改进模型不确定性下的风险价值预测

2022-6-25 03:01:37

提高模型不确定性下的风险价值预测彭世革山东大学数学研究所湖镇杨中泰证券金融研究所山东大学姚剑锋统计与精算科学系香港大学姚剑锋对应：姚剑锋香港大学统计与精算科学系SARE电子邮件：jeffyao@hku.hkAbstractSeveral风险价值（VaR）是金融风险管理的主要工具，有成熟的基准预测因子。特别推荐将AR-GARCH滤波与歪斜t残差和基于极值理论的方法相结合的混合方法。本研究引入了另一个VaR预测因子G-VaR，它采用了一种新的方法。受最新的次线性预期数学理论的启发，G-VaR建立在模型不确定性的概念上，这意味着金融回报的固有波动性不能由单一分布来表征，而是由许多统计分布来表征。通过考虑这些潜在分布中最糟糕的情况，G-VaR预测值得到了精确的识别。纳斯达克综合指数和标准普尔500指数的大量实验表明，G-VaR预测值的性能优异，优于大多数现有的基准VaR预测值。关键词：经验金融、G-正态分布、模型不确定性、次线性预期、风险价值。JEL分类：C58，G32.1简介自20世纪90年代在摩根大通诞生以来，风险价值（VaR）已成为评估金融市场下行风险最常用（如果不是最常用）的工具之一。当今金融业的每个风险管理部门都定期实施几个风险值指标来监控其业务（Jorion，2007）。

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2022-6-25 03:01:44

监管机构还将VaR措施纳入其对银行业的建议（巴塞尔协议I-III），这加快了VaR的传播。VaR方法的成功还得到了大量文献的支持，在这些文献中，该方法在不同的模型设置和不同的市场和产品中得到了仔细的评估和讨论。这方面的文献数量众多，包括几本专门书籍。此外，任何涉及金融计量经济学或风险管理的教科书都会有一章专门介绍VaR。读者可以参考Kuester等人（2006）、Jorion（2010）、Abad等人（2014）、Nadarajah和Chan（2016）以及Zhang和Nadarajah（2017）等最近发表的评论文章，了解这些文献的最新情况。特别是，Abad等人（2014）的表4列出了多达十四篇通过实证研究调查和比较不同VaR方法的论文。此外，通过关注单变量观察，Kuester et al.（2006）对主流VaR指标进行了丰富的回顾，并使用每日纳斯达克综合指数对这些指标的预测能力进行了广泛的实证比较。他们得出的一般结论（另见Abad et al.，2014）是，无论使用何种方法进行VaR建模，通过将该方法应用于AR-GARCH模型而非原始序列（rt）过滤的残差，预测总是会得到改善，大部分时间都会得到显著改善。例如，通过使用偏态t创新（AR-GARCH StEVT）将极值理论（EVT）应用于AR-GARCH fit的残差，可以获得表现最好的一个。Kuester等人。

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2022-6-25 03:01:47

（2006）得出的结论是，至少对于纳斯达克综合指数，“条件异方差模型产生可接受的预测”，并且条件偏态t（AR-GARCH-St）和条件偏态t与EVT（AR-GARCH-St-EVT）的耦合总体表现最好。在本文中，我们提出了一种全新的VaR。我们的方法是由一种称为非线性期望的严格数学理论所启发的。非线性期望理论最初是在Peng（2004、200620082019）中引入的。附录中详细介绍了与VaR预测相关的理论部分。当应用于收益{rt}时间序列的分析时，非线性期望理论的中心概念是收益序列{rt}中固有的有限分布族。传统的计量经济学建模通常假设收益率，至少在特定时间段内，服从由一个随机过程模型P控制的一个随机过程。计量经济学家的任务是输入这个未知但真实的P。分布可以是参数化的，如ARARCH模型（具有偏态t或正态创新），或由一系列条件混合物分布组成（见第2节）。它也可以是完全非参数的，没有任何特定的模型规范，就像VaR预测的历史模拟（HS）方法一样。然而，对于收益{rt}，假设存在唯一的随机模型。非线性期望理论的观点截然不同：它不是假设存在一个唯一的模型P，而是认为回报源自大量不同的模型，比如{Pθ}θ∈Θ，这个潜在模型家族确实是有限的（这里，Θ表示一些不精确的索引集）。

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2022-6-25 03:01:50

其基本原理是，正在调查的数据（如收益率序列）具有复杂的性质，因此任何单一的随机模型或分布都不能成为完美的模型：必须考虑模型的不确定性，任何统计推断都必须考虑到这种不确定性。我们将这种复杂数据的愿景和隐含的方法论命名为模型不确定性下的数据分析。模型不确定性的概念，有时也称为模型模糊性，经过很长时间才出现。稳健性统计领域在这方面进行了早期尝试，认为统计程序（如参数估计或假设检验）可以通过假设数据遵循的不是单一分布，而是一系列分布{Fθ}θ来获得稳健性∈Θ（见Huber，1981；Walley，1991）。Avellaneda等人（1995年）通过允许股票波动性的两个极值σminandσmax之间的变量范围，提出了衍生证券和期权组合的定价和对冲模型。当波动率未知且在某个凸区域内具有价值，且该凸区域可能随价格过程和时间而变化时，Lyons（1995）为此类市场中的中介机构引入了最佳且无风险的策略，以履行其义务。Peng（1997）后来提出了一种模型不确定性的形式化数学方法，引入了一种称为g-期望的非线性期望来发展平均不确定性的概念及其相关数学工具。然后，Chen和Epstein（2002）采用g-期望概念来描述多先验效用的连续时间跨时间版本。特别是，他们在传统风险溢价的基础上，建立了一个单独的模糊溢价。

