经纪人看涨期权市场的长期反馈

2022-6-24 05:48:46

ORCID iD：0000-0003-0944-8517。“正如我所说，有两种获取财富的方式；一种是家庭管理的一部分，另一种是零售业：前者是必要的和可敬的，而以交换为基础的财富则得到了合理的保障；因为这是不自然的，也是人与人之间相互获取财富的一种方式。最受欢迎的一种方式，也是最有理由的一种，是高利贷，它从金钱本身而不是从国家获得收益ral对象。因为钱是用来兑换的，但不是用来增加利息的。“利息”一词指的是货币从货币中诞生，它被用来指货币的繁殖，因为货币的起源与父母相似。”-亚里士多德政治“根据拉普拉斯的说法，给定时刻的世界状态是由一定数量的参数定义的，取决于一定数量的微分方程。如果一些普世思维能够写出所有这些方程并将其积分，那么它就可以完全准确地预测未来世界的整个演变。”-Andrey N.KolmogorovLong在经纪人通知货币市场中的运行反馈A.Garivatis1简介本文研究了一个随机微分方程系统，旨在表达经纪人通知货币市场中动态平衡行为的铁律，该市场的存在是为了为股票经纪人向零售客户提供保证金贷款提供资金。我们假设市场的（总）需求方由连续时间的Kelly（1956）赌徒组成。凯利（Kelly）的开创性文章（1956年）探讨了在独立赛马上重复下注的问题，对于独立赛马，赌徒比赌徒对获胜概率有更好的质量估计，赌徒的信念隐含在公布的赔率中。

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2022-6-24 05:48:50

常识性的见解是，问题的（静止的）性质决定了赌徒应该始终将其财富的固定部分押在这个（有利的）机会上；出于明显的原因，选择Kelly分数来优化渐近连续复合每赌资本增长率。Leo Breiman（1961）证明了KellyCriterion的竞争优势：也就是说，它几乎肯定会以指数因子击败任何“本质上不同”的策略；而且它拥有最短的平均等待时间来实现遥远的财富目标。在我们的问题中，每一场赛马都被市场时钟的不同滴答声所取代，股市指数的波动决定了赌徒的盈亏。与赌赛马不同（在赛马中，你不应该百分之百地赌自己的财富，因为你最终会输光所有的财富），在保证金贷款利率足够低的情况下，将自己的财富百分之百地押在股市的每一个微小波动上是非常明智的。为了验证想法，让我们假设标准普尔500指数以预期的（对数）年增长率ν：=9%，σ：=15%的年（对数）波动率增长。如果我们顺带想象一下，经纪人通知货币市场中的长期反馈A.Garivatisσ趋于零，那么从连续性考虑来看，很明显，我们应该全身心地投入，以便以5%的利润率借钱。在杠杆投资的背景下，凯利的固定分数下注方案隐含了一种表面上违反直觉的交易机制。举例来说，让我们假设我们有100美元，并且我们决心采取行动，以保持标准普尔500指数2倍的恒定敞口水平。

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2022-6-24 05:48:53

这意味着我们必须始终保持与账户权益水平相等的保证金（借记）余额；贷款价值比必须始终为50%。现在，假设我们明天一觉醒来，股市已经涨了10%；我们的新账户权益为120美元|{z}权益=220美元|{z}资产- $100 |{z}负债。尽管我们有充分的理由将最初的100美元杠杆化两倍，但它们应该继续适用于我们更新、更富有的自我，这似乎是很自然的。请注意，市场有效地为我们选择了1.83:1的新杠杆比率，相应的贷款价值比为45.5%。因此，我们的固定分数下注计划规定，我们必须额外借款和投资20美元（相当于刚刚赚取的利润）。尽管这种行为提供了趋势跟踪、业绩追逐或市场时机安排的光学效果，但简单的事实是，我们只是回到井中，继续利用低价借贷的机会。需要明确的是，所讨论的“趋势”是企业盈利和股息的指数增长，这体现在市场指数的原木价格的高漂移率上。问题的另一面是，当市场下跌时，赌徒必须解开这个过程；例如，假设第二天，指数价格除以系数1.1（损失9.1%），例如，它将整圈返回到其原始水平。因此，我们的投资组合资产价值缩水至240美元÷1.1=218.18美元（负债为120美元），净权益为98.18美元。因此，资产价格的“横向”波动导致我们表现逊于买入并持有投资者；我们在经纪人电话货币市场中得到了长期的反馈。加里瓦蒂斯（A.Garivatis）受到了高买低卖的冷酷算法的“鞭挞”。

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2022-6-24 05:48:56

在这一点上，我们的杠杆率刚刚降至2.22倍，这使得贷款价值比达到55%。为了纠正这种（杠杆过度）的情况，我们的计划规定我们必须清算21.82美元的资产，例如我们刚刚损失的金额。这个简单的例子充分说明了持续时间的凯利赌徒所面临的基本交易（fundamentaltrade-o fff）是什么。一方面，我们希望获得保证金贷款利率与市场指数复合增长率之间的利差；另一方面，我们必须扣除whipsaw效应的持续成本，这一影响随着基础波动性的增加而变得更加明显。完美平衡这两个考虑因素的最佳点（与David Luenberger 1998年一起检查）相当于神奇的杠杆比率b*:= 0.5 +(ν -rL）÷σ，其中rli是保证金贷款利率。如果我们假设保证金贷款的供应是完全弹性的（例如，水平供应曲线），那么连续时间的凯利赌徒可以获得永久的资金来源，使他几乎可以肯定地以指数因子渐进击败市场（参见Garivaltis 2019b）。从元角度来看，这种“桶店”环境有着明显的实际缺陷，因为它有无限的SAP供应，愿意为更好的人提供一首歌的现金。也就是说，在足够长的时间范围内，凯利赌徒必须不可避免地拥有每一美元的股票市值。因此，为了得到一个现实的均衡结果，我们在本文中决定将供给曲线放在最前面。持有大量催缴股款的SAP现在被假定以现行利率（例如，由垂直供给曲线确定）完全无弹性地提供催缴股款。

