基于可接受集的系统性风险度量的对偶表示

2022-6-24 06:01:59

系统性风险度量的双重表示基于接受集Maria ArducadeDepartment of Statistics and Quantitative Methods，University of Milano BicoccaPablo Koch Medina，Cosimo MunariCenter for Finance and Insurance和SwitzerlandDoctober 25，2019年摘要我们基于一般设置中的接受集，建立了系统风险度量的blish双重表示。我们处理“先分配，然后汇总”和“先汇总，然后分配”类型的系统性风险度量。在这两种情况下，我们都详细分析了相应的系统接受集及其支持函数。同样的方法为单变量头寸的基于效用的风险度量的双重重新呈现提供了一个简单且自包含的证明。关键词：系统风险、宏观审慎监管、风险度量、双重代表1简介多元头寸风险度量的研究首先由Burgert和r¨uschendorf【8】、r¨uschendorf【33】、Ekeland和Sch achermayer【15】和Ekeland等人【14】开发，并由Jouini等人【26】、Hamel和Heyde【24】、Hamel等人【25】扩展到设定值案例，Molchanov和Cascos【30】。在本文献中，多元头寸通常被解释为金融资产的（随机）投资组合。近年来，人们对将风险度量理论扩展到系统风险环境有着浓厚的兴趣，在系统风险环境中，多元头寸代表金融机构未来资本头寸（即资产负债净额）的（随机）向量。在此设置中，我们考虑一个金融机构系统，其在固定未来日期的各自资本头寸由随机向量表示=（X。

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2022-6-24 06:02:02

，Xd）。大部分文献假设宏观审慎监管机构规定了“聚集函数”∧：Rd→ Rby是指将系统总结为单个（单变量）聚合位置∧（X）。最简单的聚合函数由∧（x）=Pdi=1xind给出，对应于将整个系统聚合到单个合并资产负债表中。监管机构还规定了一组“可接受”的合计头寸：只要∧（X）属于规定的接受集a，金融系统的系统风险水平就被视为可接受。文献中研究了基于聚合函数和接受集的两类主要系统风险度量。文献的第一部分采用了所谓的“先分配，然后聚合”方法，这是宏观审慎等效于Artzner等人在微观审慎监管背景下引入的基本理念【4】：确保金融系统具有可接受的系统风险水平，宏观审慎监管机构可以要求每个成员机构筹集适当数额的资本。此类需求由向量m=（m，…，md）表示∈ Rd，其中mic对应机构i筹集的资本金额。这导致系统风险度量的形式为ρ（X）=inf（dXi=1mi；m∈ Rd，∧（X+m）∈ A）。质量ρ（X）对应于需要注入金融系统以确保可接受性的总资本的最低金额。Feinstein等人【18】、Armenti等人【3】、Ararat和Ru Dloff等人【2】以及Biagini等人对这种系统性风险度量进行了研究。

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2022-6-24 06:02:06

[5，6]（其中还考虑了总资本要求的分配）。文献的第二个分支提倡“先汇总，然后分配”的方法，并研究ρ（X）=inf{m形式的系统风险度量∈ R∧（X）+m∈ A} 。在这种情况下，数量eρ（X）r表示必须添加到合计头寸以达到可接受程度的最小资本量。与ρ相反，对eρ的操作解释并不简单，因为不清楚每个成员机构应为所需资本总额贡献多少，或者，如果上述风险度量的结果被解释为削减成本，则哪个机构应获得哪个金额。Chen等人【9】、Kromer等人【27】以及Ararat和Rudloff【2】对此类系统性风险度量进行了研究。本说明的主要目的是在一般情况下为上述系统性风险度量建立双重表示，特别强调“先分配，然后汇总”类型的系统性风险度量。通过这样做，我们对文献中存在的二元性结果提供了一个统一的视角。更准确地说，我们考虑一个任意概率空间(Ohm, F、 P）并假设多变量位置属于一个d维随机向量空间X，该空间通过配对（X，Z）7与另一个d维随机向量空间X′具有对偶性→X的dXi=1EP[西子]∈ X和d Z∈ X′。这种设置足够普遍，可以涵盖文献中遇到的所有有趣的示例。Armenti等人[3]和Biagini等人研究了ρ的双重表示。

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2022-6-24 06:02:09

[6] Ararat和Rudloff[2]在基于（多元）效用函数的Orlicz h earts和验收集的设置中，在对验收集只有轻微限制的有界随机变量的设置中。[3]中的策略是应用拉格朗日方法，而[2]中的策略是依赖于eρ的双重表示，这是通过对合成地图使用Fenchel-Moreau方法来解决的。与[6]类似，本注释的出发点是观察ρ可以写成ρ（X）=inf{π（m）；m∈ Rd，X+m∈ Λ-1（A）}其中“验收集”为∧-1（A）和“成本函数”π：Rd→ R由∧给出-1（A）={X∈ 十、∧（X）∈ A} ，π（m）=dXi=1mi。这表明ρ属于Frittelli和Scandolo【20】中引入的“多资产风险度量”，Farkas等人对此进行了深入研究【16】。在∧和A上的适当条件下，这些文献中获得的一般性结果得到了表示ρ（X）=sup（σ（Q，…，Qd）-dXi=1EQi[Xi]；QQd公司<< PdQdP，dQddP∈ X′），其中目标函数由σ（Q，…，Qd）=infX给出∈Λ-1（A）dXi=1EQi[Xi]。mapσ对应于系统验收集∧的（较低）支持函数-1（A）和在双重代表中起着基本作用。本说明的主要技术贡献是对这些对象进行详细分析。特别是，我们致力于从∧和a这两个原语中获得σ的更明确描述。值得注意的是，在系统环境中，接受集∧的紧密性-1（A）不一定意味着ρ的下半连续性，这是ρ接受对偶表示的必要条件。因此，重要的是提供关于∧和A的基本条件，以确保ρ首先是下半连续的。为此，我们依赖Farkas等人的抽象结果。