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2022-6-25 03:01:53

此外，Epstein和Ji（2013）在一个连续的时间框架内制定了一个效用模型，该模型通过次线性期望（SLE）理论捕捉了对波动率和收益平均值模糊性的厌恶。请注意，次线性期望是一种有用的非线性期望形式，通过添加次可加性属性得到了加强。所有上述理论都形式化了一个包含一组概率测度{Pθ}θ的固有分布族∈Θ，而不仅仅是一个概率度量P，它控制着数据集的统计分布。在相关工作中，Artzner等人（1999）提出了一致性风险度量的概念，该概念侧重于市场风险和非市场风险的度量，另见F¨ollmer和Schied（2011）。虽然模型不确定性的观点已经通过SLE的数学理论形式化，但其对实际数据分析的影响尚未得到充分探讨。Huber（Huber，1981）的早期工作研究了稳健统计领域的模型不确定性。Cont（2006）考虑了期权定价模型中定义模型不确定性的量化框架，并通过实例说明了模型不确定性与更常见的“市场风险”概念之间的差异。Kerkhof et al.（2010）通过区分估计风险和误认风险，提出了一种在计算资本准备金时考虑模型风险的程序，该程序可用于解决风险价值和预期缺口。据我们所知，关于VaR预测的本论文是在基于SLE的模型不确定性下对实际数据进行分析的首次尝试。SLE理论的应用导致了一种新型的VaR预测工具G-VaR。

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2022-6-25 03:01:56

粗略地说，只要涉及VaRprediction，并以概率模型{Pθ}θ的形式给出模型的不确定性∈Θ，G-VaR专注于所有潜在模型{Pθ}中最坏情景下的预测。对两大市场指数，即纳斯达克综合指数和标准普尔500指数进行了广泛的实证分析，确定了新的G-VaR预测优于Kuester等人（2006）报告的表现最好的几个基准VaR预测。G-VaR在这些实证研究中的一致优势确实令人震惊。一种事后解释是，这些回报数据确实具有某种复杂的性质，可以通过导致G-VaR预测的模型不确定性更好地理解。论文的其余部分组织如下。第2节简要回顾了收益序列VaR的几个基准预测值。第三节介绍了分布族的概念，如模型不确定性和G-正态分布。第4节包含了本文的主要技术贡献。在模型不确定性条件下引入了新的VaR预测因子G-VaR，并建立了其理论性质。第5节介绍了G-VaR的实现，其中对G-VaR预测中涉及的参数提出了一致性估计。请注意，这一实现非常重要，第5节包含了本文的主要方法论贡献。第6节报告了纳斯达克综合指数和500指数G-VaR预测的实证结果，并与第2节中审查的基准VaR预测进行了广泛比较，包括AR（1）-GARCH（1,1）-正常、AR（1）GARCH（1,1）-偏态-t和AR（1）-GARCH（1,1）-偏态-t-EVT预测。

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2022-6-25 03:01:59

最后，第7节得出结论。2 VaR基准预测值的简要回顾在介绍我们的新方法之前，我们首先简要回顾Kuester等人（2006）中描述的几个有充分记录的VaR预测值，它们将作为与本文提出的新VaR预测值进行比较的基准。由于早期审查文件中可以找到这些VaR度量的历史参考文献，因此本简要审查中仅指出了一些关键参考文献。这里，（rt）表示需要进行VaR预测的单变量时间序列。在最常见的情况下，该系列代表市场的每日回报，或股票或产品的价格。（i）历史模拟法。这种传统方法使用历史数据中的样本分位数来预测VaR。该方法在Dowd（2002）和Christo Offersen（2003）等经典书籍中有很好的记录。HS的一个变体是过滤历史模拟（FHS），通过使用参数模型（如AR-GARCH模型）从过滤残差计算样本分位数。关于FHS的经典参考文献包括Barone Adesi等人（1999、2002）。（ii）使用EVT的峰值超过阈值的方法。EVT提供了一种估计变量X的高上分位数的方法，例如，对于某些小尾概率α<0.1，分位数Xα，例如FX（X）=P（X>Xα）=α。从样本数据中，我们得到一个经验分位数u，即阈值，这样P（X>u）≈ 0.1. 此外，那些高于阈值u的值提供了“生存分布”（X | X>u）的样本。EVT确保对于足够大的u，生存分布可以近似为广义帕累托分布（GPD），该分布取决于一对形状-尺度参数（β，ξ）（Pickands，1975；Embrechtset al.，1997）。

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2022-6-25 03:02:02

因此，使用样本确定该GPD，从而得出所有xα>u的初始尾部概率FX（xα）的估计值。对于VaR预测，上述程序适用于可用数据{Xs=-rs，s<t}找到相应的上分位数xα。此处使用负运算，因为EVT考虑上分位数，而VaR针对下分位数。然后，VaR的预测值为VaRα（t）=-所有风险水平α<0.1的xα。McNeil和Frey（2000）和Kuester等人（2006）对使用EVT进行VaR预测的实证研究。（iii）AR-GARCH滤波法（AR-GARCH）。这里假设收益遵循类型RT=ut+σtzt的平均方差分解，（2.1），其中平均过程（ut）遵循AR模型（或更一般地，ARMAmodel），残差由GARCH过程（Bollerslev，1986）建模，具有独立且相同分布的（i.i.d.）创新（zt）。创新（zt）分布FZO的常见选择是（i）标准正态，（ii）Student\'s t分布，和（iii）歪斜t分布。一旦模型（2.1）被确定，就会得到分布Fzis的参数估计值，比如^fz，从而得到估计的分位数函数，比如^Qα（z）（对于任何给定的风险水平α）。因此，时间t的α级VaR预测定义为DVARα（t）=-n^ut+^σt^Qα（z）o.（iv）条件混合建模方法。在这种方法中，将条件设置为信息集Ft-1在时间t，返回Rt遵循n个组分的混合物分布，每个组分都有一个恒定的平均参数uj（1≤ j≤ n）和时变波动率（方差）参数σj，t（1≤ j≤ n）。此外，维波动过程σt=（σ1，t，…，σn，t）服从多维algarch方程。

