系统性风险度量的可引出性和可识别性

2022-6-24 06:58:26

系统风险度量的可引出性和可识别性偏差Fissler*贾纳·赫拉维诺夫*伯吉特·鲁德罗夫*2019年10月18日摘要。识别和评分功能是统计工具，用于评估风险度量估计的校准和相对性能，例如，在回溯测试中。风险度量称为可识别（可引出），它具有严格的识别函数（严格一致的评分函数）。我们考虑了Feinstein、Rudloff和Weber（2017）提出的系统性风险度量。由于这些都是集值函数，我们在Fissler、Hlavinov\'a和Rudloff（2019a）的理论框架内对集值函数进行预测评估。我们构造了定向的选择性识别函数，这导致了（严格）一致的ScoringFunction的混合表示。通过综合仿真研究，证明了其适用性。关键词：一致性评分函数；迪堡-马里亚诺试验；预测评估；M-估计；Murphy diagramsMSC 2010主题分类：62F07；62F10；91G701。引言1.1。系统性风险度量在金融数学文献中，人们对各种类型的风险，尤其是其定量度量非常感兴趣。与特定财务状况相关的风险定量评估可追溯到Artzner、Delbaen、Eber和Heath（1999），此后，许多其他著作从多个角度对其进行了讨论，如（Artzner、Delbaen和Koch Medina，2009；F¨ollmer&Schied，2002；F¨ollmer&Weber，2015）。

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2022-6-24 06:58:29

有关风险度量的全面概述，请参阅《福尔默和希德》（2004）教科书。*维也纳经济和商业大学统计和数学研究所，Welthandels platz 1，1020 Vienna，Austria，tobias。fissler@wu.ac.at，jana。hlavinova@wu.ac.atandbirgit。rudloff@wu.ac.at1arXiv：1907.01306v2【数学ST】2019年10月17日2007-2009年的金融危机及其在过去十年中的后果已经开始认识到需要定量评估整个金融系统的风险，而不仅仅是单个实体的风险。艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）（2001）的开创性论文是关于系统性风险的最早学术著作之一。然而，这项工作的重点在于对金融系统进行建模，而不是衡量其系统风险。自那时以来，官方数学家们已经开发了一系列丰富的文献，涵盖了不同的方法，并强调了系统风险的各个方面。Eisenbergand Noe（2001）的模型以不同的方式进行了推广，例如通过考虑ILIQ uidity（Rogers&Veraart，2013）或中央清算（Amini、Filipovic和Minca，2015）。一组文献通过将标量风险度量应用于系统中所有公司的总利润和损失分布来定义系统风险度量（Acharya、Pedersen、Philippon和Richardson，2016；Adrian和Brunnermeier，2016）。Chen、Iyengar和Moallemi（2013）认识到将经济视为投资组合的缺点，引入了衡量系统风险的公理化方法，Kromer、Overbeck和Zillch（2016）以及Ho Off mann、Meyer Brandis和Svindland（2016）进一步扩展了这一方法。Chen等人的公理化方法。

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2022-6-24 06:58:32

（2013）被广泛使用，相当于ρ（λ（Y））形式的系统风险度量，其中Y是表示金融系统的d维随机向量，ρ是标量风险度量，∧：Rd→ R非递减聚合函数。然而，这种先汇总然后再添加系统总资本要求的方法有一个缺点，即它会导致衡量救助成本，而不是衡量防止金融危机的资本要求。这些类型的风险度量也被称为不敏感，因为它们没有考虑资本监管对系统的影响。作为替代方案，Feinstein等人（2017）引入了所谓的敏感系统性风险措施；有关相关方法，请参见比亚基尼、福克、弗里特利和迈耶·布兰迪斯（2019）和阿尔曼蒂、克雷佩、德雷沃和帕潘托莱恩（2018）。这里，首先将资本要求添加到金融机构中，然后应用聚合函数。也就是说，我们考虑了formR（Y）={k的系统性风险度量∈ Rd |ρ∧（Y+k））≤ 0}. （1.1）因此，考虑了监管对系统的影响。在本文中，我们将主要关注Feinstein等人（2017）介绍的这类系统性风险度量；详见第2.1节。R（Y）规定了所有资本分配k的集合∈ Rd使得新系统Y+k在通过∧聚合后被视为ρ可接受。因此，R从事前的角度对每个金融机构的注资（和提款）进行了预先规定，足以防止系统Y发生危机，而ρ（λ（Y）），如上所述，可以解释为系统性事件发生后系统的救助成本。1.2.

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mingdashike22

2022-6-24 06:58:36

可引出性和可识别性在量化风险管理领域，人们对哪种scalarrisk度量在实践中最合适展开了激烈的辩论；有关详细的学术讨论，请参见Embrechts、Puccetti、R¨uschendorf、2Wang和Beleraj（2014）以及Emmer、Kratz和Tasche（2015），有关银行业监管视角，请参见国际清算银行（2014）。除了在公理性质上的差异，如风险度量的一致性（Artzner et al.，1999）和凸性（F¨ollmer&Schied，2002），辩论还考虑了风险度量的更多统计方面。两个被广泛讨论的统计需求是汉佩尔（1971）意义上的稳健性——参见Cont、Deguest和Scandolo（2010）；Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahle（2014年）——以及可诱导性。“可诱导性”一词源于Osband（1985）和Lambert、Pennock和Shoham（2008）。使用数理统计的术语，如果实值定律不变的风险度量ρ允许M估计量，那么它是可以导出的（Huber&Ronchetti，2009）。也就是说，有一个损失或计分函数S:R×R→ R使得ZS（ρ（F），y）dF（y）<ZS（x，y）dF（y）（1.2），对于某类分布函数M中的所有F，对于所有x 6=ρ（F）。对于ρ：M，任何满足（1.2）的scor ing函数都称为严格M-一致→ R、 BesidesM估计，可能在回归框架中，如分位数回归（Koenker，2005；Koenker&Basset，1978）或预期回归（Newey&Powell，1987），使用严格一致的评分函数鼓励真实的预测。这种激励相容性为有意义的预测比较（Gneiting，2011a）开辟了道路，这与财务中的比较回溯测试密切相关（Fissler，Ziegel，&Gneiting，2016；Nolde&Ziegel，2017）。Ziegel（2016a）表明，期望值基本上是唯一可行且一致的风险度量。

