系统性风险：条件失真风险度量

2022-6-14 03:37:16

该风险资本的目的是使金融机构（如保险公司或银行）所承担的财务状况所带来的风险从审慎监管角度来看是可以接受的。风险度量的突出例子是风险价值（VaR）和预期缺口（ES）。事实上，随着巴塞尔银行资本协议和欧洲保险公司偿付能力监管等金融监管框架在国际上的采用，VaR已成为金融机构风险的主要衡量标准。自上世纪90年代首次采用以来，一个活跃的研究领域分析了VaR（以及后来的ES）吸引人和令人震惊的特性，并开发了新的风险度量替代理论。这些理论建立在精算数学和决策理论的丰富文献基础上，如今已经达到了数学和经济学的高度成熟。在过去十年中，我们目睹了在一个高度互联的金融经济网络中，在国际甚至全球范围内发生了几起明显的负面经济事件传播事件。部分由动态反馈关系引起的以随机相互依赖形式存在的风险之间的相互作用，应成为定量风险分析的中心问题；seeDenuit et al.（2005）、Embrechts et al.（2005）、Kaas et al.（200 9）、Laeven（2009）和Goovaerts et al.（2011）在VaR和ES下的风险聚合背景下。

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2022-6-14 03:37:19

自2008/09年全球金融危机以来，越来越多地采用风险度量，而不仅仅是对边际风险或总投资组合风险进行微观审慎评估，但也要评估系统性风险的形式：从宏观审慎的角度来看，我们深知一个实体的失败或损失会传染给其他实体，甚至整个金融系统的系统性风险。事实上，竞争经济中复杂的金融机构系统导致了不可否认的相互关联。这种互联性可能会导致系统的一部分崩溃，这是由于单个玩家的失败导致的传染性中断的结果。所以，单个参与者的失败所带来的潜在威胁可能会对系统和整体经济的安全和稳定产生深远影响。在文献中，几篇论文提出了不同的条件风险（共同风险）度量和风险贡献度量，以评估一组金融机构产生的系统性风险及其相互作用；参见Gourieroux和Monfort（2013）、Girardi和Ergün（2013）、Adrian和Brunnermeier（2016）、Brownlees和Engle（2016）、Acharya等人（2017），以及其中的参考文献。Adrian和Brunnermeier（2016）分析，作为系统性风险的一个简单衡量指标，预期短期收益率也被称为尾部风险值（TVaR）和平均风险值（AVaR）；明确定义见定义2.4。条件风险值（CoVaR，见定义2.6）。它被定义为一个特定金融机构的VaR，以另一个金融机构特定事件的发生为条件。财务报表前的“Co”是指“有条件的”（或“Co移动”），并强调这种风险度量的系统性。从某种意义上说，CoVaR提供了溢出效应的衡量标准。

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大多数88

2022-6-14 03:37:22

在相关文献中，Mainik和Schaanning（2014）介绍了条件预期短缺（CoES），而Charya等人（2017）提出了边际预期短缺（MES）；参见定义2.7和2.8。对于给定的此类CHCO风险度量选择，相关风险贡献度量评估一个组件的压力情景如何对另一个组件或整个系统产生增量影响。风险贡献措施示例包括CoVaR（定义2.9）和COE（定义2.10）可在吉拉迪和埃尔根（2013）、梅尼克和夏宁（2014）、安达德里安和布伦内梅耶（2016）中找到。Kleinow et al.（2017）利用2005-201年间美国金融机构的数据，比较了几种常用的系统性风险指标，包括CoVaR和MES。他们表明，替代计量方法对系统性风险的估计非常不同。特别是，不同的系统风险指标可能会导致对不同类型金融机构的风险进行有针对性的评估。正如Minik和Schaanning（201 4）所述，“……系统风险指标的相关性一致性，或者说相关性一致性，是一个需要进一步研究的新问题领域……关于功能的一般特征或代表性的问题……目前尚待解决。”在比较这些共同风险度量和风险贡献度量的背景下，bySordo et al.（2018）发表了一篇有趣的论文，为随机排序两个随机向量的CoVaR、COE、，CoVaR，以及CoES，其中，在某些正相关假设下，使用边缘的常规随机顺序表示条件。

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nandehutu2022

2022-6-14 03:37:25

此外，Fa ng和Li（2018）研究了在上述共同风险度量和风险贡献度量下，边际分布和依赖结构如何影响成对风险之间的相互作用。众所周知，VaR和ES是作为两种特殊情况出现在变动风险度量的r ich类别中的（Yaari，1987；Denuit et al.，2005，2006；Goovaerts et al.，2010；F"ollmer and Schied，2011）。失真风险度量满足几个吸引人的特性（事实上是特征化的），包括单调性、平移不变性、共单调可加性和正同质性。此外，在任何畸变函数下，畸变风险度量与通常的随机顺序（即一阶随机优势）一致，在任何凹畸变函数下，与增加的凸顺序（即止损顺序）一致。此外，凹形失真风险度量作为法律不变凸形风险度量的构建块自然出现（见第4章inF"ollmer和Schied，2011）。本文旨在通过扭曲函数介绍条件风险度量和风险贡献度量的一般和唯一类别。这会导致条件失真（C oD）风险测量和失真风险共同分担(CoD）措施。我们分析了这些新系统风险度量的性质并给出了它们的表示。我们根据边缘、依赖结构、扭曲函数和阈值分位数之间的典型随机顺序（例如，一阶随机优势、增加的凹/凸顺序、分散顺序和过剩财富顺序），通过提出的系统风险度量，建立了两个二元随机向量排序的充分条件。还应调查成对风险之间的相互作用。Inamik和Schaanning（2014）的现有结果，Sordo等人。