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2022-6-24 06:02:12

[16] ，从基础接受集的属性中导出风险度量的属性，如下半连续性。特别是，这里获得的接受集的对偶结果为我们分析系统接受集∧奠定了起点-1（A）。另一方面，Chen等人[9]在有限维设置中研究了eρ的对偶表示，Ararat和Rudloff[2]在有界随机向量设置中研究了eρ的对偶表示，Kromer等人[27]在更大程度上研究了eρ的对偶表示。根据这些论文，我们的出发点是观察到eρ可以表示为标准的现金加性风险度量（即与a相关的现金加性风险度量，我们用ρa表示），应用于聚合的单变量位置aseρ（X）=ρa（λ（X））。然而，我们没有计算出地图组成的Fenchel-Moreau表示，而是利用ρAto的标准对偶r表示，以直接的方式导出所需的表示。在这种情况下，确保eρ的下半连续性的条件也更容易计算。最后，为了说明我们基于接受集的二元性方法的便利性，我们提供了一个简单而完备的证据，证明了单变量位置基于效用的风险度量的dual表示，这可以被视为特殊的系统风险度量，其中d=1且∧是冯·纽曼·摩根斯坦效用函数。2设置在本节中，我们回顾概率论和凸分析中必要的术语和符号，并描述我们的设置。对于凸对偶的一般表示，我们参考Aliprantis和Border【1】和Zalinescu【34】。2.1基本符号纵观整个过程，我们确定了一个能力的步伐(Ohm, F、 P）。我们用（关于几乎确定等式的等价类）随机变量的向量空间表示，即。

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2022-6-24 06:02:15

Borel可测函数X：Ohm → R、通常，我们不会明确区分等价类及其任何代表。预测p∈ [1, ∞] 如果p<∞ 如果p=∞.A（非零）线性子空间L 如果它是一个Banach格（关于几乎确定的偏序），那么L称为可容许的∞ L 五十、在这种情况下，我们设置L′：={Z∈ LE[| XZ |]<∞ , 十、∈ 五十} ，其中E表示对P的期望。注意，我们总是有L∞ L′ 五十、示例2.1。容许空间的c类包含Orlicz空间，其中包括文献中引用的标准示例。一个非恒定函数Φ：[0，∞) → [0, ∞] 如果它是凸的、非减量的、在0处连续的且满足Φ（0）=0，则称为Orlicz函数。Φ的凸共轭是函数Φ*: [0, ∞) → [0, ∞] 由Φ给出*（t）：=支持∈[0,∞){st- Φ（s）}。很容易看出Φ*也是Orlicz函数。与ΦisLΦ关联的Orlicz空间：=十、∈ LEΦ|X |λ< ∞ 对于某些λ∈ (0, ∞).相应的Orlicz心脏由hΦ定义：=十、∈ LEΦ|X |λ< ∞ 对于每个λ∈ (0, ∞).这些空间是关于Luxemburg normkXkΦ：=inf的Banach格λ ∈ (0, ∞) ; EΦ|X |λ≤ 1..LΦ的范数对偶不能与Lin-general的子空间识别。然而，HΦ的范数对偶始终可以与LΦ识别*前提是Φ是有限值（否则HΦ={0}）。我们认为Φ满足存在r时的条件∈ (0, ∞) 和k∈ (0, ∞) 使得Φ（2s）<kΦ（s）forevery s∈ [r，∞). 众所周知，如果Φ是, 那么LΦ=HΦ。在非原子环境中，ConverseApplication也适用。每个Lpspace，带p∈ [1, ∞], 可以视为Orlicz空间。的确，对于每个p∈ [1, ∞) 如果我们为每个s设置Φ（s）=splΦ=lp∈ [0, ∞).

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2022-6-24 06:02:18

在这种情况下，卢森堡范数与标准Lpnorm一致，我们得到LΦ=HΦ。此外，我们有LΦ=L∞如果我们定义Φ（s）=0表示s∈ [0，1]和Φ（s）=∞ 否则在这种情况下，卢森堡标准与标准L一致∞范数和我们有HΦ={0}。以下陈述成立；参见Edgar和Sucheston【13】或Meyer Nieberg【29】：（1）L=LΦ可接受，L′=LΦ*;（2）如果Φ为有限值，则允许L=HΦ，在这种情况下，L′=LΦ*;（3） L=如果p∈ [1, ∞], 在这种情况下，L′=Lpp-1（按约定=∞ 和∞∞= 1).修复m∈ N、我们总是考虑s标准内积h·、·i:Rm×Rm→ 由HA定义，bi：=mXi=1aibi。我们用L（Rm）表示所有m维随机向量的向量空间。我们说线性子空间 L（Rm）是可容许的，当Erl=L×······×Lm且容许L，Lm公司五十、注意，作为Banach格的乘积，空间L也是aBanach格。特别地，L上的格运算是逐分量理解的。如上所述，我们定义：=L′×····×L′m。该对（L，L′）具有双线性形式（···）:L×L′→ R由（X | Z）给出：=E【hX，Zi】=mXi=1E【XiZi】。L上的最粗拓扑使得线性泛函X 7→ （X | Z）每Z连续∈ L′由σ（L，L′）表示。同样，L′上的最粗拓扑使得线性泛函Z 7→ （X | Z）每X连续∈ L由σ（L′，L）表示。有了这些拓扑，L和L′是局部凸的top-ological向量空间（由于上述形式是分离的，所以也是Hausdor ff）。以下凸分析的标准注释将在整个注释中使用。对于子集 L（Rm）我们用S+，分别表示S+，S中所有随机向量的集合，其分量几乎肯定是非负的，分别是严格正的。

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kedemingshi

2022-6-24 06:02:21

mapf的完整性领域：1→ [-∞, ∞] 定义为dom（f）：={X∈ Lf（X）∈ R} 。a（nonempty）集合a的（下）支持函数 L是σA:L′的映射→ [-∞, ∞) 定义为σA（Z）：=infX∈AE【hX，Zi】。其完整性域由bar（A）表示，称为势垒锥，即bar（A）：=dom（σA）={Z∈ L′；σA（Z）>-∞}.如果A是σ（L，L′）-闭且凸的，则Hahn-Banach定理产生表示A=\\Z∈L′{X∈ LE【hX，Zi】≥ σA（Z）}=\\Z∈巴（A）{X∈ LE【hX，Zi】≥ σA（Z）}。（2.1）如果A+L，我们说A是单调的+ A、在这种情况下，我们有bar（A） L′+。考虑一个非恒定映射f:L→ (-∞, ∞]. f的凸共轭是映射f*: L′→ (-∞, ∞]给定byf*（Z）：=supX∈L{E[hX，Zi]- f（X）}。Fenchel-Moreau定理指出，如果f是凸的且σ（L，L′）-下半连续，则f（X）=supZ∈L′{E[hX，Zi]- f*（Z） }对于每个X∈ 五十、我们将发现，使用凹对应的凸对偶性很方便。这里，考虑一个非恒定映射g:L→ [-∞, ∞). g的凹共轭是映射go：L′→ [-∞, ∞)定义为Go（Z）：=infX∈L{E[hX，Zi]- g（X）}=-(-g）*(-Z）。因此，Fenchel-Moreau-Th-eorem意味着，如果g是凹的且σ（L，L′）-上半连续，则Theng（X）=infZ∈L′{E[hX，Zi]- go（Z）}每X∈ 五十、集合a的指示器功能 L是映射δA:L→ [0, ∞] 由δA（X）给出：=（0，如果X∈ A.∞ 否则注意，对于每个Z∈ L′，我们有σA（Z）=(- δA）o（Z）=-δ*A(-Z）。2.2金融系统和系统性风险我们考虑的是一个单期经济体，其中在终止日期的不确定性由概率空间建模(Ohm, F、 P）。在这种经济中，我们假设存在一个由d成员机构组成的金融系统（为了完整性，我们还考虑了d=1的情况）。这些d机构的可能终端资本头寸，即资产负债净额，属于容许空间X=X×·····×Xd L（右）。对于每X=（X。

