eN（[0，t]，dx）+bu（ex- 1） σ+Cν（dx）t（3.5）是P*-布朗运动与nunderp的补偿Poisson随机测度*, 分别地然后我们可以重写（3.1）asdbSt=bSt-σdW*t+ZR（ex- 1）恩*（dt，dx）.注意，即使在P下，X也是L'evy过程*, 和Levy测度*表示为ν*（dx）：=1.-bu（ex- 1） σ+Cν（dx）。3.2主要理论我们将通过使用P*. 因此，我们需要将假设2.1改写为一个基本假设*. 请注意，如例2.13所述，假设2.6自动生效。假设3.2。（1） RR（ex- 1） ν（dx）（=C）<∞, 这意味着EP*eαXT< ∞ 保留一些α≥ 1、该α在本节中固定。(2) 0 ≥ bu>-σ- C、（3）对于任何t∈ [0，T），存在一个可积函数h*R上的t（v）使得|φ*（t，izv）|1+| zv+| zv|ZR（e-零电压x- 1+zvx）ν*（dx）≤ h类*t（v）堡垒∈ [t，t+t]，其中φ*（t，z）：=EP*[eiz（XT-Xt）]用于z∈ C、注意，假设3.2（1）确保了结构条件（SC）；和MMMP*通过上述（2）作为P的等效概率度量存在。此外，（3）对应于假设2.1（2），并确保XT- X在P下具有丰富的连续密度*, 用p表示*t、备注3.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-24 04:50:17

通过与示例2.3类似的论证，Merton跳跃扩散过程满足假设3.2，没有任何参数限制。对于Nig过程，取α∈ （，2），a>和-< b≤ -, 从Arai等人的观点来看，我们可以看到假设3.2是令人满意的。另一方面，VG过程通过与示例2.4类似的论证违反了假设3.2。有关该事项的更多详情，请参见下文备注3.5。注意，以下公式*和ν*[2]中分别给出了Merton跳跃扩散过程和VGP过程，以及[1]中给出了NIG过程。定理3.4。在假设3.2下，数字选项1{ST的LRM策略ξH≥K} K>0时，由ξHt=e给出-rTbSt公司-（σ+C）κtσ+ZRψ*t型-（K，x）（例如- 1） ν（dx）（3.6）对于t∈ [0，T]。此处κt：=p*t（对数K- rT公司- Xt）和ψ*t（K，x）：=P*（X′T-t型≥ 日志K-rT公司-Xt公司-x | Xt）-P*（X′T-t型≥ 日志K-rT公司-Xt | Xt），其中X′T-是XT的独立副本- Xt。备注3.5。通过[3]的例子3.9，我们可以通过使用L'evy过程的Malliavin演算得到与定理3.4相同的结果，如果1{ST≥K}∈ D1,2，其中D1,2在【6】第2.2节中定义。实际上，如Geiss等人[9]第4.2节所示，如果σ=0，RR | x |ν（dx）<∞ XT有一个有界密度，那么我们有{XT≥c}∈ D1,2，换句话说，1{ST≥K}∈ D1,2。例如，VG过程满足所有这些条件，尽管它们不满足备注3.3中的假设3.2。换句话说，当X是VG过程时，定理3.4不可用，但我们可以通过Malliavin演算得到相同的结果。下文第3.4节将讨论指标功能的马氏体差异性。3.3定理3.4的证明，通过ξt（3.6）的右侧，并定义P*-LH=0的鞅asLHt：=EP*“e-rT{ST≥K}- e-rTEP*[1{ST≥K} ]-ZTξsdbSs英尺，我们有-rT{ST≥K} =e-rTEP*{ST≥K}+ZTξsdbSs+LHT。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 04:50:20

