随机偏微分方程仿射状态过程的仿射实现

2022-6-24 06:36:07

随机偏微分方程、a ffne实现、a ffne状态过程、初始点集。我感谢Ozan Akdogan、Darrell Duffee、Damir Filipovi'c和Matthias Schütt提出的宝贵意见和进行的讨论。我也很感谢一位匿名推荐人仔细研究了我的论文，并提出了宝贵的意见和建议。2 STEFAN Tappeth SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕U、和不变量流形（Mt）t∈这是一个a ffne spacesMt=ψ（t）+C的集合⊕ U、 t型∈ T、（1.4）也称叶理，曲线ψ是（Mt）T的参数化∈T、我们说，这样的a ffne实现对于每个起点h都有一个ffne和可容许的状态过程sif∈ I（1.3）中出现的过程X是状态空间C上的一个（典型的时间非齐次）有效且可容许的过程⊕ U其中，术语a ffne表示X的局部特征为a ffne，即漂移为a ffne，波动率为平方a ffne，术语容许表示状态空间C⊕ U对于X是不变的，这意味着漂移是向内的，波动率在C的边界点平行于边界⊕ U、有大量关于SPD FDR的文献，特别是数学金融中的HJMM方程。这里我们使用HJMM方程这个名称，因为它是[21]中的Heath Jarrow Morton（HJM）模型，Musiela参数化在[6]中给出。文献中已经深入研究了由维纳过程驱动的HJMM方程FDR的存在性，我们参考了文献[5、4、18、19]和其中的参考文献，并参考了文献[3]。如【18】所示，维纳过程驱动的HJMM方程的FDR的存在意味着a ffine实现的存在。

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2022-6-24 06:36:10

文献[27]研究了维纳过程驱动的HJMM方程，文献[28，24]研究了莱维过程驱动的HJM方程，文献[29]研究了莱维过程驱动的一般SPD方程。由于其分析的可处理性，尤其是在数学金融领域的应用方面，一系列流程受到了越来越多的关注。例如，我们参考[12、13、11、15、17]了解正则状态空间上的一个函数过程，以及参考[7、9、26]了解更一般状态空间上的一个函数过程。我们还提到了最近的文献[2]和[8]，其中研究了由有效过程驱动的HJM类型模型。请注意，我们的状态空间C⊕ U对应于正则态间隔m+×Rd-m、本文的目的是阐明SPDE（1.1）何时允许具有一个有效且可容许的状态过程的有效实现，这在文献中尚未研究过，并推导（1.1）的参数（a，α，σ）和初始点集I的条件，这是必要且有效的。这包括集合I结构的特征化，我们将使用它来构建这个集合以用于具体示例。为了概述本文的主要结果，让我们首先讨论agiven不变叶理（Mt）t∈t出现在（1.3）中的状态过程X的有效性和可容许性可以通过（a，α，σ）来表征；我们参考第2节和附录A了解更多详细信息和准确陈述。出租汽车 H是一个闭子空间，因此我们有一个直接分解H=G⊕ Vof希尔伯特空间，其中V=C⊕ U和C=hCi，圆锥体生成的线性空间。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设参数化ψ的值在G中，即ψ∈ C（T；G）。

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2022-6-24 06:36:13

自叶理（Mt）t∈这在文献中是不变量的，如果一个过程在刚才描述的意义上是一个有效且可容许的，那么它通常被称为一个有效过程。为了本文的目的，我们将仔细区分术语a five和acceptable。随后，子空间G将由初始点集I唯一确定。仿射状态过程的仿射实现对于SPDE（1.1），我们得到了著名的切向条件 D（A），（1.5）β（h）∈ T所有T的mt∈ T和所有h∈ Mt，（1.6）σ（M） Vn，（1.7），其中M=St∈TMt，集合D（A）表示线性算子的域A:D（A） H→ H出现在（1.1）中，我们使用符号β=A+α，并且t Mt：=ddtψ（t）+V表示时间t时M的切线空间；参见，例如，【27】。表示方式M：=M∩G叶理的边界，我们有分解m=M⊕ C⊕ U、切向条件（1.6）表示βg（v）∈ V代表所有g∈ M和所有v∈ C⊕ U、（1.8）我们使用符号βg（v）：=β（g+v）-β（g）。正如我们将看到的，对于每个起始点h∈ M从叶理来看，（1.3）中出现的状态过程X是一些X∈ C⊕U、式中，系数β：S×C⊕U→ V和σ：S×C⊕U→ VN适用于适当的时间间隔S 对于某些t，R+由|β（t，x）=∏Vβ（ψ（t+t）+x），（1.10）|σ（t，x）=σ（ψ（t+t）+x），（1.11）给出∈ R+。这里的投影∏Vrefer是直和分解h=G⊕ 五、

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2022-6-24 06:36:16

从（1.9）–（1.11）中，我们可以看到（1.3）中的状态过程X是一个ifne，并且仅当o对于每个g∈ M映射V 7→ ∏Vβ（g+V）：C⊕ U→ V（1.12）是一个函数，对于每个g∈ M映射V 7→ σ（g+v）：C⊕ U→ Vn（1.13）为平方，且（1.3）中的状态过程X可容许当且仅当o对于每个g∈ M映射（1.12）向内，并且o对于每个g∈ M映射（1.13）是平行的。这里的术语square-a ffne表示映射7→ σ（g+v）：=σ（g+v）σ*（g+v）：C⊕ U→ L（V）（1.14）是一个函数。在（1.14）中，我们使用标识Vn~=L（Rn，V），关于伴随算子，在Rn上我们考虑标准内积，在V上我们考虑标准内积h·、·iV，这是通过原始内积h·、·I和锥C定义的。也就是说，性质酮C的唯一赋范基在h·、·iV下成为C的正交基，在U上成为内积h·，·Iv与Hilbert空间的原始内积h·、·Ih一致。此外，映射（1.12）称为C边界点处的向内指向⊕ U（简写为内向）ifhη，∏Vβ（g+V）iV≥ 所有v为0∈ C⊕ U和所有η∈ C，hη，viV=0,4 STEFAN Tappen，映射（1.13）称为平行于C边界点处的边界⊕ U（短平行）如果每个k=1，n对于所有v，我们有hη，σk（g+v）iV=0∈ C⊕ U和所有η∈ C，hη，viV=0。现在，让我们给出关于存在一个具有一个且可容许状态过程的一个实现的主要结果；我们参考第3节了解更多详细信息和准确陈述。回想一下，除了状态空间C⊕ U、我们固定了一个setI 初始点的H。我们对这个集合的基本结构假设是，它包含一个分解I=我⊕ C⊕ 带子集的U我 H、我们称之为I的边界，H=G⊕ V，其中G：=h二。