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2022-6-24 06:02:24

，Xd）∈ X随机变量X，XD对应各成员机构的资本头寸。由于X包含所有有界随机向量，空间rd可以自然地视为X的线性曲面。我们用e表示所有分量都等于1的常数随机向量，即：=（1，…，1）∈ Rd.金融系统对系统性风险的影响通过影响图来衡量：X→ 其中E是L的合适容许子空间。因此，对于每个X∈ X，随机变量S（X）被解释为X构成的系统性风险的指标；见备注2.5。定义2.2。如果S满足以下五个性质，我们认为S是可容许的：（S1）区分：S不是常数；（S2）归一化：S（0）=0；（S3）M单调性：S（X）≥ S（Y）表示所有X，Y∈ X使得X≥ Y（S4）凹度：S（λX+（1- λ） Y）≥ λS（X）+（1- λ） S（Y）表示所有X，Y∈ X和λ∈ [0, 1];（S5）半连续性：地图X 7→ E[S（X）W]是σ（X，X′）-每W上半连续的∈ E′+。下一个命题为技术假设（S5）的成立提供了许多充分的条件。回想一下，X上的晶格操作是逐组件执行的。这里，我们使用标准符号表示随机变量序列的极限优势。定义2.3。对于每个序列（Xn），我们说S具有Fatou性质if X和每X∈ XXn号→ X a.s.，supn∈N | Xn |∈ X个==> S（X）≥ lim支持→∞S（Xn）。我们说，如果S（X）=S（min（X，0））对于任何y X，S是剩余不变的∈ 十、提案2.4。假设（S3）和（S4）保持不变。然后，（S5）在下列任何情况下成立：（i）X′iis每i的xi的范数对偶∈ {1，…，d}。（ii）Xi=LΦI和Φ*伊贝（例如，Xi=L∞) 每一个我∈ {1，…，d}和S具有Fatou属性。（iii）S是剩余不变的，具有Fatou性质。证据

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2022-6-24 06:02:27

在整个验证过程中∈ E′+，并定义一个函数ДW:X→ R通过设置ДW（X）：=E[S（X）W]。注意，通过（S3）和（S4）的规定，^1Wis是凹面且不减薄的。假设（i）成立。在这种情况下，我们可以应用Biagini和Frittelli[7]的扩展Namioka-Klee定理，推断出相对于X上的范数拓扑，Wis是上半连续的（实际上是连续的）。由于空间X′通过假设与X的范数对偶重合，因此从Aliprantis和Border[1]中的推论5.99可以看出，νWis也是σ（X，X′）-上半连续的。在继续证明（ii）和（iii）之前，我们进行了一些初步观察。首先，我们注意到，S的Fatou性质意味着相对于阶收敛，νWis顺序上半连续，即支配几乎确定的收敛。实际上，考虑一个序列（Xn） X几乎收敛到某个X∈ X和s等支持∈N | Xn |≤ M代表一些M∈ 十、自| S（Xn）|≤ 最大（| S（M）|，| S）(-M） |）每n∈ N根据（S3），从S的法图性质和法图引理得出≥ Ehlim supn公司→∞S（Xn）Wi≥ lim支持→∞E[S（Xn）W]=直线电机upn→∞^1W（Xn），如所述。其次，Meyer Nieberg（29）中的定理2.6.4告诉我们，对于每个i∈ {1，…，d}，theorder Xi的连续对偶，即关于序收敛连续的线性泛函的空间，与X′i重合。这意味着X的序连续对偶也与X′重合。用X表示~X的阶连续du al。我们通过显示关于阶收敛的上半连续性φww意味着σ（X，X）来建立（S5~n） -上半连续性。假设（ii）成立。如果d=1，则所需的断言来自Delbaen和Owari【11】中的定理4.4（有界情况参见Delbaen【10】中的定理3.2，非原子环境下的Orliczcase参见Gao等人【22】中的定理3.7）。

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2022-6-24 06:02:30

通过使用Leung和Tantrawan的结果，可以将该结果推广到多变量设置中【28】。我们使用他们的符号和术语。首先，请注意常数向量e是X中的严格正元素~n、其次，请注意，根据[29]中的定理2.4.22，所有空间Xi都是单调完全的，根据[28]中的例子3.1，它是一个特殊的模，并且根据[11]中的备注3.5，它们的范数是顺序连续的。这意味着X也是单调完备的，允许一个特殊的模，其模对偶是阶连续的。因此，我们可以应用[28]中的定理3.4得出结论，X满足该论文的性质（P1）。这个性质意味着X th上的everyconcave泛函关于阶收敛是上半连续的，因为我们的νW是自动σ（X，X~n） -上部半连续。这将提供所需的结果。最后，假设（ii i）成立。在这种情况下，函数νWis s urplus不变量在Gao和Munari意义上是不变量的【23】。由于在阶收敛方面，ДWis是凹的和上半连续的，因此我们可以应用[23]中的定理21来推断ДWisσ（X，X~n） -上部半连续。如上所述，这将为用户提供所需的结果。备注2.5。（i）在文献中，影响图通常由聚合函数∧：Rd导出→ Rby设置S（X）=每X∧（X）∈ 十、我们参考导言中引用的文献讨论具体示例。显然，∧的选择限制了空间E的选择，因为，例如，需要确保随机变量∧（X）’是可积的。这通常通过在有界位置的空间中工作或在Orlicz空间中工作来实现，其中Orlicz函数定义为∧。

