以下语句是等效的：（i）β是向内的。（ii）我们有β∈ C⊕ U、 （A.6）β（c）∈ （C+hci）⊕ U、 c类∈ C、 （A.7）β（U） U、 （A.8）22 STEFAN TapperProof。（一）=> （ii）：由于β向内，对于所有c∈ C、 u型∈ U和所有η∈ 对于HC，ηiV=0，我们有hβ，ηiV+hβ（C），ηiV+hβ（u），ηiV≥ 取c=u=0 in（A.9），我们有hβ，ηiV≥ 0表示所有η∈ C、 显示（A.6）。此外，取（A.9）中的c=0，我们有hβ，ηiV+hβ（u），ηiV≥ 0表示所有u∈ U和所有η∈ C、 这意味着所有u的hβ（u），ηiV=0∈ U和所有η∈ C、 显示（A.8）。现在，让c∈ C任意。取u=0 in（A.9），我们得到hβ+β（c），ηiV≥ 0对于所有η∈ C，hc，ηiV=0，因此β+β（C）∈ （C+hci）⊕ U、 自β∈ C⊕ U，这意味着（A.7）。（二）=> （i） ：让v∈ C⊕ U和η∈ C带hv时，ηiV=0为任意值。存在唯一元素c∈ C和u∈ U使得v=c+U。此外，存在线性独立元素c，内容提供商∈ C代表一些p∈ {1，…，m}这样，对于所有i=1，…，c=Ppi=1，hci，ηiV=0，p、 因此，通过分解（A.5）和（A.6）–（A.8），我们得到hβ（v），ηiV=hβ，ηiV+pXi=1hβ（ci），ηiV+hβ（u），ηiV≥ 0，表示β向内。在续集中，我们定义了一个正整数n∈ N、 A.11。定义。A映射σ：C⊕ U→ Vnis称为平行于C的边界点处的边界⊕ U（短平行）如果每个k=1，n对于所有v，我们有hσk（v），ηiV=0∈ C⊕ U和所有η∈ C带hv，ηiV=0。（A.10）对于以下内容，我们用e=（e，…，en）表示Rn的标准基础。A、 12。定义。对于σ∈ Vnwe定义^σ∈ L（Rn，V）乘以^σek：=σk对于k=1，n、 注意，映射σ7→ σ是Vnto L（Rn，V）的同构。在这些等式中，我们用S+（V）表示 L（V）从V到V的所有对称非负线性算子的凸锥。A、 13。定义。

对于σ∈ Vnwe定义σ∈ S+（V）为σ：=σσσ*, 其中，根据RN上的标准内积和定义A.6中的内积h·、·IV定义了关联运算符。A、 14。定义。A映射σ：C⊕U→ 如果σ：C，则称Vn为square-a ffne⊕U→S+（V）是一个函数。A、 15。定义。A映射T:C⊕U→ 称S+（V）平行于C的边界点处的边界⊕ U（短并联）ifh（T v）η，ηiV=0，对于所有v∈ C⊕ U和所有η∈ C带hv，ηiV=0。A、 16。引理。对于所有σ∈ Vn和所有η∈ V下列陈述是等价的：仿射状态过程的仿射实现23（i）对于所有k=1，…，我们有hσk，ηiV=0，n、 （ii）我们有^σ*η = 0.（iii）我们有hση，ηiV=0。证据对于所有k=1，n我们有hσk，ηiV=hσek，ηiV=hek，σ*ηiRn，证明（i）<=> （二）。此外，我们还有k^σ*ηkRn=h^σ*η, ^σ*ηiRn=h^σσ*η、 ηiV=hση，ηiV，证明（ii）<=> （iii）。A、 17。推论对于映射σ：C⊕ U→ Vn以下陈述是等效的：（i）σ在定义A.11的意义上是平行的。（ii）σ在定义A.15的意义上是平行的。证据这是引理A.16的直接结果。A、 18。引理。每T∈ S+（V）以下陈述是等效的：（i）我们有hT c，所有c的ciV=0∈ C、 （ii）我们有hT C，所有C的ciV=0∈ C、 （iii）我们有T（C） U、 （iv）我们有T（U） U和C 克尔（T）。（v） 我们有C 克尔（T）。（vi）我们有C 克尔（T）。证据（一）=> （ii）：存在V和特征值Sx的正交基{f，…，fd}，除息的≥ T的0，使得T v=dXk=1xkhv，对于所有v∈ 五、对于每个c∈ C我们得到了C，ciV=dXk=1xk | hc，fkiV |。通过假设，我们推导出所有c的HC，fkiV=0∈ C和所有k=1，d，xk>0。这使得所有c的ushc，fkiV=0∈ C和所有k=1，在xk>0的情况下，我们得到了hT c，所有c的ciV=0∈ C、 （二）=> （iii）：让c∈ C任意。

