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随机系数自回归过程的弱极限及其应用
何人来此
815 27
2022-06-24
英文标题：
《Weak Limits of Random Coefficient Autoregressive Processes and their
  Application in Ruin Theory》
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作者：
Yuchao Dong (LASP), J\\\'er\\^ome Spielmann (LAREMA, UA)
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We prove that a large class of discrete-time insurance surplus processes converge weakly to a generalized Ornstein-Uhlenbeck process, under a suitable re-normalization and when the time-step goes to 0. Motivated by ruin theory, we use this result to obtain approximations for the moments, the ultimate ruin probability and the discounted penalty function of the discrete-time process.
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中文摘要：
我们证明了一大类离散时间保险盈余过程在适当的重新规范化下，当时间步长为0时，弱收敛于广义Ornstein-Uhlenbeck过程。受破产理论的启发，我们利用这一结果获得了离散时间过程的矩、最终破产概率和贴现惩罚函数的近似值。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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大多数88
2022-6-24 07:09:55
随机系数自回归过程的弱极限及其在破产理论中的应用。DONGLAREMA，UMR 6093，Angers大学，CNRS，SFR数学，Franceycdong@fudan.edu.cnJ.斯皮尔曼·拉雷马（SPIELMANNLAREMA），UMR 6093，安格斯大学（University Angers），CNRS，SFR Mathic，Francejerome。spielmann@univ-愤怒。fr（对应）摘要。我们证明了一大类离散时间保险盈余过程在适当的重新规范化下，当时间步长为0时，弱收敛于广义OrnsteinUhlenbeck过程。受破产理论的启发，我们利用这一结果得到了离散时间过程的矩、最终破产概率和贴现惩罚函数的近似值。2010年理学硕士课程分类：60F17（初级）、91B30、60J60。关键词：不变性原理、弱收敛性、自回归过程、随机递归方程、广义Ornstein-Uhlenbeck过程、破产概率、首次通过时间。1、IntroductionLet（ξk）k∈N*和（ρk）k∈N*是两个独立的随机变量序列，ρk>0（P- a、 对于所有k∈ N*. 具有随机系数的一阶自回归过程，缩写为DRCA（1）或RCAR（1），参见例[20]，由（1）θk=ξk+θk给出-1ρk，k∈ N*.本文已被《保险：数学与经济学》接受出版，并将于2020年3月出版。该文件已通过DOI在线提供：https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2019.12.001.（CC BY-NC-ND2020）2自回归过程的弱极限和θ=y∈ R、 这种过程也称为随机递归或微分方程，经常出现在应用概率中。例如，文献[1]中提出，RCA过程可用于与水文、气象学和生物学相关的问题。我们还参考了[32]，以获得更详尽的示例列表。
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可人4
2022-6-24 07:09:59
在破产理论中，theRCA（1）过程是保险公司剩余资本的经典模型，其中（ξk）k∈N*表示随机付款或收入流和（ρk）k∈N*表示从一个周期到下一个周期的随机回报率，例如参见[22]、[23]、[24]和[30]。在本文中，我们证明了过程（1）在时间步长为0时的收敛性，并对（2）Yt=eRt给出的广义Ornstein-Uhlenbeck（GOU）过程进行了适当的重新规范化y+Zt0+e-卢比-dXs公司, t型≥ 0，其中R=（Rt）t≥0和X=（Xt）t≥0是具有漂移的独立稳定L'evy过程。弱收敛的主要用途之一是证明过程路径的某些泛函收敛于极限过程的泛函，并在两次支付之间的步长及其绝对值很小时，将后者的值作为前者的近似值。受破产理论的启发，我们将使用这种技术来证明最终破产概率的收敛性，一种简单形式的贴现惩罚函数和矩。通常，（2）被选为先验基础上具有投资风险的保险盈余过程的模型。然后，针对R和X的不同选择，在“带投资的破产问题”标题下研究破产问题。我们参考文献[27]和其中的参考文献对相关文献进行概述。因此，本文的主要趋同结果也可以被视为连续时间模型（2）的理论证明，在保险和市场风险的保险盈余过程模型的背景下，其精神与[9]中的结果相同。在精算数学中，类似的收敛结果和剩余过程泛函的近似是一条发展很好的研究路线。