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2022-6-24 06:36:19

条件（1.5），（1.7），（1.8）以及我们对映射（1.12）和（1.13）的解释将我们引向OREM 3.6，其中指出，SPDE（1.1）具有一个有效且可容许的状态过程，当且仅当我们有 D（A）和σ（I） Vn，对于每个g∈ 我们有βg（v）∈ 五、五∈ C⊕ U、（1.15）v 7→ ∏Vβ（g+V）：C⊕ U→ V是一个内向的函数，（1.16）V 7→ σ（g+v）：C⊕ U→ Vnis方形和平行。（1.17）在应用中，我们经常会遇到这样的情况：漂移的形式为α=Sσ，线性算子为S∈ L（L（V），H）；特别是，上述HJMM方程就是这种情况。在这种情况下，我们将导出关于参数（A，σ）和初始点集I的条件。如果SPDE（1.1）有一个有效的实现，漂移的结构α=Sσ是针对有效态过程的存在而定制的。让我们简要概述一下我们在这种情况下的主要结果；请参阅第4节，了解更多详细信息和准确陈述。如果映射为7→ （1.17）中的σ（g+v）是平方，那么映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）是一个函数。但是，如果映射v 7→ （1.17）中的σ（g+v）是平方且平行的，这通常并不意味着映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）是一个内向的函数；正如我们将要展示的，当且仅当对于每个∈ I我们有∏V（Ag+Sσ（g））∈ C⊕ U、（1.18）Ac+Sσg（c）∈ （C+hci）⊕ U、 c类∈ C、（1.19）金∈ U、 U型∈ U、（1.20）其中C表示圆锥体C的边缘。这将导致我们得出下一个结果（见定理4.5），该结果表明，漂移形式为α=Sσ的SPDE（1.1）具有一个有效且可容许状态过程的有效实现，当且仅当我们有 D（A），每个g∈ 我有（1.17）–（1.20）。一般结果（定理3.6）中的条件（1.15）在漂移形式为α=Sσ的情况下具有进一步的后果。

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可人4

2022-6-24 06:36:22

为了概述这些结果，我们定义了有限维子空间K L（V）为K：=S-1（V）∩R、其中R：=hσ（I）I，以及有限维子空间L L（V，L（V））asL：=L（V，K）。然后，我们得到以下结果：o如果SPDE（1.1）有一个带有一个（但不一定是允许的）状态进程的a ffne实现，那么映射7→ σg：我→ L（V，L（V）），（1.21），其中我们使用符号σg（V）：=σ（g+V）- σ（g），是常数模量；见提案4.6。特别是，如果K={0}，则映射（1.21）必须是常量。仿射状态过程的仿射实现5o如果SPDE（1.1）有一个有效的实现，并且我们有V∩S（R）={0}和ker（S）∩ R={0}，则SPDE（1.1）具有一个具有相同（但不一定允许）状态过程的函数化；请参阅位置4.7。这一结果可视为[16，Prop.9.3]的推广，这是利率模型的结果。在第5节中，我们还将考虑漂移的结构α=Sσ，并提供关于参数（A，σ）的充分条件，以证明存在具有α和容许状态过程的α实现，而无需事先指定初始点集I。相反，我们的结果（命题5.1）提供了一个初始点集的构造，我们将看到这种构造的i是最大的。我们将应用刚才描述的结果（命题5.1）来构造PDE的具体示例的最大初始点集，如利息理论中Cox-Ingersoll-Ross模型的Hull-White扩展。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了关于SPDE不变叶理的必要结果。在第3节中，我们研究了具有一个可容许状态过程的一个可实现的存在性。

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能者818

2022-6-24 06:36:25

在第4节中，我们研究了上述结构α=Sσ漂移的情况，在第5节中，我们提供了一个有效条件，证明存在一个具有唯一容许状态过程的函数化，并构造了初始点的最大集。在第6节中，我们介绍了HJM方程，并展示了它如何融入我们的框架。在第7节中，我们给出了HJMM方程的示例，其中包含a ffne实现和a ffne及容许状态过程，并构造了最大初始曲线集。在第8节中，我们讨论了线性SPDE和自然科学中出现的其他例子。为了方便读者，我们在附录a.2中提供了关于凸锥和a ffne映射的重要结果。SPDES的不变叶理在本节中，我们提供了关于PDE的不变叶理的必要结果。有关（1.1）型SPDE的更多详细信息，请参阅[10]、[25]或[20]，有关不变叶理的更多详细信息，请参阅[27]。设H为可比喻Hilbert空间，设A:D（A） H→ H是H上C-半群的极小生成元。设α：H→ H和σ：H→ Hn（对于某些积极因素n∈ N）是连续映射。2.1. 评论我们称过滤概率空间B=(Ohm, F、（Ft）t∈满足通常条件的R+，P）为随机基。本文从鞅的角度理解了（1.1）的强、弱、弱解的概念（参见【10，第8章】），也就是说，我们不预先定义随机基B，而是称之为一对（r，W）—其中r是一个连续的、适应的过程，W是一些随机基B上的Rn值标准维纳过程—一个（1.1）的强、弱或弱解，如果进程r具有相应的属性。让C H是一个有限尺寸的适当凸锥（更多详情请参见附录a），并让U H是有限维子空间，使得C∩ U={0}，其中C=hCi。