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2022-6-24 05:48:59

尽管他们很不幸，但在默顿（Merton）（1992）中可以找到一个生动的表达。经纪商对货币市场的长期反馈A.Garivatis尽管如此，他们还是设法以指数速度增加资本；本文假设所有本金和利息支付都持续地再投资于货币市场。考虑到资产价格中如此多随机振动的所有影响，这种自然而直接的市场结构从长远来看将如何动摇自己？这些页面包含答案。2该模型我们假设股票市场指数或ETF有N股流通股，其每股价格根据几何布朗运动dSt：=St×（udt+σdWt），（2）其中Sis为时间0时的（给定）初始价格。这里，u表示年漂移率，σ表示年波动率，WT表示标准布朗运动。对数价格根据（参见Paul Wilmott 2001）d（log St）=νdt+σdWt，（3）式中，ν：=u-σ/2是几乎确定的渐近连续复合资本增长率ν=limt→∞tlogStS公司=E【d（对数St）】dt。（4）我们假设，在每一时刻t，都有一定数量的贷款资金（“经纪人贷款资金”）非弹性地供应给零售经纪市场。货币市场对经纪人看涨期权货币市场a中的长期反馈收取每年rL（t）的连续复合利率。不同时间步的持续时间【t，t+dt】，其中rL（t）将在Win均衡下确定。当然，我们假设货币市场持续地重新投资所有收益（本金和利息），因此货币市场的规模根据qt演变：=qt×rL（t）×dt，（5）ord（log qt）=rL（t）×dt，（6）其中qi是外部给定的。因此，我们有关系qt=q×expZtrL（s）ds.

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2022-6-24 05:49:02

（7）经纪人看涨期权货币市场的需求方应该由一个（具有代表性的）连续时间的凯利（1956年）赌徒组成，他“下注”于分形∈ [1, ∞) 在不同的时间步【t，t+dt】，他在股票市场上的财富。这样做，因为英国电信≥ 1、他借了数量qt：=（bt- 1） ×来自货币市场的VT；贷款必须在t+dt时“随时”偿还（本金和利息）。从给定的初始值V开始，赌徒的财富V根据随机微分方程DVT演变：=bVtSt{z}股数×dSt{z}每股收益/损失-qt×rL（t）×dt |{z}支付利息（=dqt）=Vt×[{btu+（1- bt）rL（t）}dt+btσdWt]。（8）将It^o引理（参见Thomas Mikosch 1998）应用于经纪人看涨期权货币市场的转换过程长期反馈A.Garivatisvt7→ log Vt，我们看到赌徒的log财富是根据tod（log Vt）演变的=btu+（1- bt）rL（t）-σbtdt+btσdWt。（9）赌徒在[t，t+dt]上的预期持续复合增长率等于（与David Luenberger 1998年相比）Γ（b，rL）：=增长率（b，rL）=E[d（log Vt）]dt=rL+（u- rL）b-σb.（10）根据定义，下一个市场时钟（dt）的凯利赌注（参见Edward O.Thorp20062017）是使增长率最大化的财富分数：bt=b*（rL）：=arg maxb≥1Γ（b，rL）=u- rLσ=+ν-rLσ。

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2022-6-24 05:49:05

（11）请注意，最大化（瞬时预期连续复合）增长率是一个随机过程（Γt）t≥0根据现行保证金贷款利率rL（t）计算；将Kelly bet（11）代入objectivefunction（10），我们得到表达式Γt：=maxb≥1Γ（b，rL（t））=Γ（bt，rL（t））=rL（t）+u - rL（t）σ= rL（t）+σbt（12），他自己下了一些这样的赌注。作者意识到这是一种滥用符号的行为，尽管这是一种很自然的行为，不应引起混淆。经纪人通知货币市场的长期反馈A.Garivatiswe将要求流程（Γt）t≥0有界：u- σ/2 ≤ Γt≤u2σ. （13） minorantu- σ/2 ≡ Γ（1，rL（t））是只购买市场指数并持有的无杠杆投资者（b：=1）的增长率。主要u÷（2σ）是当保证金贷款利率为零时获得的Kelly增长率。换言之，我们有rL型最大值B≥1Γ（b，rL（t））= 1.-u - rL（t）σ=1- bt<0。（14）保证金贷款的瞬时需求曲线为Qt=uσ- 1.及物动词-Vtσ×rL（t）。（15）相应的瞬时反向需求曲线isrL=u- σ1+qtVt= u - σ×bt，（16）和保证金贷款瞬时需求的（价格）弹性为d（qt）：=-rL（t）qt×dqtdrL（t）=uσ- 1.×Vtqt- 1.（17）由于所有QT美元的通知金都是由货币市场无弹性提供的，我们在经纪人通知金市场中长期运行反馈A.Garivatis提供了垂直供应曲线等式：=如果rL（t）=0，则qtif rL（t）>0[0，qt]。（18）将供给和需求交叉，我们得到均衡利率RL（t）=maxu - σ- σ×qtVt，0= (u - σ[1+qt/Vt]+，（19），其中u- σ= ν - σ/2是保证金债务的阻塞价格，x+：=max（x，0）表示数字x的正部分。根据均衡价格（19），我们得到公式bt=min1+qtVt，uσ.