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2022-6-24 06:58:39

与此一致，突出的风险度量值为α级风险∈ （0，1）（VaRα）对应于温和条件下的一个分位数，结果是可以引出但不一致的。另一方面，预计α级短缺∈ （0，1）（ESα）是一个尾部期望，是一致的，但无法引出。有趣的是，Fissler和Ziegel（2016）以及Acerbi和Szekely（2014）表明，尽管ES本身没有严格一致的评分功能，但这对（VaRα，ESα）是可以引出的。最近建立了一个类似的结果，提供了由风险度量范围值和两个不同水平的VaR组成的三元组的可激发性（Fissler&Ziegel，2019a）。与可引出性概念密切相关的是可识别性概念。前者用于预测比较或模型选择，后者用于模型和预测验证或校准检查。再次调用数理统计的语言，如果是aZ函数，则可以识别不变定律的实值风险度量ρ。这意味着如果它允许矩函数或严格的M-识别函数V:R×R→ R使得zv（x，y）dF（y）=0<==> x=ρ（F）（1.3），对于所有F∈ M和所有x∈ R、 Steinwart、Pasin、Williamson和Zhang（2014）表明，在适当的规则性条件下，真实价值风险度量的可识别性与其可引出性等效。一致地，VaRα可以在mild3规则性条件下通过简单的覆盖率检查进行识别，而ESα没有严格的识别功能。关于评估风险度量时的可识别性和校准的讨论，我们请读者参考Davis（2016）和Nolde and Ziegel（2017）。1.3.

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mingdashike22

2022-6-24 06:58:42

本文的创新贡献和结构本文的目的是建立（1.1）中形式的系统风险度量的可引出性和可识别性结果。由于这些风险度量是集值而非实值的，我们严格区分了Fissler等人（2019a）介绍的选择性报告和详尽报告，以及相应的可引出性和可识别性概念。简言之，将系统性风险度量的形式设定为（1.1），选择性预测规定了单一的资本配置，使系统可以接受。另一方面，详尽的预测更具雄心，旨在以集合的形式同时报告所有充足的资本配置。因此，穷举评分或识别函数将集合作为其第一个参数，其中它们的选择性对应项将点作为输入。第2节收集了（1.1）中定义的系统风险度量的相应定义、基本属性和假设，以及有效的现金不变位置规则（EARs）等衍生量（Feinstein et al.，2017）。第3节包含了我们的主要结果，最著名的是定理3.1，它断言了R0（Y）={k的定向选择性识别函数的存在性∈ Rd∧（ρ（Y+k））=0}，以及定理3.8，该定理使用这些识别函数为R构造严格一致的穷举评分函数。有趣的是，这些评分函数作为基本分数的积分构造，利用识别函数的方向。这可以被认为是一个更高维的类比，与在sem最终论文Ehm、Gneiting、Jordan和Kr¨uger（2016）中建立的一维预测得分函数的混合表示法类似。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:58:45

同样，这产生了墨菲图的诊断工具，有助于预测优势的评估；见第3.2.6小节。再次感谢识别函数的方向，我们得到了这些一致评分函数的顺序敏感性结果（命题3.10）。关于上述耳朵，命题3.6为耳朵建立了严格的选择性识别函数，有趣的是映射到函数空间。由于（1.1）形式的系统性风险度量值R在意义上是换算相等的，R（Y+k）=R（Y）-k代表所有k∈ Rd在温和的同质假设下，对于所有c>0（引理4.2），R（cY）=cR（Y），确定平移不变或正同质一致评分函数的子类是有意义的，这是第4节的内容。R的可引出性结果取决于基础标量风险度量ρ的可识别性/可引出性。这意味着ES作为标量风险度量的系统性风险度量的可引出性将面临厄运。第5节概述了这一问题，并建立了以更高预测复杂性为代价的这一挑战的解决方案。与标度情况类似，将基于ES的一对R与VaR相关数量4结合起来考虑，可以得到选择性识别和详尽的可引出性结果（命题5.1和定理5.2）。我们的结果的实际适用性通过模拟研究得到证明，这是第6节的内容。通过Diebold-Mariano检验，我们检验了严格一致的分数能够区分不同预测绩效的程度。Wealso还利用Fissler等人提出的Trans-light方法，在模拟示例中以图形方式说明了Murphy图的诊断工具。