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可人4

2022-6-24 06:36:28

我们假设子空间V=C⊕ U满意度dim V≥ 1、出租 H是一个闭子空间，使得希尔伯特空间允许直接SUM分解H=G⊕ 五、我们引入区间集j：={[0，δ]：δ∈ (0, ∞)} ∪ {R+}。对于以下内容，我们确定一个区间T∈ J、对于t∈ T我们确定时间间隔Tt∈ Jasett：={t∈ R+：t+t∈ T} 。6斯特凡挺杆2.2。定义。A系列（Mt）t∈Tof子集Mt H、 t型∈ T被称为由C生成的叶理⊕ U，如果存在映射ψ∈ C（T；G）使得mt=ψ（T）⊕ C⊕ U代表所有t∈ T、（2.1）映射ψ称为叶理（Mt）T的参数化∈T、在下面的内容中，让（Mt）T∈Tbe由C生成的叶理⊕ U2.3. 评论注意，（Mt）t的参数化ψ∈这是唯一的，因为我们要求它在G.2.4中有它的值。定义。我们定义所有叶的并集M：=St∈t和边界M：=M∩ G、注意，我们有分解M=M⊕ C⊕ U、 2.5。定义。对于每个t∈ T我们定义切线空间T Mt：=ddtψ（T）⊕ 五、2.6. 定义。叶理（Mt）t∈它被称为所有t的SPDE（1.1）iff的不变量∈ T和h∈ mtt有一个弱解r=（rt）t∈Ttto（1.1），其中r=hs等于ro∈ Mt+o高达瞬逝集。对于以下内容，我们定义了映射β：=A+α：D（A）→ H、 2.7。提议以下陈述是正确的：（1）如果叶理（Mt）t∈对于（1.1），它是不变的，那么我们有（1.5）–（1.7）。（2）如果我们有（1.5）–（1.7），那么我们有（1.8），并且A和β是连续的onM。证据很明显，（1.5）和（1.6）意味着（1.8）。剩余资产的证明类似于[27，Thm.2.11]，因此省略。对于本节的其余部分，假设这些条件（1.5）–（1.7）已满足。接下来的两个定义与我们在第1节中的讨论相对应。有关以下概念的更多详细信息和解释，请参阅附录A。2.8. 定义。

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2022-6-24 06:36:31

叶理（Mt）t∈如果foreach g，则称为SPDE（1.1）的函数∈ M映射（1.12）为a ffine，映射（1.13）为square-a ffne。2.9. 定义。叶理（Mt）t∈如果每个g的SPDE（1.1）被称为a ffine且可接受∈ M映射（1.12）是一个直线且向内的映射，映射（1.13）是平方且平行的映射。2.10. 提议假设对于每个t∈ T和每个x∈ C⊕U SDE（1.9）具有C⊕ U值强解X=（Xt）t∈Tt（在备注2.1的意义上），其中|β：Tt×C⊕ U→ V和σ：Tt×C⊕ U→ Vn由（1.10）和（1.11）给出。然后叶理（Mt）t∈（1.1）不变。证据让t∈ T和h∈ Mtbe任意。然后存在唯一的x∈ C⊕假设h=ψ（t）+x。我们定义过程r=（rt）t∈Ttas rt：=ψ（t+t）+Xt，其中X=（Xt）t∈Ttis a C⊕ X=X的（1.9）的U值强解。然后我们有ro∈ Mt+o。现在，让我们∈ t任意。通过（1.6），我们得到所有s的∏Gβ（rs）=ddsψ（t+s）∈ [0，t]，随机集A Ohm 如果集合{ω，×R+称为消失∈ Ohm : （ω，t）∈ A代表一些t∈ R+}是一个P-空集，参见[22，1.1.10]。具有仿射态过程7且hencert=ψ（t）的仿射实现+ψ（t+t）- ψ（t）+ x+Ztβ（s，Xs）ds+Zt∏σ（s，Xs）dWs=h+Ztddsψ（t+s）ds+Zt∏Vβ（ψ（t+s）+Xs）ds+Ztσ（ψ（t+s）+Xs dWs=h+Zt∏Gβ（rs）ds+Zt∏Vβ（rs）ds+Ztσ（rs）dWs=h+ZtArs+α（rs）ds+Ztσ（rs）dWs，表明r是（1.1）的强解，r=h。2.11. 提议如果叶理（Mt）t∈对于（1.1）而言，它是唯一且可容许的，那么对于（1.1）而言，它也是不变的。证据这是命题2.10和[15，Thms.2.13和2.14]的结果。3、具有仿射和容许状态过程的仿射实现的存在性在本节中，我们给出了关于具有仿射和容许状态过程的仿射实现的存在性的主要结果。一般的数学框架是第2节的数学框架。

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何人来此

2022-6-24 06:36:34

唯一的区别是我们没有指定空间G H对于直和分解H=G⊕ V提前；相反，我们只指定SPDE（1.1）和状态空间C的参数（A，α，σ⊕ U、此外，让我 H是一个非空子集，我们称之为初始点集。3.1. 定义。SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U，带初始点I，如果每个h∈ 存在一个区间T∈ J和a叶理（Mt）t∈t由C生成⊕ U带h∈ M、这对于（1.1）是不变的。3.2. 定义。SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U具有初始点I和一个f状态过程if对于每个h∈ 我有一段时间∈ J和a叶理（Mt）t∈t由C生成⊕ U带h∈ M、对于（1.1）而言，这是可变的。3.3. 定义。SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U具有初始点I和一个可容许状态过程，如果对于每个h∈ 存在间隔T∈ J和a叶理（Mt）t∈t由C生成⊕ U带H∈ M、对于（1.1）而言，它是不变的、唯一的且可容许的。关于初始点集，我们假设它允许分解i=我⊕ C⊕ 带子集的U我 H、我们称之为I的边界，H=G⊕ V，其中G：=h二。在续集中，我们用∏G:H表示→ G和∏V:H→ V相应的投影。3.4. 假定我们认为我∩ D（A）在G中打开∩ D（A）关于图范数k·kD（A），由khkd（A）=qkhkH+kAhkH，h给出∈ D（A）。3.5. 假定我们假设α：H→ H是关于k·kH的Lipschitz连续，即α（D（A）） D（A）和α| D（A）：D（A）→ D（A）相对于k·kD（A）是lipschitz连续的。8斯特凡挺杆3.6。定理。假设假设假设3.4和3.5已完成。