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2022-6-25 03:02:05

这里，混合组分的分布通常是正态分布或广义指数分布（GED）。哈斯等人（2004年）提供了更多关于这种方法的参考资料。（v）分位数回归法。这里使用回归模型，使用一些可预测的协变量Xt预测时间t的VaR∈ 英尺-1.见Koenkerand Bassett（1978）和Chernozhukov和Umantsev（2001）。后来，Engle和Manganelli（2004）提出了鱼子酱模型，其中分位数（或VAR）遵循自回归模型，没有任何外源协变量。3 G-衡量金融时间序列风险时的正态分布{Xt}0≤t型≤T、通常假设数据遵循一定的分布F，目的是估计或近似其某些特征（如VaR）的“真实”分布。正如我们在第2节的调查中所看到的，文献中存在许多不同的VaR度量，包括HS、EVT VaR及其AR-GARCH过滤变量。现在我们查看数据{Xt}0≤t型≤TA具有复杂的性质，不受一个分布fB控制，而是由一个有限的分布族{Fθ}θ控制∈Θ，他们每个人都捕获数据的一些属性。如何将VaR概念扩展到一个新的框架中，在这个框架中，一系列（未知）分布支配着数据？本文为这一普遍问题提供了答案。接下来，对{Fθ}θ族的一些有意义的特征∈Θ需要识别。考虑分布的最简单特征，即其平均u和方差σ。一般来说，这些特征是时变的。这里，我们考虑一个简单的情况，其中平均u是常数（独立于时间），方差σ在某个区间内是时变的[σ，σ]。下面，区间[σ，σ]用于表征未知分布族{Fθ}θ∈Θ.

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可人4

2022-6-25 03:02:08

对于给定的正则概率空间(Ohm, F、 P），Ohm = C（[0，T]），布朗运动{Bt}0≤t型≤T、我们将概率度量Pθ定义如下。对于∈ F、 Pθ（A）=Po Y-1θ（A）=P（Yθ∈ A），式中yθ（·）=ZθsdBs，θ∈ Θ=LF(Ohm ×[0，T]，[σ，σ]，其中Θ是所有逐步可测过程的集合，取[σ，σ]的值。Pθs的集合表示为{Pθ}θ∈Θ. 设平均值u为0，{Xt}0的分布≤t型≤Tunder Pθ等于Fθ。因此，这个有限的随机过程分布族{Fθ}θ∈选择Θ作为管理数据集{Xt}0的族≤t型≤T、在本文中，我们使用所谓的G-正态分布N（0，[σ，σ]）来表示族{Fθ}θ∈Θ.准确地说，数据{Xt}0的期望值≤t型≤Tunder{Pθ}θ∈ΘareEθ[φ（Xt）]=ZRφ（x）dFθ（x），（3.1），其中φ∈ Cl.Lip（R，R）是一个测试函数，描述我们感兴趣的数据XT的统计信息。考虑到VaR预测，我们将分析重点放在xUnder{Pθ}θ的最坏情况期望上∈Θ，即E[φ（Xt）]=supθ∈ΘEθ[φ（Xt）]。（3.2）一般来说，很难确定最坏情况下的期望值E[φ（Xt）]。然而，有一种情况可以明确确定，如下所示。假设3.1。假设{Xt}0<t<t是以下随机微分方程，dXt=θtdBt，X=X，在Pθ，θ下∈ Θ=LF(Ohm ×【0，T】，【σ，σ】）。对于给定的φ，我们可以证明u（t，x）=E[φ（Xt）]满足以下偏微分方程（PDE），tu（t，x）-G级(xxu）=0，t≥ 0，x∈ R、（3.3）其中函数G（·）定义为G（a）=σa+- σa-, a+=最大值（a，0）和a-= 最大值(-a、 0）。（3.4）此外，如果φ（·）在R上是凸的，则方程（3.3）存在以下显式解：u（t，x）=Zx-∞φ（y）p2πtσexp（y2tσ）dy。在这种情况下，我们可以看到凸函数u（t，x）将在参数σ下达到最大值。

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2022-6-25 03:02:11

类似地，如果φ（·）在R上是凹的，则显式解为comesu（t，x）=Zx-∞φ（y）p2πtσexp（y2tσ）dy.作为返回{Xt}0的时间序列≤t型≤它通常以中心为中心，而其波动率（方差）是时变的，我们将在模型不确定性{Pθ}θ下假设它满足假设3.1∈并遵循G-正态分布n（0，[σ，σ]）（提醒读者这不是经典的概率分布）。最大分布和无偏估计的定义如下：定义3.1。（最大分布）次线性期望空间上的随机变量η(Ohm, H、 E）如果存在间隔【u，u】，则称为最大分布 R使得e[φ（η）]=最大值∈[u，u]φ（y），φ ∈ Cl.Lip（右）。定义3.2。让X、···、Xnbe i.i.d.样品（在SLE下）从最大分布中获得大小为n的样品，间隔为[u，u]。如果E[f（X，····，Xn）]=u或E[f（X，····，Xn）]=u，则f（X，····，Xn）分别是u或u的无偏估计量。4 G-VaR：模型不确定性下的一种新VaR方法∈ （0，1），金融资产X的风险水平α的VaRα是X的α分位数的负值；isVaRα（X）=-inf{x：F（x）>α}，（4.1），其中F（x）=P（x≤ x）是x.4.1鲁棒变量的累积分布函数考虑模型不确定性下的风险位置x，由分布族{Fθ（x）}θ表示∈Θ. 每个Fθ下X的VaR为VaRθα（X）=-inf{x:Fθ（x）>α}。在这里考虑的分布族下，设计一个能够保护自身免受风险的VaRmeasure非常重要。注意，这里的风险具有相当普遍的形式；也就是说，没有关于这一系列发行的具体表格或先前信息。这种普遍性与真实的市场情况相一致，在这种情况下，风险因素总是难以准确捕捉，甚至不可能准确捕捉。

