风险控制策略 - 外文文献专区

2022-6-24 15:04:36

风险控制策略Patrice Gaillardetz*Saeb Hachem+摘要在这篇文章中，我们考虑涉及动态享乐策略和计划期内付款的衍生产品的定价。股票指数年金（EIA）、担保投资证书（GIC）、美式期权和障碍期权是这些产品的典型例子。我们的探索涉及在与发行人定制风险的方式相关的不同假设下进行评估。本文提出的单约束离散随机动态规划框架利用了与随机转移相关的顺序局部最小化策略。这种顺序最小化考虑了所有中间需求，并涉及多个动态风险度量建模。为了证明该框架的灵活性，我们提供了以GIC和点对点EIA为特征的数值示例。部分对冲；当地风险最小化策略；随机动态规划；线性规划；参数线性规划；风险措施*Patrice Gaillardetz博士是加拿大魁北克省蒙特利尔市康科迪亚大学（ConcordiaUniversity，Montreal，Quebec H3G 1M8）数学和统计系副教授，电子邮箱：Patrice。gaillardetz@mathstat.concordia.ca+Saeb Hachem博士电子邮件：saeb@videotron.ca1引言提出了一个统一的随机动态规划框架，用于对一些人寿保险和金融产品进行定价，如股票挂钩产品、担保投资证书（GIC）和其他金融或有事项。这些问题基本上是涉及计划期内付款的衍生产品的估价。主要目标是确定控制风险的动态hedgingstrategies。风险最小化的概念最早由F¨ollmer和Sondermann（1986）提出。

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2022-6-24 15:04:39

尽管计算简单，损失的平方并不能区分正损失和负损失。一种更有意义的方法是使用F¨ollmer和Leucert（1999）引入的分位数套期保值方法来设定套期保值策略；这种套期保值方法实际上相当于风险价值（VaR）风险度量。F¨ollmer和Leucert（2000）扩展了这一思想，并构建了将正损失最小化的对冲策略。Rockafellar和Uryasev（2000）通过最小化条件风险价值（CVaR）和控制约束中的风险度量来设定对冲策略。所提议的框架是Schweizer（1988）和F¨ollmer and Schweizer（1988）提出的局部风险最小化方法的灵活替代方法，在该方法中，他们按顺序最小化不匹配过程的平方。Coleman等人（2006年）将这种方法应用于与股票挂钩的产品，他们也会在对冲投资组合中考虑期权。Abergel和Millot（2011）将局部风险最小化策略推广到凸函数。Gaillardetz和Moghtadai（2017）概括了使用风险度量的局部风险最小化方法。他们表明，他们的策略可以优于二次方法。根据一些动态投资组合管理标准，使用不同的风险度量，确定动态套期保值策略的最优性。对于发行人代理或公司而言，使用基于动态规划的通用平台和解决技术，可以评估不同动态风险管理模型的相对影响，以及对不同产品进行定价的实际和金融科学。倒向随机动力学模型的核心是与多维随机过程的临时条件转移相关的优化问题。控制决策是投资组合中持有的相应资产金额。

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2022-6-24 15:04:42

根据风险的测量和控制方式，状态变量、目标函数和约束是不同的；建模复杂性随着资产数量、交易成本、控制风险的多种途径等的增加而增加。假设随机设置是离散的，并用树来描述。随着时间的推移，Portfolio会根据与转换相关的新信息进行更新。对于每一次过渡，都可以容忍一些“可控”的损失。因此，自我融资得到了高度信任的保证，但并非所有结果都是如此。与投资组合管理问题类似，这可以通过以下两种方式来实现：o将投资组合的价值作为状态约束来最小化风险度量；o在局部风险度量约束下最小化投资组合的价值。后者概括了Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出的方法，并从线性规划（LP）优化的角度阐述了他们的工作。对于条件风险价值，我们使用Rockafellar和Uryasev（2000）的线性模型。在目标中包含风险度量的模型中，我们考虑了三种不同的方法：o在限制未来风险度量的情况下最小化局部风险度量；o最小化本地风险度量和未来风险度量之间的加权平均值；o最小化Riedel（2004）引入的一致动态风险度量。我们将从理论和数值上研究这些基本模型对定价的影响，并比较它们的相对性能。我们还提出了一些校准风险度量参数的建议。我们的主要贡献之一是，拟议框架允许对冲组合中的多个资产参与。数值测试表明，通过增加资产，衍生价格显著降低。

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2022-6-24 15:04:46

所提出的灵活算法适用于重组树和展开树。我们还引入了可以加强本地风险管理控制的约束。通过状态约束和变量，可以控制所有路径或场景的总损失。本文的组织结构如下。前两部分介绍了估值框架和对冲投资组合。第4节介绍了允许对冲投资组合选择的优化算法。它介绍了在约束和目标函数中使用风险度量的几种技术。第5节总结了本文的数字实现。2财务框架在本文中，为了进行数值计算，我们假设输入随机过程是一个具有有限实现数的多维离散过程。将这一过程描述为事件树便于随机动态优化；树的节点表示随机过程的可能值，弧表示过渡，即历史的可能延续。如果随机过程是马尔可夫的，则将离散过程建模为重组树可以显著降低计算复杂性，相比之下，可以将过程表示为展开树或场景树。在基础量的演化具有强烈的路径依赖性的情况下，需要用展开树来模拟更一般的随机过程。这两类树之间的主要区别在于，在重组树中，许多弧可能会指向一个节点，这意味着许多可能的历史，而在展开树中，只有一个弧指向一个节点，以转换对历史的长期依赖。