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2022-6-24 06:36:37

那么以下语句是等效的：（i）SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕ 具有初始点I和一个可容许状态过程的U。（ii）我们有 D（A）和σ（I） Vn，对于每个g∈ 我有（1.15）–（1.17）。证据（一）=> （ii）：这是提案2.7的结果。（二）=> （i）：让h∈ 我很武断。然后是唯一的g∈ I和v∈ C⊕ 通常h=g+v。自I在G中打开∩ D（A）关于图形虫k·kD（A），存在 > 0这样b（g）一、其中B（g） G∩ D（A）表示开放球B（g） ={g∈ G∩ D（A）：千克- gkD（A）<}.根据[23，Thm.6.1.7]，存在一个经典解φ∈ C（R+；H）带φ（R+）确定性演化方程的D（A）（ddtφ（t）=Aφ（t）+α（φ（t））φ（0）=h。因为φ：R+→ （D（A），k·kD（A））是连续的，存在δ>0使得φ（t）∈ B（g）⊕ V代表所有t∈ T、其中T∈ J表示区间T:=[0，δ]。因此，定义ψ：T→ G asψ（t）：=πGφ（t），t∈ T、我们有ψ（0）=和ψ（T）∈ I代表所有t∈ T、（3.1）此外，函数∏Vφ：T→ V是V值时间不均匀ODE（ddtν（t）=∏Vβ（ψ（t）+Д（t））Д（0）=V的解。因此，通过（1.16）和（3.1），我们推断∏Vφ（t）∈ C⊕ U代表所有t∈ T、因此φ（T）∈ I代表所有t∈ T、（3.2）我们确定了叶理（Mt）T∈Tas Mt：=ψ（t）⊕ C⊕ U然后我们有h∈ 曼德M 一、因此，条件（1.5）和（1.7）已完全满足。此外，通过（3.1）、（3.2）和（1.15），对于所有t∈ T我们得到ddtψ（T）=ddt∏Gφ（T）=∏Gddtφ（T）=∏Gβ（φ（T））=∏Gβ（ψ（T）+∏Vφ（T））=∏Gβψ（t）（πVφ（t））|{z}∈V+β（ψ（t））= πGβ（ψ（t）），因此β（ψ（t））∈ 因此，通过（3.1）和（1.15），对于所有T∈ T和所有v∈ C⊕ 我们推断β（ψ（t）+v）=β（ψ（t））+βψ（t）（v）{z}∈五、∈ T Mt，仿射状态过程的仿射实现9showing（1.6）。

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2022-6-24 06:36:40

此外，根据（1.16）和（1.17），叶理（Mt）t∈对于（1.1）而言，Tisa ffine是可容许的，因此，根据命题2.11，它对于（1.1）也是不变量。3.7. 评论关于定理3.6，让我们做以下补充说明。o假设3.4和3.5仅用于证明含义（ii）=> （i） .o如果σ是额外的Lipschitz连续的，那么定理3.6中关于a ffne实现的存在性以及关于a ffne（但不一定允许）状态过程的a ffne实现的存在性的类似版本是正确的。在这些情况下，条件（1.16）和（1.17）可能会被削弱，假设3.4和3.5以及Lipschitz连续性σ仅用于证明蕴涵（ii）=> （i）。漂移依赖于波动性的SPD在本节中，我们给出了关于漂移项具有依赖于波动性的特定结构的SPD存在一个可容许状态过程和一个可容许状态过程的结果。一般数学框架如第3节所述。除此之外，我们还将对漂移的结构进行以下假设。4.1. 假定我们假设满足以下条件：（1）我们有σ（H）越南。（2）映射σ：H→ L（V）是Lipschitz连续的。（3）有一个线性算子S∈ L（L（V），H）带ran（S） D（A）使得α=Sσ。在第6节中，我们将看到假设4.1特别适用于数学金融中的HJMM方程。由于L（V）是有限维的，假设4.1意味着假设3.5已经完成。4.2. 引理。假设我 D（A）。然后，对于每个g∈ I以下陈述是正确的：（1）我们有βg（v）=Av+Sσg（v），v∈ C⊕ U、（2）我们有（1.15）当且仅当ifAv+Sσg（v）∈ 五、五∈ C⊕ U、证明。

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2022-6-24 06:36:43

对于每个v∈ C⊕ U我们有βg（v）=β（g+v）- β（g）=A（g+v）+Sσ（g+v）- Ag公司- Sσ（g）=Av+Sσg（v），这建立了证明。特殊的结构α=Sσ意味着β是a ffne，前提是σ是平方a ffne。更准确地说，我们有以下辅助结果。4.3. 引理。假设我 D（A），让g∈ 我希望地图7→ （1.17）中的σ（g+v）为平方。然后映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）是一个函数。证据这是结构β=a+Sσ的直接结果。然而，如果σ额外平行，这通常并不意味着β向上指向；这里有一个标准。10 STEFAN TAPPE4.4。引理。假设我 D（A），让g∈ 我认为条件（1.17）已满。那么下面的陈述是等价的：（i）我们有（1.15）和（1.16）。（ii）我们有（1.18）–（1.20）。证据根据命题A.20，我们得到σg（u）=0，u∈ U、（4.1）根据（4.1），条件（1.19）和（1.20）暗示（1.15）。现在，假设条件（1.15）已满。我们定义β∈ V和β∈ L（V）asβ：=πV（Ag+Sσ（g））和β（V）：=Av+Sσg（V）。然后，乘以（1.15），对于每个v∈ C⊕ U我们有∏Vβ（g+V）=∏Vβ（g）+βg（v）= πVβ（g）+βg（V）=β+β（V）。因此，根据命题A.10和（4.1），条件（1.16）等同于（1.18）–（1.20）。4.5. 定理。假设假设假设3.4和4.1已完成。那么以下语句是等效的：（i）SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕ 具有初始点I和一个可容许状态过程的U。（ii）我们有 D（A），每个g∈ 我有（1.17）–（1.20）。证据这是定理3.6和引理4.4的结果。一般结果（定理3.6）中的条件（1.15）在漂移形式为α=Sσ的当前情况下具有进一步的后果。

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2022-6-24 06:36:46

为了概述这些结果，我们定义了有限维子空间K L（V）为K：=S-1（V）∩ R、其中R：=hσ（I）I，以及有限维子空间 L（V，L（V））为L：=L（V，K）。4.6. 提议假设我 D（A）和每个g的∈ I条件（1.15）已满。那么以下陈述是正确的：（1）对于每个v∈ C⊕ U地图7→ σg（v）：我→ L（V）（4.2）是常数模K.（2），如果对于每个g∈ I（1.17）中的映射为方形，然后映射为7→ σg：我→ L（V，L（V））（4.3）是常数模L证明。让v∈ C⊕ 你要武断。此外，设g，g∈ 我很武断。ByLemma 4.2我们有σg（v）- σg（v）=Av+Sσg（v）-Av+Sσg（v）∈ 五、这意味着σg（V）- σg（v）∈ K、这证明了第一种说法，第二种说法是直接的结果。特别是，如果SPDE（1.1）有一个有效的实现，并且我们有K={0}，那么映射（4.2）或（4.3）必须分别是常数。以下结果可视为[16，Prop.9.3]的推广，这是利率模型的结果。仿射状态过程的仿射实现114.7。提议假设V∩ S（R）={0}和ker（S）∩ R={0}，并且SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕ U和初始点I。然后SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕U具有初始点si和一个（但不一定允许的）状态过程。证据根据备注3.7，我们有 D（A）和（1.15）。让g∈ 我很武断。ByLemma 4.2我们有av=βg（v）- Sσg（v），v∈ C⊕ U、自V起∩ S（R）={0}我们得到βg∈ L（V）和Sσg∈ L（V，S（R））。Sinceker（S）∩ R={0}我们推断σg∈ L（V，L（V））。因此，mappingv 7→ （1.17）中的σ（g+v）为平方。因此，通过引理4.3，映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）if a ffne，这完成了证明。