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2022-6-24 05:49:08

（20）因此，我们的动态模型符合以下三个假设：（I.）所有QT美元的通知金都是非弹性提供的。（二）经纪人买入货币市场不断地将其所有利息和本金进行再投资。（III.）所有保证金贷款均发放给连续时间的凯利赌徒；这些贷款无成本地从货币市场转移出去，没有股票经纪人的额外加价。为了帮助可视化该环境，图1绘制了t:=0和t:=10年后的供需曲线，以及相应的样本路径（qt，rL（t））0≤t型≤10在价格-数量平面中。模拟（50000步，t：=1.75小时）使用参数值（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）。引理1。货币市场相对于Kelly赌徒总股本的规模在经纪人看涨期权货币市场中有长期反馈A.Garivatis图1：十年内保证金供求的随机振动，由样本路径（qt，rL（t））0生成≤t型≤10在价格-数量平面中。（50000步）模拟使用参数值（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）。以下上限：qtVt≤qV×exp-σt- σZtbsdWs. （21）因此，保证金贷款利率由以下表达式限定：rL（t）≥ u - σ1+qVexp-σt- σZtbsdWs. （22）证明。首先，我们注意到qt≤ q×e（u-σ）例如，看涨期权货币市场的货币复合速度永远不会超过扼杀价格u-σ. 也就是说，看看利率表达式（19），我们有上限rL（t）≤ u-σ; 将该不等式与积分（7）并列，得到qt≤ q×exp{（u-σ） t}，正如承诺的那样。另一方面，赌徒的财富受到数量的限制≥ 经验值(u - σ/2）t+σZtbsdWs.

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2022-6-24 05:49:11

（23）对于，查看微分方程（9），并记住≥ u -σ/2，我们有（log Vt）=Γtdt+btσdWt≥ (u - σ/2）dt+btσdWt（24）==> 日志（Vt/V）≥ (u - σ/2）t+σZtbsdWs。（25）组合主要qt≤ q×e（u-σ）用Vt的最小值（23）得到状态结果（21）。简单地说，引理1说，赌徒财富的本地预期增长率总是超过市场指数的预期增长率；另一方面，经纪人看涨期权货币市场的复合增长率（最多u- σ）预计将低于市场指数。可以肯定的是，相对市场规模（qt/Vt）的实际动态≥0最终由实现路径（Wt）t决定≥驱动经济中所有不确定性的布朗运动。但基于VT和qt指数增长率的预期差异，很明显，经过多年（几十年或几百年）后，变化很大，与连续时间凯利赌徒的总银行户数相比，通知金的总量将很小。定理1。经纪人看涨期权市场相对于凯利赌徒总股本的规模很可能趋于零：plimt→∞qtVt=0。（26）正如我们将在下面展示的那样，它在均方中明显不收敛。经纪人通知货币市场中的长期反馈A.加里瓦蒂斯因此，凯利赌徒的杠杆率概率收敛到1（b∞:= plimt公司→∞bt=1），且保证金贷款利率很可能收敛于阻塞价格：r∞:= plimt公司→∞rL（t）=u- σ= ν -σ. （27）增长率过程Γt在概率上收敛于买入和持有增长率：plimt→∞Γt=ν=u- σ/2. （28）证明。

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2022-6-24 05:49:14

因为Kelly bet bt=min（1+qt/Vt，u/σ）是qt/Vt比率的连续函数，利率rL（t）=u-σbt又是bt的一个连续函数，它可以证明qt/vt在概率上收敛到0，因为概率极限是通过连续变换保持的。以下是plimt→∞Γt=Γ（1，u-σ) =u - σ/2.因此，让我们可以是任何正实数。应用引理1，我们得到关系1≥ Prob公司qtVt≤ ≥ Prob公司-tZtbsdWs-日志(V/q）σt |{z}：=Xt≤σ→ 1作为t→ ∞.（29）也就是说，请注意，进程Xt：=-t型-1.RtbsdWs+日志(V/q）/σ均方收敛到零：我们有极限→∞E[文本]=限制→∞-日志(V/q）σt=0（30），并结合It^o等距（参见Tomas Bj"ork 1998）和界限1≤ 学士学位≤因为过程bt和rL（t）是有界的（1≤ 英国电信≤ u/σ和0≤ rL（t）≤ u - σ），它们的均方收敛到1和u- σ、分别为。比率qt/vt没有这样的界限；它可以取（0+∞).经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.加里瓦蒂斯u/σ，我们得到Var[Xt]=tZtE[bs]ds≤uσt→ 0，（31），以便限制→∞Var[Xt]=0。自进程（Xt）t≥0在均方上收敛到零，在概率上肯定收敛到零；特别是，这意味着→∞Prob公司Xt公司≤σ= 根据挤压定理，我们得到了期望的结果：对于所有 > 0，极限→∞Prob公司qtVt≤ = （33）推论1。保证金贷款利率rL（t）在均方上收敛于Choke价格r∞:= u-σ= ν-σ/2和Kelly bet bt均方收敛到1。瞬时Kelly增长率Γt在均方中收敛到买入和持有增长率ν=u- σ/2.证据证明bt在均方上收敛到1；然后，根据线性关系rL（t）=u- σbt，我们将有限制→∞E[rL（t）]=u- σ和极限→∞Var[rL（t）]=0。为此，让可以是任意正数，让Rt：=qt/vt表示看涨期权市场的相对大小。