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2022-6-25 03:02:14

因此，这些风险来源的任何特定形式或模型都可能具有误导性。因此，考虑VaR的最坏情况是很自然的。正式地说，X的最坏情况VaR定义为VaR*α（X）：=supθ∈ΘVaRθα（X）。（4.2）在第6节的实证研究中，将表明，尽管其保守精神，但考虑最坏情况的情况，允许新的VaR非常有效地捕捉资产回报中的风险。最坏情况下的VaR（4.2）有几个简单的属性。设^F（x）：=supθ∈ΘFθ（x）。（4.3）对于每个θ，我们有varθα（X）≤ -inf{x：^F（x）>α}=：VaR^Fα（x），这样VaR*α（X）≤ VaR^Fα（X）。备注4.1。很明显，^F是一个右连续函数。如果，另外，{Fθ}θ∈Θ是弱紧的，那么很容易证明limx→-∞^F（x）=0，且limx→∞^F（x）=1。因此，在这种情况下，^F仍然是概率分布函数。提案4.1。给定一个危险位置X和一系列分布{Fθ（X）}θ∈是弱紧的。然后，VaR*α（X）：=supθ∈ΘVaRθα（X）=VaR^Fα（X）。证据很明显，VaR*α（X）≤ VaR^Fα（X）。为了证明逆不等式，需要找到一个F∈ {Fθ（x）}θ∈使VaR^Fα（X）=VaRFα（X）。由于^F（x）是一个右连续非递减函数，我们可以找到xα∈(-∞, ∞) 使得^F（xα）≥ α>^F（x），对于每个x<xα。设{Fθi}∞i=1b是{Fθ}θ的子序列∈Θ使得Fθi（xα）→^F（xα）。因为{Fθ（x）}θ∈Θ是弱紧的，存在{Fθik}的子序列∞k=1{Fθik}∞k=1弱收敛到▄F∈ {Fθ（x）}θ∈Θ. 自^F（xα）=limk→∞Fθik（xα）≤F（xα）≤^F（xα），则^F（xα）=^F（xα）。此外，对于每个x<xα，~F（x）≤^F（x）<^F（xα），即，-VaR^Fα（X）=Xα=inf{X：~F（X）>α}=-VaR^Fα（X）。证明是完整的。

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2022-6-25 03:02:17

4.2 G-VaR基于命题4.1，我们现在在分布{Fθ}θ族下引入G-VaR的概念∈对于遵循G-正态分布N（0，[σ，σ]）的风险资产X，取决于两个正参数（σ，σ）。更准确地说，G-VaR是通过将（4.1）中的经典分布函数F（x）替换为G期望值E[1X]来定义的≤x] ，即G-VaRα（x）：=-inf{x∈ R:E[1X≤x] >α}。（4.4）注意，如果没有模型不确定性，则族{Fθ}θ∈θ将减小为单分布F，G-VaR将与（4.1）中的传统VaR一致。此外，当X服从G-正态分布时，我们有^F（X）=E[1X≤x] =u（t，x）| t=1，其中u是非线性热方程（3.3）的解，具有Cauchy initialconditionlimt→0u（t，x）=1（0，∞)（x）。（4.5）根据命题A.1，函数^F具有以下闭式表达式。^F（x）=Zx-∞√(σ + σ)√π“e-y2σI（y≤ 0）+e-y2σI（y>0）#dy，其中I（A）表示集合A的指标函数。此外，计算积分会得到以下更明确的函数形式：；^F（x）=2σσ+σΦ（xσ）I（x≤ 0) +(1 -2σσ + σΦ(-xσ）I（x>0），（4.6），其中Φ表示标准正态分布函数。该G-正态分布具有负均值qπ（σ- σ），以及负偏斜。例如，将参数（σ，σ）=（0.5，1）的G-正态密度函数与图1中的标准正态密度进行比较。此外，由于^F是单调递增的，所以（4.4）中的G-VaR等于VaRα（X）=-^F-1(α). （4.7）在此处插入图1 4.3 G-VaR的简单解释和一些一般评论。尽管G-VaR是通过相当复杂的SLE和相关G-正态分布理论推导出来的，但方程式（4.6）和（4.7）中所示的最终实现具有简单的解释。

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nandehutu2022

2022-6-25 03:02:20

首先，资产X的G-正态分布可以直观地与正态分布的有限族{N（0，σ）：σ相关联∈ [σ, σ]}. 因此，波动区间[σ，σ]对应于此处考虑的模型不确定性。由于G-VaR为正（α<0.5），（4.7）可以重写为正常VaR：G-VaRα（X）=-~σΦ-1（|α），（4.8），其中|σ=σ，|α=σ+σ2σα=1 + σ/σα.我们将分别称为▄σ和▄α调整后的波动率和调整后的风险水平。因此，在没有模型不确定性的情况下，一个具有▄σ=σ=σ和▄α=α，调整后的参数与原始参数一致，G-VaR与传统的正常VaR一致。否则，模型不确定性以区间[σ，σ]为特征，G-VaR变得更为保守，值越高，因为它应该是，在调整后的波动率▄σ的较大值和调整后的风险水平▄α<α的较小值的共同影响下。保守性程度由两个波动率参数{σ，σ}控制：模型不确定性越大，G-VaR越保守。请注意，G-VaR的这一特性是直观的，因为VaR可以非正式地视为给定时期内的最大损失（在排除最坏结果的给定分数后）。在第5节中，我们将展示如何从returndata估计这些参数，其中数据自适应窗口将最终确定给定风险水平参数α的潜在波动性参数（σ，σ）。在一个更具方法论的问题上，人们可能会问，我们在本研究中提出的关注一系列分布中最坏情况下的VaR是否合理。为了解决这个问题，我们认为，鉴于金融市场固有的模型不确定性，一个相关的问题是从不同的模型中寻求“最佳”的分析汇总。

