假设（2）成立，并假设VR0是R0的定向严格选择性Md识别函数，该函数的阶数为正齐次∈ R、 （i）设π为b阶非负σ-有限正齐次测度∈ Rand SR，kbe（3.11）表格的基本分数，具有识别功能VR0。然后得分函数sr，π（A，y）=ZRdSR，k（A，y）π（dk），A∈ F（Rd；Rd+），y∈ Rd（4.2）是a+b阶的正齐次函数。（ii）只有当S（a，y）=γSR，π（a，y）在（4.2）对于某些γ，形式为（3.12）的R的任何有限Md一致性评分函数S在（4.2）是a+b阶的正齐次函数≥ 0对于一些非负σ-有限正齐次测度π∈ R、 备注4.7。对于许多度量值π和集A，在（3.12）处定义的得分SR、π（A，y）可能不确定，这会降低预测比较中的实际统计适用性。更重要的是，涉及SR、π（A，y）的得分差异将是不确定的，甚至可能根本不确定。为了克服这一问题，我们建议使用以下分数差异的约定，π（A，y）- SR，π（B，y）：=ZRdSR，k（A，y）- SR，k（B，y）π（dk）（4.3）=ZB\\AVR0（k，y）π（dk）-ZA\\BVR0（k，y）π（dk），其中SR，kar为（3.11）定义的基本分数，仅假设有限值。实际上，（4.3）处的积分可能存在，甚至可能是有限的，即使SR，π（A，y）或SR，π（B，y）为∞. 这在处理TranslationVariant或正同质分数时尤其有用。5、基于预期短缺的系统性风险度量的可引出性定量风险管理中最常见的两种标量风险度量是风险价值（VaRα）和一定水平的预期短缺（ESα∈ (0, 1). 两者都是法律不变的标量风险度量，因此我们可以将其直接定义为适当类别分布的泛函。

对于概率分布函数F和α∈20（0，1）我们定义α（F）=-inf{x∈ R |α≤ F（x）}，（5.1）ESα（F）=1αZα0VaRβ（F）dβ=-1αZ(-∞,- VaRα（F）]x dF（x）-1αVaRα（F）F级(-VaRα（F））- α.在过去十年中，关于哪种标量风险度量最适合用于实践的争论相当激烈，争论主要集中在VaRα和Esα的二分法上；关于全面的学术讨论，请参见Embrechts et al.（2014）和Emmer et al.（2015），关于监管视角，请参见国际清算银行（2014）。VaRα在Hampel（1971）的意义上是稳健的，但忽略了α级以上的损失。此外，Cont等人（2010年）表明，稳健性和一致性是相互排斥的，这意味着VaRα不一致。另一方面，ESα是一个一致的thusnon稳健风险度量。作为尾部预期，它考虑了定义超过α级的损失。这两个风险度量之间的另一层较量是它们的回测性（Acerbi&Szekely，2014，2017）。虽然风险度量的可识别性很重要，但对于传统的回溯测试来说并不必要，但比较回溯测试依赖于现有风险度量的可引出性；参见Fissler et al.（2016）andNolde and Ziegel（2017）。作为α分位数选择的负数，VaRα可以在具有唯一α分位数的任何类别分布上导出。与此形成鲜明对比的是，片麻岩（2011a）表明ESα通常不满足CxLS性质，这排除了其可诱导性；参见Weber（2006）。回想一下，定理3.1和定理3.8建立了基于标量风险度量ρ的系统风险度量的可识别性和可引发性结果，标量风险度量ρ是可识别的，因此在弱正则性假设下是可引发的；见Steinwart等人（2014）。

此外，命题3.7确定，在弱正则性条件下，ρ的可识别性/可引出性对于基于ρ的系统风险度量的可识别性和可引出性也是必要的。因此，对于某些聚合函数∧：Rd→ R、 系统风险度量RESα（Y）={k∈ Rd | ESα∧（Y+k））≤ 0}，Y∈ Yd，通常无法引出。另一方面，对于标量风险度量，Fissler和Ziegel（2016）确定，在弱规则条件下，该对（VaRα，ESα）是可导出的；参见Acerbi和Szekely（2014）。这可能会引发对这对夫妇的怀疑RVaRα，RESα映射到乘积空间F（Rd；Rd+）×F（Rd；Rd+）是完全可以导出的。然而，我们推测RVaRα，RESα, 通常，无法为d提供详尽的CxLS属性≥ 2，排除了其详尽的可引出性。因此，我们需要比RVaRα（Y）={k稍多的信息∈ Rd | VaRα∧（Y+k））≤ 0}，以使涉及RESα的对可引出。请注意，RVARα（Y）仅为每个k编码关于VaRα符号（∧（Y+k））的信息∈ 除了RVaRα（Y）边界上的k之外，我们对VaRα（λ（Y+k））的实际大小一无所知。然而，关于这对（VaRα，ESα）的可诱导性的积极结果实际上利用了这样一个事实，即对于评分函数Sα（x，y）=-（1{y≤21-x}- α） x/α- 1{y≤ -x} y/α，x，y∈ R、 VaRα（F）是期望得分的最小值，ESα（F）是期望得分的最小值；见Frongillo和Kash（2015）。因此，我们应该考虑函数值函数TVaRα：Yd→ 每个Y的RRD位置∈ YdTVaRα（Y）：Rd→ R、 Rd3 k 7→ TVaRα（Y）（k）=VaRα（λ（Y+k））。(5.2)5.1. 可识别性结果为了简化结果的阐述，我们将对M类做出以下假设。假设（3）。