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2022-6-24 05:49:16

我们有[（bt- 1） ]=概率{Rt<}E[（bt- 1） | Rt<] + 概率{Rt≥ }E[（bt- 1） | Rt≥ ]≤ 1 × + 概率{Rt≥ } × (u/σ- 1).（34）经纪人电话货币市场的长期反馈A.Garivatis使用limt的事实→∞概率{Rt≥ } = 0，我们看到以下关系必须为 > 0：lim支持→∞E[（bt- 1)] ≤ . （35）自lim supt→∞当均方误差小于每个正数时，我们得到不等式lim inft→∞E[（bt- 1)] ≤ lim支持→∞E[（bt- 1)] = 0 ≤ lim信息→∞E[（bt- 1） ]，（36）这意味着→∞E[（bt- 1)] = 0.最后，将我们的注意力转向瞬时Kelly增长率Γt=rL（t）+σbt/2，现在可以证明bt在均方中收敛到1；然后，sincerL（t）m.s。--→ u - σ、我们将有Γtm。s--→ u - σ+ σ/2 × 1 = u - σ/2，如承诺的那样。因此，我们限制均方误差[（bt- 1） ]=E[（bt- 1）（bt+1）]≤ E[（bt- 1)] ×uσ+ 1→ 0，（37），这证明了btm。s--→ 简单地说：随着时间的推移，凯利赌徒在货币市场上表现不佳的实验有一些（极其罕见的）样本路径；因此，在利率为零的情况下，qt/VT比率达到峰值，Kelly下注达到上限bt=u/σ。然而，这些罕见的事件对均方误差E[（bt- 1），这正是因为凯利赌徒的咒语阻止他下注超过b：=u/σ，即使他得到的利率为零。经过多年的t之后，BTD的密度变得集中在1左右，尽管有一条横跨区间[1，u/σ]的长尾。经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.Garivatis图2:Kelly杠杆率（bt）和相应的保证金贷款利率（rL（t））的100年样本路径，参数为（q、V、ν、σ、u、r∞) := (1, 1, 0.09, 0.15, 0.1012, 0.0787).

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2022-6-24 05:49:19

平均值和标准偏差是通过50000个蒙特卡罗模拟（每个步骤50000个）估计出来的(t：=17.5小时）。图2通过绘制由参数（q、V、ν、σ、u、r∞) := (1, 1, 0.09, 0.15, 0.1012, 0.0787). 在上下文中，该图提供了预期值{E[bt]，E[rL（t）]}0的蒙特卡罗估计≤t型≤100和标准偏差{Std（bt），Std（rL（t））}0≤t型≤100个由50000个步骤的50000个模拟生成(t：=17.5小时）。同样，图3给出了相同参数的瞬时增长率过程（Γt）的30年样本路径，以及函数t 7的蒙特卡罗估计→ E[Γt]和t 7→ Std（Γt），由40000次模拟计算得出(t：=6.6小时）。定理2。货币市场的相对规模qt/vt是一个鞅（尽管它的收敛概率为零）；Kelly bet Bt是一个超级马丁格尔（例如，它总是预计会下降），而保证金贷款利率rL（t）是一个超级马丁格尔（例如，它总是预计会上升）。经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.Garivatis图3：参数（q，V，ν，σ）：=（1，1，0.09，0.15）的最佳增长率过程（Γt）的30年样本路径，以及MonteCarlo估计（40000次模拟，t：=6.6小时）功能ST 7→ E[Γt]和t 7→ 标准（Γt）。证据我们将It^o微积分的商规则（参见Ovidiu Calin 2015）应用于qt/Vt:d的比率qtVt=dqtVt- qtdVt公司- dqtdVtVt+qtVt×（dVt）。（38）根据It^o乘法表（例如Paul Wilmott 1998），我们得到dqt×dVt=0和（dVt/Vt）=btσ×dt。