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2022-6-24 06:36:49

现在，我们推导出关于子空间V生成的a ffene实现的存在性的一些结果；也就是说，现在，在状态空间的结构中没有合适的锥。为此，我们需要准指数波动率的概念。4.8. 定义。我们引入以下概念：（1）如果σk（H） D（A∞) 对于所有k=1，n、然后我们定义子空间Aσ HasAσ：=nXk=1hAmσk（h）：m∈ Nand h∈ 你好（2）如果我们有σk（H），波动率σ称为A-拟指数 D（A∞)对于所有k=1，n和dim Aσ<∞.对于某些SPDE（如第6节中的HJMM方程），存在a ffene变现的一个有效条件是波动率σ为a-拟指数。以下两个结果为σ提供了进一步的条件，这些条件对于获得一个有效的状态过程是必要的。4.9. 提议假设波动率σ为A-拟指数。然后，以下语句是等价的：（i）SPDE（1.1）有一个由V生成的a ffne实现，具有初始点SD（a），以及a ffne和容许状态过程。（ii）SPDE（1.1）具有由V生成的a ffine实现，初始点SD（a）和a ffine状态过程。（iii）我们有σ V，每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：v→ L（V，L（V））（4.4）是常数。如果前面的条件已满足，则SPDE（1.1）具有由σ生成的一个完整的实现，该σ具有初始点D（a）和一个完整且可容许的状态过程。证据（一）<=> （ii）：这个含义很明显，因为V是一个线性空间。（一）=> （iii）：根据定理4.5，我们得到σ（H） VN和A（V） V，表示σ 五、此外，根据备注A.19，对于每个h∈ H映射（4.4）是恒定的。（三）=> （i）：根据引理A.26和定理4.5，SPDE（1.1）具有由σ生成的、具有初始点D（A）的、具有α和容许状态过程的anaffine实现。12斯特凡挺杆4.10。

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2022-6-24 06:36:52

推论假设波动率σ为A-拟指数，且σk（H）i≤ 对于所有k=1，n和（4.5）hσk（h）i∩ hσl（h）i={0}对于所有k，l=1，n，k 6=l.（4.6），则以下语句是等效的：（i）SPDE（1.1）具有由V生成的a ffne实现，具有初始点sd（a）以及a ffne和容许状态过程。（ii）SPDE（1.1）具有由V生成的a ffine实现，初始点SD（a）和a ffine状态过程。（iii）我们有σ V，每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：v→ Vnis常数。如果前面的条件已满足，则SPDE（1.1）具有由σ生成的一个完整的实现，该σ具有初始点D（a）和一个完整且可容许的状态过程。证据这是命题4.9和A.28的直接结果。5、仿射实现存在的充分条件和最大初始点集的构造在这一节中，我们给出了具有一个可容许状态过程的一个仿射实现存在的充分条件。一般的数学框架如第4节所述（特别是我们定义了C型状态空间⊕ u且漂移的形式为α=Sσ），但我们不预先指定初始点的集合I。相反，让G H是一个闭子空间，使得H=G⊕ 五、5.1. 提议假设假设4.1已完成，则对于每个g∈ G wehave（1.17），地图G 7→ σg:g→ L（V，L（V））（5.1）是常数，我们有ac+S（σ（c）- σ(0)) ∈ （C）⊕ hci）⊕ U、 c类∈ C（5.2）和（1.20）。然后，SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U，初始点Si={h∈ （G）∩ D（A））⊕ C⊕ U：∏V（A∏Gh+Sσ（∏Gh））∈ 内景C⊕ U} （5.3）且具有一个有效且可容许的状态过程，且初始点集具有分解I=我⊕ C⊕ U、其中边界由I={g∈ G∩ D（A）∏V（Ag+Sσ（g））∈ 内景C⊕ U} 。（5.4）证明。

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2022-6-24 06:36:55

检查定义（5.3）和（5.4），我们发现分解I=我⊕ C⊕ U、根据I的定义（5.3），我们可以看到 D（A）。注意到∏Vβ：（G∩ D（A），k·kD（A））→ （V，k·kV）是连续的I=（Vβ∏）-1（内部C⊕ U）定义（5.4），以及⊕ U在V中打开，我们得出I在G中打开∩ D（A）。因此，假设3.4已经完成，我们也有G=hIi，根据H的标准进行闭合。此外，根据定义（5.4），每个g的条件（1.18）已满∈ 一、由于映射（5.1）是常数，对于每个g∈ I和每个c∈ C由（5.2）得到Ac+Sσg（C）=Ac+Sσ（C）=Ac+Sσ（C）- σ(0)) ∈ （C）⊕ hci）⊕ U、仿射状态过程的仿射实现13（1.19）。因此，根据定理4.5，SPDE（1.1）具有由C生成的有效实现⊕ U具有初始点I和一个可容许的状态过程。5.2. 评论映射（5.1）为常数的条件来自命题4.6.5.3。评论检查命题5.1的证明，我们可以看到（5.3）给出的D（A）是初始点的最大集合，使得I在G中打开∩ D（A）关于图范数k·kD（A）（见假设3.4）和条件（1.18）已满。我们将在第7节说明命题5.1，在这里我们给出HJMM方程的示例，并构造最大初始点集。6、HJMM方程在本节中，我们将前几节的结果应用于HJMM（Heath Jarrow Morton Musiela）方程。这是一个SPDE，用于模拟零息票债券市场中的利率期限结构。让我们简要介绍一下我们考虑的模型。到期日为T的零息债券是一种以T向持有人支付一个货币单位的金融资产。