（3.7）足以证明（3.7）是E的F¨ollmer-Schweizer分解-rT{ST≥K} ，Payoff函数的贴现值。为此，我们认为LH是一个与tocM正交的P-鞅。定义[0，T]×R asF（T，x）上的函数F：=EP*[1{ST≥K} | Xt=x]=P*（XT）- Xt公司≥ 日志K- rT公司- x），我们有F（t，Xt）=F（0，x）+ZtFx（s，Xs）σdW*s+ZtZRF（s，Xs-+ y）- F（s，Xs-)恩*（ds，dy）=F（0，X）+ZtκsσdW*s+ZtZRψ*s-（K，y）eN*（ds，dy）根据假设3.2和示例2.13。因此，我们有lht=e-rTF（t，Xt）- e-rTF（0，X）-ZtξsdbSs=中兴通讯-rTκsσdW*s+ZtZRe-rTψ*s-（K，x）eN*（ds、dx）-ZtξsbSs-σdW*硫+锆（ex- 1）恩*（ds、dx）. （3.8）为了证明LH是一个P鞅，我们计算如下：e-rTκsσ-ξsbSs-σbuσ+C=e-rT公司κsC-ZRψ*s-（K，x）（例如- 1） ν（dx）buσ（σ+C）和Zre-rTψ*s-（K，x）-ξsbSs-（例如- 1)bu（ex- 1） σ+Cν（dx）=ZRe公司-rTψ*s-（K，x）（例如- 1） ν（dx）-ξsbSs-Cbuσ+C=e-rT公司ZRψ*s-（K，x）（例如- 1） ν（dx）- κsCs的buσ（σ+C）∈ [0，T]。因此，（3.8）以及（3.4）和（3.5）意味着lht=Zte-rTκs-ξsbSs-σdWs+ZtZRe-rTψ*s-（K，x）-ξsbSs-（例如- 1)eN（ds，dx），其中lh是P-鞅。接下来，我们看到LH与tocM正交。为此，我们只需看到，cMi=0。注意，CM的给定值为DCMT=bSt-σdWt+ZR（ex- 1） eN（dt，dx）,我们有DHLH，cMit=bSt-σe-rTκt-ξtbSt-dt+bSt-锆e-rTψ*t型-（K，x）-ξtbSt-（例如- 1)（例如- 1） ν（dx）dt=bSt-e-rT公司κtσ+ZRψ*t型-（K，x）（例如- 1） ν（dx）dt公司-ξtbSt-（σ+C）dt=0。因此，（3.7）是e的F¨ollmer-Schweizer分解-rT{ST≥K} ，这意味着ξH=ξ。这完成了定理3.4.3.4指标函数Malliavin可微性的证明，如备注3.5，1{XT所示≥c}∈ D1,2适用于任何c∈ R当X是一个VG过程时。也就是说，通过使用[3]的示例3.9，我们可以获得与VGP过程的定理3.4相同的结果。另一方面，众所周知{XT≥c}/∈ D1,2σ>0时。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-24 04:50:23