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2022-6-14 03:37:28

（2018）和Fang a and Li（201 8）进行了推广。在一些相关的文献中，Hoffemann等人（2016年）公理化地引入了定义为多维风险的风险一致性条件系统性风险度量。此类由可分解为状态条件聚合和单变量条件风险度量的条件系统风险度量组成。他们的研究扩展了有限状态空间上无条件风险度量的已知结果。此外，Biagini et al.（2018）通过多维接受集和聚合函数为系统风险度量制定了一般方法论框架。他们的方法产生了系统性风险度量，可以对保护聚合系统的最低现金量进行解释。本文件的结构如下。在第2节中，我们回顾了一些有用的定义和概念。在第3节中，我们介绍了条件失真（CoD）风险度量和失真风险贡献(CoD）度量，并给出一些在续集中使用的有用表达式。第4节研究了CoD风险度量下两个随机向量的比较，并在依赖结构、失真函数和阈值分位数的适当假设下，提供了它们按照通常的随机顺序、递增的凸顺序和递增的凹或边缘顺序排序的充分条件。在第5节中，我们提供了充分的条件，以比较边缘人的分散顺序和超额财富顺序方面的扭曲风险贡献度量。第6节研究了在我们提出的新CoD风险度量和畸变风险贡献度量下，人工风险之间的相互作用。

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kedemingshi

2022-6-14 03:37:31

第7节提供了一些数字示例来说明我们的主要发现。第8节总结全文。2初步情况在本文中，“增加”一词用于“非减少”，而“减少”一词用于“非增加”。当期望和密度函数出现时，假设它们存在。设C和Cbe为后继中考虑的所有单变量和双变量分布函数的集合（空间）。此外，设R是实数andR的集合≥0= [0, +∞), 设N+是严格正自然数的集合。我们使用表达式“X”~ F’表示随机变量（或向量）具有分布F，并使用X表示随机向量（X，…，Xn）。2.1随机顺序用X和Y表示两个随机变量（r.v\'s），分别具有分布函数（d.f\'s）f和G、生存函数f和G以及密度函数f和G。设f-1（p）=inf{x∈ R | F（x）≥ p} 和G-1（p）=inf{x∈ R | G（x）≥ p} 是X和Y的d.f\'s f和G的广义逆，对于p∈ [0，1]，其中inf = +∞ 按惯例。定义2.1。

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2022-6-14 03:37:34

在（i）似然比顺序中，X小于Y（用X表示≤lrY）如果g（x）/f（x）在x中增加∈ R（ii）危险率指令（由X指定≤hrY）ifG（x）/F（x）在x中增加∈ R（iii）通常的随机顺序（用X表示≤stY）如果F（x）≤ G（x）表示所有x∈ R（iv）增加凸阶（用X表示≤icxY）如果E[φ（X）]≤ E[φ（Y）]对于任何增函数和凸函数φ：R→ R（v）增加凹阶（用X表示≤Ivy）如果E[φ（X）]≤ E[φ（Y）]对于任意递增和凹函数φ：R→ R（vi）色散阶（用X表示≤dispY）如果F-1（v）- F-1（u）≤ G-1（v）- G-1（u），f或所有0<u≤ v<1；（vii）超额财富顺序（以X表示≤ewY）ifR∞F-1（u）F（t）dt≤R∞G-1（u）G（t）dt，用于ALU∈ (0 , 1).众所周知，X≤lrY公司==> 十、≤hrY公司==> 十、≤猪圈==> 十、≤icx[icv]Y。此外，分散序强于（即意味着）超额财富序，nd是用于比较两个概率分布之间的变量的偏序。为了全面讨论这些有用的偏序，我们请读者参阅Denuit等人（2005）、Marshall和Olkin（2007）、ndShaked和Shanthikumar（2007）的专著。2.2测量相关性以下概念意味着，对于二元随机向量，在某种特定意义上，一个分量的值越大，另一个分量的值越大。定义2.2。

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2022-6-14 03:37:37

（i）如果[X | Y=Y]，则二元随机向量（X，Y）被称为2阶[2阶的反正则]（写为TP[RR]）的完全正向量≤lr公司[≥lr][X | Y=Y]，对于所有Y≤ y、和[y | X=X]≤lr公司[≥lr][Y | X=X]，对于ll X≤ x、（ii）x在Y中随机增加[减少]（写为x↑SI[标准差]Y）如果[X | Y=Y]≤st公司[≥st][X | Y=Y]，用于所有Y≤ y、（iii）如果X↑SI【SD】Y和Y↑SI【SD】X.（iv）X是sa i d，是Y中增加【减少】的右尾（写为X↑RTI【RTD】Y）ifP（X>X | Y>Y）在Y中增加∈ R、对于所有x∈ R、（v）二元随机向量（X，Y）被称为正[负]象限相关（PQD[NQD]），如果，对于所有（X，Y）∈ R、它保持P（X>X，Y>Y）≥ [≤]P（X>X）P（Y>Y），或等效地，P（X≤ x、 Y型≤ y）≥ [≤]P（X≤ x） P（Y≤ y）。以下含义（轻微滥用符号）是众所周知的：（X，Y）是TP==> 十、↑SIY[Y↑六个]==> 十、↑RTY[Y↑RTIX]==> （X，Y）为PQD，（X，Y）为RR==> 十、↑SDY[Y↑SDX]==> 十、↑RTDY[Y↑RTDX]==> （X，Y）为NQD。同样清楚的是，如果（X，Y）是TP【RR】，那么它必须是PDS【NDS】。此外，（X，Y）是TP[RR]当且仅当其copula C是TP[RR]（seeMüller and Stoyan，2002；Cai and Wei，2012）。对于更详细的讨论，感兴趣的读者可参考Barlow和Proschan（1 975）、Block et al.（19 82）、Joe（1997）和Denuit et al.（2005）。2.3比较相依性和copulas将二元随机向量（X，Y）与特定边缘d.f.的f和G以及联合d.f.H进行考虑。众所周知，任何这样的二元随机向量都允许分解H（X，Y）=C（f（X），G（Y）），X，Y∈ R、式中，C是（0，1）上具有统一边距的二元d.f.（Sklar，1959），即存在R.v.\'s U，v~ U（0，1），使得C（U，v）=P（U≤ u、五≤ v）。