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2022-6-24 06:02:33

为了避免担心这方面的问题，我们将影响图定义为抽象空间之间的映射。（ii）如果∧被假定为非常数、非减量、凹形，并且满足∧（0）=0，则相应的S完全填充属性（S1）-（S4）。此外，由于∧由凹度自动连续，S自动具有Fatou特性。因此，我们可以使用命题2.4来确保财产（S5）。我们现在假设监管机构通过指定setA确定了系统性风险的可接受水平 E填写验收集：资本头寸为X的金融系统∈ 如果指标S（X）中的系统风险属于定义2.6，则认为X具有可接受的系统风险水平。如果A满足以下性质，我们认为A是可容许的：（A1）判别：S-1（A）是X的非空真子集；（A2）归一化：0∈ A.（A3）单调性：A+E+ A.（A4）凸度：λA+（1- λ） A 每λ为A∈ [0, 1];（A5）封闭性：A是σ（E，E′）封闭的。下一个命题强调了假设（A5）始终满足的各种情况。定义2.7。对于每个序列（Un），我们说A是Fatou闭的永远的你∈ 恩恩→ 美国，supn∈N | Un |∈ E类==> U∈ A、我们说A是定律不变的，如果对于每个U∈ A和Every y V∈ E具有相同的概率分布U我们有V∈ A、此外，如果对于每个U，A是剩余不变的∈ A和每V∈ 这样，min（V，0）=min（U，0），我们有V∈ A、提案2.8。假设（A3）和（A4）保持不变。然后，（A5）在下列任何情况下成立：（i）E′是E的范数对偶，A是范数闭的。（ii）E=LΦ带Φ*存在（例如e=L∞) A是Fatou关闭的。（iii）E=LΦ，带(Ohm, F、 P）非原子且A是定律不变且Fatou闭的。（iv）A是盈余不变的，Fatou c是亏损的。证据

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2022-6-24 06:02:36

根据Aliprantis和Border[1]中的定理5.98（i），期望的断言成立；根据（ii）Delbaen和Owari【11】中的定理4.1（参见bou nded案例中Delbaen【10】中的定理3.2，以及Gao等人【22】中的Orlicz案例中非原子环境中的定理3.7）；C orollary 4.6 inGao等人【21】（iii）项下；根据Gao和Munari【23】中的定理8（iv）。3“先分配，再聚合”型系统风险度量在本节中，我们重点关注“先分配，再聚合”的系统风险度量。在讨论了它们可表示性的一些条件之后，我们建立了一般的对偶表示，并对相应的系统接受集和“惩罚函数”的性质进行了详细的分析。在本节中，我们确定了一个可接受的影响图和一个可接受的接受集A.3.1系统风险度量ρ“先分配，然后汇总”——典型的系统风险度量定义如下（我们采用通常的惯例inf = ∞ ):定义3.1。我们定义了ρ：X图→ [-∞, ∞] 通过设置ρ（X）：=inf（dXi=1mi；m∈ Rd，S（X+m）∈ A）。（3.1）上述地图确定了可分配给成员机构的最低总资本金额，以确保金融系统的系统性风险水平是可接受的。我们首先观察到（3.1）可以重写为ρ（X）=inf{π（m）；m∈ Rd，X+m∈ S-1（A）}，π（m）=dXi=1mi。（3.2）因此，ρ属于Fr ittelli和Scandolo[20]引入的广泛风险度量，Farkas等人[16]对此进行了深入研究。我们以系统的方式利用这一联系。第一个命题收集了“系统接受集”的一些基本性质-1（A）和风险度量ρ。提案3.2。（i）集合S-1（A）是单调的，凸的，σ（X，X′）闭的，并且包含0。（ii）系统风险度量ρ为非递增、凸和满足ρ（0）≤ 0

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2022-6-24 06:02:40

此外，ρsatifis是现金可加性的多变量版本，即ρ（X+m）=ρ（X）-dXi=每X 1英里∈ X和eve ry m∈ Rd证明。（i）很容易证明S-1（A）包含0，并且它是单调和凸的。Toshowσ（X，X′）-紧密度，足以回忆起条（A） E′+，并使用（2.1）获取-1（A）={X∈ 十、S（X）∈ A} ={X∈ 十、E[S（X）W]≥ σA（W），W∈ 巴（A）}。权利要求紧随（S5）之后。（ii）ρ的规定性质很简单；另见Farkas等人[16]中的引理2。3.2ρ的适当性和下半连续为了允许对偶表示，风险度量eρ需要适当且下半连续。我们强调了实现这种情况的一些有效条件。我们从一个简单的性质描述开始，前提是我们已经知道ρ是下半连续的。回想一下，根据定义，如果ρ从未达到该值，则ρ是适当的-∞ 并且在某个时候是确定的。提案3.3。如果ρ是σ（X，X′）-下半连续的，那么ρ是适当的当且仅当ρ（0）>-∞.证据我们知道ρ（0）<∞ 根据提案3.2。因此，上述等价性源自σ（X，X′）-下半连续凸映射的假设值-∞ 不能假设任何固定值；参见Zalinescu[34]中的命题2.2.5。与标准的单变量（现金添加剂）情况相比，S-1（A）并不意味着ρ的下半连续性；参见Farkas等人【16】中的示例1。下一个结果的目的是为ρ为下半连续提供一些有效条件。如果你在文献中经常感到满意，那么后两个条件尤其容易克服。提案3.4。以下陈述成立：（i）假设Ohm 是有限的。如果ρ（0）>-∞, 那么ρ是有限值且连续的。（ii）假设X′iis是xi的范数对偶，对于每个i∈ {1，…，d}。

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2022-6-24 06:02:42

如果ρ为有限值，则ρ为σ（X，X′）-下半连续。（iii）假设X′iis是xi的范数对偶，对于每个i∈ {1，…，d}。如果S-1（A）在范数拓扑中具有非空内部且ρ（0）>-∞, 然后ρ是有限值，σ（X，X′）是下半连续的。（iv）设置M：=m级∈ Rd；Pdi=1mi=0. 如果S-1（A）∩ M={0}，则ρ是正确的，σ（X，X′）是低连续的。（v）如果A∩ R-= {0}和S（m）∈ (-∞, 0）对于每非零m∈ M、那么ρ是真的，σ（X，X′）是下半连续的。证据（i）自Ohm 是有限的，e是X+的内点。然后，Farkas等人[16]中的命题1给出了期望的结果。（ii）根据Biagini和Frittelli[7]中的扩展Namioka-Klee定理，ρ相对于范数拓扑是下半连续的（实际上是连续的）。那么，根据Aliprantis和Border[1]中的推论y 5.99，ρ相对于σ（X，X′）也是下半连续的。（iii）注意e是X的严格正元素，即对于每个Z∈ X′+\\{0}我们有e[he，Zi]=dXi=1E[Zi]>0。[16]中的命题2意味着ρ是有限值，因此可以应用（ii）。（iv）每X∈ 不难证明ρ（X）=infnr∈ RX+rde∈ S-1（A）+Mo；参见[16]中的引理3。然后，从命题3.2得出-1（A）+米-rde公司 {X∈ 十、ρ（X）≤ r} 氯S-1（A）+米-rde公司对于每个r∈ R、其中cl表示关于σ（X，X′）的闭包算子。为了建立所需的下半连续性，我们证明了-1（A）+Misσ（X，X′）-闭合。为此，回想一下提案3.2-1（A）是凸的，σ（X，X′）是闭的。此外，Mis具有有限维向量空间和-1（A）∩M={0}。Dieudonn\'e[12]中的封闭性标准现在意味着-1（A）+Misσ（X，X′）-闭合。性能遵循命题3.3。（v）让m∈ M、根据假设，我们有S（M）∈ A当且仅当m=0时。