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2022-6-24 05:49:22

因此，我们可以计算出qtVt=qtVt×（rL+btσ）dt-dVtVt=qtVt×bt（σbt- u+rL（t）{z}=0）dt- btσdWt= -σqtbtVtdWt。（39）经纪人看涨期权货币市场中的长期反馈≥0是一个鞅，因为它有零漂移，并且接受（it^o）积分表示qtvt=qV- σZtqsbsVsdWs。（40）由于bt=min（1+qt/Vt，u/σ）是摩尔qt/Vt的凹函数，我们得出结论（bt）t≥0是一个超级马丁格尔，例如，它总是预计会减少（参见劳伦斯·埃文斯2010）。同样，利率RL（t）=max（u- σ- σqt/Vt，0）是一个子鞅，因为它是鞅的凸函数。因此，虽然在长期运行中，Rt：=qt/VT的比率很低的可能性很高，但它仍然有一个恒定的平均值E【Rt】≡ q/V；这种情况的发生是因为股票市场的表现明显低于经纪人所谓的货币市场。（无条件）预期利率E【rL（t）】是时间的递增函数，收敛到u-σ; 以时间t的当前状态为条件，预期利润率E[rL（t+t） | rL（t）]在未来任何时候都大于或等于当前观测值rL（t）。然而，利率的预期增长（以及随之而来的总杠杆率的下降）受到了股市如此多随机振动的干扰。保证金贷款利率对金融市场随机噪声的顺周期响应；连续时间凯利赌徒的杠杆比率呈反周期反应。但潜在的信号（即资产价格的指数增长）有助于产生保证金贷款利率的永久上升趋势。推论2。保证金贷款利率曾经达到零的概率（属于经纪人通知货币市场A中的运行反馈）。

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2022-6-24 05:49:25

Garivatistween now and kingdom come）有以下主要特性：Prob{rL（t）是ever 0}≤ 1.-rL（0）r∞= 1.-当前利率阻塞价格（41）证明。保证金贷款利率rL（t）至少在给定期限[0，t]上一次达到零的条件相当于比率qt/VT超过u/σ的条件- 1至少一次。自（qt/Vt）t起≥0是正鞅，Doob的鞅不等式得到（参见LawrenceEvans 2010）；在我们的背景下，这种不平等最大值0≤t型≤TqtVt≥uσ- 1.≤E【qT/VT】u/σ- 1=qV×σu- σ= 1 -rL（0）r∞, （42）我们使用了E【qT/VT】这一事实≡ q/V.以不等式（42）的极限为T→ ∞, 我们得到了预期的结果，即支持≥0qtVt≥uσ- 1.≤ 1.-rL（0）r∞. （43）因此，如果当前的保证金贷款利率达到阻塞价格的70%，那么其达到零的可能性最多为30%。如果当前利率为总利率的20%，则其达到零的可能性最多为80%。表1说明了不同股市波动率和复合年（对数）增长率的主要因素，假设货币市场开始与赌徒的财富一致（q/V：=1）。自然，随着股票市场参数变得更有利（ν越高，σ越低），界限越紧；随着可贷资金的相对稀缺（较低的q/V），这种情况也变得更加紧张。经纪人电话货币市场中的长期反馈A.Garivatis示例1。截至本文撰写之时，经纪人的通知利率（Bankrate.com报道）为4.25%。假设标准普尔500指数的程式化参数（ν，σ）：=（0.09，0.15），我们得到的阻塞价格为7.9%。因此，我们估计，马金洛利率达到零的可能性最多为4.25÷7.9=54%。提案1。

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可人4

2022-6-24 05:49:28

我们对相对市场规模qt/Vt的（无条件）标准偏差有以下界限：qV×pexp[σt]- 1.≤ 标准qtVt≤qV×pexp[（u/σ）t]- 1.（44）特别是limt→∞标准（qt/Vt）=+∞.证据为了便于说明，我们让F（t）：=E[（qt/Vt）]表示相对尺寸过程的二阶矩。回顾（It^o）积分表示qtvt=qV- σZtqsbsVsdWs，（45）It^o等距表示qtVt= F（t）- （q/V）=σ中兴通讯QSBSVds，（46），经微分，得出usdFdt=σEqtbtVt. （47）现在，请记住1≤ 英国电信≤ u/σ，我们有不等式σF（t）≤dFdt公司≤uσF（t），（48）经纪人电话货币市场中的长期反馈A.Garivatisor，相当于σ≤ddtlog F（t）≤uσ. （49）积分不等式（49）并简化，我们得到了理论界SF（0）×{exp[σt]- 1} ≤ F（t）- F（0）≤ F（0）×{exp[（u/σ）t]- 1}. （50）记住F（0）=（q/V）和Var[qt/Vt]=F（t）- F（0），取（50）的平方根得到所述结果。因此，虽然鞅（qt/Vt）t≥0概率趋近于零，其标准偏差以几何速率增长为零。图4绘制了t的这些理论界限，以及真实标准偏差的蒙特卡罗估计值∈ [0，2]假设参数q：=1，V：=1，ν：=0.09，σ：=0.15，u：=ν+σ/2=0.1012。（确定性）函数t 7→ Std（qt/Vt）是通过100000个实验（每个实验100000步）估算出来的；相应的步长为t：=10.5分钟。注意总体标准偏差pe[（qt/Vt）]- （q/V）需要增加，因为过程（qt/Vt）是一个子鞅（例如，它是qt/Vt的凸函数）。