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2022-6-24 06:58:48

(2016).第7节以讨论和展望我们的结果的可能应用和未来研究的途径来结束本文。所有证明和纯技术结果均推迟到附录中。在线补充材料Fissler、Hlavinov\'a和Rudloff（2019b）中收集了与资本分配不敏感的风险度量相关的结果以及模拟结果的一些额外图形。符号和术语2.1。系统风险度量我们考虑Feinstein等人（2017）研究的集值系统风险度量。特别地，我们关注由一些定律不变标量风险测度ρ导出的定律不变风险测度R。要解决一些符号，让(Ohm, F、 P）是无原子概率空间。对于某些整数d≥ 1，让Yd L0级(Ohm; Rd）是d维随机向量的一个子类。从风险管理的角度来看，随机向量=（Y1，…，Yd）∈ Yd表示金融公司系统的各自收益和损失。也就是说，组成部分Yi的正值代表公司i的收益，负值对应亏损。设Mdbe是Yd.Let∧：Rd元素的概率分布类→ R是一个聚合函数，意味着它相对于组件顺序是不递减的。聚合函数通常（但不一定）假定为连续函数，甚至是凹函数。我们介绍Y L0级(Ohm; R）式中{∧（Y）| Y∈ Yd} 设M是Y元素的分布类。在方便的情况下，我们会默认Y和Y在translation下是闭合的，意思是X∈ Y、 Y型∈ yd表示X+m∈ Y和Y+k∈ YD适用于所有m∈ R、 k级∈ Rd.我们考虑一些标量货币定律不变的风险测度ρ：Y→ R（Artzner等人，1999年）。

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kedemingshi

2022-6-24 06:58:51

也就是说，我们可以把ρ看作一个映射ρ：M→ 对于随机变量X∈ Y带分布外汇∈ M我们定义ρ（FX）：=ρ（X）。假设ρ是现金不变的，即ρ（X+m）=ρ（X）- m代表所有m∈ R和allX∈ Y、和单调，意思是X≥ Z P-a.s.表示ρ（X）≤ ρ（Z）对于所有X，Z∈ Y、我们通常不使用通常的归一化假设，即ρ（0）=0。备注2.1。通常，假设标量风险度量映射到R*= (-∞, ∞].我们也可以这样做，但要付出更为技术性的代价。然而，为了避免5个不必要的技术性问题，我们避免这样做，并将在本文中假设任何标量风险度量只会达到实际值。我们提出了基于ρ和∧的两个最自然法则不变的系统风险集值测度，命名为：Yd→ 2Rd，Y 7→ R（Y）={k∈ Rd |ρ∧（Y+k））≤ 0}，（2.1）漂洗：Yd→ 2Rd，Y 7→ Rins（Y）={k∈ Rd |ρ（λ（Y）+k）≤ 0}. （2.2）在（2.2）及更高版本中，我们使用速记“k：=Pdi=1如果某个向量k=（k1，…，kd）∈Rd.注意R和Rins之间的差异。风险度量值R在规定所有资本配置k的意义上是事前的∈ r需要添加到系统Y中，以使聚合系统∧（Y+k）在ρ下可接受。另一方面，RINS从事后的角度来量化系统Y的风险。这意味着它首先考虑当前的聚合系统∧（Y），然后指定需要添加的总资本要求，以使聚合系统可接受，这相当于指定ρ下聚合系统∧（Y）的纾困成本。特别是，风险度量对每个金融公司的资本分配不敏感，忽略了可能的交易成本或金融公司之间的其他依赖结构。这正好是助记术语。

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2022-6-24 06:58:55

我们想指出的是，考虑到系统性风险的不同观点，风险度量R和RIN在应用中可能都很有意义。然而，数学处理和复杂性差别很大：由于ρ的现金不变性，Rinstakes等价于mrins（Y）={k∈ Rd |ρ（λ（Y））≤\'\'k}。这意味着Rinsis实际上是标量风险度量ρ的双射o ∧：Md→ R参见Chen等人（2013）。因此，只有对风险度量ρ进行一次评估才能确定RIN。相反，这种吸引人的等效公式通常不适用于R，除非∧是加法，或者甚至是在这种情况下Rand-rinselogen的和。因此，通常情况下，我们必须计算ρ以计算R；另见Feinstein et al.（2017）中的讨论。本文的主要重点是（2.1）和（2.2）表中系统风险度量的可引出性和可识别性结果。然而，由于可以利用Rinsandρ之间的一对一关系o ∧并利用揭示原则（Fissler，2017；Gneiting，2011a；Osband，1985）来建立（详尽的）可引出性和可识别性结果，我们在论文的主体部分没有提供关于Rinsin的结果，而是将其推迟到在线补充材料Fissler et al.（2019b）。为了完整性，我们引用了R presentedin Feinstein et al.（2017）的最重要特性。由于ρ是现金不变且∧是递增的性质，我们得出（2.1）处定义的R值是上集。对任何人来说∈ Yd，R（Y）=R（Y）+Rd+，其中Rd+：={x∈ Rd | x1，除息的≥ 0}，其中任意两个集合A，B Rd，A+B：={A+B | A∈ A、 b类∈ B} 表示通常的Minkowskisum。经必要的修改后，Rins也是如此。遵循Feinstein6et al。