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2022-6-24 06:02:45

这就产生了一个新的问题-1（A）∩M={0}，所需语句紧跟在第（iv）点之后。3.3ρ的双重表示我们已经提到，鉴于（3.2），风险度量ρ属于Farkas等人研究的风险度量类别。该文建立的一般结果可用于推导ρ的对偶表示。这也源于Fritelli和Scandolo中的一般双重表示[20]。定义3.5。我们用C表示由C定义的X′＋的凸集：={Z∈ X′+；E[Z]=···=E[Zd]=1}。定理3.6。如果ρ是适当的且σ（X，X′）是下半连续的，则b ar（S-1（A））∩ C 6= ρ（X）=supZ∈C{σS-1（A）（Z）- E[hX，Zi]}对于每个X∈ 十、上限可以限制为C∩ X′++提供了-1（A））∩ C∩ X′++6=.证据注意，方程式（3.2）中的成本函数π定义在Rd上十、很容易看出，forevery Z∈ X′，函数X 7→ E[hX，Zi]是π到X的正扩张，当且仅当Z是C。由于ρ是真的且σ（X，X′）是下半连续的，因此从[16]中的命题6可以看出，S的势垒锥-1（A）包含成本泛函π到X的正线性扩展，即我们有bar（S-1（A））∩ C 6=. d esir ed表示现在是[16]中定理3的结果。现在，假设我们找到Z*∈ 巴（S）-1（A））∩ C∩ X′++，取任意元素Z∈ 巴（S）-1（A））∩ C、对于everyX∈ X和每个λ∈ （0，1）我们有λZ*+ (1 - λ） Z∈ C和λ（σS-1（A）（Z）*) - E[hX，Z*i] ）+（1- λ）（σS-1（A）（Z）- E【hX，Zi】）≤ supZ′∈C∩X′++{σS-1（A）（Z′）- E[hX，Z′i]}通过σS的凹度-1（A）。让λ趋于0，并在Z上取一个上确界，得到ρ（X）≤ supZ′∈C∩X′++{σS-1（A）（Z′）- E[hX，Z′i]}。相反的不平等是显而易见的。这确立了最后一个断言，并得出了证明结论。备注3.7。

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2022-6-24 06:02:48

（i）我们强调了定理3.6中的对偶表示与标准Fenchel-Moreau表示之间的联系；另见Farkas等人【16】中的备注17。要查看它，请注意地图-σS-1（A）(-·) + δC(-·) 是凸的且下半连续的，如果ρ是适当的且σ（X，X′）-下半连续的，则满足ρ（X）=supZ∈X′{E[hX，Zi]+σS-1（A）(-Z）- δC(-Z） }对于每个X∈ X根据定理3.6。根据Fenchel-Moreau定理，对于每个Z∈ X′ρ*（Z） =-σS-1（A）(-Z） +δC(-Z） =（supX∈S-1（A）E[hX，Zi]如果Z∈ -C∞ 否则（ii）C中的对偶元素可以自然地与(Ohm, F）与P绝对连续，或者，如果它们具有严格的正分量，则与P相等。这允许根据概率度量重新表述上述对偶表示。更具体地说，分别用Q（P）和Qe（P）表示概率测度s的所有d维向量集(Ohm, F）这是绝对连续的，从re spect到P，分别相当于P。Forevery Q=（Q，…，Qd）∈ Q（P）和每X∈ X我们设置了QDP：=dQidP，dQddP, 等式[X]：=E十、 dQdP=dXi=1EQi[Xi]。此外，对于每个Q∈ Q（P）我们定义σ（Q）：=σS-1（A）dQdP= infX公司∈S-1（A）等式【X】。如果ρ正确且σ（X，X′）-下半连续，则对于每个X∈ 我们可以写ρ（X）=supQ∈Q（P），dQdP∈X′{σ（Q）- 等式【X】}。在上述上确界中，我们可以用Qe（P）代替Q（P），前提是bar（S-1（A））∩ C∩ X′++6=.条件栏-1（A））∩ C∩ X′++6= 必须能够将上述对偶表示中的域限制为严格正的对偶元素。在凸分析术语中，这个条件要求凸集-1（A）允许一个属于特殊集合C的严格正支撑泛函。

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2022-6-24 06:02:51

在下一个命题中，我们表明，如果接受集A由严格正函数支持，并且影响图S由合并资本头寸的严格递增函数限定，则这一点始终成立。提案3.8。假设每个i的Xi=E∈ {1，…，d}。此外，假设bar（A）∩E′++6=存在一个∈ (0, ∞) 和b∈ R，即S（X）≤ adXi=1Xi+b每X∈ 十、然后，bar（S-1（A））∩ C∩ X′++6=.证据取W∈ 巴（A）∩ E′++，设置Z=（aW，…，aW）∈ C∩ X′++。那么，我们很容易看到σS-1（A）（Z）=infX∈S-1（A）E【hX，Zi】≥ infX公司∈S-1（A）E[（S（X））- b） W]≥ σA（W）- bE【W】>-∞.这提供了所需的断言。3.4系统验收集的特征-1（A）通过“系统验收集”的支持功能-1（A），定理3.6中系统风险度量ρ的双重表示强调了对两个基本基础要素的依赖：影响图S和接受集A。本小节的目的是通过使用与支持函数σS相关（但不同）的“惩罚函数”来提供系统接受集的双重描述-1（A）并调查这些m ap的主要特性。我们的分析基于以下定义。定义3.9。我们定义了两个映射α，α+：X′→ [-∞, +∞] 通过设置α（Z）：=supW∈bar（A）nσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o，α+（Z）：=supW∈巴（A）∩（E′）++∪{0}）nσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o.备注3.10。（i）很容易看出α和α+通常是不同的。例如，如果每i的d>1且xi=E∈ {1, . . .