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nandehutu2022

2022-6-24 15:04:49

图1显示了三个周期或三个过渡的树。由于其灵活性和可操作性，晶格模型被广泛用于描述股票、股票指数、利率和其他金融证券。当涉及持有人的生活时，他们也会自然出现，因为他们是用计数过程来描述的。对于我们的算法，计算效果与节点数成正比，在重组树的情况下，运行时间与周期数成线性增长。否则，它将以指数级增长，并面临通常的维数灾难。虽然这对于我们的框架来说不是必需的，但为了符号的简单性，我们假设将规划范围划分为连续日期，t=0，1，···，t，以及随机过程的值ξ，ξ。。。，ξ皮重在这一系列日期连续已知。因此，对于给定的日期，无论随机过程的值是什么，任何下一个过渡的持续时间都是常数（构建树的另一种方法是使用随时间变化的过渡长度）。这些假设转化为一棵树，该树具有一定数量的节点，这些节点以一定数量的周期ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ图1：重组和展开三项式树。与日期相关的级别以及由圆弧表示的转换是从一个级别到下一个级别的（见图1）。设其为周期t的节点指数i，ξit为随机过程相对于节点it的值。当t=0时，唯一节点或根节点与随机过程ξ的已知值相关联。在时间t=1时，我们有尽可能多的节点ξ值。为了标记历史的延续，每个节点都通过一条弧连接到根节点。通常，在t级，t>0时，节点集包括ξt的所有可能值，每个节点ei连接到t级的至少一个节点j- 1.

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2022-6-24 15:04:52

对于非重组树，此连接是唯一的。让它|它-1指定一组节点，包括ξt指定父节点it的所有实现-1、出租| it-1be从节点it移动的条件概率-1至ITAN和Eit-1[.] associatedconditional期望值运算符，即isEit-1[f（ξt）]=Xit∈It | It-1f（ξit）坑| it-其中f是随机变量ξt的un函数。ξ通常是一个多元数据向量。对于担保投资证书（GIC），当联系人仅取决于股票价格时，向量是一维数据向量。如果合同依赖于多个资产或随机利率，则向量是多维的。对于股票指数年金（EIAs）问题，数据向量需要为保单持有人队列添加一个维度。在这两种情况下，与随机股票价格相关的维度由Sit表示，Sit是节点it处的股票价值。虽然所提出的框架可以很容易地处理随机利率，但为了简单起见，我们假设利率是确定性的。设r为利息力，即r为连续复合的名义利率。3套期组合和损失函数对于给定的过渡，随机过程损失定义如下。让xit成为控制变量的向量，这些变量是构成发行人为未来持有的对冲策略的资产。让Fit（xit）表示给出涉及xit的投资策略值的函数。例如，如果xit等于（ait、bit、cit），其中ait、bit和citare分别是发行人持有的股票、现金和欧洲看涨期权的金额，则Fit（xit）=ait+bit+cit。

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2022-6-24 15:04:55

这些投资组合可能包含更多组成部分，如其他欧洲期权或多重风险资产。在本文中，出于建模和说明目的，我们考虑了这一三维投资组合。让CIT计算延续值，这是追求发行人运营所需的超出该值的金额，该金额将针对每个模型进行规定。根据动态优化问题，CIT可能根据状态变量而起作用。让Pitt与node Itan相关的担保应付福利和Git（Pit，Cit）汇总node it所需的金额。对于GIC，收益仅在到期日（t）支付，并且在所有中间期间，Git（Pit，Cit）=Cit。对于EIA，Git是死亡收益和幸存者的延续值之和，Git（Pit，Cit）=Pit+Cit。让zit表示相对于节点Itan和Hit（zit）的状态向量-1、zit、xit-ξit，Git）是描述动态演化的多功能函数。例如，它可以用于引入资产的交易成本。对于资产的交易费用，我们必须区分已持有的ait股票-1和变化δait-1由于费用仅影响变更。因此，ait-1成为状态向量zit的一个组成部分-1和δait-1是控制向量xit的一个组件-1、与状态变量ait相关的状态方程-1is ait=ait-1+δait。如果对冲组合包括许多带有交易费用的资产，则需要许多状态变量和类似等式。在这种情况下，需要调整投资策略的价值，以考虑δait的变化。机智-1（xit-1，ξit，青春痘-1）是对冲投资组合相对于过渡的累积it | it-1在时间t付款之前。换句话说，即-1表示在节点it上设置的复制投资组合的周期结束时的值-1.