然后，通过极化，对于所有γ∈ 我们有C，γiV=hT（c+γ），c+γiV- hT（c- γ） ，c- γiV= 0，表示T c∈ U、 （三）=> （iv）：适用于所有c∈ C和u∈ U我们有0≤ hT（c+u），c+uiV=hT c，ciV+hT c，uiV+hT u，ciV+hT u，uiV=2hT u，ciV+hT u，uiV。因此，对于每个u∈ 对于所有c，我们获得U，ciV=0∈ C、 24 STEFAN T T显示∈ U、 此外，对于每个c∈ C我们得到了所有u的C，uiV=0∈ U、 显示T c∈ C、 因此，根据假设，我们有T（C） C和T（C） U、 显示C 克尔（T）。影响（四）=> （五）=> （六）=> （i） 这是显而易见的。现在，让T:C⊕ U→ S+（V）是一个有效映射。然后是uniqueT∈ S+（V）和T∈ L（V，L（V））和T（C）⊕ U） S+（V）这样我们就有分解，V=T+Tv，V∈ C⊕ U、 （A.11）A.19。评论注意，对于所有u，Tu=0∈ U、 因为T（C⊕ U） S+（V）。A、 20。提议以下陈述是等效的：（i）T是平行的。（ii）我们有TC=0，c∈ C、 （A.12）Tu=0，u∈ U、 （A.13）（C） hci+） ker（Tc），c∈ C、 （A.14）证明。（一）=> （ii）：条件（A.13）来自备注A.19。因为T是平行的，对于所有c∈ C、 u型∈ U和所有η∈ 对于hc，ηiV=0，我们有η，ηiV+h（Tc）η，ηiV+h（Tu）η，ηiV=0。（A.15）在（A.15）中设置c=u=0，我们得到所有η的htη，ηiV=0∈ C、 因此，通过引理A.18，我们得到了（A.12）。此外，通过（A.12）、（A.13）和（A.15），我们得到了所有c，η的h（Tc）η，ηiV=0∈ C，hc，ηiV=0。对于每个c∈ C该屈服强度sh（Tc）η，ηiV=0，η∈ （C） hci+，因此，通过引理A.18，我们得到（A.14）。（二）=> （i） ：让v∈ C⊕ U和η∈ C带hv时，ηiV=0为任意值。存在唯一元素c∈ C和u∈ U使得v=c+U。此外，存在线性相关元素c，内容提供商∈ C代表一些p∈ {1，…，m}和线性独立元素η，ηq∈ C代表一些q∈ {1，…，m}使得c=Ppi=1ci，η=Pqk=1ηk，和ηk∈ （C） hcii+，对于所有i=1，p和k=1，q