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2022-6-24 06:02:54

，d}，我们为每个X设置S（X）=Pdi=1xi∈ X和A=E+，那么我们有α=-δD6=-δD∩（X′）++∪{0}）=α+其中D={Z∈ X′+；Z=···=Zd}。（ii）上述贴图属于贴图类αK:X′→ [-∞, +∞] 由αK（Z）定义：=supW∈KnσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o，其中K是条（a）中的凸锥，使得λK+（1-λ）巴（A） K每λ∈ [0, 1]. 这将允许我们同时证明α和α+的性质。事实上，我们将考虑整个类共享α和α+的所有性质。下一个定理记录了公布的系统接受集的对偶表示，并说明了上述映射为何是自然的“惩罚函数”。定理3.11。系统验收集-1（A）可表示为asS-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ α（Z）}。If bar（A）∩ E′++6=, 然后S-1（A）也可以表示为asS-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ α+（Z）}。证据让K 条（A）应为注释3.10中的凸锥。注意，通过σA的凹度，我们可以等效地重写应用于asA=\\W的表示（2.1）∈K{U∈ EE[U W]≥ σA（W）}。现在，对于每个W∈ K E′＋我们考虑函数νW:X→ 定义单位：ДW（X）：=E【S（X）W】。正如命题2.4的证明中所述，函数νWis凹于（S3）和（S4），σ（X，X′）上半连续于（S5）。因此，根据Fenchel-Moreau定理，νW（X）=infZ∈X′{E[hX，Zi]- （νW）o（Z）}每X∈ 十、因此，我们获得-1（A）={X∈ 十、S（X）∈ A} ={X∈ 十、E[S（X）W]≥ σA（W），W∈ K} ={X∈ 十、E【hX，Zi】- （^1W）o（Z）≥ σA（W），W∈ KZ∈ X′}=\\Z∈X′nX∈ 十、E【hX，Zi】≥ supW公司∈K{σA（W）+（ДW）o（Z）}o=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ αK（Z）}。当应用于K=bar（A）和K=bar（A）时，这将提供所需的表示∩ （E′）++∪ {0}).下一个命题收集了映射α和α+的一些性质，并显示了它们之间的关系。这里，我们用dom（α）表示α的完整性域（α+）。

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2022-6-24 06:02:57

此外，我们用CLS表示关于拓扑σ（X′，X）的闭包算子。提案3.12。映射α，α+：X′→ [-∞, ∞] 满足以下特性（关于α+的陈述要求条（A）∩ E′++6=):（i） α和α+取区间内的值[-∞, 0].（ii）α和α+为凹形且正均一。（iii）α+≤ α在dom（α+）上相等。（iv）dom（α+） dom（α） cl（dom（α+） X′+。证据在整个证明过程中，我们确定了凸锥K 条（A）如备注3.10所示。所需的断言之后将取K=bar（A）和K=bar（A）∩ （E′）++∪ {0}).（i）系统接受集的表示-1（A）在定理3.11的证明中建立，得到αK（Z）≤ σS-1（A）（Z）≤ 每Z为0∈ X′。（ii）为了显示αKis凹面，设置为所有Z∈ X′和W∈ E′Φ（Z，W）：=infX∈X{σA（W）+E[hX，Zi]- E[S（X）W]}。作为在Z和W中明显联合凹的函数的参数X的上限，我们认为Φ本身是j点凹的。因为αK（Z）=supW∈KΦ（Z，W）每Z∈ X′，我们推断αKis是凹的。为了证明αK是正齐次的，首先注意0总是属于K，因此αK（0）≥ 与点（i）一起，这意味着αK（0）=0。最后，对于Z∈ X′和λ∈ (0, ∞) 我们有αK（λZ）=supW∈KnσA（W）+infX∈X{λE[hX，Zi]- E[S（X）W]}o=λsupW∈KσAλW+ infX公司∈十、E【hX，Zi】- ES（X）λW= λsupW∈KnσA（W）+infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}o=λαK（Z），其中我们使用K是一个圆锥体。这表明αKis是正齐次的。（iii）很明显α+≤ α. 要显示dom（α+）上的α+=α，请取Z∈ dom（α+），注意α（Z）=supW∈钢筋（A）Φ（Z，W），α+（Z）=supW∈巴（A）∩E′++Φ（Z，W）。取W*∈ 巴（A）∩ E′++，使得Φ（Z，W*) 是有限的。对于每个W∈ 棒（A）组Wλ=λW+（1- λ） W*对于λ∈ [0, 1).

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2022-6-24 06:03:00

注意（Wλ）巴（A）∩ E′++，所以α+（Z）≥ Φ（Z，Wλ）≥ λΦ（Z，W）+（1- λ） Φ（Z，W*)λ↑1.--→ Φ（Z，W）。在W上取上确界可传递α+（Z）≥ α（Z）。（iv）注意dom（α+） dom（α）按点（iii）计算。自α起≤ σS-1（A）正如第（i）点所证明的，我们还有（α）巴（S）-1（A）） X′+。由于X′＋是σ（X′，X）-闭合的，所以dom（α）的形式仍然是s cl（dom（α+）。为此，让Z∈ dom（α），注意Φ（Z，W）对于某些W必须是有限的∈ 巴（A）。塔克斯*∈ dom（α+）与W*∈ 巴（A）∩ E′++，使得Φ（Z*, W*) 是有限的。然后，对于每个λ∈ [0，1]我们有α+（λZ+（1- λ） Z*) ≥ Φ（λZ+（1- λ） Z*, λW+（1- λ） W*) ≥ λΦ（Z，W）+（1- λ） Φ（Z*, W*) > -∞通过Φ的节理凸度。声明在s之后，让λ↑ 如备注2.5所述，S由∧诱导的情况下，大部分文献集中在冲击函数基于聚合函数∧：Rd的情况下→ R、本小节的最后一部分致力于提供这种情况下α和α+的等效公式。我们关注正锥X′+，因为这两个映射在其他地方都取不定值。为了便于记法，对于每个Z∈ X′+we集+（Z）：=d[i=1{Zi>0}∈ F、提案3.13。假设X对于特征函数的乘法是闭合的，即对于每个X∈ X和E∈ F我们有（EX，…，EXd）∈ 十、此外，考虑一个非常数、非减量的凹函数∧：Rd→ R满足∧（0）=0，并假设S（X）=∧（X）对于everyX∈ 十、然后，以下语句适用于每个非零Z∈ X′+：（i）我们有bar（A）∩ {W∈ E′+；E+（Z）}6上的W>0= 和α（Z）=supW∈条形图（A），E+（Z）上的W>0σA（W）+E{W>0}∧oZW公司W.（ii）如果bar（A）∩ E′++6=, 然后α+（Z）=supW∈巴（A）∩E′++σA（W）+EΛoZW公司W在这两种情况下，比率都是逐组件理解的。证据让K bar（A）为注释3.10中的凸锥，fix为非零元素Z∈ X′+。