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2022-6-24 15:04:58

注意，机智-1是不同结果ξit的随机变量函数。这是一组三维投资-1（xit-1，ξit，青春痘-1） =ait-1SitSit公司-1+位-1er+cit-1 IT（T）Oit-1（T），（3.1），其中Oit-1（T）是到期日为T的欧洲看涨期权的价格≥ t节点it-1、该累计对冲组合与投资变量呈线性关系。对于过渡it | it-1、如果投资或对冲组合的价值高于或等于要求的价值，即-1（xit-1，ξit，青春痘-1) ≥ Git（Pit，Cit）。（3.2）如果所有节点都观察到这种不平等，则套期保值策略是指超级复制策略。否则，如果在某些过渡期间违反了这种不平等，发行人将遭受暂时损失，在这种情况下，这只是所需金额与对冲组合累计金额之间的差异。对于过渡it | it-1、贴现损失随机变量-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） =吉特（Pit，Cit）- 机智-1（xit-1，ξit，青春痘-1). （3.3）提案3.1。如果机智-1为凹（或线性）且Gitis为凸，则损失函数点亮-1转换。此外，如果Gitand Wit-1分段线性，然后点亮-1是分段线性的。证据如果机智-1为凹面，-机智-1是凸的，两个凸函数的和是凸的（参见Rockafellar（1970））。求和函数的域由G和W的域的交集定义，这两个域在此域上是分段线性的。对于给定的G块（多面体），在W块（可能是一个）的域中有一个多面体覆盖。由于这个多面体覆盖的每个部分都是线性的，所以和函数是线性的，因此和函数在G的给定部分是分段线性的。

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2022-6-24 15:05:01

类似地，求和函数在G的每个其他部分的域上都是分段线性的。当G的部分数是有限的时，求和函数与有限的部分数是分段线性的。它是连续的，因为它是凸的。4对冲投资组合选择Schweizer（1988）提出了一种局部风险最小化策略，该策略顺序最小化误差过程的平方。Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出了部分对冲策略，通过将风险度量控制在小于给定阈值的范围内，允许一些正损失。这些风险控制策略可以通过包含更多的约束和变量以及使用线性规划技术来概括。所有提出的优化算法都使用反向动态规划方法来设定套期保值组合。首先，对所有信息进行优化，以确定对冲投资组合-根据这些结果，可以获得所有可能结果的对冲组合-2、这种反向过程导致对冲组合的初始价值。让Vit（zit）表示动态规划问题在节点处的向后成本函数。4.1概率或机会约束第一种方法基于概率约束选择套期组合。它允许在一定程度上控制损失函数。概率约束保证损失以c的概率控制。因此，算法4.1给出了优化问题。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1，zitF（xit-1）（4.4）在约束原则下-1[点亮-1（xit-1，ξit，Git，zit-1) ≤ γ)] ≥c（4.5）击中（青春痘-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0（4.6），其中ViT（ziT）=所有it的Pit，和Prit-1[.] 概率是给定的吗-这将大于阈值参数γ的损失概率限制为1- c、 Charnes等人。

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2022-6-24 15:05:04

（1958）是第一个定义不相交机会约束计划的项目。Millerand Wagner（1965）研究联合机会约束计划。普雷科帕（1973）将这项后来的工作推广为非独立随机变量。具有离散概率分布的概率约束规划可以重新格式化为混合整数规划（Prekopa（1990）、Ruszczynski（2002）、Luedtke等人（2010）和Kucukyavuz（2012））。混合整数规划的求解比线性规划复杂得多，其代价函数通常是非凸和不连续的。概率方法的一个主要缺点是，损失水平不会受到处罚，也不会对这些违规行为进行控制。风险措施可以弥补这种未授权的违规行为。4.2风险度量作为约束性度量已被保险和投资公司等金融机构广泛用于评估业务线的风险水平。这种广泛使用主要是因为它在商业环境中的意义。因此，算法4.1中的概率约束被风险度量所取代。这就是算法4.2。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1，zitF（xit-1）（4.7）在约束条件ρc（Lit）下-1（xit-1，ξit，Git，zit-1)) ≤γ（4.8）命中（zit-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0（4.9），其中ρc（.）是量化风险等级为c的总风险敞口的风险度量。建议4.3。如果ρc，拟合-1并点亮-1是凸的，Hitis是线性的，则优化问题是凸的。如果另外适合-1并点亮-1是线性且ρcis分段线性的，则优化问题是凸分段线性的。证据由于ρcis凸和两个凸函数ρc（Lit）的合成-1(.)) 则问题是凸的。其余的证据是显而易见的。下面，我们将介绍几种分段线性的风险度量（包括CVaR）。

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可人4

2022-6-24 15:05:07

这概括了Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出的方法，其中投资组合可以扩展到多个资产，并可以使用状态变量。在没有状态变量的情况下，向后运行成本函数是一个常数，除了连续值以外没有其他值。算法4.2的目标最小化很简单-1=minait-1，位-1，cit-1ait-1+位-1+企业所得税-1、不需要状态约束（4.9），约束（4.8）变成ρc（Wit-1.-Git）≤ γ，其中所需的Git为常数，且-1是（3.1）给出的线性函数。优化问题（4.7）-（4.9）需要不同的解决方案，具体取决于具体措施。最常见和最广为人知的风险度量是风险价值（VaR）。VaR因其易于计算而被广泛使用。然而，将VaR纳入优化问题是一个挑战。风险价值定义为贴现损失函数的c分位数-1、该isVaRc（点亮-1） =inf{y∈ R：普里特-1[点亮-1> y]≤ 1.- c} 。（4.10）对于c∈ [0, 1].风险价值与概率方法有着相同的缺点，需要一些近似值才能处理（见Ben Tal et al.（2009）第4章）。条件风险价值（CVaR）被誉为一种更有意义和更合适的一致性风险度量（见Artzner et al.（1999））。本质上，一致风险度量被认为具有单调性、次加性、正同质性和平移方差的性质。请注意，VaR不具有次加性属性，因此不是一致的风险度量。CVaR风险度量，表示最坏的预期值（1-c）损失位于VaRc分隔的尾部。根据Rockafellar和Uryasev（2000），CVaR导致了一个可处理的优化凸问题。