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2022-6-25 03:02:23

我们的方法可以通过两种方式进行调整。首先，从理论角度来看，次线性期望理论为最坏情况下的G-VaR提供了一个严格的推导。第二，第6节中的数据分析表明，与现有基准VaR预测值相比，G-VaR在经验上表现良好。事实上，人们可以在某些高层将G-VaR视为有限正态模型{N（0，σ）：σ中的一种特殊聚合方法∈ [σ, σ]}. 因此，人们不禁要问“是否有其他聚合机制会不那么保守，但仍会导致少量违规”。由于这个问题相当普遍，似乎很难完全准确地解决它。相反，我们可以在这里提出一个与Gospodinov和Maasoumi（2018）提出的最新方法进行比较的方法，该方法用于聚合不符合规格的模型。本文提出了一种用于模型平均的广义聚合方法，并将其应用于资产定价。该方法适用于一定数量的“错误指定模型”进行聚合。注意，我们通过一系列分布Fθ（·），θ来定义G-VaR模型∈ L(Ohm ×[0，T]，[σ，σ]）与正态分布的有限族有关{N（0，σ）：σ∈ [σ, σ]}. 因此，考虑正态分布N（0，σi）的有限个数（如m）的平均聚合方法是很自然的，其中σi∈ [σ，σ]，i=1，2，····，m。设Fi（·）为正态分布N（0，σi）（1）的累积分布函数（c.d.f.）≤ 我≤ m）。在Gospodinov和Maasoumiti中实施平均聚合机制。作者感谢推荐G-VaR这一有价值解释的裁判。作者感谢推荐使用其他聚合方法进行讨论的裁判。（2018年）考虑c.d.f。

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何人来此

2022-6-25 03:02:26

形式为▄Fω（x）=mXi=1ωi（Fi（x））p1/p，x∈ R、（4.9）其中权重ω=（ω，ω，···，ωm）satisfyPmi=1ωi=1，ωi≥ 0和p>0是一些“形状”参数。设F（·）和Fm+1（·）分别为两个边界正态分布N（0，σ）和N（0，σ）的c.d.F。如果x<0，我们有f（x）≤ Fi（x）≤ Fm+1（x），i=1，2，····，m和thusF（x）≤Fω（x）≤ Fm+1（x）。对于任何给定的风险α<0.5和风险头寸X，如下所示：，-F-1ω(α) ≤ -F-1m+1（α）≤ G-VaRα（X），其中▄F-1ω（·）和F-1m+1（·）分别是▄Fω（·）和Fm+1（·）的反函数。这些结果表明，这种特殊的平均聚合方法导致的VaR不太保守，但平均违规次数比G-VaR高。请注意，这里的比较非常特殊，平均聚合方法仅限于有限数量的正态分布。因此，我们仍然不知道是否存在任何其他的VaR聚合方法，其保守性低于G-VaR，但违规次数较少。5 G-VaR的实现在实施G-VaR（4.4）时，主要任务是估计潜在G-正态分布的参数。设{Xt}0≤t型≤t风险资产的回报时间序列。在每个时间t，目标是使用可用值{Xs}0的历史来预测给定水平α下Xt+1的VaR≤s≤t、下面，让windowW为交易日的长度，用于估计参数（σ，σ）。为了预测G-VaR模型中Xt+1的VaR，数据{Xs+1}tt-W、即，假设时间t之前的长度W的历史是独立的，且呈G-正态分布，N（0，[σt，σt]）。重要的是要提醒读者，这里使用的独立性和分配质量的概念并不是经典的概念，而是在SLEE[·]：=supθ理论下的概念∈ΘEθ[·]。

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2022-6-25 03:02:29

附录详细介绍了这些新概念。Brie fly，在SLE下，如果φ，两个随机变量和分布相同∈ Cl.Lip（R），E[φ（Y）]=E[φ（Y）]。对于每个ψ，一个随机变量Yis被称为独立于Yif∈ Cl.Lip（R×R），我们有E[ψ（Y，Y）]=E[ψ（Y，Y）]Y=Y]。注意这种独立性的顺序：Yis独立于ydo的事实并不意味着Yis独立于Y。一般来说，我们说Ynis独立于（Y，····，Yn-1），ifE[φ（Y，···，Yn-1，Yn）]=E[E[φ（y，···，Yn-1，Yn）]y=y，····，Yn-1=Yn-1] ，对于任意φ∈ Cl.Lip（Rn）。Jin和Peng（2016）中的定理24表明，如果X，···，xn从参数（u，u）的最大分布中形成大小为n的i.i.d.样本，其中：。i、 d.处于SLE，则u≤ 最小值{X，···，Xn}≤ 最大{X，···，Xn}≤ u.此外，^u=max{X，···，Xn}是上均值u的最大无偏估计量，而^u=min{X，···，Xn}是下均值u的最小无偏估计量。彭（2017）将这种估算方法称为“最大平均值计算”。准确地说，我们假设Xt+1遵循N（0，[σt，σt]），t>0。对于每个固定t，数据{X't-s} 0个≤s≤W-1用于估计两个参数σ′和σ′t，以预测X't+1的VaR。让W≤ W是窗口宽度。然后采用以下移动窗口方法。对于每个时间s，设^σs，W=^σs，W（Xs-W+1，···，Xs）=WWXj=1Xs-j+1为样本方差（Xs-W+1，Xs），即时间s之前的长度wb的历史。设k=bWWc为满足kW的最大整数≤ W、定义σ′t，k=最大σ′t-s、 W：s=0，W，2W，···，（k-1） W}，σ′t，k=最小{σ′t-s、 W：s=0，W，2W，···，（k-1） W}，σ′t，W=最大{σ′t-s、 W：0≤ s≤ W- W} ，σ′t，W=最小{σ′t-s、 W：0≤ s≤ W- W} 。Peng（2019）表明，G-布朗运动的二次变化过程遵循最大分布（见参考文献第60页）。