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2022-6-14 03:37:40

函数C被称为H的copula。如果F和G都是连续的，那么C由C（u，v）=H（F）唯一确定-1（u），G-1（v））。copula描述了随机向量（X，Y）的依赖性。我们还用byC表示两个均匀r.v.的联合尾函数，其联合d.f.是copula C，即C（u，v）=P（u>u，v>v）=1- u- v+C（u，v），（u，v）∈ (0, 1).关节尾函数C不应与U和V的生存copula混淆，后者定义为^C（U，V）=U+V- 1+C（1- u、 1个- v），（u，v）∈ (0, 1).生存copula^C将联合生存函数与其单变量边缘（survivalfunctions）耦合，其方式完全类似于copula将联合d.f.连接到其边缘的方式。显然，C（u，v）=^C（1- u、 1个- v）。接下来，我们回顾一致性订单的定义（见定义2.8.1 inNelsen，2007）。定义2.3。给定两个copula C和C′，C在协和顺序上比C′小（表示为C C′）i f C（u，v）≤ C′（u，v），适用于所有（u，v）∈ (0, 1).在文献中，一致性顺序也称为相关顺序或正等相关性（PositiveEquadrant dependence，PQD）顺序（seeDhaene and Goovaerts，19961997；Nelsen，2007）。这是一个偏序，因为并非每对copula都是一致可比的。此外，众所周知，Kendall\'stau和Spearman的rho给出的规范无标度依赖度量相对于协和序是递增的。2.4失真风险度量我们陈述了以下定义：定义2.4。具有d.f.fα置信水平的R.v.X的Va R和ES∈ （0，1）定义为Varα【X】=F-1（α），安第斯α[X]=1- αZαVaRp[X]dp，前提是积分存在。VaR和ES作为畸变风险度量的特殊情况出现（Yaari，1987；Denuit et al.，2005，2006；Dhaene et al.，2006；Goovaerts et al.，2010；F"ollmer and Schied，2011）。

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2022-6-14 03:37:43

在一般情况下，畸变函数g：[0，1]7→ [0，1]是一个递增函数，使得g（0）=0，g（1）=1。所有畸变函数的集合由G表示。然后，畸变风险度量是C元素到实线的函数映射，如下所示：定义2.5。对于畸变函数g∈ G、具有d.f.f的r.v.X的失真风险度量dG定义为dG【X】=-Z-∞[1 - g（F（t））]dt+Z+∞g（F（t））dt。特别是，如果X是非负r.v，thenDg[X]=Z+∞g（F（t））dt。众所周知，失真风险度量具有单调性、平移不变性、共单调可加性和正均质性，并且可以用这些特性来表征。此外，在任何失真函数g下，失真风险度量与通常的随机顺序一致∈ G、在任何凹畸变函数下，随着凸阶的增加。Wirch和Hardy（2001）表明，当且仅当畸变函数为凹函数时，畸变风险度量是一致的，即单谐的、平移不变的、正同态的、次加性的（参见F"ollmer和Schied，2011；Laeven和Stadje，2013）。此外，凹畸变函数是法律不变凸风险度量的基石（见第4章inF"ollmer和Schied，2011）。VaRα和ESα给出的失真风险度量的两个突出示例对应于失真函数g（p）=1（1-α、 1]（p）a和g（p）=最小值{1，p1-α} ，对于α∈ （0，1）。显然，VaR的失真函数不是连续的而是左连续的，而ES的失真函数是连续的和凹的，但在任何地方都是不可区分的。此外，不完全贝塔函数、Wang畸变或Esscher-Girsanov变换和回溯畸变是畸变函数常用的特殊情况；seeDenuit等人。

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kedemingshi

2022-6-14 03:37:46

（2006）和G oovaerts和Laeven（20 08）。很容易验证（参见Belles Sampera等人，2014年）r。v、 X和任意两个畸变函数g，g′∈ G、 G级≤ g′表示Dg[X]≤ Dg′[X]。接下来，我们引入对偶失真函数的概念。考虑畸变函数g并定义相关函数g:[0，1]7→ [0，1]g（p）=1- g（1- p），forp∈ [0, 1]. 显然，g也是一个畸变函数，称为g的双d i s畸变函数。众所周知，对于任何r.v.X和畸变函数g，Dg【X】=-Dg公司[-十] andDg【X】=-Dg公司[-十] （见Dhaene等人2012年的引理5）。注意，如果g是左连续的，那么g是右连续的（Dhaene et al.（201 2）中的c.f.定理4和6）。对于右连续畸变函数g，尾部函数的变换f=1- X的F由g（F（X））=g给出o F（x）定义了一个与ar.v.Xg相关的新的尾部函数，这是r.v.x的畸变对应物，由畸变函数g引起。关于畸变风险度量的性质和应用的更多讨论，可以参考toWang et al.（1997）、Hürlimann（200 4）、Denuit et al.（2005、2006）、Dhaene et al.（2006）、Balbás et al.（2009）和Dhaene et al.（2012）。2.5共同风险度量和风险贡献作为条件风险（共同风险）度量越来越多地被用作系统风险度量。共同风险度量的典型示例包括条件风险价值（CoVaR）（Adrian和Brunnermeier，2016；Girardi和Ergün，2013）、条件预期短缺（CoES）（Mainik和Schaanning，2014）和边际预期短缺（MES）（Acharya等人，2017）。对于给定的共同风险度量，相应的风险贡献度量评估压力情景的增量影响。