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2022-6-24 06:03:03

根据Ararat和Rudloff【2】的指示，我们引用Rockafellar和Wets【32】中的定理14.60来获取INFX∈X{E[hX，Zi]- E[λ（X）W]}=Ehinfx∈Rd{xZ- ∧（x）W}i（3.3）每W∈ K（该结果要求X对于特征函数的乘法是闭合的）。回想一下K E′+，注意，对于每个W∈ K我们有INFX∈Rd{xZ- ∧（x）W}=ΛoZW公司W在{W>0}，0在{W=0}∩ （E+（Z））c，-∞ 在{W=0}上∩ E+（Z）。（3.4）根据αKand（3.3）的定义，αK（Z）=supW∈KnσA（W）+Ehinfx∈Rd{xZ- ∧（x）W}io。很明显，没有W∈ 带P（{W=0}）的条（A）∩ E+（Z））>0有助于上述上确界，因此αK（Z）=supW∈K、 E+（Z）nσA（W）+Ehinfx上的W>0∈Rd{xZ- ∧（x）W}io=supW∈K、 E+（Z）nσA（W）+Eh{W>0}infx上的W>0∈Rd{xZ- ∧（x）W}io=supW∈K、 E+（Z）nσA（W）+Eh{W>0}∧上的W>0oZW公司Wio，我们在最后一个等式中使用了（3.4）。d esir-ed断言后面接K=bar（A）和K=bar（A）∩ （E′）++∪ {0}).3.5支持函数σS的表征-1（A）正如我们已经注意到的，定理3.6中的对偶表示依赖于影响图和接受集A，通过系统接受集S的支持函数-1（A）。本小节的目的是提供依赖于“惩罚函数”α和α+的支持函数的等效描述。这是前一小节结果的直接结果。这里，我们用usc（α）表示α的σ（X′，X）-上半连续壳，即控制α的最小σ（X′，X）-上半连续映射（类似于α+）。定理3.14。支持函数σS-1（A）可表示为σS-1（A）=usc（α）。If bar（A）∩ E′++6=, 然后σS-1（A）也可以表示为σS-1（A）=usc（α+）。证据让K 条（A）应为注释3.10中的凸锥。在定理3.11的证明中，我们建立了-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ αK（Z）}。（3.5）这意味着αK≤ σS-1（A）。

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2022-6-24 06:03:06

它来自σS的σ（X′，X）-上半连续性-1（A）我们也有usc（αK）≤ σS-1（A）。特别是，usc（αK）n取∞. 此外，注意USC（αK）（0）≥ αK（0）=0。因此，Zalinescu[34]中的命题2.2.7告诉我们，usc（αK）继承了αK，并具有正同质性。请注意，在（3.5）中，αkc可以被usc（αK）取代。因为只有σ（X′，X）-上半连续映射σ：X′→ [-∞, ∞) 这是凹面、正均质性和满意度-1（A）=\\Z∈X′{X∈ 十、E【hX，Zi】≥ σ（Z）}正是S的支持函数-1（A），参见Aliprantis和Border[1]中的定理7.51，我们得出结论usc（αK）=σS-1（A）亩持有量。所需的断言后面是K=bar（A）和K=bar（A）∩ （E′）++∪ {0}).很自然，我们会问，在定理3.14中取上半连续壳是否是多余的，因为α和/或α+首先是上半连续的，因此与s支持函数σs重合-1（A）。如以下示例所示，答案通常是否定的。示例3.15。让(Ohm, F、 P）是非原子的，考虑（X，X′）=（L）给出的对∞（Rd），L（Rd））和（E，E′）=（L∞（R），L（R））。固定λ∈ （0，1）和每个U∈ L（R）确定风险值和预期短缺水平λ处的U，由Varλ（U）：=inf{m∈ RP（U+m<0）≤ λ} ，ESλ（U）：=λZλVaRu（U）du。定义：X→ E和A E按设置（X）=dXi=1min（Xi，0），A={U∈ EESλ（U）≤ 0}.很快就会看到S-1（A）=X+，因此σS-1（A）=-δX′+=-δL+（Rd）。要确定α，取任意Z∈ X′+，回想一下F¨ollmer和Schied[19]中的定理4.52，σA=-δbar（A），bar（A）=W∈ E′+；W≤λE【W】.因此，我们推断α（Z）=supW∈E′+，W≤E[W]λinfX∈XE“dXi=1（西子- min（Xi，0）W）#=supW∈E′+，W≤E[W]λinfX∈X+E“dXi=1Xi（W- Zi）#。现在，如果Zjis对于某些j没有界∈ {1, . . .

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kedemingshi

2022-6-24 06:03:09

，d}，然后P（W- Zj<0）>0，每W∈ 条形图（A）和infx∈X+E“dXi=1Xi（W- Zi）#≤ infn公司∈NE[n{W-Zj<0}（W- Zj）]=-∞.在这种情况下，我们有α（Z）=-∞. 否则，如果Z有界，则设置W=maxi∈{1，…，d}kZik∞∈ 条形图（A）并观察0≥ α（Z）≥ infX公司∈X+E“dXi=1Xi（W- Zi）#=0。总之，我们有α=-δX+=-δL∞+（Rd）。自L起∞（R） 6=L（R）当基本概率空间是非原子的时，我们得出σS-1（A）6=α。同样的结论也适用于α+（注意，bar（A）∩ E′++6=). 这是因为，根据命题3.12，我们总是有α+≤ α . 或者，我们可以重复上述论点，并在我们的情况下发现α+=α。备注3.16。通过将定理3.6中的对偶表示与σS的表示相结合-1（A）在定理3.14中得到，我们看到ρ（X）=supZ∈C{usc（α）（Z）- E[hX，Zi]}=supZ∈X′{usc（α）（Z）- δC（Z）- E[hX，Zi]}（3.6）对于每个X∈ 十、如果等式σS-1（A）=α保持不变，那么我们可以将上半连续壳放在表示式（3.6）中，得到ρ（X）=supZ∈C{α（Z）- E[hX，Zi]}=su-pZ∈X′{α（Z）- δC（Z）- E[hX，Zi]}（3.7）对于每个X∈ 十、人们可能想知道，即使等式σS-1（A）=α不成立。注意usc（α）- δCis凹和σ（X′，X）-上半连续和α- δCis凹面。因此，“简化”表示法适用于且仅适用于ifusc（α- δC）=usc（α）- δC。α+而不是α也适用（前提是bar（A）∩ E′++6=). 在没有对S和A进行额外假设的情况下，这个等式是否成立尚不清楚，因为一般来说，不可能从上部半连续船体中取出指示器功能。例如，考虑以下简单情况：Ohm = {ω} d=2。在这种情况下，我们有标识（X，X′）=（R，R）。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:03:12