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2022-6-25 03:02:33

因此，二次变量hxit+1遵循区间[σt，σt]的最大分布。根据Jin和Peng（2016）的定理24，σ′t，kis是上均值σ′t的最大无偏估计量，σ′t，kis是下均值σ′t的最小无偏估计量。此外，σ′t，kandσ′t，kconverge toσ′andσ′tas W→ ∞, 分别地还要注意σ′t≤ ^σ′t，W≤ ^σ′t，k≤^σ′t，k≤^σ′t，W≤ σ′t，因此σ′t，Wandσ′t，W接近σ′和σ′t→ ∞. 这些表明，在给定的W历史数据长度和W下，我们可以使用^σ′t、Wand^σ′t、Wto估计σ′t和σ′t。总之，在给定的时间't+1，需要进行VaR预测，通过确认长度为W，{Xt}t的历史数据中的模型不确定性-W<t≤\'t，X\'t+1遵循G-正态分布N（0，[σ\'t，σ\'t]）。此外，两个参数σ′和σ′t可以分别由估计量σ′t、Wandσ′t、W很好地近似。因此，根据（4.7），X't+1级α的VaR的最终G-VaR估计值为G VaRWα，'t（X't+1）=-n^FW'至-1（α），（5.1），其中^FW’t（x）=^σ’t，W^σ’t，W+^σ’t，WΦ（x^σ’t，W）I（x≤ 0)+1.-2^σ′t，W^σ′t，W+σ′t，WΦ(-x^σ′t，W）I（x>0）。（5.2）Fang等人（2019）提供了这些估计在次线性期望下的收敛速度。注意，对于给定的W和α，我们得到了不同的^σ′t、Wand^σ′t、Wdependingon W。因此，可以将Wc解释为分布不确定性的度量。这个参数wp在我们的分析中起着重要作用，我们在以下条件下将其函数形式化。条件5.1。返回序列{Xt}0≤t型≤对于给定的窗口W和风险水平α，存在一个窗口大小为1的属性≤ W≤ W以至于Limn→∞n- WnX't=WI（X't+1<-G-VaRWα，\'t（X\'t+1））=α。当满足条件5.1时，我们说返回序列对于给定对（α，W）有一个自适应窗口wf。

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2022-6-25 03:02:36

因此，该条件保证了整个数据集{Xt}1的经验违规百分比和G-VaR度量G-VaRWα，tin（5.1）之间的一致性≤t型≤t历史窗口大小W和估计窗口大小W。基于大量数据分析，条件5.1在许多实际情况下似乎相当令人满意。如前所述，本文假设观测值由许多模型（或分布）而非单个模型描述。使用SLE理论并采用最坏情况，可以通过G-正态分布N（0，[σ，σ]）来评估给定风险水平α和时间t下的VaR。参数W可以解释为最坏情况下最适合返回数据的持续时间。此外，正如第6.3节中的实验所证实的那样，该参数取决于风险水平α和历史窗口大小W。例如，在较高的置信水平（较低的α水平）下，较低的W值可达到较高的保守性，从而产生更大的波动区间[σ，σ]。因此，在实际数据分析中，例如在第6节中，对于给定的一对（W，α），我们首先检查是否存在自适应窗口大小，请参见条件5.1。只有在找到这样的W之后，G-VaR预测才可能实现。根据第6节中的实证研究，我们将表明，对于纳斯达克综合指数和标准普尔500指数，确实可以找到适用于各种风险水平α的自适应窗口。然而，对于我们也分析过的CSI300指数，对于区域合理的历史窗口大小W和风险水平α>5%，未发现自适应窗口大小WC。对于给定的风险水平，文献中已报道，VaR模型的参数可能取决于风险水平α。例如，Kuester等人。

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2022-6-25 03:02:39

（2006）观察到，数据的正态性假设“对于较大的α值可能有一些优点”，但仍然不足以达到5%的风险水平（见参考文献第76页第二段）。α、如第4.3节所述，G-VaRα（X）相当于未经调整的方差参数为▄σ且向下调整的风险水平为0.5α<▄α的正常VaR≤ α.这些结果表明，当α>5%时，风险水平参数区间[0.5α，α]内正态分布N（0，σ）下的VaR不能覆盖CSI300指数的风险。这一负面结果可以解释为，CSI300指数中的模型不确定性可能超出了G-VaR所能捕捉到的范围。6 G-Vari的经验结果在本节中，对纳斯达克综合指数和标准普尔500指数的G-VaR预测进行了评估。两个指数均包含每日收盘水平。主要步骤如下。第1步-数据准备：纳斯达克综合指数由{Z1，t}表示，从1971年2月8日至2001年6月22日，共有N=7675个百分比观察值。标准普尔500指数由{Z2，t}表示，从2000年1月3日到2018年2月7日，共有4550个观测值。他们的日常日志返回areri，t=100（ln Zi，t- ln Zi，t-1），i=1，2。Kuester等人（2006）发现，当使用历史窗口W=1000时，通过AR-GARCH过滤模型（如推荐的AR-GARCH-Skewed-t或AR-GARCH-Skewedt EVT模型）获得纳斯达克指数的最佳VaR预测。

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2022-6-25 03:02:42

本文提出的G-VaR预测值与这两个基准值进行了比较，并与更传统的AR-GARCH正态预测值进行了比较，该预测值使用标准正态值作为过滤残差。步骤2-AR（1）过滤：为了进行G-VaR预测，我们首先使用以下AR（1）过程过滤数据；也就是说，序列ri，t，i=1，2满足模型方程sri，t=airi，t-1+ i（6.1）其中下面的G-正态分布N（0，[σi，σi]），i分别为1，2。数据可从https://finance下载。雅虎。com/查找。回想一下，这两个指数是市值加权投资组合，分别由5000多只和500多只精选股票组成。步骤3-选择历史和估计窗口长度W和W：第5节中G-VaR的实施需要给定风险水平α的两个窗口长度W和WF的值。注意，在我们的G-VaR模型中，Wis依赖于α和W。与Kuester等人（2006）类似，我们考虑了三个历史窗口，W=1000、500和250。根据经验选择相应的战争值，以确保条件5.1成立。6.1纳斯达克综合指数我们首先将G-VaR模型与AR（1）-GARCH（1,1）-正常、AR（1）-GARCH（1,1）-歪斜-t和AR（1）-GARCH（1,1）-歪斜-t-EVT VaR模型进行比较。对于给定的窗口W=1000、500和250，我们将展示如何确定满足条件5.1的窗口W。例如，对于给定的W=1000、α=0.01和时间点't，我们计算r1的G-VaR，'t（纳斯达克收益率），其中不同的为≤ W、然后，我们选择令人满意的→∞n- WnX't=WI（r1，'t+1<-G-VaRWα，\'t（r1，\'t+1））=0.01。请注意，上述百分比是在G-VaR模型下，从时间W+1到n+1的r1违约率，以下表示为%Viol（n）。图2绘制了%Viol（n）随时间n变化的演变。此处使用α=0.01，但其他α值的结果类似。