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2022-6-24 06:58:58

（2017），我们表示RDR中的上集集合，其排序为锥Rd+asP（Rd；Rd+）：={B Rd | B=B+Rd+}。请注意，Rdand和是P（Rd；Rd+）的元素。此外，在（2.1）处定义的R可以忽略这些值，即使基础标量风险度量ρ仅映射到R，例如，当∧有界时。当R（Y）= 对应于金融头寸的标量风险度量为+∞, 这意味着系统Y+k被视为风险Y无论注入多少资本，情况R（Y）=Rd对应于-∞ 在天平的情况下。后一种“摇钱树”的情况通常被认为是不可上市的，并且排除在外，这种情况下可以提取任何有限金额的资金，而不会使头寸有风险。因此，我们通常只讨论前一种情况，但需要注意的是，对后一种情况的治疗也可能获得大多数结果。对于所有的Y，Z，单调性传递到R（Rins）∈ YD带Y≥ Z P-a.s.组件，R（Y） R（Z）。现金不变性传递到R，因此对于allY∈ Ydand所有k∈ Rd，R（Y+k）=R（Y）- k、然而，请注意，Rinsis通常不具有现金不变性。为了缩短符号，我们还引入了P（Rd；Rd+）的进一步子类，其中B（Rd）表示Borel-σ-代数。定义2.2。（i）用BP（Rd；Rd+）表示的RDI的Borel可测上子集类：=P（Rd；Rd+）∩ B（Rd）\\ {Rd}。（ii）用F（Rd；Rd+）表示的RDI的闭上子集类。请注意F（Rd；Rd+）bP（Rd；Rd+）。我们将定期使用以下假设。假设（1）。对于所有Y∈ Yd，R（Y）∈bP（Rd；Rd+）。假设（2）。对于所有Y∈ Yd，R（Y）∈ F（Rd；Rd+）与集合{k∈ Rd |ρ∧（Y+k））=0}对应于拓扑边界R（Y）中的R（Y）。If∧：Rd→ R是连续的，ρ满足Fatou性质（这意味着它是低半连续的），R的值是闭合的。

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2022-6-24 06:59:01

注意，ρ的定律不变性意味着法图性质（Jouini、Schachermayer和Touzi，2006）。此外，如果函数∧：Rd→ R严格增加，假设（2）的第二部分得到了很好的满足。与R类似，我们引入了定律不变量mapR0:Yd→ 2Rd，Y 7→ R0（Y）={k∈ Rd |ρ∧（Y+k））=0}，（2.3）注意，对于R（Y）6=, 如果假设（2）的第一部分满足，则R0（Y）为非空。由于∧是递增的，ρ是现金不变的，因此我们可以得到关系r（Y）=R0（Y）+Rd+。这意味着r0的值完全决定R。此外，如果∧严格递增，则R0（Y）可以被描述为R（Y）的拓扑边界，其7解释为R0（Y）包含有效的资本分配，使Y在R下可接受。这意味着在这种情况下，R和R0通过一对一的关系连接。同样，这意味着，在这种情况下，R（Theorem3.8）的详尽可引出性结果将延续到R0，这援引了揭示原则。最后，我们介绍了系统风险度量R的一个重要的标度化，称为有效现金不变分配规则（EAR），如Feinstein et al.（2017）所述。在某些情况下，耳朵也可以被认为是R的选择，或者说是R0.1的选择，确切地说，是Y的选择∈ Yd，EAR（Y）的值给出了资本分配，其中R（Y）中分配的加权成本最小。为简单起见，我们将以固定价格或权重向量w来关注耳朵∈ Rd++：={x∈Rd | x1，xd>0}。为了解决一些问题，我们引入以下定义。定义2.3（EAR）。固定价格向量的有效现金不变分配规则∈ Rd++由earw（Y）=arg mink给出∈R（Y）w>k。

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2022-6-24 06:59:04

（2.4）请注意，EARw（Y）定义良好，w为非空∈ Rd++如果R（Y）闭合，并且R（Y）有一个与w正交的支撑超平面。EARw（Y）必然是R0（Y）与该超平面的交点。如果R（Y）未闭合，则（2.4）中的最小值可能不存在，导致EARw（Y）=. 另一方面，如果与w正交的R（Y）不存在支撑超平面，则k的w>k∈ R（Y）从下面是无界的，我们再次得到了EARw（Y）=.正如Feinstein等人（2017）所述，EARw（Y）实际上不一定是一个独生子女。更精确地说，对于闭R（Y），当且仅当R（Y）包含与价格向量w正交的直线段。由于标量风险度量ρ被假定为律不变，因此导出的量R、Rins、r0和EARware律不变。因此，我们应该经常使用abusenotation并将R（FY）：=R（Y）写为Y∈ Ydwith配送FY∈ Md；对于其他定律不变映射，使用analo-gous约定。2.2. 集值函数的可导性和可识别性我们已经提到了标量风险测度ρ：M的可导性和可识别性的定义→ （1.2）和（1.3）处的R。考虑的所有其他风险度量，R、R0和EAR，都是集值的，假设Rd的子集。因此，我们利用了Fissler等人（2019a）介绍的集值泛函预测评估的理论框架。其主要思想是在预测的形式上，对预测为单点的选择性概念和预测为集值的详尽模式进行彻底区分。

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2022-6-24 06:59:07

此外，在非常普遍的背景下，引入并讨论了相应的可识别性和可合法性概念，主要结果是集值泛函可以在选择性或穷尽性中导出，或者根本不可导出（Fissler et al.，2019a，定理2.14）。为了允许a1A选择一个非空集，a是任何单态{a} A、 8简洁的陈述，我们确定只介绍我们需要的概念，我们将直接根据R和R0进行介绍；耳朵的情况将另行考虑。在续集中 B（Rd）。此外，对于评分函数S:A×Rd→ Ror识别函数V:Rd×Rd→ R我们将使用缩写“S（A，F）：=RS（A，y）dF（y）和“V（x，F）：=RV（x，y）dF（y），A∈ A、 x个∈ R、并且会默认这些积分对于所有F都存在∈ Md定义2.4。（i）一个穷举评分函数S:A×Rd→ R*:= (-∞, ∞] 对于R:Md，称为Md一致→ A如果S（R（F），F）≤\'S（A、F）A.∈ A.F∈ Md.（2.5）如果（2.5）中的等式表示A=R（F），则详尽得分S对于R严格是Md一致的，如果它对于Rand是Md一致的。（ii）风险度量R:Md→ 如果R有一个严格M-一致的穷举评分函数，则A是完全可导出的。请注意，R的穷举评分函数S的严格一致性意味着S（R（F），F）∈ R代表所有F∈ Md定义2.5。（i） A地图V:Rd×Rd→ R是R0的选择性Md识别函数：Md→ A如果V（x，F）=0表示所有x∈ R0（F）和所有F∈ Md.此外，如果V（x，F）=0，则V是R0if的严格选择性Md识别函数<==> x个∈ R0（F），x个∈ Rd，F∈ Md.（2.6）（ii）风险度量R0：Md→ 如果R0.3有严格的选择性识别函数，则A是可选择性识别的。