换句话说，如果X包含一个布朗成分，如默顿跳跃扩散过程，我们需要使用定理3.4来计算ξHin（3.6）。此外，如下面的命题3.6所示，即使σ=0，我们也有1{XT≥c}/∈ D1,2as长RR | x |ν（dx）=∞ 例如NigProcess。因此，我们可以说，定理3.4提供了计算默顿跳跃扩散和NIG过程的数字期权LRM策略的唯一方法。3号提案。设X为纯跳跃L'evy过程，L'evy测度ν满足r[-1,1]| x |ν（dx）=∞. 此外，假设XT有一个有界连续密度函数p。那么，我们有1{XT≥c}/∈ D1,2对于所有c∈ P（c）>0时的R。证据修复c∈ p（c）>0时的R任意。请注意，对于任意x，我们可以发现ε>0，从而p（x）>p（c）∈ （c）- ε、 c+ε）。从Sol'e等人[14]的命题5.4来看，有必要证明e“ZTZR |ψs，x{XT≥c} | xν（dx）ds#=∞,式中，ψs，xis是【14】第5.1节中定义的增量商运算符。因此，我们有e“ZTZR |ψs，x{XT≥c} | xν（dx）ds#=ZTZRE|ψs，x{XT≥c}|xν（dx）ds=ZTZRE|1{XT+x≥c}- 1{XT≥c} | xxν（dx）ds=ZTZ∞P（c>XT≥ c- x） ν（dx）+Z-∞P（c-x>XT≥ c） ν（dx）ds公司≥ TZεP（c>XT≥ c- x） ν（dx）+Z-εP（c-x>XT≥ c） ν（dx）≥ Tp（c）Z(-ε、 ε）| x |ν（dx）=∞,sinceRI | x |ν（dx）=∞ 对于任何间隔I R包括0作为内点。致谢Stakuji Arai感谢第18K03422号MEXT Grantin科学研究援助（c）的财政支持。参考文献[1]T.Arai，Y.Imai，R.Nakashima，《正态逆高斯模型二次套期保值策略的数值分析》，载于：S.Kusuoka，T.Maruyama（编辑），《数理经济学进展》，新加坡斯普林格出版社，2018年，第1-24页。[2] T.Arai，Y.Imai，R.Suzuki，《指数L'evy模型局部风险最小化的数值分析》，Int.J.Theor。应用程序。财务19（02）（2016）1650008，https://doi.org/10.1142/S0219024916500084.[3] T.Arai，R。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-24 04:50:26

铃木，L’evymarkets的局部风险最小化，国际金融杂志。工程2（02）（2015）1550015，https://doi.org/10.1142/S2424786315500152.[4] F.Biagini，A.Cretarola，《恢复过程中可违约索赔的局部风险最小化》，A.Appl。数学Optim公司。65 (3) (2012) 293–314.https://doi.org/10.1007/s00245-011-9155-8.[5] R.Cont，P.Tankov，《带跳跃过程的金融建模》，查普曼和霍尔，伦敦，2004年。[6] L.Delong，《带跳跃的倒向随机微分方程及其精算和金融应用》，Springer，伦敦，2013年。[7] G.Di Nunno，B.Oksendal和F.Proske，《L'evyprocess的Malliavin演算及其金融应用》，柏林斯普林格，2009年。[8] G.B.福兰德，《真实分析：现代技术及其应用》，第二版，威利，霍博肯，1999年。[9] C.Geiss，S.Geiss，E.Laukkarinen，关于L'evy过程和近似的Malliavin分数光滑性的注记，潜在分析。39(3) (2013) 203–230. https://doi.org/10.1007/s11118-012-9326-5.[10] K.Sato，《列维过程和不可完全分割分布》，剑桥大学出版社，2013年。[11] W.Schoutens，《金融中的列维过程：金融衍生品定价》，约翰·威利父子出版社，霍博肯，2003年。[12] M.Schweizer，《二次套期保值方法导览》，载：E.Jouini，J.Cvitanic，M.Musiela（编辑），《期权定价、利率和风险管理》，剑桥大学出版社，2001年，第538-574页。[13] M.Schweizer，《多维资产和支付流的局部风险最小化》，Banach Cent。公共。83 (2008) 213–229.http://dx.doi.org/10.4064/bc83-0-13.[14] J.L.Sol'e，F.Utzet，J.Vives，标准L'evy过程和Malliavin微积分，随机过程。应用程序。117 (2) (2007) 165–187.https://doi.org/10.1016/j.spa.2006.06.006.[15] R。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-24 04:50:29

Suzuki，标准L'evy过程测量变化下的Clark-Ocone型公式，研究报告，KSTS/RR-14/002，KeioUniversity。http://www.math.keio.ac.jp/library/research/report/2014/14002.pdf[16] P.Tankov，《指数L'evy模型中的定价和对冲：近期结果回顾》，巴黎普林斯顿数学金融讲座2010，数学讲稿。2003 (2011) 319–359.https://doi.org/10.1007/978-3-642-14660-2_5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群