M中的所有分布函数都是连续且严格递增的。注意，该假设还对类Md施加了隐式限制，因为对于分布在Md中的任意Y，对于任意k，随机变量∧（Y+k）在M中有分布∈ Rd.一个严格的M-识别函数V:R2×R→ r2对（VaRα，ESα）：M→r2用v（v，e，y）表示=α - 1{y+v≤ 0}e+1{y+v≤ 0}y/α+（1{y+v≤ 0} - α） v/α,（五、五）∈ R2，y∈ R、 可以通过简单的计算进行验证。这引入了一个（非严格的）选择性Md识别函数U:RRd×Rd×Rd→ R2for（TVaRα，RESα0）：Md→ RRd×2Rd。对于v：Rd→ R、 k级∈ Rd和y∈ Rdit由u（v，k，y）=α定义- 1{∧（y+k）≤ -v（k）}1{∧（y+k）≤ -v（k）}∧（y+k）/α+1{∧（y+k）≤ -v（k）}-αv（k）/α！。（5.3）提案5.1。对于任何F∈ Md，在（5.3）中定义的U的组分U2的方向为，对于任何k∈ Rd'U2（TVaRα（F），k，F）< 0，如果k/∈ RESα（F）=0，如果k∈ RESα0（F）>0，如果k∈ RESα（F）\\RESα0（F）。（5.4）在假设（3）下，映射U是函数（TVaRα，RESα0）的选择性Md识别函数：Md→ RRd×2Rd。5.2. 可引出性结果我们对（5.2）中定义的TVaRα引入以下规律性假设。22假设（4）。功能性TVaRα：Md→ rrd只取C（Rd；R）中的值，即从rdo到R的连续函数空间。通过标准参数，可以验证假设（3）和∧的连续性意味着假设（4）。为了更简洁地给出以下定理，让我们引入Sα，g（x，y）=（1{y≤ x}- α） （g（x）- g（y））对于任何增函数g:R→ R、 回想一下，Sα，gisa是α-分位数的非负一致选择评分函数。

此外，如果g是严格递增的，则sg是与任何一类Mof分布相关的α-量子化的严格一致的选择评分函数，使得g是M-可积的；参见片麻岩（2011b）。定理5.2。（i） 在假设（1）下，对于每k∈ RDSK函数：RRd×bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞),Sk（v，A，y）=-1A（k）U2（v，k，y）- 1RESα（y）（k）∧（y+k）（5.5）是功能性（TVaRα，RESα）Md的非负Md一致性穷举评分函数→ RRd×bP（Rd；Rd+）。（ii）在假设（1）下，如果π1，π2是B（Rd）上的σ-有限非负测度，则映射Sπ1，π2:RRd×bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞],Sπ1，π2（v，A，y）=ZRdSα，gk(-v（k），∧（y+k））π1（dk）+ZRdSk（v，A，y）π2（dk），（5.6），其中每个k∈ rD函数gk:R→ R为非递减且Skisgiven为（5.5），是（TVaRα，RESα）的非负Md一致性穷举评分函数：Md→ RRd×bP（Rd；Rd+）。（iii）如果假设（2）、（3）和（4）成立，如果gk对于所有k严格增加∈ 如果π1，π2是严格正的，则在（5.6）处定义的Sπ1，π2对C（Rd；R）×F（Rd；Rd+）×rdi的限制是（TVaRα，RESα）的非负严格Md0一致的穷举取心函数：Md0→ C（Rd；R）×F（Rd；Rd+），其中Md0MDI使得不等式Sπ1，π2（TVaRα（F），RESα（F），F）<∞ 适用于所有F∈ Md0。定理5.2（ii）表明，再次有可能考虑墨菲图，以同时评估（5.6）中给出的所有SCORINGFUNCTION的（TVaRα，RESα）预测质量。然而，直接实现相当于在二维欧几里德空间上定义它们。如果按照Ehm et al.（2016）的精神进一步分解函数，甚至最终会得到一个定义在R×Rd×Rd上的地图。然而，按照Ziegel、Kr¨uger、Jordan和Fancati（2019）的思路，度量π1仅说明风险价值组成部分的预测准确性。

因此，如果利息集中在预期短缺部分，那么设置π1=0以便于分析是有意义的。这意味着可以考虑MurphydiagramRd3 k 7→ E[Sk（v，A，Y）]，小学成绩Sk为（5.5）。符合（3.16）精神的经验公式是直截了当的。示例和模拟6.1。在本小节中，我们将通过模拟研究证明定理3.8中构造的一致性穷举评分函数的辨别能力。Weshall在Gneiting andRanjan（2013）中介绍的预测空间背景下这样做。这意味着我们明确地为每个预报员的信息集建模。为了简单起见，继片麻岩、Balabdaoui和Raftery（2007）以及Fissler和Ziegel（2019a）之后，我们选择考虑随时间独立且相同分布的预测观测序列。尽管进行了这种简化，但在模拟研究中仍需考虑多种参数：（i）金融系统的维数d，（ii）Yt的（无条件）分布，（iii）聚合函数∧；（iv）标量风险度量ρ；（v） ATA和Bt的竞争预测，以及它们与Yt的联合分布；（vi）度量π（以及评分函数SR，π）；（vii）时间范围N.我们对这些参数的以下选择进行了确认。（i） –（iii）我们使用两种不同的Ytand∧组合。在这两种情况下，我们都使用一个d=5参与者的系统。（a） 向量YT对系统参与者的得失进行建模。在任何时间点t，Yt=ut+t其中ut服从5维正态分布，平均值为0，相关性为0.5，方差为1，以及t遵循a5维标准正态分布。此外，utand皮重独立于所有t。