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2022-6-14 03:37:49

风险贡献度量的著名示例包括科瓦尔和CoES；Seegirdi和Ergün（2013），Mainik和Schaanning（2014），a和Adrian和Brunnermeier（2016）。CoVaR的定义如下：定义2.6。Letα，β∈ (0, 1). 然后，CoVaRα，β[Y | X]=VaRβ[Y | X>VaRα[X]]。Mainik和Schaanning（2014）对上述定义进行了调整，以适应CoES的情况，即ES的一致性由CoES继承：定义2.7。Letα，β∈ (0, 1). 那么，CoESα，β[Y | X]=1- βZβCoVaRα，t[Y | X]dt。可以很容易地验证，对于连续的边缘，COE可以通过条件期望Y来表示，其方式类似于常见的es代表：CoESα，β[Y | X]=E[Y | X>VaRα[X]，Y>CoVaRα，β[Y | X]]。MES的定义如下：定义2.8。Letα∈ (0, 1). 然后，MESα[Y | X]=E[Y | X>VaRα[X]]。为了衡量X对Y的风险贡献，可以将CoVa Rα、β[Y | X]与无条件评估Y的VaRβ[Y]进行比较，前者是处于压力情景中的Y条件upo n X的VaR。或者，如果X超过其中值，可以用Y的条件VaR代替基准VaRβ[Y]（见Mainik和Schaanning，2014；Adrian和Brunnermeier，2016）。定义2.9。Letα，β∈ (0, 1). 然后CoVaRα，β[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]- VaRβ[Y]，medCoVaRα，β[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]- CoVaR1/2，β[Y | X]。当然，也可以通过引用COE等定义风险贡献度量，如下所示（见Acharya等人，2017年；Karimalis和Nomikos，2018年）：定义2.10。Letα，β∈ (0, 1). 然后CoESα，β[Y | X]=CoESα，β[Y | X]- ESβ[Y]，medCoESα，β[Y | X]=CoESα，β[Y | X]- CoES1/2，β[Y | X]。3条件失真风险度量和失真风险贡献度量考虑一个二元随机向量（X，Y），边缘d.f.\'s f，G∈ C和接头d.f.H∈ C

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2022-6-14 03:37:52

我们将条件失真（CoD）风险度量定义为从非变量分布到实线的映射。具体而言，CoD风险度量定义如下。定义3.1。对于g，h∈ G、 CoDg，h[Y | X]=Dh[Y | X>Dg[X]=-Z-∞[1 - h（FY | X>Dg[X]（y））]dy+Z+∞h（FY | X>Dg[X]（y））dy，其中Dg[X]在定义2.5中预先定义。备注3.2。（a）请注意，在定义3.1中，g a和h是分别施加在X和[Y | X>Dg[X]]的d.f.上的畸变函数。（b）显然，定义3.1中提出的CoD风险度量将CoVaRand COE作为特例。更明确地说，如果g（p）=1（1），我们有e（i）-α、 1]（p）和h（p）=1（1-β、 1]（p），然后CoDg，h[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=最小值{1，p1-β} ，然后CoDg，h[Y | X]=CoESα，β[Y | X]。（iii）i f g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=p，然后CoDg，h[Y | X]=MESα[Y | X]。此外，CoD风险度量提供了两种其他相关类型的条件风险度量：（iv）如果g（p）=min{1，t1-α} h（p）=1（1-β、 1）（p），然后CoDg，h[Y | X]=VaRβ[Y | X>ESα[X]；（v）如果g（p）=min{1，t1-α} h（p）=min{1，p1-β} ，thenCoDg，h[Y | X]=ESβ[Y | X>ESα[X]=1- βZβVaRp[Y | X>ESα[X]]dp，这在Boyle和Kim（2012）的方程式（10）中定义。（c） CoD风险度量通常不满足次可加性；例如，i f h（p）=1（1-β、 1]（p），它减少到VaR，一般来说，VaR不是次加性的。然而，如果h是凹的，则CoD风险测度继承了Dh[·]的次加性性质。（d）应该注意的是，我们可以用任何实际值来代替Dg[X]，以概括定义3.1。

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2022-6-14 03:37:56

然而，在适当的条件下，所有与VaR、中值和ES相关的现有方法都可以被视为失真风险度量的特例。为了说明CoD风险度量的一般性，以下示例说明了CoD风险度量的类别，该类别超出了当前文献中现有的条件风险度量，如CoVa R、CoES和MES。示例3.3。假设Y是非负r.v.并考虑扭曲函数h（p）=1- (1 - p） k，代表k∈ 氮+和磷∈ [0, 1 ]. 请填写条件r.v.的独立副本。[Y | X>Dg[X]]，对于i=1，k、根据定义3.1，我们有CODG，h[Y | X]=Z+∞h（FY | X>Dg[X]（y））dy=Z+∞[1 - FkY | X>Dg[X]（y）]dy=E[max{eYg，eYg，…，eYgk}]=E[eYgk:k]，其中eYgk:kis是yg，…，的最大阶统计量，eYgk。这意味着C oD风险度量可以表示为从一组i.i.d.r.v.计算得出的最大阶统计量的期望值，其中d.f.FY | X>Dg[X]。对于给定的CoD风险度量，我们可以确定相关的畸变风险贡献(CoD）测量如下。定义3.4。对于g，h∈ GCoDg，h【Y | X】=CoDg，h【Y | X】- Dh【Y】，其中Dh（Y）=-Z-∞[1 - h（G（y））]dy+Z+∞h（G（y））dy.备注3.5。定义3.4中定义的畸变风险贡献度量科瓦尔和COE作为特例。