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可人4

2022-6-24 15:05:12

在ξ为离散的情况下，约束（4.8）变为-点燃-1+π+c- π-c+uit≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.11）uit≥ 0, 它∈ It | It-1, (4.12)π-c、 π+c≥ 0，（4.13）π+c- π-c+Xituitpit | it-11- c≤ γ、（4.14）其中在最优性π+c时- π-cis VaRc，分为两个非负子变量，以满足标准线性规划解算器的需要。凸分段线性问题可以使用标准线性规划软件来解决。如果点亮-1为线性或凸分段线性，约束（4.11）-（4.14）为线性或等效于线性约束系统。另一个可以考虑的风险度量是下行风险的预期值，它限制了正损失。在这种情况下，约束（4.8）变为-点燃-1+uit≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.15）uit≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.16）Xituitpit | it-1.≤ γ、（4.17）该算法将正损耗的期望值限制为小于γ。设置π+cand和π-（4.11）-（4.14）中的cto 0意味着CVaR优化系统变得类似于限制下行风险。CVaR和下行风险的预期值通过使用预期值控制违规来惩罚损失的价值。这可以通过惩罚大偏差来重新定义，类似于《投资组合风险管理》（Markowitz（1959））。例如，可以通过添加norm constraintkukp来实现≤ γ、（4.18）如果k.kpi是p中的标准，则不同的标准可用于限制正损失，它们的行为不同，取决于损失的自由裁量权。例如，标准`∞限制框中的每个组件，`通过线性约束限制总损耗。范数引入了一个惩罚大偏差的二次约束。允许使用线性规划的一个好的替代方法是使用分段凸线性函数来模拟二次函数。

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2022-6-24 15:05:14

为此，将每个ui分解为非负子变量uit，j（j=1，…，j），并为每个子变量分配斜率拟合，jj，其中j是片段数。在这种情况下，涉及范数（4.18）的约束变为∈It | It-1JXj=1fit，juit，j≤ γ、（4.19）uit=PJj=1uit，j。控制正损耗的另一种有趣的替代方法是通过路径约束。这是通过在T- 1和T以下约束≤ γ、（4.20）和状态方程Zit=erzit-1+点亮-1，（4.21）对于所有it，其中状态变量Zit是沿着其路径的累积损失。请注意，此方法也可以与norm方法相结合。（4.21）中γ=0的特殊情况导致无风险策略。事实上，发行人可以承受一些积极的损失，但应该获得积极的收益，这将抵消战略成本。该策略与超级复制策略具有相同的无风险特性，同时在合同期限内允许一些积极的损失。由于VaR引入了复杂性，我们将重点放在CVaR上。请注意，让c变为1，γ变为0将导致超级复制策略。提案4.4。如果优化问题是线性和zit-1位于右侧，然后是COST to go功能Vit-1（青春痘-1）是凸分段线性的。证据右侧凸优化问题的扰动导致了凸函数（见Rockafellar（1970））。分段线性是单纯形算法可行性标准的结果（见Bereanu（1964））。为了求解线性规划，单纯形算法进行了许多关键步骤。多参数（mpLP）是具有影响其系数的参数的LP。

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2022-6-24 15:05:17

一种带参数的mpLP算法-1影响右手边的解：o首先是相对于给定参数值的对偶LP，并通过最优单纯形可行性条件生成参数可行多面体区域，该区域是一块V（zit）的域-1);o 然后，以类似的方式，通过单个双枢轴步骤生成相邻可行区域，以更新相邻基的逆（Dempster（1980）中的定理1）；o继续这样做，直到覆盖所有参数集。因此，如果cost-to-go函数的数量有限，那么求解MPLP的复杂性与求解LP相当，因为从初始LP求解MPLP只需要一些额外的旋转步骤。因此，通过依赖mpLP算法，即使我们增加状态变量zit的维数，我们也可以避免陷入维数灾难-如果对偶LP不是退化的，所有这些都是完全正确的。退化是由冗余约束（redundantconstraint）引起的，即定义顶点所需的约束比定义顶点所需的约束更多。在这种情况下，多个底边与顶点关联，而通过单个枢轴步骤进行的反向底边更改不会导致操作遵循双多面体的边。在非退化情况下，多参数算法通过简单的旋转步骤探索不同基（或顶点）图的一部分，直到覆盖整个参数集。相邻多面体可行参数集仅在边上重叠。在存在退化顶点的情况下，mpLP的首要问题是选择描述顶点的基的子集，以避免复杂的可行参数区域重叠。Gal和Nedoma（1972）开发了第一种求解mpLP的算法。参见Jonesa et al.（2007）和Borrelli et al.（2003）及其参考文献，了解更多最新算法。