因此，有条件地在ut上，Ythas分布N5（ut，I5），而无条件地，Yt~ N5（0，∑），对于i，（∑）ij=0.5，j=1，5，i 6=j，否则为2。聚合函数∧1的形式为∧1（Yt）=（1-β） Pdi=1Y+i，t-βPdi=1Y-i、 t，如Amini等人（2015）所述，我们设定β=0.75。这样一来，收益和损失都会影响聚集函数的值，然而，损失的权重更高。下面是x+和x-表示x的正负部分，例如x+=最大值（0，x）和x-= -最小值（0，x）。（b） 我们考虑了Eisenberg和Noe（2001）的扩展模型；参见Feinstein等人。（2017）：参与者对彼此负有责任，Lij，t表示参与者i在时间点t，i，j=1，…，对参与者j的名义责任，5.此外，每个参与者i在时间点t欠社会一笔金额Lis，To。为了简化模拟并缩短计算时间，我们假设负债矩阵是确定的且在时间上是恒定的，这样我们就可以写Lis而不是Lis，t。此外，我们用“L”表示承诺给社会的所有24笔付款的总和，即“Ls=Pdi=1L”。向量Yt表示时间点t的参与者的禀赋。正如Eisenberg和Noe（2001）所建议的那样，如果一些禀赋是负的，我们引入一个所谓的链接节点，并将负禀赋解释为对该节点的负债。聚合函数∧2的值对应于社会在清算过程中获得的所有支付的总和，如Eisenberg和Noe（2001）所述。为了模拟参与者的禀赋Yt，我们假设Yit=（uit+it）2对于i=1，5带utandt参见（a）。我们按照以下方式构建系统：o一个参与者对另一个参与者的概率为0.8。

如果存在从i到j的负债，其名义价值为2。o此外，每位参与者还欠协会2英镑。（iv）在设置（a）中，我们考虑标量风险度量VaRα，α∈ （0，1），定义为（5.1），其基于预期的版本定义为EVaRτ（X）=-eτ（X），τ∈ （0，1），其中eτ满足方程τe[（X- eτ）+]=（1- τ） E[（X- eτ）-] （Newey&Powell，1987）。关于基于预期的金融风险度量的解释，我们参考Bellini和Di Bernardino（2017）以及Ehm et al.（2016），以获得关于预期的新经济角度。然而，在情况（b）中，聚集函数∧2仅产生非负值，因此，当使用ρ=VaRα或ρ=EVaRτ时，任何金融系统都是可以接受的。继Fein stein et al.（2017）之后，我们通过考虑转移风险度量值ρ（X）=ρ（X）+0.9'Ls克服了这一问题，其中ρ=VaRα或ρ=EVaRτ，因此，如果社会从节点获得的金额的VaRα或EVaRτ最-0.9英寸。使用VaRα和EVaRτ的标准识别函数（Gneiting，2011a），R0的选择性识别函数如下：o对于ρ（X）=VaRα（X）+a:VR0（k，y）=α- 1{∧（k+y）- 一≤ 0}; （6.1）o对于ρ（X）=EVaRτ（X）+a:VR0（k，y）=τ（λ（k+y）- （a）+- (1 -τ） （λ（k+y）-（a）-. （6.2）（v）我们考虑两个具有不同信息集的理想预测者：Anne可以访问u，并使用给定ut的正确条件分布进行预测。也就是说，她发布At=R（N5（ut，I5））=R（N5（05，I5））- utin case（a）and at=R（N5（ut，I5）2）in case（b）for each t=1，N、 这里，我们使用符号nd（m，∑）2表示随机变量Y=x2的分布，其中X~ Nd（m，∑）。鲍勃不知情，发布了气候预报。也就是说，他使用正确的无条件YT分布进行预测。

因此，他在情况（a）中不断预测Bt=R（N（05，∑）），在情况（b）中不断预测Bt=R（N（05，∑）2）。（vi）我们选择π作为平均值为m的5维高斯测度∈ r5和协方差I5。为了提高分数SR，π的辨别能力，我们旨在选择距离R（Yt）边界较近的m。在这里，我们使用m=2·1，因为该值似乎非常接近Bob在所有四种情况下的（确定性）预测。事实证明，π的选择对于可集成性的考虑是有益的，并使我们的分数确定下来。实际上，由于ρ=VaRα+a的Vr0是有界的，所以它是π F-可积的任何有限测度π。在ρ=EVaRτ+a的情况下，需要更多的考虑。从∧2的构造可以清楚地看出，它是一个有界函数，尤其是，值位于区间0，Pdi=1Lisi。这反过来意味着识别函数VR0是有界的。因此VR0isπF-可积的任何有限测度π。最后，由于∧1仅线性增长，且π和y均为高斯分布，因此在这种情况下也保证了可积性。（vii）我们使用的样本量N=250，很好地代表了一年中的工作（和交易）天数。为了比较Anne的预测性能和Bob的预测性能，我们采用了经典的Diebold-Mariano检验（Diebold&Mariano，1995），该检验基于评分函数SR，π在（3.12）处的形式，因为我们选择了（6.1）和（6.2）中介绍的π和识别函数。我们对设置（a）重复实验1000次，对设置（b）重复实验100次，因为由于存在清除，设置（b）中的计算时间往往相当长。我们用大小为100000的蒙特卡罗图近似π。

计算是用统计软件R进行的，尤其是它的Rcpppackage，它还集成了部分C++代码以提高计算速度。我们考虑使用两个不同的单侧无效假设进行测试。零假设0:E[SR，π（A1，Y1）]≥ E[SR，π（B1，Y1）]，或简而言之H0:A B、 这意味着Bob比Anne具有更好的预测性能，根据SR，π进行评估。相反，H0:A B代表H0:E【SR，π（A1，Y1）】≤ E[SR，π（B1，Y1）]断言Anne的预测在SR，π方面优于Bob的预测。在表1中，我们报告了各个零假设的拒绝相对频率。援引霍尔兹曼和欧勒特（2014）建立的关于不断增加的信息集的一致评分函数的敏感性，我们预计安妮的预测被视为优于鲍勃的预测。事实上 无论哪种情况，B都不会被拒绝，而A 在各种情况下，74%到100%的所有实验中，B被拒绝。特别是H0的拒收率：A B在0.94和1之间，我们观察到模型（a）与模型（B）相比，Bob和Anne之间的辨别能力要高得多，模型（B）的拒绝率在0.74到0.90之间。这可能是因为∧1是无界的，而∧2只取0到'Ls之间的值，这可能会转化为预测所依据的预测分布的较小影响。