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2022-6-25 03:02:45

对于所有窗口大小W=1000、500和250，我们发现当3000≤ n- W、违规率接近目标α=0.01。所有这三种情况都使用W=350、120、75的良好校准值。在实践中，正如纳斯达克指数所做的那样，需要校准的是什么，一旦确定，将保留它以预测未来的G-VaR值。条件5.1从技术上保证存在这样一个趋同的窗口大小W。表1给出了3000<n的转换期内%Viol率的汇总统计数据- W、在此处插入表1在此处插入图2评估所考虑模型的预测性能，我们遵循无条件覆盖测试或二项测试（Kuester et al.，2006）。这实际上是一个伯努利试验的似然比检验，其中无试验成功概率等于α。更准确地说，让^α=m/（m+m）为样本违规率%Viol，其中mis为违规的样本数，观察总数为m+m=T- W、使用众所周知的症状χ（1）分布，检验的p值为ruc=pχ（1）>2m^αα+2m1- ^α1 - α!.表2给出了n=T，W=1000，α=0.01，0.025，0.05的G VaR的统计数据%Viol，LRuc，100VaR的经验值。这里，100VaR表示相关模型平均VaR的100倍。AR（1）-GARCH（1,1）-Normal、AR（1）-GARCH（1,1）Skewed-t和AR（1）-GARCH（1,1）-Skewed-t-EVT模型的%Viol、LRuc、100VaR的对应值直接从Kuester et al.（2006）的表3导入。表2中的结果表明，对于agiven W=1000，α=0.01，0.025，0.05，一旦我们找到相应的W=350，650，900，G-VaR的%Viol优于AR（1）-GARCH（1,1）模型，具有正态，斜态-t，斜态-t-EVT创新。请参见表底部的P值L曲线图。

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可人4

2022-6-25 03:02:48

此外，四个模型中的100VaR值非常接近。在hereKuester et al.（2006）的周围插入表2得出结论，AR-GARCH-Skewed-t和AR-GARCHSkewed-t-EVT VaR模型在较大窗口（例如W=1000）下比在较小窗口（例如W=500、250）下实现更好的性能。然而，对于G-VaR，如图2所示，%Viol统计数据在w=500250时更加稳定，这表明在较小的窗口中性能更好。为了验证这一建议，表3给出了windows W=500、250和风险水平α=0.003、0.005、0.01、0.025、0.05的G-VaR模型中%Viol、LRuc、100VAR的经验统计数据，从而确认G-VaR确实在较小的窗口中实现了优异的性能。对于风险水平最低的困难情况，α=0.003，经验p值甚至达到0.96和1.00的最大值！在此处插入表3 6.2标准普尔500指数使用windows W=1000、500、250分析标准普尔500指数数据。窗口大小赢条件5.1的确定方式与纳斯达克综合指数数据的确定方式完全相同。图3复制了图2，但针对的是标准普尔500指数。3000<n的%Viol汇总统计- W在表4中给出（复制表1，但针对标准普尔500指数）。在此处插入表4在此处插入图3在此处插入表5给出了AR（1）GARCH（1,1）-正常、AR（1）-GARCH（1,1）-歪斜-t、AR（1）-GARCH（1,1）-歪斜-EVT和G-VaR模型的%Viol、LRuc、100VaR的经验统计数据，这些模型适用于n=t、W=1000和α=0.003、0.005、0.01、0.025、0.05的S&P500数据。这些结果表明，在W的校准值良好的情况下，G-VaR明显优于使用AR（1）-GARCH（1,1）过滤器和正常、歪斜-t和歪斜-t-EVT创新的三个基准VaR预测值。请参见表底部的p值图。然后对较小的窗口重复实验，即W=500和250。

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2022-6-25 03:02:51

表6给出了W=500的相应结果，各种风险等级的校准值W=70、110、120、250、480。除了一种情况外，即GARCH-ST-EVT模型的α=0.05，G-VaR Againout优于所有竞争对手；请参见表格底部的绘图。表7中报告了W=250的结果。在这里，G-VaR的表现均匀且显著地优于所有竞争对手。图4和图5中的最后曲线图显示了G-VaR、AR（1）-GARCH（1,1）-歪斜-t和AR（1）GARCH（1,1）-歪斜-t-EVT模型给出的三个一步预测的时间演变。每个地块包括三个历史窗口，W=1000、500、250。图4中的风险等级为α=0.01，图5中的风险等级为α=0.05。所有三个VaR预测值都有能力跟踪原始收益序列的上升-下降模式。在此处插入表5在此处插入表6在此处插入表7在此处插入图4在此处插入图5在此处插入图6.3自适应窗口大小G-VaR预测的实施要求存在一个自适应窗口，该窗口能够估计在某个给定时间点t使用的G正态分布N（0，[σt，σt]）的方差参数（σt，σt）。图6显示表5-7中给出的WF值和α的不同值。风险等级为α的绞车。如前所述（见条件5.1后的注释），较小的α意味着更大的波动性，在本文采用的最坏情况下，需要较小的窗口。在此处插入图6，可以进一步推导出这些WC实验值所携带的信息。在图7中，我们比较了不同风险水平α下纳斯达克综合指数和标准普尔500指数的值∈ {0.003、0.005、0.01、0.025、0.05}，历史窗口大小固定为W=500。