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何人来此
2022-6-24 07:10:02
文献[16]表明，带漂移的复合泊松过程弱收敛于带漂移的布朗运动，并表明在有限时间和最终破产概率收敛于极限模型。这些结果在[13]中3次推广到自回归过程更一般的跳跃弱极限，在[3]和[12]中推广到更一般的跳跃大小。对于[14]中的复合泊松过程，确定性函数w.r.t.的积分也证明了类似的收敛结果，这与保险公司可以在确定性利率下投资的假设相对应。文献[28]对之前的一些结果进行了推广，其中表明，具有跳跃扩散盈余过程和随机跳跃扩散投资的一般模型收敛到特定的扩散过程。与我们的结果更密切相关的是论文[7]和[10]。在[7]中，我们发现AR（1）过程（即系数ρkaredterministic和常数）弱收敛于标准的OrnsteinUhlenbeck过程。在文献[10]中，我们证明了当变量ξkaredterministic且满足某些正则性条件时，我们有一个类似的弱收敛结果，其中（2）中的过程X被替换为一个deterministic函数。[9]中的结果也密切相关。在这篇论文中，作者研究了数学金融中出现的某些离散时间模型到连续时间模型的弱收敛性，并证明了某些泛函（如看涨期权价格）值的收敛性。特别是，对于ξk=0的情况，对于所有k∈ N*, theyshow，使用与我们相同的重新规范化（见下文第2节开头），证明离散时间过程（1）收敛到带漂移的布朗运动的Dol'eans-Dade指数。
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大多数88
2022-6-24 07:10:05
这推广了著名的文献[6]，其中证明了简单随机游动的指数正确地重新归一化收敛到Black-Scholes模型。最后，在[8]中还研究了离散时间过程（1）和（2）之间的关系，其中表明GOU过程在某种意义上是RCA（1）过程的连续时间类似物。更准确地说，它们表明，任何连续时间过程S=（St）t≥0序列（Snh）n∈N*在以h>0的速率采样的过程中，满足形式（1）的方程，对于所有h>0，以及一些附加条件，是形式（2）的GOU过程，其中X和R是一般的evy过程。我们的主要结果与这个类比是一致的，但似乎与其他方面无关。本文的结构如下：在引入假设和符号后，我们证明了定理1中（1）到（2）的弱收敛性。根据这个结果，我们在定理2中推导出破产时间分布的收敛性。然后，当ξ和ln（ρ）都是平方可积的时，我们给出了定理3中折扣惩罚函数4自回归过程的弱极限、定理4中的最终破产概率和定理5中的矩的简单形式收敛的充分条件。我们用精算理论和数学金融的例子来说明这些结果。2、自回归过程的弱极限与破产时间的收敛在本节中，我们证明了离散时间过程弱收敛于GOU过程，并证明了其在破产时间分布上的收敛性。2.1. 假设和收敛结果。我们将使用以下一组假设。假设（Hα）。我们说，一个随机变量Z满足（Hα）的分布函数满足（Z≤ -x）~ kZx公司-α和P（Z≥ x）~ kZx公司-α、 作为x→ ∞, 对于一些1<α<2，其中kZ，kZare常数使得kZ+kZ>0。
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mingdashike22
2022-6-24 07:10:08
注意，这意味着E（| Z |）<∞.假设（H）。我们说，一个随机变量Z满足（H）ifZ是Var（Z）>0的平方可积的，其中Var（Z）是Z的方差。我们现在介绍一些符号，并回顾关于度量空间、稳定随机变量和L'evyprocess上的Tweak收敛的一些经典事实。回想一下，c`adl`ag的空间D函数是R+→ R可以配备Skorokhod度量，使其成为一个完整且可分离的度量空间，参见第VI.1节，第324页【17】。设D为该拓扑的Borelsigma字段。给定一系列随机元素sz（n）：(Ohm（n） ，F（n），P（n））7→ （D，D），带n≥ 我们说（Z（n））n≥1弱收敛或分布到Z：(Ohm, F、 P）7→ （D，D），如果Z（n）的定律弱收敛于Z的定律，当n→ ∞. 我们用Z（n）d表示弱收敛→ Z和我们使用相同的符号表示R上测度的弱收敛。关于这些概念的更多信息，请参阅第六章，第324页。关于指数α的稳定随机变量Z，最常用的定义方法是通过其特征函数：E（eiuZ）=exp[iγu- c | u |α（1- iβsign（u）z（u，α））]，自回归过程的弱极限5whereγ∈ R、 c>0，α∈ (0, 2], β ∈ [-1，1]和z（u，α）=（tanπα如果α6=1，-πln | u |如果α=1。稳定L'evy过程（Lt）t≥0是L'evy过程，使得LTI等于某个稳定的随机变量，对于每个t≥ 0，具有已执行的参数β∈ [-1、1]和γ=0（例如，参见[11]中的定义2.4.7 p.93。）最后，注意如果（Zk）k∈N*是一个i.i.d.随机变量序列，Z表示（Hα）或（H），则存在一个稳定的随机变量Kα和一个常数cα>0，使得（3）nXk=1Zk- uZcαn1/αd→ Kα，作为n→ ∞, 其中uZ=E（Z）。事实上，当zsaties（H）、α=2、cα=1和Kα是方差Var（Z）的标准正态分布时。（有关这些事实，请参见【11】中的第2.2 p.70-81节。）备注1。
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