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2022-6-24 05:49:31

为了可视化，图5绘制了相同深度参数（q、V、ν、σ）下qt/VT的100年样本路径：=（1、1、0.09、0.15）；实验包括100000个步骤，步骤大小为8.8小时。定理3。凯利赌徒在[0，T]上实现的连续复合资本增长率（即log（VT/V）/T）在均方上收敛于股市增长率ν=u- σ/2; 货币市场在[0，T]上实现的持续复合增长率（即对数（qT/q）/T）在均方上收敛于可可价格r∞= ν - σ/2 = u - σ.经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.加里瓦提斯比率（Garivatisratio Vol.CAGR Current/Choke Majorant Actual Prob）。（q÷V）（σ）（ν）（rL（0）/r∞) P{rLis ever 0}（Monte Carlo est.*）的10%9%7.5%/8.5%≤11.8% 9.3%(0.18%)1 15% 9% 5.6%/7.9% ≤28.6% 26.3%(0.28%)1 20% 9% 3%/7% ≤57.1% 55.1%(0.31%)1 10% 8% 6.5%/7.5% ≤13.3% 10.8%(0.2%)1 15% 8% 4.6%/6.9% ≤32.8% 30.1%(0.29%)1 20% 8% 2%/6% ≤66.7% 63.8%(0.3%)1 10% 7% 5.5%/6.5% ≤15.4% 12.7%(0.21%)1 15% 7% 3.6%/5.9% ≤38.3% 36.1%(0.3%)1 20% 7% 1%/5% ≤80% 78%(0.26%)1 10% 6% 4.5%/5.5% ≤18.2% 15.2%(0.23%)1 15% 6% 2.6%/4.9% ≤46.2% 43.6%(0.31%)1 20% 6% 0%/4% ≤100% 100%1 10% 5% 3.5%/4.5% ≤22.2% 18.7%(0.25%)1 15% 5% 1.6%/3.9% ≤58.1% 56%(0.31%)1 20% 5% 0%/3% ≤百分之百百分之百表1：保证金贷款利率在t上达到零的概率上限∈ [0, +∞), 对于不同的股市波动率和增长率，假设货币市场开始时与赌徒的财富持平（q/V：=1）*保证金贷款利率达到零限的所有模拟的百分比（括号中的标准误差）。每次评估25000次模拟，每次跨越200年，每次模拟25000步，t：=2.92天。经纪人对货币市场的长期反馈A。

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2022-6-24 05:49:34

Garivatis图4:t上Std（qt/Vt）的蒙特卡罗估计∈ [0，2]，假设参数q：=1，V：=1，ν：=0.09，σ：=0.15，u：=ν+σ/2=0.1012。通过模拟100000个样本路径（每个路径10万步）计算得出的估计值(t：=10.5分钟）。证据根据表达式log（qT/q）T=TZTrL（T）dt，（51），如下所示对数（qT/q）T=TZTE【rL（t）】dt（52）是（确定性）函数t 7的平均值→ E【rL（t）】在间隔【0，t】上。因为rL（t）在均方上收敛到r∞, 我们有关系限制→∞E[rL（t）]=r∞; 因此，函数t的平均值为7→ E[rL（t）]也必须收敛到r∞. 我想表明这一点→∞风险值对数（qT/q）T= 0。（53）经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.Garivatis图5：qt/Vt的100年样本路径，由参数SQ=1、V=1、ν=0.09、σ=0.15和u=ν+σ/2=0.1012生成。100000步，步长=8.8小时。越过蓝色（虚线）屏障，阿玛金贷款利率为零。为此，我们调用公式（参见Hoel、Port和Stone 1972）Var对数（qT/q）T=TZTZTCov（rL（s），rL（t））dsdt。（54）Cauchy-Schwarz不等式（例如，与T.T.Soong 1973核对）表示thatCov（rL（s），rL（T））≤ Std（rL（s））×Std（rL（t））。（55）因此，由于（55）的右侧在变量和t中可乘法分离，二重积分（54）主要由一维积分std（rL（t））dt的平方决定；这为我们提供了方差边界VAR对数（qT/q）T≤TZTStd（rL（t））dt→ 0作为T→ ∞. （56）经纪人看涨期权货币市场中的长期反馈A.Garivatis当T→ ∞ 因为它是（确定性）函数t 7的平均值→ Std（rL（t）），由于rL（t）在均方上收敛于r，因此其自身收敛于零∞.

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可人4

2022-6-24 05:49:37

这证明了货币市场实际增长率log（qT/q）/T在均方上收敛于CHOKE价格r∞= u - σ.将我们的注意力转向Kelly bankrollover 0实现的复合增长率≤ t型≤ T、我们积分（24）的左侧，得到表达式log（VT/V）T=TZTΓtdt{z}=：xT+σTZTbtdWt{z}=：yT=：xT+yT。（57）铭记E【yT】≡ 0，我们得到对数（VT/V）T= E[xT]=TZTE[Γt]dt，（58），它是确定性函数t 7的平均值→ 间隔[0，t]上的E[Γt]。由于随机过程（Γt）t≥0均方误差为u- σ/2，我们当然有限制→∞E[Γt]=u- σ/2; 相应地，函数t 7的平均值（58）→ E[Γt]也必须收敛到u- σ/2为T→ ∞.为了完成证明，我们继续证明→∞Var[xT+yT]=0。关于三角形不等式Std（xT+yT）≤ Std（xT）+Std（yT），必须显示极限→∞Var[xT]=0和limT→∞Var[yT]=0。我们已经熟悉了一个事实，即Yt在均方中收敛到零；在做必要的修改后，类似于经纪人对货币市场的长期反馈A.Garivatis对于我们刚才对利率rL（t）所做的，我们写下TZTΓtdt=TZTZTCov（Γs，Γt）dsdt≤TZTStd（Γs）dsZTStd（Γt）dt=TZTStd（Γt）dt→ 0。（59）（59）中最后一个括号内的表达式在T时收敛为0→ ∞ 因为它是函数t 7的平均值→ Std（Γt）在区间[0，t]上，一个值本身收敛为0的函数→ ∞.为了说明该定理，图6绘制了从200年、20万步的模型经济模拟中获得的已实现增长率序列（log（qt/q）、log（St/S）、log（Vt/V））（60），该模拟由参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）生成。定理4（数量变化）。赌徒的财富与一个单位市场指数的价格之比（例如。

