从引理3.17来看，期望的断言来自Rockafellar[31]中的定理17（取该结果的符号中的φ=ψZand F=FZin）。（ii）由于在假设E′是E的范数对偶的情况下，E上的范数拓扑与E×E′上的双线性形式兼容，因此我们可以利用[31]中定理17在任何兼容拓扑下成立的事实来表示（i）中的相同论点。4“先汇总，然后分配”类型的系统风险度量在本节中，我们将讨论“先汇总，然后分配”类型的系统风险度量及其各自的表示。在本节中，我们确定了可接受的影响图和可接受的接受集A.4.1系统风险度量eρ“先聚合，然后分配”类型的系统风险度量定义如下S.4.1。我们定义了一个映射eρ：X→ [-∞, ∞] 通过设置ρ（X）=inf{m∈ RS（X）+m∈ A} 。与ρ不同的是，不是向系统注入资本以达到可接受的系统风险水平，而是关注所选系统风险指标的最低水平，以确保可接受性。特别是，如果影响函数用货币表示，则eρ（X）可以解释为“累计头寸”S（X）的纾困成本。要全面介绍这类系统性风险度量，请参阅引言中引用的文献。在下文中，我们利用了一个事实，即eρ可以表示为影响图和标准现金加成风险度量ρA:e之间的组成→ [-∞, ∞] 由ρA（X）给出：=inf{m∈ RX+m∈ A} 。下一个结果记录了eρ的关键性质。特别是，与系统风险度量ρ不同的是，我们表明，在我们对影响图和接受集的长期假设下，eρ始终较低。提案4.2。

系统风险度量eρ是凸的，σ（X，X′）-下半连续的，满足ρ（0）≤ 此外，当且仅当eρ（0）>-∞ 当且仅当∩ (-R+6=-R+。证据凸性由成分决定。为了显示下半连续性，请注意ρAisσ（E，E′）-由A的σ（E，E′）-闭度降低半连续性∈ 注意{X∈ 十、eρ（X）≤ r} =秒-1（{U∈ EρA（U）≤ r} ）。根据P位置证明3.2中的论点，我们可以证明上述集合是σ（X，X′）闭的，这提供了所需的下半连续性。为了显示正确性，首先观察eρ（0）≤ 0，因为（0）=0∈ A、 现在可以在命题3.3.4.2 eρ的对偶表示的证明中建立上述等价性。本小节的目的是推导eρ的对偶表示，并将其与ρ的对偶表示进行比较。在这种情况下，可接受性测试在S（X）和可接受集isA上执行。这建议依赖ρAin的对偶表示，以直接的方式实现eρ的期望对偶表示。以下地图是desiredrepresentation的基本组成部分。定义4.3。我们定义了两个映射eα，eα+：X′→ [-∞, +∞] 通过设置α（Z）：=supW∈bar（A），E[W]=1nσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o，Eα+（Z）：=supW∈巴（A）∩（E′）++∪{0}），E[W]=1nσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o.备注4.4。上述映射属于一类映射eαK:X′→ [-∞, +∞] 定义byeαK（Z）：=supW∈K、 E[W]=1nσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o，其中K是条（a）中的凸锥，使得λK+（1- λ） 巴（A） K每λ∈ [0, 1]; 另请参见标记3.10。这将允许我们同时证明eα和eα+的性质。

事实上，我们将考虑的eα和eα+的所有属性都是整个类共享的。在建立所需的对偶表示之前，我们强调了上述映射的一些相关性质，并指出了它们与惩罚函数α和dα+的关系。这里，我们用dom（eα）表示eα的完整性域（eα+）。此外，我们用cl表示拓扑σ（X′，X）的闭包算子。提案4.5。映射eα，eα+：X′→ [-∞, ∞] 满足以下特性（关于α+的语句要求条（A）∩ E′++6=):（i） eα和eα+取区间内的值[-∞, 0].（ii）eα和eα+为凹形。（iii）dom（eα+） dom（eα） cl（dom（eα+） X′+。（iv）α是支配eα的最小正齐次映射，即对于每个Z∈ X′α（Z）=supλ>0eα（λZ）λ。（v） α+是支配eα+的最小正齐次映射，即对于每个Z∈ X′α+（Z）=supλ>0eα+（λZ）λ。证据（i） -（ii）、（iv）-（v）让K 条（A）应为注释4.4中的凸锥。很明显，对于每个Z，αK（Z）=supλ>0eαK（λZ）λ∈ X′。特别是eαK≤ αK。根据位置3.12的证明，eαKtakesvalue为[-∞, 0]. 此外，αKin的凹度证明可以重复该结果以确定eαK的凹度。所需的断言随后取K=bar（A）和K=b ar（A）∩ （E′）++∪ {0}).（iii）可以通过重复命题3.12中相应陈述的证明来证明该主张。我们在下一个结果中记录了宣布的eρ的双重表示。定理4.6。（i） 如果eρ合适，那么eρ（X）=supZ∈X′+{eα（Z）- E[hX，Zi]}对于每个X∈ 十、如果dom（eα），则上确界可以限制为X′++∩ X′++6=.（ii）假设bar（A）∩ E′++6=. 如果eρi s prop r，那么eρ（X）=supZ∈X′+{eα+（Z）- E[hX，Zi]}对于每个X∈ 十、如果dom（eα+），则上确界可以限制为X′++∩ X′++6=.证据