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2022-6-24 06:36:58

其价格为t≤ T可以写成一单位国内货币的连续贴现p（T，T）=exp-ZTtf（t，s）ds,式中，f（t，t）是时间t时瞬时借款的现行利率，也称为日期t的远期利率。在通过Musiela参数化rt（x）=f（t，t+x）（见[6]）转换原始HJM（Heath Jarrow Morton）动态的正向利率（见[21]）后，可将远期利率视为HJMM（Heath Jarrow Morton-Musiela）方程（drt）的弱解=ddxrt+αHJM（rt）dt+σ（rt）dWtr=h，（6.1），这是类型（1.1）的特定SPDE。HJMM方程（6.1）的状态空间是前向曲线H:R的可分离希尔伯特空间H+→ R、 d/dx表示由平移半群生成的微分算子。为了确保债券市场没有套利，我们考虑了鞅测度下的HJMM方程（6.1）。然后是漂移项αHJM:H→ H由αHJM（H）=nXk=1σk（H）∑k（H），H给出∈ H、（6.2）式中，∑=（∑，…，∑n）：H→ Hn定义为∑k（h）：=Zo∑k（h）（η）dη∈ H和k=1，n、关于（6.1）的推导和提取条件（6.2），我们参考（例如）参考【14】。此外，下面的状态空间选择（已在[14]中使用）具有我们在续集中需要的所有属性。We fix a14 STEFAN Tappeno递减C函数w:R+→ [1, ∞) 使w-1/3∈ L（R+），用H表示所有绝对连续函数的空间H:R+→ R这样的塔赫语：=|h（0）|+ZR+| h（x）| w（x）dx1/2< ∞.除了状态空间H和漂移（6.2）的特殊选择之外，一般的数学框架是第3.6.1节的数学框架。假定

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2022-6-24 06:37:01

我们假设满足以下条件：（1）我们有V D（D/dx）。（2）我们有σ（H）越南。（3）映射σ：H→ L（V）是Lipschitz连续的。以下结果表明，假设4.1已经完成，这意味着HJMM方程（6.1）属于前面章节中考虑的框架。6.2. 提议有一个线性算子S∈ L（L（V），H）带ran（S）D（D/dx），使得αHJM=Sσ。证据设λ=（λ，…，λd）是V的基，使得（λ，…，λm）是C的基，其中m=dim C。如备注a.8中所指出的，在不损失一般性的情况下，我们可以假设λ是V的正交基。我们定义Sλ∈ L（Rd×d，H）asSλΦ=HΦ·λ，∧i，Φ∈ Rd×d.HereΦ·λ∈ hd理解为矩阵乘法，向量∧=（λ，…，λd）∈ hdi由∧i：=Roλi（η）dη，对于i=1，d、我们用符号hh，gi：=dXi=1higif表示h，g∈ 高清。自V起 D（D/dx），我们已经运行了（Sλ） D（D/dx），由于状态空间H的性质。设ψλ，λ：L（V）→ Rd×dbe定义A.22中的规范同构。我们定义∈ L（L（V），H）作为S：=Sλψλ，λ。然后，通过（6.2）和引理A.25，我们得到αHJM=hσ，∑i=hσλ·λ，σλ·λi=h（σλ）>·σλ·λ，λi=Sλ（（σλ）>·σλ）=Sλ（σ）λ，λ=Sλψλ，λ（ψλ，λ）-1（σ）λ，λ=Sσ，我们已经跑了（S） D（D/dx），因为ran（Sλ） D（D/dx），完成证明。如果波动率σ为Lipschitz连续且（d/dx）-拟指数，则HJMM方程（6.1）具有由子空间生成的有效实现；参见，例如【5，第6.4款】、【27，第6.2款】或【29，第6.2款】。相应的状态过程不一定是一个有效的过程；命题4.9和推论4.10提供了波动率σ的标准。6.3. 实例假设波动率σ：H→ H的形式为σ（H）=Φ（H）λ（6.3），具有连续映射Φ：H→ R和λ（x）=e-γx，x∈ 某些常数γ的R+∈ (0, ∞).

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能者818

2022-6-24 06:37:04

众所周知（参见，例如[27]），具有仿射状态过程15（6.1）的HJMM方程仿射实现具有由子空间V=hλ，λi生成的a ffene实现，但状态过程通常不是a ffene。这与命题4.7并不矛盾；正弦σ（h）=αHJM（h）=Φ（h）λ∧=Φ（h）λ- λγ，我们有S（R）=hλ- λi，因此V∩ S（R）6={0}。在本节的其余部分，我们将介绍一维实现存在的一些结果。为此，我们假设dim V=1，且波动率σ：H→ H的形式为（6.3），具有连续映射Φ：H→ R和a函数λ∈ 五、我们区分了尺寸U=1和尺寸C=1这两种情况，其中V=C⊕ U和C=hCi。首先，我们假设dim U=1。以下结果补充了关于Vasicek模型的Hull-White扩展存在一个有效实现的结果；例如，参见【5，第7.2款】。6.4. 提议以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（6.1）有一个由U和初始曲线（d/dx）生成的有效实现。（ii）HJMM方程（6.1）具有一个由U生成的函数实现，该函数具有初始曲线D（D/dx）以及函数和容许状态过程。（iii）有常数ρ，γ∈ R使得λ（x）=ρ·e-γx，x∈ R+，（6.4）和每小时∈ H映射u 7→ Φ（h+u）：u→ R是常数。证据（一）=> （ii）：这个含义来自命题4.7，因为U是线性空间。（二）=> （i）：这一含义显而易见。（二）<=> （iii）：这种等价性是定理4.5和推论4.10的结果。现在，假设dim C=1，让我 D（D/dx）是形式I=我⊕ C使得H=G⊕ C、其中G：=h二。在不丧失一般性的情况下，我们假设λ∈ C