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nandehutu2022

2022-6-24 15:05:21

粗略地说，mpLP算法处理退化顶点的方式不同。4.3风险度量作为目标与投资组合选择问题类似，在目标函数中使用风险度量来选择套期保值策略。实现了基于随机规划和一致风险测度的模型。4.3.1随机规划方法第一种算法使用随机动态规划的概念，其中未来风险是平均的。在这种方法中，目标函数是当前CVaR和预期未来CVaR之间的折衷。算法4.5。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1、zite-r{CVaRc（点亮-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +λEit-1[维生素（zit）]}（4.22）在约束下-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0，（4.23），其中ViT（ziT）=0。目标函数考虑了局部风险度量和近期风险度量的加权平均值之和。在该算法中，状态变量zit是连续值（即Cit（zit）=zit），因为它是发行人继续其操作所需的金额。在这种情况下，我们根据Rockafellarand Uryasev（2000）考虑涉及三种资产的套期保值策略，算法4.5变为-1（青春痘-1） =e-rminxit，π+c，π-c、 uit，θ+it，θ-itπ+c- π-c+Xit∈It | It-1ITPIT | it-11- c+λXit∈It | It-1（θ+it- θ-it）坑| it-1，（4.24）在约束条件下分段-点燃-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +π+c- π-c+uit≥ 0, 它∈ It | It-1，uit≥ 0, 它∈ It | It-1，θ+it- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.25）ait-1+位-1+企业所得税-1=青春痘-1，对于t=1。。。，T- 1和照明位置-1由（3.1）和（3.3）给出。在最佳情况下，值θ+it- θ-它是下一阶段的目标函数，由于它可能是负的，所以被分成两个非负的子变量。

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可人4

2022-6-24 15:05:24

对于t=t，我们需要删除约束（4.25）和（4.24）的最后一项。如果Vitis是由其支撑超平面定义的凸分段线性函数，则约束θ+它- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0相当于多个线性约束，其中支持Hyperplane的每个Vit（zit）都小于或等于θ+it- θ-它由于函数Git是线性的，上述优化问题是一个参数线性规划，参数zitin位于右侧。提案4.6。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1、功能Vit-1（青春痘-1）是一个凸分段线性函数。证据尽管如此-1，线性问题涉及状态变量ziT-1在右侧。因此，优化问题是一个线性参数（ziT-1）程序和ViT-1（青春痘-1）是一个对流分段线性函数（见命题4.4）。对于T的所有树节点- 2、运行成本-1（青春痘-1）在约束（4.25）中，可以用上面提到的支撑超平面代替。因此，由此产生的优化问题再次是一个线性参数规划，参数影响右侧，成本函数是凸分段线性的。通过向后推进，我们可以使用类似的参数证明代价函数是凸的分段线性函数。我们参考命题4.4之后的讨论，了解构建该成本函数的有效算法。4.4未来风险的障碍尽管算法4.5最小化了风险度量的加权平均值，但我们在回溯测试期间注意到，对于某些节点，风险度量可能采用不可接受的高值。在下面的算法中，我们试图通过限制未来CVaR来弥补这个缺点。算法4.7。

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2022-6-24 15:05:27

对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1，zitCVaRc（点亮-1（xit-1，ξit，Git，zit-1））（4.26）在约束冲击（zit）下-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0，（4.27）Vit（zit）≤ γ, 它∈ It | It-1，（4.28），其中ViT（ziT）=0。参数γ控制发行人允许的未来风险。有其他方法限制未来风险度量，例如，包括预期值。我们更喜欢约束（4.28），因为它可以更好地控制路径风险。在这里，至少有一个状态变量必须是为投资策略融资所需的初始资本。如果我们让状态向量的第一个分量是这个大写，那么第一个状态方程必须是zit-1=配合-1（xit-1).算法4.7与标准随机动态程序之间存在根本差异，因为目标函数中不再建模成本函数，而是用于约束。根据Rockafellar和Uryasev（2000），在对冲组合由三种资产组成的情况下，算法4.7的目标函数变为-1（青春痘-1） =minxit，π+c，π-c、 uit，zitπ+c- π-c+Xituitpit | it-11- c、（4.29）具有以下约束条件-Git（凹坑、青春痘）+ait-1SitSit公司-1+位-1er+cit-1 IT（T）Oit-1（T）+π+c- π-c+uit≥ 0, 它∈ It | It-1，uit≥ 0, 它∈ It | It-1,π-c、 π+c≥ 0，ait-1+位-1+企业所得税-1=青春痘-1、Vit（青春痘）≤ γ, 它∈ It | It-1、与目标函数（4.24）的优化问题类似，Vitis被其支持的超平面所取代，之前的优化问题也是一个带参数zit的右侧参数线性规划。因此，该算法与算法4.5.4.4.1一致动态风险度量具有相同的特性和复杂性，并使用相同的优化技术。以下算法使用一致动态风险度量的概念来链接不同的周期。