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可人4

2022-6-24 05:49:40

以ETF股票衡量的资金价值是一个子比例（通常预计会增加）。货币市场的总规模qt/Stof，以这个数字的单位表示，是一个概率收敛到零的超鞅。模型（qt+Vt）/St（货币市场+赌徒权益）中的总财富在经纪人电话货币市场a中表达长期反馈时是一个超比例。Garivatis图6：在200年、200000步模型经济模拟中，在参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）下实现的连续复合资本增长率。在市场指数中的份额。因此，比例赌徒的相对增长因子：=Vt/VSt/s（61）具有以下性质：Vt/VSt/S≤ 1+qv对于所有t.（62）相对增长因子（Vt/V）÷（St/S）等于Kellygambler的资金与买入并持有投资者财富的比率（b≡ 1）他以同样的初始资本起步。请注意，尽管凯利赌徒在[0，t]上实现的累计跑赢大市总是会增加，但它并没有以指数速度增长到最终水平（就像在保证金完全弹性供应下一样）。相反，渐进相对增长因子是一个有限的随机数量，甚至可能小于1（尽管概率很低）。在经纪人看涨期权货币市场A.Garivatis模型中的长期反馈开始时，凯利赌徒不能期望获得超过1+q/V倍的财富，即一个以同样金额开始的买入并持有投资者的财富。比方说，如果初始利率为正，初始杠杆率为b：=2（美国Regulation-T允许的最大值），那么我们预计的最终财富不会超过同等买入持有投资者的两倍。证据

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2022-6-24 05:49:43

将It^o商规则应用于过程（Vt/St）t≥0，1计算VtSt公司=VtSt×（英国电信- 1)(u - σ- rL（t））dt+σ（bt- 1） dWt. （63）因此，（Vt/St）t≥0是一个子鞅，因为它的正漂移是根据bt>1和rL<u这一事实得出的- σ. 类似的计算表明DqtSt公司=qtSt×- (u - σ- rL（t））dt- σdWt, （64）何处（qt/St）t≥0是一个超级鞅，因为它的负漂移率。将方程（63）和（64）结合起来，简化，我们得到qt+VtSt= dqtSt公司+dVtSt公司=（英国电信- 1） Vt公司- qtSt公司(u-σ-rL（t））dt+σdWt. （65）回顾bt=min（1+qt/Vt，u/σ）≤ 1+qt/Vt，我们看到（qt+Vt）/Stisa supermartingale，因为它的漂移是≤ 有了这些事实，我们就有了他们的缺点VtSt公司≤ Eqt+VtSt≤q+VS，（66），其中我们使用了E[（qt+Vt）/St]是时间的递减函数这一事实。经纪人电话货币市场的长期反馈A.Garivatis乘以S/V，我们得到了预期的结果：EVt/VSt/S≤ 1+qV。（67）最后，为了证明plimt→∞qt/St=0，我们从上界qtst开始≤qS×exp-σt+σWt; （68）如果是任意正数，则为probqtSt公司≤ ≥ Prob公司qSexp公司-σt+σWt≤ = Prob公司Wt公司√t型≤日志(S/q）σ√t+σ√t型= N日志(S/q）σ√t+σ√t型,（69）其中N（o）表示累积正态分布函数。因此，我们有1≥ 限制→∞Prob公司qtSt公司≤ ≥ N个(∞) = 1，（70）这是期望的结果。图7通过绘制参数（q，V，ν，σ）：=（1，1，0.08，0.2）的时间序列Vt/St，qt/St，（qt+Vt）/St和rL（t）的100年（100000步）样本路径来补充定理4。对于此特定模拟(t：=8.8小时），我们使股票市场指数不如我们之前的实验（较低的ν，较高的σ）那么有利，以突出当保证金贷款利率在上升到r∞.

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2022-6-24 05:49:46

为了有助于将人口统计数据可视化，图8提供了经纪人看涨期权货币市场中300年的长期反馈。Garivatis图7：参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.08、0.2）的随机过程Vt/St、（qt+Vt）/St、qt/St和rL（t）的100年样本路径。100000步，t：=8.8小时。这些相同参数的时间函数E[Vt/St]±Std（Vt/St）、E[qt/St]和E[（qt+Vt）/St]的曲线图。图9给出了随机变量ms limt的密度估计（Epanechnikov核，带宽：=0.0193）→∞[（Vt/V）÷（St/S）]，基于由参数（q、V、ν、σ）生成的100000次模拟：=（1、1、0.09、0.15）。对于这些样本路径，凯利赌徒的平均相对增长系数为1.87，即最终财富比同等买入持有投资者多87%。请注意，Kelly准则未对所有样本路径的2.1%执行买入并持有（参见图右半部分提供的渐近CDF）。3总结与结论本文建立了经纪人看涨期权市场的核心动态行为，该市场向股票经纪人提供现金，以便为零售客户提供保证金贷款。我们（自然地）假设市场的需求方是由连续时间的凯利赌徒组成的，他们根据经纪人看涨货币市场中clockLong长期反馈的每一个滴答dt来决定赌注。Garivatis图8：人口统计的300年图E【Vt/St】±Std（Vt/St）、E【qt/St】和E[（qt+Vt）/St]在数量变化下，假设参数（q，V，ν，σ）：=（1，1，0.08，0.2）。以最大化其在【t，t+dt】上的预期持续复合资本增长率。通常，在保证金贷款的完全弹性供应下（参见。