因此，通过分解（A.11）和（A.12）–（A.14），我们得到h（T v）η，ηiV=hTη，ηiV+h（Tc）η，ηiV+h（Tu）η，ηiV=pXi=1qXk=1h（Tci）ηk，ηiV=0，证明T是平行的。A、 21。评论注意，对于正则状态空间C⊕ U=Rm+×Rd-M命题A.10和A.20中的条件对应于一个过程的局部特征的可采性条件，例如，定义于【17】。对于本附录的其余部分，我们准备了本文需要的进一步辅助结果。仿射状态过程的仿射实现25A。22、定义。设X和Y是基λ=（λ，…，λd）和u=（u，…，un）的二维线性空间，且设T∈ L（X，Y）是一个线性算子。（1） 我们用Tλ，u表示∈ Rn×d T相对于基λ和u的矩阵；也就是说，对于所有j=1，…，我们有tλj=nXi=1Tλ，uijuiF，d、 （2）我们用ψλ表示，u：L（X，Y）→ Rn×d正则同构ψλ，uT=Tλ，u。A、 23。定义。对于σ∈ Vn和V的基λ=（λ，…，λd），我们用σλ表示∈ Rn×d矩阵，σ=σλ·λ；即σi=dXj=1σλijλj，对于所有i=1，n、 A.24。引理。对于每个σ∈ V和V的每个基λ=（λ，…，λd）我们有σe，λ=（σλ）>。证据对于每个j=1，n我们有^σej=σj=dXi=1σλjiλi=dXi=1（σλ）>ijλi，完成证明。存在V相对于h·，·Iv的正交基λ=（λ，…，λd），因此C=hλ，λmi+，其中m=dim C。从现在起，我们确定这种反常基λ。A、 25。引理。对于每个σ∈ Vnwe有（σ）λ，λ=（σλ）>·σλ。证据根据引理A.24，我们有（σ）λ，λ=（σσσ*)λ、 λ=σe，λ·（σ*)λ、 e=σe，λ·（σe，λ）>=（σλ）>·σλ，完成证明。A、 26。引理。Letσ∈ vn可以是任意的，并且W是有限维子空间，使得V W此外，设u=（u，…，up）为W的基，使得λi=uifor all i=1，d、 那么我们有（σ）u，u=(σ)λ,λ0 0.证据

注意，矩阵σu∈ Rn×pis由σu给出=σλ.因此，通过引理A.25，我们得到（σ）u，u=（σu）>·σu=(σλ)>·σλ=(σλ)>· σλ0 0=(σ)λ,λ0 0,完成证明。A、 27。引理。Letσ∈ Vnand m∈ N带N≤ m可以任意。我们定义τ∈ Vmasτk：=σk，对于k=1，n和τk：=0，k=n+1，m、 那么我们有σ=τ。26 STEFAN Tapperoof（斯特凡挺杆防护）。注意矩阵τλ∈ Rm×dis由τλ给出=σλ.因此，通过引理A.25，我们得到（τ）λ，λ=（τλ）>·τλ=(σλ)>·σλ= （σλ）>·σλ=（σ）λ，λ，证明τ=σ。A、 28。提议让E H是子集，设σ：E→ vn是一个连续映射，使得σ：E→ L（V）是常数，我们有DIMHσk（E）i≤ 对于所有k=1，n和（A.16）hσk（E）i∩ hσl（E）i={0}对于所有k，l=1，当k 6=l.（A.17）时，则σ也是常数。证据根据（A.16）和（A.17），存在V的基础u=（u，…，ud），因此n≤ d和σk（E）∈ huki，对于所有k=1，n、 我们定义τ：E→ Vdasτk：=σkfork=1，n和τk：=0，k=n+1，d、 然后，存在连续函数Φ，Φd:V→ R使得τu=diag（Φ，…，Φd）。用f=（f，…，fd）表示Rd的正则正交基，用引理A表示。24我们有^τf，λ=（Idλ，u）-1^τf，u=（Idλ，u）-1·（τu）>=（Idλ，u）-1·diag（Φ，…，Φd），因此，通过引理A.27，我们得到（σ）λ，λ=（τ）λ，λ=τf，λ·（τf，λ）>=（Idλ，u）-1·diag（Φ，…，Φd）·（Idλ，u）->.由于σ是常数，我们推断Φ，Φdare常数。由于Φ，Φd连续，我们推断τu是常数。因此，映射σ也是常数。参考文献【1】Berman，A.，Plemmons，R.J.（1994）：数学科学中的非负矩阵。费城工业和应用数学学会（SIAM）。[2] Biagini，F.、Gnoatto，A.、H"artel，M.（2015）：关于S+和长期收益率的有效HJM框架。预印本。(http://arxiv.org/abs/1311.0688)[3] 比约克（2004）：关于利率模型的几何学。

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