让K 条（A）应为注释4.4中的凸锥。请注意，双重表示法（2.1）适用于yieldsA=\\W∈K{U∈ EE【UW】≥ σA（W）}=\\W∈K、 E[W]=1{U∈ EE【UW】≥ σA（W）}，（4.1），其中我们使用σA的正同质性（以及K E′+。因此，forevery U∈ E我们得到ρA（U）=supW∈K、 E[W]=1{σA（W）- E[UW]}。使用定理3.11证明中引入的符号，我们立即得到ρ（X）=supW∈K、 E[W]=1{σA（W）- E[S（X）W]}=supW∈K、 E[W]=1supZ∈X′+{σA（W）- E【hX，Zi】+（ДW）o（Z）}=supZ∈X′+supW∈K、 E[W]=1{σA（W）- E【hX，Zi】+（ДW）o（Z）}=supZ∈X′+{eαK（Z）- E[hX，Zi]}对于每个X∈ 十、I f，此外，dom（eαK）∩ X′++6=, 然后我们得到ρ（X）=supZ∈X′++{eαK（Z）- E[hX，Zi]}对于每个X∈ 在3.6条的证明中，使用相同的参数来减少上确界的域。现在，假设断言后面接K=bar（A）和K=bar（A）∩（E′）++∪ {0}).备注4.7。（i） 如备注3.7所示，我们强调了定理4.6中的对偶表示与标准Fenchel-Moreau表示之间的联系。我们声称，如果eρ是适当的，那么eρ*（Z） =- usc（eα）(-Z） =- usc（eα+）(-Z） 对于每个Z∈ X′（其中最后一个等式成立，前提是bar（A）∩ E′++6=). 这里，我们用usc（eα）表示eα的σ（X′，X）-上半连续壳（eα+）。要了解这一点，请首先注意eρ（X）=supZ∈X′{eα（Z）- E[hX，Zi]}=supZ∈X′{usc（eα）（Z）- E[hX，Zi]}对于每个X∈ 十、左侧等式成立，因为eα=-∞ 根据命题4.5，在X′＋之外。右侧等式源自Zalinescu【34】中的定理2.3.1。由于usc（eα）是凹的，σ（X′，X）-上半连续的，因此期望的断言是Fenchel-Moreau定理的推论。

eα+的参数是相同的。（ii）上述表示中的对偶元素可以用概率测度的d维向量识别(Ohm, F） 对于P是绝对连续的（或等效的），直到一个归一化向量，它收集了他们的期望。这允许用概率度量表示上述表示。的确，对于每一个w∈ Rd+定义W（P）：={Q∈ Q（P）；如果wi=0，则Qi=P，我∈ {1，…，d}，Qwe（P）=Qe（P）∩ Qw（P），其中我们使用了备注3.7中的符号。那么，如果eρ合适，我们很容易看到eρ（X）=supw∈Rd+，Q∈Qw（P），dQdP∈X′eαwdQdP，wddQddP-dXi=1wiEQi[Xi]对于每X∈ 十、在上述上确界中，我们可以用Qwe（P）代替Qw（P），前提是dom（eα）∩X′++6=.对于eα+而不是eα，同样适用（前提是bar（A））∩ E′++6=).条件dom（eα）∩ X′++6= 需要将上述双重表示中的域限制为严格正的双元素（类似于eα+）。在本节结束时，我们提供了一个有效的条件，以保持这一点；另请参见位置3.8。提案4.8。假设每个i的Xi=E∈ {1，…，d}。此外，假设bar（A）∩E′++6=存在一个∈ (0, ∞) 和b∈ R，即S（X）≤ adXi=1Xi+b每X∈ 十、然后，dom（eα+）∩ X′++6= （更确切地说，dom（eα）∩ X′++6=).证据取W∈ 巴（A）∩ E′++，注意，我们总是可以假设E[W]=1，由棒（A）的圆锥度决定。设置Z=（aW。