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mingdashike22

2022-6-24 06:59:10

主要结果我们在本节中介绍了本文的一些主要结果，其中我们在第3.1小节中收集了可识别性结果，在第3.2小节中介绍了可引出性结果。定理3.1确定了R0的选择性识别性。值得注意的是，定理3.1背后的主要假设以及依赖于该可识别性的后续结果是（2.1）中基础标量风险度量ρ的可识别性。更重要的是，它需要提供一个定向识别功能。根据Steinwart et al.（2014），严格识别函数V:R→ 实值风险测度ρ：M的R→ 如果对于所有x，则调用R∈ R和所有F∈ M？V（x，F）< 0，如果x<ρ（F）=0，如果x=ρ（F）>0，如果x>ρ（F）。引用Steinwart et al.（2014）中的定理8，ρ的定向识别函数的存在等同于ρ在温和正则条件下的可导性。命题3.7确定，在聚合函数∧的某些假设下，反之亦然。也就是说，R的可引出性意味着ρ的可引出性。93.1. 可识别性结果定理3.1。设ρ：M→ R可识别。那么以下断言适用于r0:Md→ 第2节定义于（2.3）。（i） R0可选择性识别。如果Vρ：R×R→ R是ρ的严格M-识别函数，thenVR0:Rd×Rd→ R、（k，y）7→ VR0（k，y）=Vρ（0，∧（y+k））（3.1）是R0的严格选择性Md识别函数。（ii）如果Vρ：R×R→ R是ρ的定向严格M-识别函数，则（3.1）中定义的VR0是R0的定向函数，即对于所有F∈ Mdit认为“VR0（k，F）”< 0，如果k/∈ R（F）=0，如果k∈ R0（F）>0，如果k∈ R（F）\\R0（F）。（3.2）备注3.2。VR0的方向可以看作是Vρ的方向相对于Rd上的分量顺序的多元对应。

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2022-6-24 06:59:13

事实上，在这两种情况下，负预期识别函数对应于预测资本要求太小而无法使系统Y∈ YD可接受toR或单一公司X∈ Y相对于ρ可接受。注意如果VR0:Rd×Rd→ R是R0的严格选择性Md识别函数，其方向在（3.2）的意义上，且预期识别函数VR0（·，F）对于任何F都是连续的∈ Md，则R的值是闭集。备注3.3。方程（3.1）明确说明了如何构造严格的选择性Md识别函数VR0:Rd×Rd→ R对于R0，给定一个严格的M-识别函数Vρ：R×R→ R表示ρ。因此，Vr0完全取决于Vρ的选择。Fissler（2017，命题3.2.1）指出，在M类的某些丰富度假设下，任何其他严格识别函数vρ：R×R→ ρ的R的形式为evρ（x，z）=g（x）Vρ（x，z），（3.3），其中g:R→ R是一个非消失函数。此外，如果Vρ是定向的，当且仅当（3.3）中的函数g是严格正的，则nevρ是定向的；另见Steinwart等人（2014年，定理8）。因此，从这种识别函数evρ开始，产生（定向）严格的选择性Md识别函数evr0:Rd×Rd→ R取形式evr0（k，y）=eVρ（0，λ（y+k））=g（0）Vρ（0，λ（y+k））。（3.4）因此，唯一的区别是，如果VR0和VR0都是定向的，则最终得到的是VR0的缩放版本，其中缩放因子g（0）为正。10与备注3.3的精神类似，人们可能还想知道，定理3.1中构造的（定向）严格选择性识别函数是否是R0的唯一（定向）严格选择性识别函数。

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2022-6-24 06:59:16

事实并非如此，因为由于预期的线性，任何函数V0R0:Rd×Rd→ R，其中v0r0（k，y）=h（k）VR0（k，y）=h（k）Vρ（0，∧（y+k）），（3.5），其中h:Rd→ R是非消失的，再次是R0的严格选择性Md识别函数。此外，如果VR0定向，则（3.5）处定义的V0R0定向，当且仅当H>0时。特别是，（3.4）中出现的常数g（0）可以合并到函数h中，这样我们就可以看到，我们选择哪一个（面向）严格的穷尽识别函数vρ以（3.5）的形式结束并不重要。以下定理证明，R0的所有选择性Md识别函数基本上都是（3.5）的形式。提案3.4。让A Rd，让VR0，V0R0：A×Rd→ R0:Md的R be严格选择性Md识别函数→ 第2天。如果每x∈ A有F1、F2∈ md使得“VR0（x，F1）>0且“VR0（x，F2）<0且Mdis凸，则存在非消失函数h:a→ R，使得所有x的'V0R0（x，F）=h（x）'VR0（x，F）（3.6）∈ A和所有F∈ Md.备注3.5。（i）值得一提的是，命题3.4的假设意味着r0在A上是满射的这就是为什么我们在一般行动领域a中提出这个命题 Rd而非Rd.（ii）如果MDI足够丰富，并且在VR0的其他规则性条件下，一条运河也会建立（3.6）的逐点版本；详情见Fissler和Ziegel（2016、2019b）。最后，我们将注意力转向有效的现金不变分配规则，repre提供了一种可能性，可以选择一种能够使系统可接受的资本分配，即相对于权重向量w最便宜的资本分配。对于任何向量w∈ Rd，我们使用符号w⊥:= {x∈ w跨越的子空间的正交补的Rd | w>x=0}。Rw⊥我们表示从w映射的所有函数的空间⊥至R.提案3.6。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:59:19