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2022-6-24 06:37:07

以下两个结果补充了关于Cox-Ingersoll-Ross模型的Hull-White扩展存在唯一实现的结果；例如，参见【5，第7.3款】。6.5. 提议假设HJMM方程（6.1）有一个由C生成的具有初始曲线I的函数实现。那么HJMM方程（6.1）有一个由C生成的具有初始曲线I和状态过程的函数实现，并且有一个映射ψ：H→ R、连续线性函数`∈ H*用`（λ）=1和G ker（`），常数ρ>0和γ∈ R使得Φ（h）=ρpψ（ΔGh）+`（h），h∈ 一、（6.5）ddxλ+ρλ∧+γλ=0。（6.6）证明。这是命题4.7、备注3.7和命题4.6的结果。6.6. 提议假设HJMM方程（6.1）有一个由C和初始曲线I生成的a ffine实现。那么以下语句是等效的：（I）那么HJMM方程（6.1）有一个由C和初始曲线I生成的a ffine实现，并有一个ffine和容许状态过程。在HJMM方程的上下文中，我们同意谈论初始曲线，而不是初始点。16 STEFAN TAPPE（ii）在（6.5）中，我们有ψ≡ 0，我们有∏Cddxg∈ 所有g的hλi+∈ 一、证明。这是定理4.5的结果。7、HJMM方程和最大初始曲线集的示例在本节中，我们给出了HJMM方程（6.1）的示例，其中包含函数化、函数和容许状态过程，并针对这些示例构造了最大初始曲线集。设H为前一节6中给出的状态空间。在本节中，我们假设波动率σ：H→ H的形式为σ（H）=ρp |`（H）|λ（7.1），函数为λ∈ D（D/dx），常数ρ>0和连续线性泛函`∈ H*使得`（λ）=1。在我们的第一个示例中，设λ为某常数γ的Riccati等式（6.6）的解∈ R.7.1。评论

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2022-6-24 06:37:10

Riccati微分方程的解ddx∧+ρ∧+γ∧=1，∧（0）=0由∧（x）=2（exp（xpγ+ρ）给出- 1）（pγ+2ρ+γ）（exp（xpγ+2ρ）- 1） +2pγ+2ρ，x∈ R+，（7.2）参见，例如，[14，第7.4.1节]。因此，函数λ=1-ρΛ- γ∧（7.3），其中∧由（7.2）给出，是普通微分方程（6.6）的解。7.2. 提议HJMM方程（6.1）有一个由C=hλi+生成的有效实现，初始曲线i={h∈ D（D/dx）：`（h）≥ 0和`（h）+（ρ`（λ∧）+γ）`（h）>0}，且具有一个有效且容许的状态过程，且初始曲线集的分解I=我⊕ C、其中边界由I={h∈ D（D/dx）：`（h）=0，`（h）>0}。证据设置G：=ker（`），我们有直和分解H=G⊕ C、相应的投影由∏Gh=h给出- `（h） λ和∏Ch=`（h）λ表示h∈ H、（7.4）我们有⊕ C={h∈ H：`（H）≥ 0}.（7.5）对于每个g∈ G我们有（1.17），映射（5.1）是常数，条件（5.2）满足Riccati方程（6.6）。根据（7.4）和Riccati方程（6.6），对于每个h∈ 我们有∏Cddx∏Gh=∏Cddx（h- `（h） λ）=∏Ch+`（h）ρλΛ + γλ=`（h） +`（h）ρ`(λΛ) + γ`(λ)λ =`（h） +（ρ`（λ∧）+γ）`（h）λ、由于G=ker（`），对于每个G∈ G我们有σ（G）=αHJM（G）=ρ`（G）λ∧=0。仿射状态过程的仿射实现17因此，考虑到（7.5），应用命题5.1完成预测。7.3. 评论让h∈ 我很武断。根据命题7.2，存在一个间隔∈ J、参数化ψ∈ C（T；G），以及一个具有状态空间R+的唯一容许过程x，使得R=h的HJMM方程（6.1）的强解R由T=ψ（T）+Xt·λ，T给出∈ T、应用`，这就得到了`（rt）=`（ψ（T）+Xt·λ）=Xt，T∈ T、表示`（r）=X。

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2022-6-24 06:37:13

所以，`（r）是一个具有状态空间r+的有效进程，它充当实现的状态进程。线性函数的常用选择`∈ H*是短端的求值，即`（h）=h（0）。注意，条件`（λ）=1已满，因为∧（0）=0，我们有λ的表示（7.3）。我们得到以下结果。7.4. 推论HJMM方程（6.1）有一个由c=hλi+生成的有效实现，初始曲线i={h∈ D（D/dx）：h（0）≥ 0和h（0）+γh（0）>0}（7.6），且具有一个有效且容许的状态过程，且初始曲线集的分解I=我⊕ C、其中边界由I={h∈ D（D/dx）：h（0）=0，h（0）>0}。证据注意到`（λ∧）=0，这是命题7.2的直接结果。7.5. 评论让h∈ 我很武断。根据备注7.3，我们可以选择短速率r（0）作为FDR的状态过程，即r=h的HJMM方程（6.1）的强解r由t=ψ（t）+rt（0）·λ，t给出∈ T对于某个时间间隔T∈ J、特别地，我们有P（rt（0）≥ 0）=1表示所有t∈ T、期望假设（参见，例如，[16，引理7.2]）意味着初始曲线满足度（T）=EPt[rt（0）]≥ 0表示所有t∈ T、式中，Pt表示T向前测量。这与初始曲线集I的表示（7.6）一致，它表明要么h（0）>0，要么h（0）=0，h（0）>0。对于下一个示例，我们假设（7.1）中的函数λ由λ（x）=e给出-γx，x∈ 某些常数γ的R+∈ (0, ∞), （7.1）中的函数满足`（λ）=1和`（λ）=0。然后，根据命题4.9，HJMM方程（6.1）不可能有一个由某个子空间生成的、具有一个可容许状态过程的a ffene实现。