考虑凹正齐次函数f和由f=-δD，D={z∈ R0≤ z<z}∪ {（0，0）}，C={z∈ Rz=z=1}={（1，1）}。那么，很容易看出usc（f- δC）=-δ6= -δ{（1,1）}=usc（f）- δC.3.6恒等式σS的条件-1（A）=αto hold我们从定理3.14知道，系统接受集的支持函数-1（A）总是包含惩罚函数α的上半壳。然而，如例3.15所示，在一些简单的情况下，映射α不能是上半连续的，因此等式σS-1（A）=α不成立。在本小节中，我们建立了各种有效的条件来保持这种平等。显然，人们也可以问σS-1（A）=α+，这将自动执行α的语句。虽然很容易找到适用的例子，但本节中的任何条件都不适用于α+。作为第一步，我们强调所需的等式可以用一个合适的极大极小问题等价地表示。引理3.17。让Z∈ X′，并定义映射K:X×E′→ [-∞, ∞] 通过设置kz（X，W）：=σA（W）+E[hX，Zi]- E[S（X）W]。以下陈述是等效的：（a）σS-1（A）=α。（b） α是σ（X′，X）-上半连续的。（c）对于每个Z∈ X′我们有INFX∈XsupW公司∈E′KZ（X，W）=supW∈E′infX∈XKZ（X，W）。证据定理3.14明确了（a）和（b）之间的等价性。与（c）等价，fix Z∈ X′，注意α（Z）=supW∈E′infX∈XKZ（X，W）由α定义。

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2022-6-24 06:03:15

还有待证明σS-1（A）（Z）=infX∈XsupW公司∈E′KZ（X，W）。考虑辅助功能fZ:X→ (-∞, ∞] 定义为Fz（X）：=E【hX，Zi】+δS-1（A）（X）和FZ:X×E→ (-∞, ∞] 定义为Fz（X，U）：=E[hX，Zi]+δA-S（X）（U）。请注意，对于每个X∈ X映射FZ（X，·）是凸的，下半连续且满足（FZ（X，·））*（W）=supU∈E{E[UW]- FZ（X，U）}=supU∈E、 U+S（X）∈A{E[UW]- E[hX，Zi]}=supV∈E{E[（V- S（X））W]- E【hX，Zi】}=-σA(-W）- E[hX，Zi]+E[S（X）(-W）]=-KZ（X，-W）对于每个W∈ E′。作为FZ（X，0）=每X的FZ（X）∈ X，我们可以应用Fenchel-Moreau得到σS-1（A）（Z）=infX∈XfZ（X）=infX∈XsupW公司∈E′{E[0W]- （FZ（X，·））*（W）}=infX∈XsupW公司∈E′KZ（X，W）。证据到此结束。前面的引理是这样的，对于每个Z∈ X′，恒等式σS-1（A）（Z）=α（Z）等价于函数KZ存在鞍值。不幸的是，标准极大极小定理，见。g、 Fan【17】，依赖于在我们的设置中不成立的紧凑性假设。本小节的其余部分将致力于展示一系列情况，其中恒等式有解，或者等效地，上述极大极小问题有解。线性案例我们首先在简单案例中证明所需的等式，其中影响图由所有金融机构的汇总或合并资本头寸给出。在这种情况下，对验收集没有限制。提案3.18。假设每个i的Xi=E f∈ {1，…，d}。如果S（X）=Pdi=1xi，每X∈ X，则α=σS-1（A）。证据首先，我们证明了对于每个Z∈ X′+我们有σS-1（A）（Z）=（σA（Z），如果Z=···=Zd，-∞ 否则要看到这一点，首先假设P（Zi>Zj）>0，对于一些不同的i，j∈ {1, . . .

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2022-6-24 06:03:18

，d}和f或每n∈ N定义随机向量Xn∈ X byXnk=-n{Zi>Zj}如果k=i，n{Zi>Zj}如果k=j，否则为0。因为S（Xn）=0∈ A代表每n∈ N、我们显然有σS-1（A）（Z）≤ infn公司∈NE【hXn，Zi】=单位：fn∈NnE[{Zi>Zj}（Zj- Zi）]=-∞.接下来，假设Z=···=zd，注意，在这种情况下，我们有σS-1（A）（Z）=infX∈S-1（A）E[S（X）Z]=σA（Z）。这证明了上述说法。现在，对于每个Z∈ X′+注意α（Z）=supW∈bar（A）（σA（W）+infX∈XE“dXi=1Xi（Zi- W）#）=（σA（Z），如果Z=···=Zd∈ 巴（A），-∞ 否则这将产生所需的断言。二次曲线情形接下来，我们处理S是正齐次的，A是圆锥的情形。在这种情况下，我们证明α是由合适的指标函数给出的，并为σS之间的质量提供了一个通用的有效条件-1（A）和α。在稍后的阶段，我们将此一般条件应用于各种具体情况。引理3.19。假设S是正齐次的，A是圆锥。那么，我们有α=-δDforD：={Z∈ X′+；W∈ 巴（A）：E【hX，Zi】≥ E[S（X）W]，十、∈ X}。证据很明显，对于每个Z∈ D存在WZ∈ 条（A）使∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）WZ]}=E[h0，Zi]- E[S（0）WZ]=0。因此，对于每个Z∈ D我们有0个≥ α（Z）≥ σA（WZ）+0=0，表示α（Z）=0。现在，fixz∈ X′\\D，并观察到∈ 条形图（A），我们发现XW∈ X使得E【hXW，Zi】<E【S（XW）W】。然后，infX∈X{E[hX，Zi]- E[S（X）W]}≤ infn公司∈N{E[hnXW，Zi]- E[S（nXW）W]}=infn∈N{N（E[hXW，Zi]- E[S（XW）W]）}=-∞.这意味着α（Z）=-∞ 并得出结论。引理3.20。假设S是正齐次的，A是圆锥。此外，假设S（e）∈R+\\{0}和该条（A）∩ {W∈ L（R）；千瓦k≤ 1} 是σ（E′，E）-紧的。那么，σS-1（A）=α。证据回想一下σS-1（A）=α成立的充要条件是α是σ（X′，X）-上半连续的。因此，根据Emma 3.19，可以证明D是σ（X′，X）-闭合的。

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