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2022-6-24 15:05:30

Riedel（2004）表明，连贯的动态风险度量满足贴现递归，即算法4.8。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1、zite-rCVaRc（发光-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +Vit（zit））（4.30）在constraintHit（zit）下-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0（4.31），其中ViT（ziT）=0表示所有it。在目标函数中，风险度量考虑了损失随机函数以及随后的近期风险度量。这允许保持某种路径上的风险控制。同样，至少有一个状态变量必须是为投资策略融资所需的初始资本。在这种情况下，状态变量zit是连续值Cit（zit）=zit。在这种情况下，我们根据Rockafellarand Uryasev（2000）考虑涉及三种资产的套期保值策略，算法4.8变为-1（青春痘-1） =e-rminxit，π+c，π-c、 uit，θ+it，θ-itπ+c- π-c+Xituitpit | it-11- c、（4.32）在约束条件下-点燃-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +π+c- π-c+uit- θ+it+θ-它≥ 0, 它∈ It | It-1，（4.33）uit≥ 0, 它∈ It | It-1，（4.34）θ+it- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0, 它∈ It | It-1（4.35）ait-1+位-1+企业所得税-1=青春痘-1，（4.36）照明位置-1由（3.1）和（3.3）给出。θ+和θ-是一个变量的拆分，可以是正的，也可以是负的，以满足线性规划解算器的需要。Vitis通过其铭文定义建立了运营成本模型。如果Vitis是一个凸的分段线性函数，由其支撑Hyperplane定义，则约束θ+它- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0相当于多个线性约束，其中每个支持超平面的Vit（zit）都小于或等于θ+it- θ-它与算法4.5和4.7类似，sate变量ZITE是发行人继续其操作所需的金额。性质和复杂性也类似于以前的优化问题，可以使用类似的技术。提案4.9。

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2022-6-24 15:05:33

前面的优化问题等价于算法4.8。证据我们真正需要证明的是，对于（4.33）的每个约束，（4.35）的关联约束也是约束的（即θ*+它- θ-*it=Vit（z*it），其中θ*+it，θ*-it和z*Ita是θ+it，θ的最佳值-it和zit）。我们将从矛盾的角度出发，假设θ*+它- θ-*it>Vit（z*it）。Letλ*它<0约束中相对于Iti的Langrange乘数（4.33）。由于我们处理的是凸优化，优化问题（4.32）-（4.36）等价于minxit，π+c，π-c、 uit，θ+it，θ-itπ+c- π-c+Xituitpit | it-11- c+λ*it部门(-点燃-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +π+c- π-c+uit- θ+it+θ-除特殊itin（4.33）外，具有相同约束条件（4.33）-（4.36）。我们从线性优化中知道θ+itorθ-它是积极的，即在最佳状态下，两种情况中只有一种是积极的。如果θ*+it（剩余θ*-严格正，当θ*+由于λ*it<0。由于假设θ，减少是可能的*+it（分别为。-θ*-it）>Vit（z*it）。在这两种情况下，我们都有矛盾。5数字示例数字示例包括担保投资证书（GIC）和权益指数（EIA），其中指数由二项重组树管理。假设周期固定为一个月，每个周期分为N个子周期。因此，指数在每个周期内变动N次，发行人每月根据风险控制策略观察并重新平衡其对冲组合。因此，计划期的总周期数T以月表示。为简化起见，该指数将由Cox et al.（1979）模型管理，其中s=1。

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2022-6-24 15:05:36

在这个重组树中，索引sit在每个子周期中有两种可能的结果：要么增加到uSitor，要么减少到dSit。假设递增和递减因子u和dare使指数过程收敛于对数正态分布，该对数正态分布是具有年漂移u和波动率σ的连续几何布朗运动的基础。换句话说，u=eσ（12N）-0.5和d=u-1，假设波动率等于20%。它还要求上升运动的概率由PR[Sit+n/n=uSit+（n）定义-1） /N | Sit+（N-1） /N]=eu/12- 杜邦- d=π，（5.38）对于t=0，1。。。n=1。。。。，N在周期t，索引过程根据给定的二项分布进行分布-1、Sit给出的条件过程在t时有N+1个可能结果-1ujdN-j、 j=0。。。，N具有相应的条件概率pr[Sit=Sit-1ujdN-j |坐-1] =Nj！πj[1- π] N个-j、 j=0，1。。。，N、（5.39）因此，算法面临一个基于重组树的随机过程，其基数为-1等于N+1。树中的节点在每个周期内线性增加N个。在GIC的情况下，随机过程ξ只是S。在EIA的情况下，随机过程有两个维度：S和投保人队列。为了简单起见，我们假设通常的无摩擦金融市场：无税、无交易成本等。5.1对冲误差不匹配不同策略的效率是使用该策略产生的路径误差的贴现值来评估的。该误差由临时损失函数给出。

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2022-6-24 15:05:41

因此，现值对冲误差由m=TXt=1e定义-rt/12Lit-1，（5.40），其中r是年利率。出于比较目的，我们将套期保值组合的初始值Fi（xi）和贴现错配M的CVaR95%相加，然后从持有人处减去初始投资，即CR=Fi（xi）+CVaR95%（M）-1，因为初始投资假设为1。换言之，最初持有CR金额的发行人拥有最坏5%损失的预期值。该度量CR用作指导，以确定所有算法中的风险度量参数（如c、γ等）。测试这些参数的不同集合，并比较“最佳”值，以评估每个对冲策略的质量。5.2担保投资证书担保投资证书是由提供多种选择的银行发行的安全投资。它们是安全的，因为投资者的本金由发行人担保。GIC可分为两大类：可兑现和不可兑现。非现金GIC可以提供固定回报或与金融市场相关的回报。在这种情况下，GIC还可以保证最低回报。发行人通过对市场回报施加上限（称为上限）来降低此类合同的成本。GIC支付由PIT=最大值给出minh1+RiT，（1+ζ）T/12i，（1+g）T/12, （5.41）式中，ζ是年度资本化率，g是最低年度保证率，收益率R由it=SiTS定义- 1.（5.42）（5.41）中的最小值对可能的回报和最大保证最小投资回报设置了障碍，对于GIC，持续值Git（Pit，Cit）=Cit，对于t=1。。。。，T- 1因为我们没有任何中间付款。