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2022-6-24 05:49:49

凭借Garivatis2019a），凯利赌徒几乎可以肯定地以指数因子击败市场。为了模拟这些老练的投资者对保证金债务的均衡价格所产生的强大的长期反馈效应，我们假设市场的产出相当于一个巨大的现金池，它无弹性地不断地将所有本金和利息再投资。因此，尽管货币市场（qt）的总规模以几何速度增长至完整，但这一供应扩张速度低于市场指数（St）的渐进增长率ν和凯利基金（Vt）的预期复合增长率。根据这一直觉，我们发现相对市场规模（qt/Vt）t≥0是一个鞅（其方差在经纪人看涨期权货币市场中的长期反馈a.Garivatis图9：随机变量的经验分布limt→∞[（Vt/V）÷（St/S）]，基于参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）生成的100000次模拟。Epanechnikov kernelbandwidth：=0.0193；Kelly标准在所有样本路径中的2.1%表现不佳。倾向于）但概率收敛到零；（qt/St）t≥0是一个概率收敛到零的变量。因此，保证金贷款利率是一个次比例（通常预计会增加），其均方收敛于阻塞价格r∞= ν - σ/2，其中σ是股票市场的年度对数波动率。如果货币市场的相对规模变得出乎意料地大（例如，由于股票市场表现不佳），那么保证金贷款利率可能在达到r∞; 我们找到了一条很好的经验法则来限制这种情况发生的可能性（从这里到永远）：概率最多为1- （当前利率÷阻塞价格）。

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2022-6-24 05:49:53

基于微分方程的数值解，我们观察到，该主要值通常在实际值的3%以内。同样，我们得出结论，凯利杠杆率（bt）t≥0是均方收敛到1:1的超鞅；因此，他们非常成功，但不是在均方根！经纪人通知货币市场中的长期反馈A.GarivatisLeverabled investor导致其机会集的质量逐渐下降。这表现在凯利赌徒对具有相同起始资本的买入并持有投资者的绩效相关性的渐近分布中，例如随机变量ms limt→∞[（Vt/V）÷（St/S）]。事实上，当考虑到所有反馈效应时，凯利赌徒不再以指数因子击败市场；他的渐近复合增长率，即ms limt→∞[log（Vt/V）/t]等于股市增长率，ν。已实现货币市场增长率对数（qt/q）/t均方根收敛到r∞.我们证明了杠杆投资者的相对增长因子（Vt/V）÷（St/s）是一个次鞅（总是期望增加）；然而，其极限预期值最多为1+q/V。因此，如果货币市场一开始就与凯利资金持平（q/V：=1），那么凯利赌徒的最终财富预计不会超过同等买入持有投资者的两倍。模拟研究（使用标准普尔500指数的程式化参数值（ν，σ）：=（0.09，0.15）表明，渐进相对增长因子（负倾斜）的平均值为1.87，标准偏差为0.24；Kelly标准在所有（100000）模拟中的97.9%最终击败了市场。

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kedemingshi

2022-6-24 05:49:56

模拟中获得的最大最终相对增长因子为2.13；在一些精选的实验中，赌徒让自己大吃一惊：经验最小最终增长相对值为0.012。祈祷这永远不会发生在你身上。北伊利诺伊大学认可我感谢莱比锡马克斯·普朗克科学数学研究所的Omri Tal博士，感谢他就经纪人电话货币市场中的凯利/索普/盖尔渐进长期反馈理论进行了精辟的交流。A.加里瓦提斯资本增长和竞争性最优交易。强烈推荐Omri的最新论文《重新审视适应性贝塞金：对风险和时间范围的考虑》。披露本论文仅为作者的作品，作者声明自己没有利益冲突；这项工作的资金完全来自他在北伊利诺伊大学的定期学术任命。参考文献[1]Bj"ork，T.，1998年。连续时间套利理论。纽约：牛津大学出版社。[2] 布雷曼，L.，1961年。有利游戏的最佳赌博系统。第四届伯克利数理统计与概率研讨会论文集，第1卷：对统计理论的贡献。加利福尼亚大学的校董们。[3] Calin，O.，2015年。随机微积分的非正式介绍及其应用。新泽西州哈肯萨克：世界科学出版公司。[4] 埃文斯，L.C.，2010年。随机微分方程简介。普罗维登斯：美国数学学会。[5] 加里瓦蒂斯，A.，2019a。事后看来，最佳再平衡规则的准确复制。《衍生品杂志》，26（4），第35-53页。[6] 加里瓦蒂斯，A.，2019b。融资融券定价之谜的两种解决方案。《经济学研究》（73）2，pp.199-207。《经纪人通知货币市场的长期反馈》A.Garivatis【7】Hoel，P.，Port，S.，Stone，C.，1972年。随机过程简介。

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