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nandehutu2022

2022-6-14 03:38:00

确实，（i）如果g（t）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=1（1-β、 1]（p），然后CoDg，h[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=最小值{1，p1-β} ，然后CoDg，h[Y | X]=CoESα，β[Y | X]。此外，畸变风险贡献度量还提供了现有文献中缺少的两个相关贡献度量：（iii）如果g（p）=min{1，p1-α} h（p）=1（1-β、 1]（p），然后CoDg，h[Y | X]=VaRβ[Y | X>ESα[X]]- VaRβ[Y]；（iv）如果g（p）=min{1，p1-α} h（p）=min{1，p1-β} ，然后CoDg，h[Y | X]=ESβ[Y | X>ESα[X]]- ESβ[Y]=1- βZβVaRp[Y | X>ESα[X]]dp-1.- βZβVaRp[Y]dp。值得一提的是，Boyle和Kim（2012）定义了一种类型的风险贡献度量（见他们的方程（8）），即β[Y | X=ESα[X]]- ESβ[Y]，其条件e v ent基于[X=ESα[X]]，而不是[X>ESα[X]]。以下示例提供了定义3.4中畸变风险贡献度量的表达式，在示例3.3的设置下。示例3.6。在示例3.3的设置下，我们有CoDg，h【Y | X】=E【eYgk:k】- E[Yk:k]，其中Yk:kis是Y的最大阶统计量，yk且yi为Y的从属副本，对于i=1，k、我们还可以针对风险X的不同扭曲函数定义风险贡献度量，因此有时称为II类扭曲风险贡献度量，以区别于定义3.4：定义3.7中的I类扭曲风险贡献度量。对于g，~g，h∈ GgCoDg，h【Y | X】=CoDg，h【Y | X】- CoDg，h【Y | X】。备注3.8。值得注意的是，定义3.7中的失真风险贡献度量包含medCoVaR和medCoES作为特殊ca s es。

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2022-6-14 03:38:02

更明确地说，（i）如果g（p）=1（1-α、 1]（p），Dg【X】=F-1（1/2），a和h（p）=1（1-β、 1]（p），然后gCoDg，h[Y | X]=medCoVaRα，β[Y | X]；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p），Dg[X]=F-1（1/2），a和h（p）=最小值{1，p1-β} ，然后gCoDg，h[Y | X]=medCoESα，β[Y | X]。下一个示例说明了失真风险贡献测量值从定义3.7中上升。示例3.9。在示例3.3的设置下，删除条件r.v的独立副本。[Y | X>Dg[X]]，对于i=1，k、然后，CoDgg，h【Y | X】=E【eYgk:k】- E[eY▄gk:k]，其中Eygk:kandeY▄gk:kare为Eg的最大阶统计量，eYgkandeY▄g，分别为eYgk。在下一个定理中，我们给出了定义3.1、3.4和3.7中引入的三类CoD风险测度和失真风险贡献测度的一些有用表达式和性质。定理3.10。Let（U，V）~ C其中C是H的copula。如果F是连续且严格递增的，且H是左连续的，则CODG，H[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p），（1），其中ug=F（Dg[X]），h（p）=1- h（1- p）对于p∈ [0，1]，d FV | U>U（v）=v-C（u，v）1-ufor（u，v）∈ (0, 1).项目。因为F是连续且严格递增的，（U，V）~ C、护理边缘一致，P（U>ug）=P（X>Dg[X]）。然后，[Y | X>Dg[X]]的d.f可以写为fy | X>Dg[X]（Y）=P（Y≤ y | X>Dg[X]=P（y≤ y、 X>Dg[X]）P（X>Dg[X]）=P（y≤ y）- P（Y≤ y、 X个≤ Dg【X】）1- P（X≤ Dg[X]=G（y）- C（F（Dg[X]），G（y））1- F（Dg[X]）=FV | U>ug（G（y）），这反过来意味着F-1Y | X>Dg[X]（p）=G-1（F-1V | U>ug（p）），通过使用事件{FY | X>Dg[X]（y）的论证≥ p} 等于{FV | U>ug（G（y））≥ p} ，对于anyp∈ (0, 1).

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mingdashike22

2022-6-14 03:38:05

因此，通过应用Fubini定理和变量变化（见定理6 inDhaene et al.，2012），可以验证tCoDg，h[Y | X]=-Z-∞1.- h（1- FY | X>Dg[X]（y））dy+Z+∞h（1- FY | X>Dg[X]（y））dy=ZF-1Y | X>Dg[X]（1- p） dh（p）=ZF-1Y | X>Dg[X]（p）dh（p）=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p）。因此，证明成立。备注3.11。考虑到定理m 3的设置。定义广义上逆G-1+（p）=sup{x∈ R | G（x）≤ p} 和F-1+V | U>ug（p）=sup{x∈ R | FV | U>ug（x）≤ p} 带sup = -∞ 通过协商。自事件{FY | X>Dg[X]（y）起≤ p} 等于{FV | U>ug（G（y））≤ p} ，我们有F-1+Y | X>Dg[X]（p）=G-1+（F-1+V | U>ug（p）），对于p∈ (0, 1). 如果现在，在定理3.10的设置下，我们是右连续的，而不是左连续的，那么，通过应用定理4 inDhaene et al.（2012），表达式（1）可以修改为asCoDg，h[Y | X]=ZG-1+（F-1+V | U>ug（p））dh（p）。请注意，FV | U>ug（v）=v-C（ug，v）1-ug。如果G是连续且严格递增的，并且v-C（u，v）是连续的，并且在v中严格递增∈ [0，1]对于任何u∈ （0，1）（wh i ch意味着FV | U>ugis连续且严格增加），我们有G-1+（p）=G-1（p）和F-1+V | U>ug（p）=F-1V | U>ug（p），这意味着理论3.10中的畸变函数可以是左连续的，也可以是右连续的（假设F是连续的，且d严格递增）。然后，通过应用Dhaene et al.（2012）的定理7，h也可以假设为任何一般畸变函数，即左连续和右连续畸变函数的凸组合。推论3.12。