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2022-6-24 15:05:43

此外，对于t=0，…，随机过程ξ是简单的。。。，T在没有相反迹象的情况下，我们假设以下情况用于分析：1年期到期合同（T=12），g=0%，ζ=6%，r=3%，u=8%，σ=20%，N=6。除了无风险资产和标的股票外，假设发行人每月可以投资1个月的欧洲看涨期权。在不丧失一般性的情况下，我们假设在时间t，发行人可以投资于欧洲看涨期权，这是货币。该期权的收益由（Sit+1）给出- Sit）+，使用Blackand Scholes（1973）获得价格Oit（t+1）。在本文中，我们忽略了考虑期限较长的金融期权，以避免更复杂的建模和算法。我们实施了涵盖多个优化期的到期日，并就向资产组中添加期权的影响得出了类似的结论。对于每种套期保值策略，使用第4节中介绍的反向方法获得最佳复制投资组合。一旦知道最优套期保值组合，就可以估计套期保值误差的分布。由于错误计算意味着每个节点都有决策，因此我们必须处理相关的展开树。在这种情况下，节点数随周期数呈指数增长。例如，展开的树在最后一个时段有（N+1）个不同的最终节点。因此，我们继续对不同的索引路径场景进行采样。我们使用50000个模拟来近似（5.40）中定义的贴现误差的分布，这将估算CR.5.2.1风险度量作为约束首先研究我们算法的稳定性。我们使用算法4.2获得了不同时期（T=2、4、6、8、12、24）和节点（N=2、4、6、8、12、24）的对冲组合初始值。

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2022-6-24 15:05:47

出于比较目的，风险度量阈值c设置为60%，参数γ设置为0。当两个参数都增加时，成本会增加。增加节点数会通过扩大指数分布范围来增加风险。周期数的增加会增加发行人监控其投资组合的次数，这会增加成本。当周期数和节点数都大于6时，该算法是相当稳定的。因此，将周期数和节点数增加到6以上对初始值的影响最小。T\\N 2 4 6 8 12 242 0.9948 1.0045 1.0081 1.0108 1.0124 1.01514 1.0023 1.0109 1.0113 1.0128 1.0139 1.01226 1.0063 1.0135 1.0127 1.0134 1.0115 1.01268 1.0089 1.0150 1.0132 1.0113 1.0111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.013412 1.0123 1.0116 1.012724 1.0165 1.0125 1.0112 1.0114 1.0113 1.0127表1：不同时期T和节点N的初始投资组合值f。现在，我们将CVaR的风险度量保留水平c和阈值γ设置为A约束（算法4.2）。在图2中，根据算法4.7评估不同风险度量水平（c=5%，6%，···，95%）和不同γ（0，1%，2%）的CR。CVaR59%和γ=0为失配提供了最佳结果，因为CR达到了最小值1.14%。保留水平c在45%到65%之间表现良好。当评估基于CR时，阈值γ似乎不会影响对冲组合的绩效。对于其余的数值示例，参数γ设置为0。图3显示了保留水平为固定toc=59%的对冲误差分布。该算法为错配提供了一个左偏分布，其中持有0.87%资本的发行人将面临5%的损失。开始对冲投资组合FI1的初始值为1.01。

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2022-6-24 15:05:50

交易预期收益为0.33%，标准差较小（1.29%）。表2给出了不同交易日数（2、4、6、8、12、24、52）的套期保值统计数据。表中的所有参数均以百分比表示。正如Gaillardetz和Moghtadai（2017）所述，改变参数需要重新调整风险度量保留水平。该表提供了风险度量阈值的优化结果。针对不同的c（5%，10%，····，95%）产生了不匹配，并给出了从模拟中获得的最低CR以及提供该结果的风险水平。表2显示，交易日数量的增加会影响错配的分布。第一个观察结果是，由于复制投资组合更频繁地控制风险，随着重新平衡数量的增加，CR的金额减少。对于少量交易日，这是不可见的。很明显，对于大量交易日，使用等于50%的风险度量阈值c获得最佳套期保值策略。由于高水平用于少量交易日期，因此下降是稳定的。节点数量也会影响算法性能。在表3中，我们将节点数N设置为2、4、6、8、12、24和52。测量CR随着节点数的增加而增加，因为增加N会增加指数分布的尾部。尚不清楚应将哪个风险度量阈值用于大型N.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0.2 0.4 0.6 0.81.2 1.4 1.6 1.8 2.22.4cCR-------------------------------------------------------------------------------OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO。