此外，在案例（a）和（b）中，对于ρ=EVaRα+a，Anne的预测优于Bob的预测的实例数高于ρ=VaRα+a。26k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4-0.010.000.010.020.030.040.05k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4 f1t=Bt，f2t=Atk1k2-4.-2024-4.-2 0 2 40.000.050.100.15k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4 f1t=Ct，f2t=Atk1k2-4.-2024-4.-2 0 2 40.000.020.040.060.080.100.120.140.16k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4 f1t=Ct，f2t=Bt图2：左面板：经验墨菲图的差异^s250，f1（k）- ^s250，f2（k）（3.16）与k∈ 右面板：Fissler等人（2016）之后的逐点比较反测试的三区转换光插图。绿地对应于空H+0:f1的区域 F2被拒绝，重做是H-0：f1 F2被拒绝，分别为0.05级。黄色表示H+0或H-0被拒绝。在灰色区域，两个墨菲图完全重合。27H0VaR0.01VaR0.05EVaR0.01EVaR0.05∧1A B 0.995 0.940 1.000 1.000A B 0.000 0.000 0.000 0.000∧2A B 0.740 0.870 0.790 0.900A B 0.000 0.000 0.000 0.000表1：显著性水平0.05.6.2的无效假设拒绝率。墨菲图在本小节中，我们按照推论3.12说明墨菲图的使用。为了便于图形化说明，我们将尺寸减小到d=2，将第6.1小节的案例（a）转换为d=2。特别是，我们有Yt=ut+t其中ut服从2维正态分布，平均值为0，方差为1，相关性为0.5，以及t遵循二维标准正态分布。作为标量风险度量ρ，我们只考虑VaR0.05，并使用聚合函数∧1:R2→ R、 即∧（x）=0.25（x+1+x+2）-0.75（x-1+x-2). 除了上述重点介绍的Anne和climatological Bob都理想地使用各自的信息集外，我们还考虑了Celia。

与安妮一样，西莉亚也可以访问同一信息集中的ut结果。然而，她误解了这一点，并发布了逆转预测的迹象，即Yt~ 氮气(-ut，I2）。也就是说，Ct=R（N2(-ut，I2））=R（N2（0，I2））+ut。我们再次考虑n=250的时间范围。在图2的左面板中，我们说明了经验墨菲图的差异[-5，5]23 k 7→ ^s250，f1（k）- ^s250，f2（k）=1250P250t=1SR，k（f1t，Yt）- SR，k（f2t，Yt），其中f1t，f2t代表三种预测之一，At，Btor Ct。在每一对比较中，我们选择F1T低于F2T，我们期望相应的墨菲图存在非负差异。实际上，只有在Boband-Anne之间的比较中，才有一些k，其中^s250，f1（k）- ^s250，f2（k）<0。对于其余区域和情况，墨菲图的表现与我们的预期一致。对于所有三个成对比较，可以很好地识别出相应的两个预测不同的区域，从而产生蓝色描述的正分数差异。这个蓝色区域似乎对应于consideredrisk测度边界的模糊版本。有趣的是，虽然这两对涉及西莉亚的人在形状和位置上表现出正得分差异的区域相似，但在安妮和鲍勃的比较中，这一区域似乎被轻松地转换到了右上角。非常直观地说，在Bob andAnne发布的两个理想预测之间的较量中，得分差异的大小（最大值约为0.05）比涉及符号颠倒的西莉亚的情况小，其中墨菲图之间的最大值差异大于0.15。我们已经多次进行了这个实验，并观察到程式化的事实在质量上是稳定的。

出于透明度原因，我们描述了第一次进行的实验，但我们在Fissler等人（2019b）中报告了更多的实验。28在图2的右侧面板中，我们使用Fissler et al.（2016）中建议的Trans-light图解描述了逐点比较回溯测试的结果，这类似于国际清算银行的三区方法（2013，第103-108页）。也就是说，我们使用基本分数SR，kfor agrid中的每个k进行Diebold-Mariano测试[-5, 5]2. 这意味着，我们想看看预测的优越性是否在0.05的显著水平上得到认可，部署了两个可能的单侧零假设H+0:f1 F2和H-0：f1 f2，使用前面小节中介绍的符号。如果对于某个k，认为F2明显优于tof1，则拒绝空H+0，我们将相应的k涂成绿色。类似地，如果空H-0被拒绝，考虑到F1优于f2，我们用红色表示k。对于黄色区域中的所有k，两个空值中没有一个被拒绝，这意味着该过程在显著水平0.05下是不确定的。最后，灰色区域对应于所有t=1，…，得分差异始终为零的点，N、 由于方差消失，迪堡马里亚诺试验显然不可能在那里进行。但很明显，这仍然意味着这两个预报员在这一地区同样出色。具体结果与图2左面板中获得的情况很好地对应。对于所有三个成对比较，以及对于靠近区域四个角的k[-5，5]2，分数差异同样消失，导致灰色。同样，在这三种情况下，都存在一种“连续”行为，即灰色区域在变成相当宽的绿色条纹之前与浅绿色条纹相邻。

对于涉及西莉亚的比较，显然使用了低于安妮和鲍勃的预测分布，令人欣慰的是，一个实质性的区域是绿色的。在这个地区，程序是决定性的，认为西莉亚明显不如安妮和鲍勃。此外，对于这个特定的模拟，没有红色区域。比较安妮和鲍勃这两位理想预言家的情况要复杂一些。虽然之前的大多数观察结果也适用于这种情况，但在右上角附近有一条小红色条纹。对于该区域的k和这个特定的模拟，这意味着Bob的预测优于Anne的预测。虽然这一观察结果有些出乎意料，但它反映了模拟的有限样本性质，从而使这种结果成为可能。查看更多的实验，inFissler等人（2019b）再次报告了这些实验的结果，结果表明，在不同的模拟中，红色区域并不稳定（这显然违反了Holzmann和Eulert（2014）中建立的一致评分函数对增加信息集的敏感性），但它会移动，偶尔也会消失（在该区域上[-5，5]2考虑在内）。有趣的是，在存在红色区域的所有喷口中，这个红色区域仍然大致位于一个相似的区域。7、导言中提到的讨论，本文的目的和主要贡献包括在定理3.1中建立选择性识别结果，在定理3.8中建立对资本分配敏感的系统性风险度量的详尽可引出性结果。值得注意的是，一致的穷举评分函数的构建依赖于易于计算的基本分数的29混合表示，这为墨菲图的诊断工具开辟了道路。回溯测试。