设ρ为标量风险度量，R和r0如（2.1）和（2.3）所定义，并假设假设（2）成立。假设R0可与定向严格选择性Md识别函数VR0进行选择性识别。让w∈ Rd++和定义地图VEARw:Rd×Rd→ Rw公司⊥viaVEARw（k，y）：w⊥→ R、 w⊥3 x 7→ VEARw（k，y）（x）=VR0（k+x，y）（k，y）∈ Rd×Rd。2.4中定义的VEARW是（2.4）中定义的EARwde的严格选择性Md识别函数，即对于任何F∈ Mdand任意k∈ Rdk公司∈ EARw（F）<==>\'VEARw（k，F）≤ 0∧\'VEARw（k，F）（0）=0. （3.7）11如果已知基础风险度量R仅假设凸集（例如，如果ρisconvex和∧凹面，请参见Feinstein et al.（2017）），则甚至可以评估'VEARw（k，F）（x）或其经验对应物，用于x∈ Rd在0附近，这也可以在附录a.1的图3中很好地看到。在Fissler等人（2019a）的第2.4节中，介绍了凸水平集（CxLS）性质的不同版本，并讨论了它们对集值泛函的可识别性和可导出性的必要性。由于命题3.6中的选择性识别偏离了通常的定义，因此值得注意的是，在命题3.6的条件下，EARW满足了选择性CxLS属性。然而，我们看不到如何建立选择性CxLS*属性，或者说，建立详尽的CxLS属性，这就留下了一个悬而未决的问题，即earwm是否以及在什么意义上是可以引出的。我们希望将提案3.6中引入的可识别性概念与Bignozzi、Burzoni和Munari（2018）第5节中关于风险损失价值可回测性的讨论进行比较。人们也可以将他们的提议解释为使用函数值识别函数。

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2022-6-24 06:59:22

然后，与（3.7）类似的是，如果使用正确规定的预测，则函数值识别函数的最大值为0。有趣的是，这一版本的可识别性并不意味着函数欠考虑具有凸水平集。在本节结束时，我们注意到，如果∧：Rd，ρ的可识别性和r0的选择性可识别性甚至是等效的→ R具有可测的右逆。提案3.7。设ρ：M→ R是风险度量，λ：Rd→ R是满射聚合函数，R0:Md→ 2（2.3）中定义的数据。假设存在一个可测右逆η：R→ Rd使得∧o η=idR，Y在平移下闭合，对于任何X∈ Y、 η（X）属于Yd。那么它认为ρ是（选择性）可识别的，并且只有当r0是选择性可识别的。3.2. Ehm等人（2016）的开创性论文中的可引出性结果和混合物代表性表明，在规则性条件下，任何非负评分函数S:R×R→ [0, ∞] 对于α-分位数（τ-期望值）来说，这是一致的，可以写成混合物或Choquet表示（x，y）=ZRSθ（x，y）dH（θ），x，y∈ R、（3.8）其中H是B（R）上的非负测度，Sθ，θ∈ R、是α-分位数（τ-期望值）的非负元素评分函数。特别地，Sθ的形式为θ（x，y）=1{θ<x}- 1{θ<y}V（θ，y）（3.9），其中V是α-分位数（τ-期望值）的定向识别函数。（3.8）中的核心是严格一致的，当且仅当度量H是严格正的，也就是说，它将正质量放置在任何开放的非空集上。Ziegel（2016b）和Dawid12（2016）认为，除了允许定向识别函数的期望值和分位数外，这种构造也适用于更一般的一维函数；参见Jordan、M¨uhlemann和Ziegel（2019）。Steinwart等人。

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2022-6-24 06:59:24

（2014）表明，对于满足一定正则性条件的一维泛函，无向识别函数的存在性等价于泛函的可导性。而识别函数的方向会立即导致基本分数的一致性，从而导致（3.8）处混合分数的一致性，对于某个函数的所有评分函数是否必须采用格式（3.8）的问题，通常只能通过调用Osband的原则（Fissler&Ziegel，2016；Osband，1985）来回答，因此假设平滑度和规则性条件。我们为系统风险度量R构建严格一致的穷举评分函数，也利用了关于R0存在定向严格选择性识别函数的关键结果，本质上与上述方法类似。对于任何y∈ Rd，我们将使用符号R（y）：=R（δy）。定理3.8。