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2022-6-24 06:37:16

然而，我们将证明它允许由形式为C的状态空间生成的a ffne实现⊕ 具有尺寸C=1和尺寸U=1的U，以及一个有效且可容许的状态过程。7.6. 提议HJMM方程（6.1）有一个由C生成的有效实现⊕ U=hλi+⊕ hλi，初始曲线i={h∈ D（D/dx）：`（h）≥ 0和`（h+γ·h）>0}，并具有一个有效且可容许的状态过程。18 STEFAN Tapperoof（斯特凡挺杆防护）。如备注A.8所述，我们可以假设（λ，λ）是V的正交基。设置G：=ker（`）∩ hλi⊥, 我们有直和分解h=G⊕ V，相应的投影由∏Gh=h给出- `（h） λ- hh，λiHλ和∏Vh=`（h）λ+hh，λiHλ，（7.7），我们有⊕ C⊕ U={h∈ H：`（H）≥ 0}.（7.8）对于每个g∈ G我们有（1.17），映射（5.1）是常数。此外，wehaveddxλ+Sσ（λ）=ddxλ+αHJM（λ）=-γλ + ρλΛ = -γλ + ρλ - λγ∈ 五、表明条件（5.2）已满足，条件（1.20）已满，因为λ（x）=e-2γx，x∈ R+。按（7.7），每小时∈ 我们有∏Vddx∏Gh=∏Vddx（h- `（h） λ- hh，λiHλ）=∏V（h+γ·`（h）λ+2γhh，λiHλ）=`（h）λ+hh，λiHλ+γ·`（h）λ+2γhh，λiHλ=`（h+γ·h）λ+hh+2γ·h，λiHλ，自G ker（`），对于每个g∈ G我们有σ（G）=αHJM（G）=ρ`（G）λ∧=0。因此，考虑到（7.8），应用命题5.1完成证明。线性SPDE和自然科学中的例子在本节中，我们将线性SPDE（drt=Artdt+σ（rt）dWtr=h（8.1）与连续波动率σ：h→ Hn，并给出一些自然科学的例子。以下两个结果基本上表明，线性SPDE（8.1）当且仅当波动率σ为a-拟指数时，才允许a ffne变现；有关密切相关的结果，请参见示例[29，Thm.5.6]。8.1. 提议假设线性SPDE（8.1）有一个由具有初始点D（a）的某个子空间生成的a ffine实现。那么波动率σ是指数的。证据

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2022-6-24 06:37:19

存在一个有限维子空间U，使得线性SPDE（8.1）有一个由U与初始点D（a）生成的a ffine实现。根据备注3.7，我们有U D（A）和A（U） U、这会产生σ U、证明σ是A-拟指数。8.2. 提议假设波动率σ为A-拟指数且Lipschitz连续。然后，线性SPDE（8.1）有一个由σ和初始点D（a）生成的a ffne实现。证据设置U：=Aσ我们有U D（A）和A（U） U、因此，根据备注3.7，线性SPDE（8.1）有一个由σ和初始点SD（a）生成的有效实现。现在，我们描述了线性SPDE（8.1）何时具有一个具有一个可容许状态过程的a ffne实现。仿射状态过程的仿射实现198.3。提议以下陈述是等效的：（i）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）的一些子空间生成的a ffne实现，并且具有a ffne和容许状态过程。（ii）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）和有效状态过程的一些子空间生成的有效实现。（iii）波动率σ为A-准指数，对于每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：Aσ→ L（Aσ，L（Aσ））是常数。如果之前的条件已满足，则线性SPDE（8.1）具有由σ与初始点D（a）以及α与容许状态过程生成的a函数。证据这源于命题4.9和8.1。8.4. 推论假设条件（4.5）和（4.6）已满。

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kedemingshi

2022-6-24 06:37:22

然后，以下陈述是等价的：（i）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）的一些子空间生成的a ffne实现，并且具有a ffne和容许状态过程。（ii）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）和有效状态过程的一些子空间生成的有效实现。（iii）波动率σ为A-准指数，对于每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：Aσ→ σ是常数。如果之前的条件已满足，则线性SPDE（8.1）具有由σ与初始点D（a）以及α与容许状态过程生成的a函数。证据这是命题8.3和A.28的直接结果。以下是一些自然科学中产生的SPDE的例子。对于以下内容，表示拉普拉斯运算符。8.5. 实例我们考虑自由欧几里德量子场的随机量化（参见[25，Ex.1.0.1]）（dXt=( - m） Xtdt+σdWtX=h，（8.2），其中m∈ R+表示“质量”，波动率σ∈ Hnis常数。根据Proposition 8.3，以下陈述是等效的：（i）线性SPDE（8.2）有一个由一些初始点为D的子空间生成的有效实现() 具有一个可容许的状态过程。（ii）波动率σ为-准指数。8.6. 实例我们考虑随机电缆方程（参见[10，Ex.0.8]）（dVt=τ（λ及物动词- Vt）dt+σdWtV=h，（8.3），其中λ>0表示长度常数，τ>0表示电缆的时间常数，波动率σ∈ Hnis常数。根据命题8.3，以下陈述是等效的：（i）线性SPDE（8.3）有一个由一些初始点为D的子空间生成的有效实现() 具有一个可容许的状态过程。（ii）波动率σ为-准指数。20 STEFAN TAPPEAppendix A。

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能者818

2022-6-24 06:37:25

凸锥和仿射映射本附录的目标是提供关于凸锥和仿射映射的重要结果，这是我们在本文中所需要的。在本节中，设为Hilbert空间。设C为有限维真凸锥，isC=hλ，λmi+：=mXi=1αiλi：α，αm≥ 0线性无关λ，λm∈ H代表一些m∈ N、我们称（λ，…，λm）为C的基。如果kλikH=1表示alli=1，…，则称（λ，…，λm）为赋范基，m、 A.1。引理。设λ=（λ，…，λm）和u=（u，…，um）是C的两个基。那么以下陈述是真的：（1）我们有hλi+∪ . . . ∪ hλmi+=hui+∪ . . . ∪ humi+。（A.1）（2）假设两个碱基λ和u均已赋范。设αi，βi，γi，δi∈ R、 i=1，如果mXi=1αiλi=mXi=1γiuiandmXi=1βiλi=mXi=1δiui.（A.2），那么我们有mXi=1αiβi=mXi=1γiδi.（A.3）证明。让M∈ Rm×mbe线性空间hci上的单位算子关于基λ和u的矩阵，即λj=mXi=1Mijuifor all j=1，m、那么m是非负的，也就是Mij≥ 所有i为0，j=1，m、因此，根据[1，引理4.3，第68页]有c，厘米∈ (0, ∞) 和置换π：{1，…，m}→ {1，…，m}这样m=diag（c，…，cm）·eπ（1）。eπ（m）,其中e，相对长度单位∈ Rm表示Rm中的单位向量。因此，对于所有j=1，…，我们有λj=cπ（j）uπ（j），m、这证明了（A.1）。如果两个基λ和u被赋范，那么对于所有j=1，…，我们甚至有λj=uπ（j），m、因此，如果（A.2）已满，则我们有（A.3）。A、 2。定义。我们引入以下概念：（1）我们将C的边定义为C：=hλi+∪ . . . ∪ hλmi+，其中（λ，…，λm）表示C的基。（2）设C∈ C任意。如果c=0，则我们定义 hci+：=C，否则，我们定义新的锥体asC hci+：=hλi:i∈ {1，…，m}\\{j}i+，仿射状态过程的仿射实现，其中（λ，，）。

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