如Fissler et al.（2016）和Nolde and Ziegel（2017）所述，系统风险度量R的严格一致的穷举评分函数Sr可用于相互竞争的穷举预测的对比回溯测试，即集值预测；另见第6节。更准确地说，有相互竞争的预测A1，AN∈P（Rd；Rd+），B1，BN公司∈ P（Rd；Rd+），并验证金融系统Y1的损益观察结果，YN公司∈ Rd，可以考虑测试统计的适当归一化版本1nnxt=1SR（At，Yt）- SR（Bt，Yt）来评估哪个预测序列在SR下更优。另一方面，可以为风险度量构建定向的选择性识别函数这一事实可能为单侧传统回溯测试开辟了道路（Nolde&Ziegel，2017，第2.21小节）。也就是说，如果有一系列向量值资本要求预测k1，千牛∈ Rd以及验证观测结果1，YN公司∈ Rd，有人可能想知道预测的资本要求是否足以消除R下金融系统的风险。这意味着，我们想判断kt∈ R（Yt）对于所有t=1，N具有一定程度的确定性α。如果VR0是R0的一个定向严格选择识别函数，这相当于测试单侧零假设0:E【VR0（kt，Yt）】≤ 0表示所有t=1，N、 在适当的混合条件下，可以通过考虑检验统计量的重标度版本1nnxt=1VR0（kt，Yt），为该零假设构造一个（渐近）水平α检验。请注意，从监管角度来看，测试这一单边零假设比测试双边零假设更为合理：对于所有t=1，…，E[VR0（kt，Yt）]=0，N、 实际上，这对应于评估ρ（λ（Yt+kt））=0。

然而，从监管角度来看，高估财务要求以使系统可接受更为谨慎。M-估计。如果系统性风险度量值R是完全可导出的，则可以用M估计的形式对其进行推断（Huber&Ronchetti，2009）。也就是说，如果有一个样本Y1，YN公司∈ 在充满充分混合条件的平稳观测中，可以估计集值风险度量R（Y）∈ F（Rd；Rd+），其中y30与观测值具有相同的分布，viabR（Y）=arg minA∈F（Rd；Rd+）1NNXt=1SR（A，Yt），（7.1），其中SR:F（Rd；Rd+）×Rd→ R是R的严格一致的穷举评分函数。在适当的条件下，（7.1）处的M估计br（Y）与R（Y）一致。然而，从计算上来说，（7.1）中的优化问题可能会非常昂贵，如果可行的话。原因是需要优化所有closedupper Rd.Retression集的集合。与M-估计概念密切相关的一个概念是回归，在回归中，可以绕过复杂因素，在集合上进行优化。考虑一个时间序列（Xt，Yt）t∈N、 按照通常的命名，让yt表示响应变量，取Rd中的值，让xt为累加器的p维向量。回归系数可能包括似乎与金融系统的系统风险相关的数量。例如，宏观经济数量，如GDP、失业、通货膨胀、净投资等 Rqbe是一个参数空间，设M:Rp×Θ→ F（Rd；Rd+）是一个参数模型，取Rd的闭上子集集合中的值。假设该模型正确指定，存在唯一参数θ0∈ 对于所有t，r（FYt | Xt）=M（Xt，θ0）P-a.s∈ N、 （7.2）此处，R:Md→ F（Rd；Rd+）是一个符合定理3.8（iii）条件的形式为（2.1）的法律不变风险度量。

此外，假设条件分布FYt | Xtof Ytgiven xts几乎肯定是md0的一个元素，这里我们使用定理3.8的符号。请注意，时间序列不需要是强平稳的，但只有条件分布FYt | Xt需要满足通过（7.2）指定的“半参数平稳条件”。设SR，π为R的严格MD0一致的穷举评分函数。然后，在（White，2001，推论3.48）中规定的某些混合和可捕获性假设下，得出以下大数定律1nnxt=1SR，π（M（Xt，θ），Yt）- E[SR，π（M（Xt，θ），Yt）]→ 0 P-a.s.作为N→ ∞对于所有θ∈ Θ. 它本质上是LargeNumbers结果定律的统一版本（在参数θ中），它产生了经验估计bθN的一致性：=arg minθ∈对于θ0，Θ1NNXt=1SR，π（M（Xt，θ），Yt）（7.3）；参见Huber和Ronchetti（2009）；Nolde和Ziegel（2017）；van der Vaart（1998）获取详细信息。与M估计相比，这种回归方法的优点是31，（7.3）处的优化需要在Rqonly的子集上进行（通常认为是紧凑的）。这使得结果在计算上比在一组上部集合上的优化过程更可行。换言之，M-估计可以被视为回归的一个特殊实例，其中回归系数x为常数，其中Θ对应于F（Rd；Rd+）。除了构建合理的参数模型Mto来建模金融系统的系统性风险这一常见的实际挑战外，我们还看到了一些与此回归框架相关的有趣的理论问题。然而，在（7.2）给出的校正模型规范下，任何严格一致的评分函数SR，π都会产生一致的估计量BθNat（7.3），估计量通常取决于有限样本中R，π（或π）的选择。