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nandehutu2022

2022-6-24 15:05:53

符号+，-, 和o表示γ，分别等于0、1%和2%。表4显示了不同GIC合同的CR值。该算法在不同到期日（T=24，36）、上限利率（ζ=5%，7%）以及保证利率（g=1%，2%）下执行。延长合同期限确实需要更多的资本，因为担保是在几年内花费的。然而，CR的金额仍然合理，从一年的1.14%到三年的1.87%（第一区块）。资本充足率是影响最大CR的参数。它与可能回报的尾部相关，后者受资本充足率的限制。最后一块表明，当增加保证回报率时，该算法相当稳健，这会影响可能回报率。离散套期保值误差百分比概率-10-5 0 50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Esp：-0.33%Std:1.29%VaR:0.87%CVaR:1.14%图3：c=59%的套期保值误差分布。表5对各种财务参数进行了敏感性分析。挥发度设置为15%和25%。短期利率和预期回报率u分别在2%和4%之间以及7%和9%之间变化。CR值对波动率变化相当稳定（见第二块），算法对预期回报变化很稳健（见第一块）。尽管基础合同的期限为1年，但短期利率的变化对投资组合的初始价值和策略的执行有重大影响，如第三部分所示。表5强调了在我们的对冲策略中引入欧式期权的影响。最后一块显示了无期权对冲策略的CR金额。对于一年期合同，发行人使用期权将CR从1.86降至1.14。

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2022-6-24 15:05:56

对冲策略优于Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出的方法。发行人可能有兴趣减少图3中对冲误差尾部的左侧部分。使用路径对冲误差作为状态变量，（4.20）和（4.21），发行人可以限制2 4 6 8 12 24 52c 95 95 65 60 50 50CR 1.05 1.58 1.80 1.80 1.14 1.02 0.84表2：不同交易日期或时段的结果。N 2 4 6 8 12 24 52c 40 90 60 40 60 70 55CR 0.96 1.80 1.14 1.23 1.32 1.38 1.44表3：不同数量节点的CR量N.T c CRζc CR g CR24 45 1.71 5%60 0.73 1%60 1.3936 45 1.87 7%45 1.67 2%45 1.62表4：不同合同的结果。uc CRσc CR r c CR选项c CR7%60 1.16 15%45 1.13 2%60 2.04，含59 1.149%50 1.17 25%60 1.46 4%60 0.31，不含60 1.86表5：敏感性分析。使用参数γ的聚合误差。图4显示了与图（3）相同设置下的现值套期保值误差，但我们将每个误差路径限制为3%。与其他标准策略相比，该策略具有与对冲误差（预期收益、标准差、VaR和CR）相关的类似统计信息。两种策略的区别在于右尾的范围；该模型通过将高损耗替换为更频繁的较小损耗，消除了3%以上的损耗。离散套期保值误差百分比概率-10-5 00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Esp：-0.33%Std:1.28%VaR:0.95%CVaR:1.18%图4：c=59%和γ=3%的套期保值误差分布。5.2.2目标风险度量算法4.5、4.7和4.8也适用于违约GIC合同。由于算法4.5和4.8没有对风险度量施加限制，我们注意到，对于某些节点，优化结果会产生不可接受的风险度量值。

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2022-6-24 15:06:00

为了使这些算法更有效，我们需要对不匹配（4.18）-（4.19）或路径智能约束（4.20）-（4.21）进行额外的局部控制；这些约束减少了每个转换中的最大损失。例如，当套期保值误差的局部CVaR也限制为0时，算法4.8能够很好地执行。图5给出了算法4.8的套期保值误差分布，其中风险度量级别得到优化并设置为59%。对冲统计数据与从算法4.2获得的数据相似，复制投资组合的初始值为1.03。对于本产品，算法4.7的性能良好，但略低于算法4.8。为了紧凑起见，我们不报告结果。离散套期保值误差百分比概率-10-5 0 50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Esp：-0.33%Std：1.29%VaR：0.87%CVaR：1.12%图5：一致性风险度量方法下c=59%的套期保值误差分布。5.3权益指数年金权益指数年金与GIC类似，因为它们与权益指数的表现相关，同时提供保护。然而，投资者通常会选择不同的财务担保，如最低死亡保障金（GMDB）和最低生活保障金（GMLB）。如果被保险人在延期期间死亡，最低死亡保障金（GMDB）将支付一笔有保障的金额。最低生活保障福利（GMLB）分为三种类型：最低积累保障福利（GMAB）、最低收入保障福利（GMIB）和最近的最低提款保障福利（GMWB）。GMAB是这些福利的最简单形式，被保险人有权在到期时享受单一保费或累积福利基数。

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2022-6-24 15:06:02

GMIB提供了获取账户价值、将账户价值年金化或以特定利率将某些担保金额年金化的选择。GMWB提供了每年少量提取一定金额的可能性。有关这些担保的全面讨论，请参见Hardy（2003）的《统计图》。重点将放在GMDB和GMAB担保上，其中可以使用提议的算法获得对冲组合。为了说明与股票挂钩的产品估值，我们考虑了一种最简单的IAS设计，即点到点的期末设计，其中指数增长基于整个年金期限内两个时间点之间的增长。该设计嵌入了GMDB和GMAB保险，以PIT=max表示在时间k支付minh1+αRit，（1+ζ）t/12i，β（1+g）t/12, （5.43）对于t=1，···，t，其中α是指数的参与度，回报率由（5.42）给出。EIA提供了在α级指数回报中的参与，以及对下跌市场β（1+g）k损失的保护。本EIA和GIC之间的主要区别在于，EIA合同在投资者死亡时终止，并且假设保险公司在期末支付收益。在这种情况下，连续值git（Pit，Cit）=Pit{Tx∈[t，t+1）}+Cit{Tx≥t+1}，对于t=1。。。，T- 1和CiT=坑，其中1{.}是一个指标函数，Txis是投保人的未来寿命（以周期为单位）（x）。指数的二项式结构保持不变。随机过程有两个维度：指数过程和队列演化。

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