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2022-6-24 06:59:28

设VR0:Rd×Rd→ R应为所有F∈ Md公司∪ {δy | y∈ Rd}VR0（k，F）∈((-∞, 0]，如果k/∈ R（F）[0，∞), 如果k∈ R（F）。（3.10）（i）根据假设（1），对于每个k∈ Rd，映射SR，k:bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞),SR，k（A，y）=1R（y）\\A（k）-1A\\R（y）（k）VR0（k，y）（3.11）是R:Md的非负Md一致穷举评分函数→bP（Rd；Rd+）。（ii）在假设（1）下，如果π是B（Rd）上的σ-有限非负度量，则map SR，π：bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞],SR，π（A，y）=ZRdSR，k（A，y）π（dk）（3.12）是R:Md的非负Md一致穷举评分函数→bP（Rd；Rd+）。（iii）如果假设（2）成立，如果VR0是r0的严格选择性Md识别函数，如果π是B（Rd）上的σ-有限严格正度量，则（3.12）中定义的R，π对F（Rd；Rd+）×rd0的限制与R:Md0严格一致→F（Rd；Rd+），其中Md0 MDI使得'SR，π（R（F），F）<∞ 对于所有F∈ 注意，（3.10）处的条件是某种弱定向形式。然而，这并不意味着VR0是R0的识别函数。在一维设置中，如果基础风险度量为价值风险且分布不连续，则在实践中可能会出现这种情况，这意味着相应的量化识别函数在预期中不会达到0。尽管我们将定理3.8的形式证明推迟到附录A.1中，但考虑到定理3.8构成了图13。图1：尺寸d=2的方程（3.13）的图解说明，我们仍想勾画和说明这一想法。假设红色区域对应于正确指定的风险度量R（F），蓝色区域对应于一些错误指定的预测A。

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2022-6-24 06:59:31

得分差异'SR，π（A，F）-\'SR，π（R（F），F）是R（F）\\A（redonly区域）上的\'VR0（·，F）的积分，加上-\'VR0（·，F）在A（F）（仅蓝色区域）上。本文的主要结果之一。关键的观察是恒等式SR，π（A，F）-\'SR，π（R（F），F）=ZR（F）\\A\'VR0（k，F）π（dk）-ZA\\R（F）(R)VR0（k，F）π（dk）。（3.13）然后，我们使用（3.10）中给出的Vr0弱方向得出结论，（3.13）右侧的FirstIntegral为≥ 0，而第二个积分为≤ 图1提供了这种情况的失写说明。这是为了对OREM 3.8.3.2.1中构建的评分函数做出一些评论。与一维情况相比，（3.12）和（3.8）处的混合表示具有明显的相似性。通过仔细阅读，我们还可以看到（3.11）和（3.9）给出的小学分数水平上的相似之处。实际上，（3.9）可以重写为asSθ（x，y）=1[y，∞)\\[x，∞)(θ) -1[x，∞)\\[是，∞)(θ)V（θ，y）。R（y）的形式可以在下面的引理中明确描述，其中我们使用ρ（ρ（0））=ρ（0）的事实- ρ（0）=0.14引理3.9。设R（Y）={k∈ Rd |ρ∧（Y+k））≤ 0}，Y∈ Yd，其中标量风险度量ρ是递减的且现金不变的，且聚合函数∧：Rd→ R正在增加。然后，对于每个y∈ Rdit认为r（y）=∧-1([ρ(0), ∞)) - y=∧-1（{ρ（0）}）+Rd+- y、考虑到分位数或期望面积标量风险度量值为负值的符号约定，可以看到维度d=1.3.2.2时，（3.11）处的基本分数基本上下降到（3.9）处的分数。可积性（3.11）处初等分数的非负性保证了（3.12）处的积分始终存在。

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2022-6-24 06:59:34

然而，如定理3.8第（iii）部分所述，只有当'SR，π（R（F），F）<∞, 这就提出了（3.12）的积分何时确定的问题。后者的一个有效条件是rrd | VR0（k，y）|π（dk）<∞. 因此，“SR，π（a，F）”完整性的一个充分条件是Vr0为πF-可积。3.2.3. 正常化根据结构，小学分数为（3.11），因此分数为（3.12），都不是负值。众所周知，如果评分函数S（x，y）对于某些函数T是（严格）M-相容的，那么对于λ>0和一些M-可积函数a:O→ R、核心S0（x，y）=λS（x，y）+a（y），λ>0对于T也是（严格）M一致的。继Gneiting和Raftery（2007）之后，我们认为S和S0是等效的。因此，如果mc包含所有点测度，则s0对于T和y 7是严格M一致的→ S0（T（δy），y）isM可积，分数S（x，y）=S0（x，y）-S0（T（δy），y）通过构造是非负的。然而，有时放松评分为非负的归一化条件也有助于放松评分函数的可积性条件。一个标准示例是平方损失S（x，y）=（x- y） 2这是非负的，与任何一类具有有限一阶矩的分布的平均值一致，与任何一类具有有限二阶矩的分布的平均值严格一致。另一方面，等效分数S0（x，y）=x2- 2xy映射到R，但相对于任何一类具有有限一阶矩的分布，其平均值严格一致。有鉴于此，考虑分数S0R，k可能会很有趣，这相当于（3.11）的基础分数。自然选择可能是S0R，k（A，y）=-1A（k）VR0（k，y）；参见Dawid（2016）。

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2022-6-24 06:59:37

这导致了类似于（3.12）式s0r的替代混合物表示，π（A，y）=ZRdS0R，k（A，y）π（dk）=-ZAVR0（k，y）π（dk）。然而，由于被积函数S0R，k（A，y）可以同时获得正值和负值，因此需要强制其负部分是π-可积的，以保证积分的存在。153.2.4. 所有一致性评分函数的特征有证据表明，在适当的规则性条件下，风险度量R的所有一致性评分函数均等于（3.12）中给出的分数。这意味着，模等价，一致评分函数的选择归结为度量π的选择。首先，请注意，命题3.4意味着，我们实际上从哪个方向开始，并不重要。事实上，如果V0R0是另一个此类识别函数，则对于某些正函数h，V0R0（k，y）=h（k）VR0（k，y）。但这仅相当于测量值的变化，因为VR0（k，y）π（dk）=V0R0（k，y）π0（dk），其中π0的密度为1/h。其次，形式（3.12）的评分函数类是凸的，这是一个必要条件（Gneiting，2011a）。第三，如上所述，（3.12）处的混合表示是一维情况的自然延伸。如前所述，对于一维情况，人们通常只能调用Osband的原理来建立这种必要条件。由于Os-band的原理依赖于一阶条件参数，因此它仅在光滑条件和有限维情况下成立。我们怀疑可以将其推广到预测上集inF（Rd；Rd+）的有限维环境中。可能的方法可能是借用变分法的思想，或者考虑分数的增量而不是导数。