此外，估计量BθN的有效性表示为√N（bθN- θ0），将取决于SR，π的选择，这表明SR，π有一个有趣的最优性标准。回避这一问题的一种非常现代和有趣的方法是，同时对所有一致的得分函数类（或面积相当大的子类）进行重新分类，这在最近的论文Jordan et al.（2019）中进行了探讨。为了有效地实现这一点，分数函数在基本分数方面的混合表示可能是有益的。我们将这个有趣的问题推迟到未来研究。致谢我们衷心感谢Tilmann Gneiting和Johanna Ziegel的深入讨论和持续鼓励。我们感谢Timo Dimi triadis和Peter Baranˇcok，他们在同等分数的情况下提供了有益的评论，感谢袁力对本文早期版本的仔细校对，感谢Luk\'aˇsˇSablica对本项目模拟部分的有益编程建议。托拜厄斯·菲斯勒（Tobias Fissler）感谢伦敦帝国理工学院（Imperial College London）通过其查普曼奖学金（Chapman Fellowship）提供的财政支持，以及维也纳经济与商业大学统计与数学研究所（Institute for Statistics and Math ematics）在几次考察期间的热情款待，当时该项目的主要部分已经联合开发。A、 附录A。1、定理3.1第3节证明。（i） 设Vρ：R×R→ R是ρ的严格M-识别函数。这意味着∈ Ydwith分布F∈ Md，所有k∈ Rdand forall x∈ R、 一个有那个Vρ（x，∧（Y+k））= 0<==> x=ρ（λ（Y+k））。（A.1）32设定x=0 in（A.1）yieldsEFVρ（0，∧（Y+k））= 0<==> 0=ρ（λ（Y+k））<==> k∈ R0（Y），尤其适用于R0（Y）=.

因此，VR0（k，y）=Vρ（0，∧（y+k））是R0的严格选择性M识别函数。（ii）现在假设Vρ：R×R→ R是ρ的定向严格M-识别函数。这意味着∈ Ydwith分布F∈ Md，所有k∈ Rdand forall x∈ R、 一个有那个Vρ（x，∧（Y+k））< 0，如果x<ρ（λ（Y+k））=0，如果x=ρ（λ（Y+k））>0，如果x>ρ（λ（Y+k））。（A.2）在（A.2）中设置x=0，则产生索赔。命题3.4的证明。该证明遵循Fissler和Ziegel（2016）中定理3.2的证明；参见Osband（1985）。x的维数在证明中不起任何作用。当我们的识别函数映射到R时，我们在Fissler和Ziegel（2016）的定理3.2中使用k=1。关于F1，F2存在的假设∈ md使得“VR0”的符号不同，再加上mda的凸性相当于Fissler和Ziegel（2016）中的假设（V1）。如果我们更换由V0（x，F）得到函数h:a→ R使得所有x的'V0（x，F）=h（x）'V（x，F）∈ A和所有F∈ Md.由于矩阵bg在证明中将是任何x的秩1的2×3矩阵∈ A、 对于所有x，h（x）必须为非零∈ A、 命题3.6的证明。让F∈ MDW和EARw（F）6=. 注意，对于任何k∈ Rd，\'VEARw（k，F）评估\'VR0（·，F）：Rd→ 与包含k的w正交的超平面上的R。自EARw（F） R0（F），k∈ EARw（F）表示“VR0（k，F）=0。VR0的方向，以及EARw（F）是R（F）与与w正交的R（F）的支撑超平面的交点，并且R（F）是一个上集，这意味着“VR0（k+x，F）=”VEARw（k，F）（x）≤ 0表示所有x∈ w⊥.

如果k/∈ EARw（F），有两种可能性：（i）包含k的正交超平面与R（F）有一个空交点，因此对于所有x，VR0（k+x，F）<0∈ w⊥.（ii）包含k的正交超平面与R（F）\\R0（Y）有一个非空交点，因此有一些x∈ w⊥VR0（k+x，F）>0时。现在让我们听听（F）=. 如果R（F）=, （3.7）适用于一般情况。如果R（F）为非空，则EARw（F）仅在R（F）正交拖曳没有支撑超平面时为空。那么对于任何k∈ Rd，有x1，x2∈ w⊥如图3.33右侧所示，如图3.3：维度d=2的命题3.6证明的图解所示，使得“VEARw（k，F）（x1）>0且“VEARw（k，F）（x2）<0”。假设蓝色区域对应于正确指定的风险度量值（F）。在左图中，EARw（F）是一个单态，仅包含点a。点B对应于情况（i），而点C和D是不在EARw（F）中的点的情况（ii）的示例。在右图中，EARw（F）=.对于任何k∈ Rd有一些x∈ w⊥使“VR0（k+x，F）>0。命题3.7的证明。“仅当”部分是定理3.1的特例。对于“if”部分，假设VR0:Rd×Rd→ R是R0的严格选择性Md识别函数。对于任何Y∈ Ydit认为E[VR0（0，Y）]=0<=> 0∈ R0（Y）<=> ρ（λ（Y））=0。那么对于任何s∈ R和任意X∈ Yρ（X）=s<==> ρ（X+s）=0<==> E[VR0（0，η（X+s））]=0。因此ρ可通过严格的选择性M-识别函数Vρ：R×R识别→ R、 Vρ（s，x）=VR0（0，η（x+s））。为了证明定理3.8，我们需要以下引理。引理A.1。让A1、A2∈ F（Rd；Rd+）。然后，对称差A14A2=（A1\\A2）∪ （A2\\A1）为空，当且仅当其内部int（A14A2）为空。引理A.1的证明。如果A14A2= 很明显，int（A14A2）=.假设有一个x∈ A14A2。