，aW）∈ X′++，我们很容易看到eα（Z）≥ eα+（Z）≥ σA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}≥ σA（W）- bE【W】>-∞.这提供了所需的断言。5基于单变量效用函数的风险度量在最后一节中，我们提供了短缺风险度量双重表示的简单证明，参见F¨ollmer and d Schied[19]中的定理4.115，该定理使用一般策略来获得双重表示。为了便于比较，我们将重点放在有界位置上。在整个截面中，我们固定了一个非恒定的、凹的、递增函数u:R→ R、 它被解释为一个标准的冯·诺依曼·摩根斯坦效用函数。We fix u公司∈ 对于某些x，求u（x）>uF∈ R并定义映射ρu:L∞→ [-∞, ∞] 由ρu（X）：=inf{m∈ RE[u（X+m）]≥ u} 。定理5.1。风险测度ρuis凸和σ（L∞, 五十） -下部半连续。此外，ρu（X）=supQ<<P均衡器[-十] +supλ>0λu+EuoλdQdP对于每X∈ L∞.证据众所周知，ρuis凸和σ（L∞, 五十） -美国下半部分。要建立上述表示，请注意，ρuca可被视为“先分配，然后聚合”型系统性风险度量，对应于规范d=1，（X，X′）=（L∞, 五十） ，（E，E′）=（L∞, 五十） ，S（X）=u（X），A={u∈ L∞; E【U】≥ u} 。首先，请注意，对于每个λ，bar（A）=R+，σA（λ）=λuf∈ R+。自bar（A）∩ E′++n为空，我们可以使用α+；见定义3.9。根据命题3.13，α+（Z）=supW∈巴（A）∩E′++σA（W）+EuoZW公司W= supλ>0λu+EuoZλλ= supλ>0λ（u+E[uo（λZ）]）对于每个非零Z∈ X′+。S的表示-定理3.11 yieldsS中的1（A）-1（A）=\\Z∈X′+\\{0}{X∈ 十、E【XZ】≥ α+（Z）}=\\Q<<P十、∈ 十、等式[X]≥ α+dQdP,我们使用dom（α+）的地方 X′+，α+是正齐次的；见提案3.12。

观察ρu（X）=inf{m∈ RX+m∈ S-每X 1（A）}∈ 十、参考文献[1]Aliprantis，Ch.D.，Border，K.C.：《有限维分析：搭便车指南》，Springer（2006）[2]Ararat，C,。，Rudlo Off，B.《系统风险度量的双重表示》，arXiv:1607.03430（2019）[3]Armenti，Y.，Cr'epey，S.，Drapeau，S.，Papapantoleon，A.《多变量短缺风险分配和系统风险》，SIAMJournal on Financial Mathematics，9，90-126（2018）[4]Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Eber，J.M.，Heath，D.《一致的风险度量，数学金融》，9，203-228（1999）[5]Biagini，F。，Fouque，J.P.，Frittelli，M.，Meyer Brandis，T.：《通过接受集对系统风险度量的统一方法》，数学金融，29329-367（2019）[6]Biagini，F.，Fouque，J.，Frittelli，M.，Meyer Brandis，T.：《系统风险度量的公平性》，arX iv:1803.09898（2019）[7]Biagini，S.，Frittelli，M.《关于Namioka-Klee定理的推广和风险度量的Fatou性质》，载于：《最优性与风险：数学金融的现代趋势》，第1-28页，Springer（2009）【8】Burgert，C.，R–uschendorf，L.《投资组合向量的一致风险度量》，保险：Mathem atics and Economics，38289-297（2006）【9】Chen，C.，Iyengar，G.，Moallemi，C.C.《系统风险的公理化方法》，管理科学，591373-1388（2013）[10]D elbaen，F.《一般概率空间上的一致风险度量》，载于：Sandmann，K.，Sch¨onbucher，P.J.（编辑），《金融与随机学进展：纪念Dieter Sondermann的论文》，pp。