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何人来此

2022-6-24 06:59:40

然而，这些方法的技术处理超出了本文的范围，因此我们将其推迟到未来的研究。3.2.5. 顺序敏感性已知，在对ρ的弱假设下，ρ的所有严格一致的评分函数都是顺序敏感性或准确性奖励；参见（Nau，1985，提案3），（Lam bert，2013，提案2），（Bellini&Bignozzi，2015，提案3.4）。在scalarsetting中，此属性表示x1≤ x2个≤ ρ（F）或ρ（F）≤ x2个≤ x1表示\'S（x1，F）≥\'S（x2，F）。虽然在标度的情况下，人们基本上“免费”获得这个有用的属性，但在多变量设置中要求顺序敏感性要复杂得多；参见Fissler和Ziegel（2019c）。多元设置中的一个主要问题是使用哪个顺序关系。在我们的穷举作用域由Rd的闭上子集组成的当前情况下，规范（部分）序关系是子树关系。这意味着在我们的设置中，阶数灵敏度的标准类似物是对于任何分布F∈ Mdit认为 B R（F）或A B R（F）表示'SR，π（A，F）≥\'SR，π（B，F）。以下命题证明，定理3.8（ii）中引入的所有评分函数都满足了顺序敏感性的概念。the Proof基本上利用了基础识别函数VR0的方向，这与Steinwart et al.（2014）中给出的论点相似。提案3.10。以定理3.8（ii）的假设为准。然后，在（3.12）中定义的scoringfunction SR，π对R的Md阶数敏感，即对于所有16a，B∈bP（Rd；Rd+）和所有F∈ Md公司A. B R（F）或A B R（F）==>\'SR，π（A，F）≥\'SR，π（B，F）。

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kedemingshi

2022-6-24 06:59:43

（3.14）在定理3.8（iii）的假设下，如果'SR，π（B，F）<∞ 和内含物A 博尔A （3.14）左边的B是严格的，那么右边的不等式也是严格的。3.2.6. 预测优势和墨菲图（严格）一致性的概念意味着，在预期中，一个正确指定的预测得分最多将与任何错误指定的得分一样高（严格低于）。在预测空间设置的层面上（Gneiting&Ranjan，2013；Str–ahl&Ziegel，2017），Holzmann和Eulert（2014）表明，对于两个理想预测，在任何严格一致的评分函数下，都优先考虑与严格较大的信息集相关的一个可测量值；参见Tsyplakov（2014）。巴顿（2019）证明，总的来说，两个误报预测在不同（一致）的蔑视函数下排名不同。因此，在实践中使用的评分函数的选择不仅关系到一致性，还关系到次要质量标准，例如翻译不变性或同质性，可以指导决定使用什么评分函数；见第4节。对于在所有一致性评分函数中，一个预测得分优于另一个预测得分的罕见情况，Ehm et al.（2016）创造了预测优势这一术语。对于系统性风险度量指标R.definition 3.11（支配地位）的详尽预测情况，我们在此给出了相应的定义。让Y∈ Yd和A、B对（2.1）中形式的某些系统性风险度量R的两个（随机）预测，取inbP（Rd；Rd+）值。假设假设（1）成立。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:59:46

如果E[SR，π（A，Y）]≤ E【SR，π（B，Y）】对于（3.12）形式的所有一致评分函数SR，π，其中π是B（Rd）上的σ-有限非负度量。请注意，预测值是由预测值和观测值的联合分布代替的。由于分数SR、πat（3.12）是由B（Rd）上的非负σ-加和测量类参数化的，因此在实践中使用定义来检查预测优势度不是很方便。为此，以下推论很有帮助。证明是直截了当的，因此省略了。推论3.12。让Y∈ YdA和A、B两个（随机）预测，针对形式为（2.1）的一些系统性风险度量R，取inbP（Rd；Rd+）值。假设假设（1）成立。那么A支配B当且仅当E[SR，k（A，Y）]≤ E【SR，k（B，Y）】等位基因得分SR，kgiven at（3.11），其中k∈ 第3.12条推论为Ehm et al.（2016）中考虑的Murphy直径图的直接多元模拟开辟了道路。也就是说，如果A是系统性风险度量R的abP（Rd；Rd+）值预测，Y是金融系统的相应Rd值观察，我们可以考虑mapRd3 k 7→ sA（k）=E[SR，k（A，Y）]（3.15）作为诊断工具。对于预测值为A1，…，的经验设置，AN∈bP（Rd；Rd+）和观测值Y1，YN公司∈ Rd，（3.15）采用格式RD3 k 7→ ^sN，A（k）=1NNXt=1SR，k（At，Yt）。（3.16）我们说明了Murphy图在第6.2.4小节所述模拟研究中的使用。齐次和平移不变的SCORINGFUNCTION称系统风险度量R为现金不变或平移等变，这意味着R（Y+k）=R（Y）- k代表所有Y∈ Ydand适用于所有k∈ Rd.此外，如果ρ和∧是正齐次的，那么R也是正齐次的，因为R（cY）=cR（Y）表示allY∈ Ydand c>0；见引理4.2。

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