在不丧失一般性的情况下，我们可以假设x∈ A1\\A2。如果x∈ int（A1\\A2），我们完成了。因此，让x∈ （A1\\A2）\\int（A1\\A2），表示x∈ （A1\\A2），其中（A1\\A2）表示A1\\A2的边界。它认为（A1\\A2）=（A1∩Ac2） A1级∪（Ac2）=A1级∪但是自从A2级 A2和x∈ A1\\A2，它遵循x∈ A1\\A2。由于边界的定义，这意味着对于所有ε>0的情况，它保持bε（x）∩ A16=, 其中，Bε（x）是中心为x，半径为ε的空心球。假设对于所有ε>0，我们有Bε（x）∩ A26=, 然后是x∈\'A2=A2，这与假设x相矛盾∈ A1\\A2。这意味着存在一个ε0>0，使得bε0（x）∩ A2=. 此外，由于A1是一个上集，x+Rd++是A1的一个非空opensubset。此外，我们看到Bε0（x）∩ （x+Rd++）是A1的非空开放子集合，它与A2不相交。这意味着int（A1\\A2）6=.34定理3.8的证明。（i） 让k∈ Rd，A∈bP（Rd；Rd+）和F∈ Md.直接计算得出'SR，k（A，F）-\'SR，k（R（F），F）=1R（F）\\A（k）-1A\\R（F）（k）(R)VR0（k，F）≥ 0，（A.3），其中最后一个不等式是（3.10）中方向弱形式的直接结果。SR，k的非负性来自Md一致性，证明δy∈ Mdfor所有y∈ Rd和SR，k（A，y）≥ SR，k（R（y），y）=0。（ii）这是分数的非负性和一致性的直接结果，k.（iii）Let F∈ Md和A*:= R（F），A∈ F（Rd；Rd+），A 6=A*. 假设无质量'SR，π（A，F），'SR，π（A*, F）<∞ 保持（否则，就没有什么可显示）。利用Fubini定理，我们得到了'SR，π（A，F）-\'SR，π（A*, F）=ZA*\\A'VR0（k，F）π（dk）-ZA\\A*\'VR0（k，F）π（dk）。引理A.1得出int（A\\A*) 6=  或int（A*\\A） 6=.

如果int（A\\A*) 6= ,事实上，V（·，F）在（A）上是严格负的*)假设π将正质量赋给B（Rd）中的任何非空开集，则意味着*\'VR0（k，F）π（dk）<0，这意味着\'SR，π（A，F）-\'SR，π（A*, F）>0。假设int（A*\\ A） 6=. 边界A.*= R0（F）={k∈ Rd |(R)VR0（k，F）=0}是一个闭集。这意味着int（A*\\（A）\\A.*打开且非空。此外，VR0（·，F）在int（A）上严格为正*\\ （A）\\A.*. 因此，ZA*\\A'VR0（k，F）π（dk）≥锌（A*\\（A）\\A.*\'VR0（k，F）π（dk）>0，这意味着\'SR，π（A，F）-\'SR，π（A*, F）>0。命题3.10的证明。对于命题的第一部分，充分展示了小学分数SR、kgiven at（3.11）的顺序敏感性。让A B R（F）。那么，对于任何k∈ Rd、SR、k（A、F）-\'SR，k（B，F）=1B\\A（k）\'VR0（k，F）≥ 0，由于（3.10）中给出的方向。另一方面 B R（F）我们得到了SR，k（A，F）-\'SR，k（B，F）=-1A\\B（k）(R)VR0（k，F）≥ 0，其中不等式后面紧跟着（3.10）。命题的第二部分遵循定理3.8（iii）的证明。35A。引理4.2第4节的证明。假设ρ是正齐次的标量风险度量，∧是b阶正齐次的∈ R、 设c>0和Y∈ Yd.R（cY）=nk∈ Rd |ρ（λ（cY+k））≤ 0o=nk∈ Rd |ρcb∧（Y+k/c）≤ 0o=nk∈ Rd | cbρ（λ（X+k/c））≤ 0o=nk∈ Rd |ρ（λ（X+k/c））≤ 0o=cnk∈ Rd |ρ（λ（X+k））≤ 0o=cR（Y）。引理4.3的证明。（i） 让y，k，l∈ Rd.ThenVR0（k+l，y- l） =Vρ（0，∧（k+l+y- l） ）=Vρ（0，∧（k+y））=VR0（k，y）。（ii）设V0R0是R0的另一个平移不变严格Md识别函数。利用命题3.4，有一个非消失函数h:Rd→ R，使得所有x的'V0R0（x，F）=h（x）'VR0（x，F）∈ 所有F的Rdand∈ Md。

可以证明H是常数，这与Fissler和Ziegel（2019c）中命题4.7（ii）的证明一致。（iii）设c>0，k，y∈ Rd.ThenVR0（ck，cy）=Vρ（0，λ（ck+cy））=Vρ（0，cb∧（k+y））=cabVρ（0，λ（k+y））=cabVR0（k，y）。命题4.5的证明。首先观察到VR0（k，y）=Vρ（0，λ（y+k））是R0的定向选择性平移不变严格Md识别函数，调用Lemma4.3（i）和定理3.1。然后直接计算得出Sr，k（a+l，y- l） =SR，k-l（A，l）（A.4）表示所有A∈ 2Rd，y，l∈ 因此，（A.4）和Lebesguemeasure的平移不变性显示了第（i）部分。对于第（ii）部分，假设S的形式为（3.12）中的形式，并且是平移不变的，引用上述讨论，我们可以假设元素分数S基于平移不变识别函数VR0，而不丧失一般性。Forl公司∈ 定义A的度量值πl（A）=π（A+l）∈ B（Rd）。注意，由于S被假定为有限的，这意味着分数差异得到了很好的定义，并且也是翻译变量。对于 B这意味着对于任何l∈ RZB\\AVR0（z，y）πl（dz）=ZB\\AVR0（z，y）π（dz）。36形式I的任何集合=[a1，b1）×···×[ad，bd），ai，bi∈ R、 人工智能≤ 对于某些A、B，bi可以表示为B\\A∈ F（Rd；Rd+）带A B、 然而，这些集合的系统I是B（Rd）的生成元，我们得出结论，对于任何l∈ Rdνy，l（D）：=ZDVR0（z，y）πl（dz）=ZDVR0（z，y）π（dz）=：νy（D）。（A.5）对于所有D∈ B（Rd）。对于每个D∈ B（Rd）我们得到分解（取决于y）D=D+y∪D-y∪D0y，其中D-y=D∩R（y）c，D0y=D∩R0（y）和D+y=D∩R（y）\\R0（y）。因此，（A.5）和识别函数VR0的严格性意味着E=D+yor E=D-yπl（E）=ZE1VR0（z，y）νy，l（dz）=ZE1VR0（z，y）νy（dz）=π（E）。（A.6）R和假设（2）的翻译等效性意味着（A.6）适用于allE∈ B（Rd）。