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mingdashike22

2022-6-14 03:38:08

在定理3.10的设置下，（i）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=1（1-β、 1]（p），thenCoDg，h[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]=G-1（F-1V | U>α（β）），这是由nGirardi和Ergün（2013）定义的；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=最小值{1，p1-β} ，thenCoDg，h[Y | X]=CoESα，β[Y | X]=1- βZβG-1（F-1V | U>α（p））dp，这是由nMainik和Schaanning（2014）定义的。根据定理3.10，我们得到以下结果。定理3.13。Let（U，V）~ C其中C是H的copula。如果F是连续且严格递增的，且H是左连续的，则CoDg，h【Y | X】=ZhG-1（F-1V | U>ug（p））- G-1（p）idh（p），（2）gCoDg，h[Y | X]=ZhG-1（F-1V | U>ug（p））- G-1（F-1V | U>Ug（p））idh（p），（3）其中ug=F（Dg[X]），Ug=F（Dg[X]），h（p）=1-h（1-p）对于p∈ [0，1]，且FV | U>U（v）=v-C（u，v）1-ufor（u，v）∈ ( 0, 1).4随机序和CoD风险度量在续集中，我们总是假设X和X′的d.f′是连续的且严格递增的，并且Y和Y′的畸变函数是连续的，以避免不必要的技术讨论。我们注意到，如果Y和Y的d.f\'s连续且严格增加，并且v- C（u，v）和v- C′（u，v）在v中连续且严格增加∈ [0，1]对于任何u∈ （0，1），然后，根据Remark3.11，我们的所有结果都可以推广到Y和Y′的畸变函数为右连续或一般的情况，即左连续和右连续畸变函数的凸组合（参见Daene et al.，2012年的定理7）。4.1 Ri s ks Y和Y′具有相同的分布。本小节考虑了两个二元随机向量（X，Y）和（X′，Y′）的CoD风险度量的有效条件，其中Y和Y′具有共同的d.f.。下一个定理指出，CoD风险度量保持了由以下条件引起的排序：” 通过应用于Y和Y′的畸变函数。定理4.1。

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2022-6-14 03:38:11

设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有相同边缘但不同连接函数C和C′的二元随机向量。然后，C C′和h≤ h′implethtat CoDg，h[Y | X]≤ CoDg，h′[Y′| X′]。项目。Let（U，V）~ C和（U′，V′）~ C′。根据定理3.10，我们得到了CODG，h[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p），CoDg，h′[Y′X′]=ZG-1（F-1V′| U′>ug（p））dh′（p），其中h′（p）=1- h′（1- p）对于p∈ [0, 1].我们首先表明，CoDg，h[Y | X]≤ CoDg，h【Y′| X′】。因为h在增加，这就减少到表明G-1（F-1V | U>ug（p））≤ G-1（F-1V′| U′>ug（p）），即F-1V | U>ug（p）≤ F-1V′| U′>ug（p）forp∈ (0, 1). 因此，必须表明FV | U>ug（t）≥ 对于t，FV′U′>ug（t）∈ （0，1），即t- C（ug，t）1- ug公司≥t型- C′（ug，t）1- ug，实际上由条件C保证 C′。另一方面，我们可以验证h（0）=h′（0）=0，h（1）=h′（1）=1和h′（p）≤ h（p）因为o f h（p）≤ p的h′（p）∈ [0, 1]. 然后，通过使用分部积分，一个hasCoDg，h[Y′| X′]- CoDg，h′[Y′| X′]=ZG-1（F-1V′| U′>ug（p））d（h（p）- h′（p））=Z（h′（p）- h（p））dG-1（F-1V′| U′>ug（p））≤ 0，这会产生CoDg，h[Y′X′]≤ CoDg，h′[Y′| X′]。因此，证明成立。当g是VaR.推论4.2的畸变函数时，可以很容易地从定理4.1推导出以下结果，不一定需要F=F′。Le t（X，Y）和（X′，Y′）是两个分别具有copulac和C′的二元随机向量。假设G=G′，G（p）=1（1-α、 1]（p），对于某些α∈ (0, 1).然后，C C′和h≤ h′意味着CoDg，h[Y | X]≤ CoDg，h′[Y′| X′]。备注4.3。如果X和X′采用不同的畸变函数，即如果g 6=g′，则定理4.1和协罗拉4.2通常不成立。备注4.4。