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2022-6-25 03:02:54

因为在我们最坏的情况下，窗口越小，波动性越高（因此指数的风险越高），我们可以假设，在风险水平α=0.025时，标准普尔500指数的回报率比纳斯达克综合指数的回报率风险更高。在风险水平α=0.01时，其风险程度是可比较的，而在风险水平α=0.003、0.005和0.05时，标准普尔500指数的风险可能较小。在此处插入图7最后，请注意，我们使用了3000个数据点的初始段来确定参数Win，这两种情况都适用于纳斯达克综合指数和标准普尔500指数。一旦找到Wis，它将被固定并用于不同的移动窗口W=1000、500、250。因此，G-VaR预测可被视为初始3000+W数据点的样本预测，而其余n- （3000+W）数据点。7讨论本文介绍了一种新的金融收益序列VaR预测因子G-VaR。我们的方法基于模型不确定性原则，即单一的统计分布或模型无法充分描述收益的波动性。相反，完整的特征描述需要一个有限的分布族。考虑到这些潜在分布中最坏的波动情况，并利用最近的SLE理论，我们通过一个称为G-正态分布的新数学对象正式识别VaR。使用纳斯达克综合指数和标准普尔500指数进行的广泛实证分析表明，G-VaR预测值优于许多现有的VaR基准预测值。对于低风险水平，如α=1%或0.5%，其优势尤为显著。很难为G-VaR的惊人成功提供一个完全清晰的解释。很可能，当考虑到回报的波动性时，模型不确定性的概念具有特别的优势。

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2022-6-25 03:02:58

这种波动率是时变的，本质上是复杂的，因此，G-VaR对所有潜在波动率分布采取的最坏情况下的方法证明是对分析数据的一个很好的拟合。根据本文给出的实证结果判断，这种模型不确定性方法似乎比许多具有模型确定性的现有方法更有效，其中假设波动率过程具有唯一的统计分布。然而，未来仍有许多悬而未决的问题有待研究。特别是，G-VaR的实现依赖于自适应windowW。虽然已经证明，对于本文分析的两个数据集，可以根据经验有效地确定该“调整参数”，但值得进一步研究其内在或物理意义。分析G-VaR预测因子在其他金融序列上的表现，以确定模型不确定性下最坏情景方法的成功程度，也是很有价值的。更一般地说，探索其他金融数据集甚至非金融数据集是有用的，其中模型的不确定性是不可避免的。SLE理论还可以提供新的数据分析工具，与本文针对收益波动性开发的G VaR方法类似。确认并注意到G-VAR的起源。作者感谢两位评论员和编辑提出的大量详细建议和意见，这些建议和意见导致了论文的重大改进。具体而言，（4.8）中G-VaR的调整后正常VaR解释是由评审员提出的。

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2022-6-25 03:03:01

另一位评论员提出了与第4.3节中错误指定变量的平均聚合的有趣比较。这项关于G-VaR的工作得益于作者在主要在山东大学中泰金融安全研究所组织的各种会议和研讨会上进行的多次讨论。该研究所由S.Peng领导的团队于2015年春季构思了G-VaR。2015年4月，该团队成员在上海交通大学金融行业问题解决研讨会上首次提出了关于G-VaR的报告以及CSI300指数的一些数据分析示例。截至2015年5月，两位作者（S.Peng和S.Yang）起草了一份关于G-VaR的工作文件（未发表），其中使用次线性期望理论正式定义了该概念。2015年10月下旬，中泰证券金融研究所为CFFX编制了一份报告，其中G-VaR用于分析来自中国市场的一些数据集。2015年11月，龚、杨、胡和张在中泰证券金融研究所的另一份内部报告中提出了一些针对标准普尔500指数数据的G-VaR实验。然而，值得注意的是，所有这些初步工作大多是实证性的，没有任何G-VaR理论，并且使用了G-VaR的一些基本实现。本文中G-VaR的概念是严格构建和调整的。此外，本文中的所有实证研究都是新的，与上述内部报告中报告的不同。此外，我们还要感谢蒋丽珊（L.S.Jiang）和岳晓燕（X.Y.Yue）为FullyOnline PDE（3.3）的解决方案提供的帮助。参考SP。Abad、S.Benito和C.Lipez。全面审查风险价值方法。《西班牙金融经济学评论》，12（1）：15–32，2014年。ISSN2173-1268。P、 Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。

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2022-6-25 03:03:03

一致的风险度量。《数学金融》，1999年9:203–228。M.Avellaneda、A.Levy和A.Par\'as。在波动不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。《应用数学金融》，2:73–881995。G、 Adesi男爵、K.Giannopoulos和L.Vosper。衍生证券投资组合的无相关性VaR。期货市场杂志，19:583–6021999。G、 Adesi男爵、K.Giannopoulos和L.Vosper。使用过滤历史模拟（FHS）对衍生品投资组合进行回溯测试。《欧洲财务管理》，8:31–58，2002年。T、 Bollerslev。广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》，31:307–3271986。Z、 Chen和L.Epstein。连续时间内的模糊性、风险和资产回报。《计量经济学》，70（4）：1403–14432002年。五、 Chernozhukov和L.Umantsev。条件风险价值：建模和估计方面。《实证经济学》，26（1）：271–2922001年。P、 F.克里斯托弗森。金融风险管理要素。学术出版社，阿姆斯特丹，2003年。R、续：模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。《数学金融》，16:519–54720006。五十、 Denis、M.Hu和Peng。S、与子线性期望相关的函数空间和容量：G-布朗运动路径的应用。潜力分析，34:139–1612011。K、多德。衡量市场风险。约翰·威利父子出版社，奇切斯特，2002年。P、 Embrechts、K.Kl–uppelberg和T.Mikosch。为保险和金融的极端事件建模。柏林斯普林格，1997年。R、 F.Engle和S.Manganelli。鱼子酱：按回归分位数计算的风险条件自回归值。《商业与经济统计杂志》，22（4）：367–3812004年。五十、 G.Epstein和S.Ji。连续时间内的模糊波动性和资产定价。《金融研究回顾》，26（7）：1740–17862013。十、方、S.Peng、Q.Shao和Y.Song。

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