这意味着对于某些γ，π=γld≥ 命题4.6的证明。假设VR0是R0的一个定向严格选择Md识别函数，该函数为a阶正齐次函数∈ R、 A直接计算得出，对于所有A，Sr，k（cA，cy）=caSR，kc（A，y）（A.7）∈ 2Rd，y∈ RDC>0。如果π是b次正齐次的∈ R、 （A.7）意味着（4.2）中的SR，π是A+b度的正齐次。对于第（ii）部分，假设S是（3.12）处的形式，并且是A+b度的正齐次。对于c∈ 定义A的度量值πc（A）=π（cA）∈ B（Rd）。请注意，由于S被假定为有限的，S的正同质性意味着分数差异得到了很好的定义，并且在a+b的程度上也是正同质的 B直接计算表明，对于任何c>0ZB\\AVR0（z，y）πc（dz）=cbZB\\AVR0（z，y）π（dz）。使用与命题4.5证明中相同的论点，我们得出结论，对于所有D，νy，c（D）：=ZDVR0（z，y）πc（dz）=cbZDVR0（z，y）π（dz）=：cbνy（D）∈ 对于E=D，B（Rd）和πc（E）=ZE1VR0（z，y）νy，c（dz）=ZE1VR0（z，y）cbνy（dz）=cbπ（E）（A.8）∩ R（y）cor E=D∩ R（y）\\R0（y）。最后，R和假设（2）的翻译等效性意味着（A.8）适用于所有E∈ B（Rd）。这意味着π是b.37A度的正齐次。3、命题5.1第5节的证明。让F∈ MDK和k∈ Rd.然后'U2（TVaRα（F），k，F）=1αEF[λ（Y+k）1{∧（Y+k）≤ -TVaRα（F）（k）}]+1αVaRα（λ（Y+k））F∧（Y+k）(-VaRα（∧（Y+k）））- α= -ESα（λ（Y+k））< 0，如果k/∈ RESα（F）=0，如果k∈ RESα0（F）>0，如果k∈ RESα（F）\\RESα0（F），其中F∧（Y+k）是∧（Y+k）的分布函数。在假设（3）下，它保持U1（TVaRα（F），k，F）=0。因此，我们以第二个断言结束。定理5.2的证明。（i） 让F∈ Md，v∈ RRd，A∈bP（Rd；Rd+）和v*= TVaRα（F），A*= RESα（F）和k∈ 如果Sk（v，A，F）=∞ 没有什么可展示的。所以我们假设“Sk（v，A，F）”是有限的。

考虑“Sk”（v、A、F）-(R)Sk（v*, A、 F）=1A（k）-\'U2（v，k，F）+U2（v*, k、 F）= 1A（k）EFSα，id(-v（k），∧（Y+k））- Sα，id(-v*（k） ，λ（Y+k））≥ 0，自Sα以来，α分位数的idis一致。如果Sk（v*, A、 F）=∞ 我们完成了。否则，考虑“Sk（v*, A、 F）-(R)Sk（v*, A.*, F）=1A级*\\A（k）-1A\\A*（k）\'U2（v、k、F）≥ 0，其中不等式如下（5.4）。非负性来自于一致性和Sk（TVaRα（δy），RESα（δy），y）=0的事实。（ii）由于第（i）部分的原因，分数S0，π2与（TVaRα，RESα）的Md一致：Md→ RRd×bP（Rd；Rd+）。由于Sα，gz是α-分位数的一致选择评分函数，因此该断言遵循了Fubini定理。（iii）让F∈ Md0，v∈ C（Rd；R），A∈ F（Rd；Rd+）和v*= TVaRα（F），A*= RESα（F）。Ifv 6=v*那么K={K∈ Rd | v（k）6=v*（k） }6= 已打开。如果Sπ1，π2（v，A，F）=∞ 没有什么可展示的。其他情况下，ef[Sπ1，π2（v，A，Y）- Sπ1，π2（v*, A、 Y）]≥ZKEF公司Sα，gk(-v（k），∧（Y+k））- Sα，gk(-v*（k） ，λ（Y+k））π1（dk）+1αZA∩KEF公司Sα，id(-v（k），∧（Y+k））- Sα，id(-v*（k） ，λ（Y+k））π2（dk）>0，其中第一个积分为严格正，第二个积分为非负（且严格正当且仅当π2（A∩ K） >0）。38如果A 6=A*, 然后EF[Sπ1，π2（v*, A、 Y）- Sπ1，π2（v*, A.*, Y）]>0，这与定理3.8（iii）中的证明具有相似的参数。参考Acerbi，C.，&Szekely，B.（2014）。回溯测试预期短缺。风险杂志。恢复fromhttps://www.msci.com/documents/10199/22aa9922-f874-4060-b77a-0f0e267a489bAcerbi，C.，&Szekely，B.（2017）。可回溯测试统计的一般属性。预印本。检索自https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstractid=2905109Acharya，V.V.，Pedersen，L.H.，Philippon，T.，和Richardson，M.（2016）。测量系统风险。修订版。财务研究。，30 (1), 2–47. 检索自https://doi.org/10.1093/rfs/hhw088Adrian，T.，&Brunnermeier，M.K.（2016）。科瓦尔。是经济。

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