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2022-6-14 03:38:14

在附加假设h（p）=h′（p）=1（1）下-β、 1]（p），推论4.2的结果简化为Mainik和Schaanning（2014）的定理3.4。为了总结这一小节，我们研究了X和X′的阈值分位数以及（X，Y）之间的依赖结构对CoD风险度量的影响。定理4.5。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有共同点和C′的b i变量随机向量。假设G=G′，C C′。设ug=F（Dg[X]），ug′=F′（Dg′[X′））。然后CoDg，h[Y | X]≤ CoDg′，h′[Y′| X′]如果h≤ h′，以下两个条件之一成立：（i）ug≤ ug′和Y↑RTIX或Y′↑RTIX′或两者均保持；（二）ug≥ ug′和Y↑RTDX或Y′↑RTDX′或两者均保持。项目。我们只提供（i）的证据。（ii）的证明可以以类似的方式建立。我们假设ug≤ ug′和Y↑RTIX（其他两种情况类似）。设U=F（X），V=G（Y）。根据定理3.10，我们有CODG，h[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p）。通过利用变量p=FV | U>ug（t）的变化，我们得到了codg，h[Y | X]=ZG-1（t）dhF-1V | U>ug（t）=ZG公司-1（t）dht型- C（ug，t）1- ug公司=ZG公司-1（t）dh（Aug（t）），其中Aug（t）=1-C（ug，t）1-ug。类似地，通过让U′=F′（X′）和V′=G′（Y′），我们得到了codg′，h′[Y′X′]=ZG′-1（t）dh′（Aug′（t）），其中Aug′（t）=1-C′（ug′，t）1-ug′。由于G=G′，h′（Aug′（0））=h（Aug′（0））=0，h′（Aug′（1））=h（Aug′（1））=1，我们有CODG′，h′[Y′X′]- CoDg，h【Y | X】=ZG-1（t）dhh′（8月′（t））- h（Aug（t））i=Zhh（Aug（t））-h′（Aug′（t））idG-1（t）。（4）为了显示（4）的非负性，必须显示h（Aug（t））≥h′（Aug′（t）），对于所有t∈ [0 , 1 ]. 自h起≤ h′，一个散列（Aug（t））≥h′（Aug（t）），对于所有t∈ [0, 1]. 因此，我们不能证明h′（Aug（t））≥h′（Aug′（t）），对于所有t∈ [0，1]，即C′（ug′，t）1- ug′≥C（ug，t）1- ug。（5）考虑到C C′，我们有C′（ug′，t）1- ug′≥C（ug′，t）1- ug′。

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2022-6-14 03:38:17

（6）因此，如果我们可以证明C（ug′，t）1，那么通过使用（6），（5）可以建立- ug′≥C（ug，t）1- ug。（7）自ug起≤ ug′和Y↑RTIX，它认为C（ug′，t）1- ug′=P（V>t | U>ug′）≥ P（V>t | U>ug）=C（ug，t）1- ug证明了（7），从而得到了预期的结果。定理4.5指出，如果X和Y完全正[负]相关↑RTI【RTD】X，则风险Y采用的畸变函数越大，copula的一致性越高，再加上风险X采用的阈值分位数越大【越小】，导致CoD风险度量值越大。备注4.6。设（X，Y）为具有copula C.Suppos e thath的二元随机m向量≤ g和Y↑RTDX。然后，根据定理4.5（ii），我们得到了CoDg，h[Y | X]≤CoDh，g[Y | X]。这表明，如果通过RTD，Y与X呈负相关，则Y的畸变函数越大，X的畸变函数越小，则CoD风险度量值越大。备注4.7。设（X，Y）和（X′，Y）是两个具有相同C的二元随机向量。假设h=h′，并且（i）ug≤ ug′和Y↑RTIX或Y↑RTIX′或ho l d，或（ii）ug≥ ug′和Y↑RTDX或Y↑RTDX′或两者均保持。那么Theorem4.5意味着CoDg，h[Y | X]≤ 所有h的CoDg′，h[Y | X′]∈ G

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2022-6-14 03:38:20

该结果表明，如果Y通过RTD与X（和/或X′）呈正[负]依赖关系，且X的阈值分位数比X的阈值分位数小[大]，则X′与Y的相关性大于X，这与Daene等人（2018）定义12中提出的系统相关性顺序一致。4.2 Ri s ks Y和Y′在本小节中有不同的分布，当Y和Y′具有不同的d.f.时，我们给出了两个二元随机向量（X，Y）和（X′，Y′）的CoD风险度量的依赖结构和失真函数的充分条件。Sordo和Ramos（200 7）提供了常用随机序和递增凸序的有用表征，如下所示。以类似的方式，我们可以给出递增凹阶的一个等价刻画。引理4.8。设X和Y分别是两个r.v\'s和d.f\'s f和G。那么，X≤st[icx，icv]Y当且仅当ifZF-1（t）dφ（t）≤ZG公司-1（t）dφ（t），对于所有增量g[增加凸x，增加凹]φ：[0，1]→ [0, 1].项目。Sordo和Ramos（2007）给出了常见随机序和递增凸序的证明。我们只证明了递增凹阶的特征。假设X≤伊维。根据定理4。A、 1 inShaked和Shanthikumar（2007），我们知道X≤icvY相当于-十、≥icx公司-Y然后，通过使用递增凸阶的等价刻画，可以得出-十、≥icx公司-Y<==>采埃孚-1.-X（t）dφ（t）≥采埃孚-1.-Y（t）dφ（t），对于所有递增凸φ：[0，1]→ [0, 1 ]. 请注意ZF-1.-X（t）dφ（t）=-采埃孚-1(1 - t） dφ（t）。因此，我们有X≤icvY公司<==> -十、≥icx公司-Y<==>采埃孚-1(1 - t） dφ（t）≤ZG公司-1(1 - t） dφ（t），即x≤icvY公司<==>采埃孚-1（t）dψ（t）≤ZG公司-1（t）dψ（t），其中ψ（t）：=1- φ(1 - t）在[0，1]上增加且凹。

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2022-6-14 03:38:23

因此，建立了proo f。接下来，对于两个给定的随机向量（X，Y）和（X′，Y′），我们根据Y和Y′的边缘d.f.的随机顺序、特殊的copula和依赖结构以及它们的CoD风险度量的失真函数来给出有效条件。定理4.9。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有共同点a和C′的b i变量随机向量。假设F=F′，C C′、a和h≤ h′。（i）假设X↑SIY或X′↑SIY′或两者都是ho l d.然后，Y≤st[icx]Y′表示CODG，h[Y | X]≤ CoDg，任意g的h′[Y′| X′]∈ G和增量G[增加凹面]h，h′∈ G、（ii）假设X↑SDY或X′↑SDY′或两者都保持。然后，Y≤Ivy′意味着CodG，h[Y | X]≤ CoDg，任意g的h′[Y′| X′]∈ G和增量G凸h，h′∈ G、项目。我们只给出了Y与Y′之间的增凸序的证明。利用引理4.8，可以以类似的方式得到常见随机序和递增凹序的证明。此外，我们只考虑X的情况↑SIY，因为X′的proo f可以类似地执行↑SIY′。设U=F（X），V=G（Y）。根据定理3.10，我们有CodG，h[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p）。通过利用变量p=FV | U>ug（t）的变化，我们得到了codg，h[Y | X]=ZG-1（t）dh（A（t）），（8），其中A（t）=1-C（ug，t）1-ug。注意A（t）在t中是递增的和凸的∈ [0，1]sincedA（t）dtsgn=-C（ug，t）t=P（U>ug | V=t）为非负且在t中增加∈ [0，1]因为↑SIY公司。另一方面，很容易验证，由于h的凹度增加，h也增加了凸度。因此，我们知道h（A（t））在t中增加了且凸∈ [0, 1].类似地，通过F=F′，我们可以得到CODg，h′[Y | X]=ZG′-1（t）dh′（B（t）），其中B（t）=1-C′（ug，t）1-ug。理想的结果归根结底是显示出thatZG-1（t）dh（A（t））≤ZG′型-1（t）dh′（B（t））。

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kedemingshi

2022-6-14 03:38:26

（9）一方面，通过使用引理4.8，Y≤icxY′意味着thatZG-1（t）dh（A（t））≤ZG′型-1（t）dh（A（t））。（10）另一方面，C C′表示A（t）≥ B（t）和thush（A（t））≥ h（B（t））≥h′（B（t））自h起≤ h′。因为h（A（0））=h′（B（0））=0和h（A（1））=h′（B（1））=1，所以wethen haveZG′-1（t）dh（A（t））- h′（B（t））=Zh′（B（t））- h（A（t））dG′-1（t）≤ 0，表示thatZG\'-1（t）dh（A（t））≤ZG′型-1（t）dh′（B（t））。（11）在组合（10）和（11）时，建立期望结果（9）。备注4.10。Dhaene et al.（2018）的定义2从凸序递增的角度定义了系统贡献序。更明确地说，考虑损失市场Z、相应的微观审慎监管R和总剩余损失水平s∈ R≥0、个人损失ZJI被称为“系统贡献顺序较小”（以Zj表示≤（右、右）-conZk）低于微观审慎监管下的个人损失ZK，以及总损失水平s，如果“（Zj- Rj）+nXi=1（Zi- Ri）+>s#≤icx“（Zk- Rk）+nXi=1（Zi- Ri）+>s#。根据定理4.9（i），如果X=X′=Pni=1（Zi- Ri）+，Y=（Zj- Rj）+，Y′=（Zk- Rk）+，C=C′，h=h′，Pni=1（Zi- Ri）+↑SI（Zj- Rj）+orPni=1（Zi- Ri）+↑SI（Zk- Rk）+或两者都保持，然后（Zj- Rj）+≤icx（Zk- Rk）+表示CODG，h“（Zj- Rj）+nXi=1（Zi- Ri）+#≤ CoDg，h“（Zk- Rk）+nXi=1（Zi- Ri）+#，对于所有凹面h，其中h与定义Zj一致≤（右、右）-CONZK当收入=Dg[Pni=1（Zi- Ri）+]。当g对应于VaR.推论4.11的畸变函数时，可以从定理4.9中得出以下结果，不一定需要F=F′。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有g copulasC a和C′的二元随机向量。假设g（p）=1（1-α、 1]（p），C C′、a和h≤ h′。（i）假设X↑SIY或X′↑SIY′或两者都是ho l d.然后，Y≤st[icx]Y′表示CODG，h[Y | X]≤ CoDg，h′[Y′| X′]对于任何增加的[增加的凹面]h，h′∈ G、（ii）假设X↑SDY或X′↑SDY′或两者都保持。

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大多数88

2022-6-14 03:38:29

然后，Y≤Ivy′意味着CodG，h[Y | X]≤ 对于任何递增凸h，h′，CoDg，h′[Y′| X′]∈ G、备注4.12。在特殊情况下，h（p）=h′（p）=min{1，p1-β} ，推论4.11（i）的结果简化为Sordo等人（2018）的定理12。下一个结果将定理4.9推广到X和X′的不同d.f′的情况，其中我们可以通过要求f（Dg[X]）来替换条件“f=f′”≤ F′（Dg′[X′]）。定理4.13。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是包含copulac和C′的两个二元随机向量。假设C C′，h≤ h′，和ug≤ ug′，其中ug=F（Dg[X]），ug′=F′（Dg′[X]）。（i）假设（X，Y）或（X′，Y′）或两者都是PD。然后，Y≤st[icx]Y′表示CODG，h[Y | X]≤ CoDg′，h′[Y′| X′]对于任何增加的[折痕凹面]h，h′∈ G、（ii）假设（X，Y）或（X′，Y′）或两者都是NDS。然后，Y≤Ivy′意味着CodG，h[Y | X]≤ CoDg′，h′[Y′| X′]对于任何递增的conv X h，h′∈ G、项目。注意，如果（X，Y）是PDS[NDS]，那么X↑SI【SD】Y和Y↑SI【SD】X。然后，通过将定理4.5和4.9.5中的证明方法与畸变风险贡献度量（考虑两个二元随机向量（X，Y）和（X′，Y′）中的证明方法相结合，可以很容易地获得证明。本节提供了关于边际d.f.\'s o f Y a和Y′的随机顺序、相应的copula和依赖结构以及其畸变风险贡献度量的畸变函数的充分条件。5.1分散顺序和分散风险贡献度量以下引理改编自Sordo et al.（2018），有助于建立我们的主要结果，将边缘之间的分散或顺序与扭曲风险贡献度量联系起来。引理5.1。设X和Y是两个连续的r.v\'s，d.f\'s f和G，分别为Y。

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