不对称连接：maxmin与反射maxmin连接函数

2022-6-25 03:38:41

不对称连接：MAXMIN VS.REFLECTED MAXMIN COPULASDAMJANA KOKOL BUKOVˇSEK、TOMAˇZ KOˇSIR、BLAˇZ MOJˇSKERC和MATJAˇZ OMLADIˇCAbstract。本文介绍了冲击模型中出现的一些新的copula。文献[21]表明，反映的maxmincopulas（简称RMM）不仅仅是一些特定的单数Copula；它们包含许多重要的绝对连续copulan，包括依赖于负象限的EyraudFarlie-Gumbel-Morgenstern类的“一半”。本文的主要目的是发展具有依赖内生冲击的RMM copulas，并证明RMM copulas可能表现出比原始maxmin copulas（简称MM）更好的一些特性：（1）证明这一点的一个重要证据是Therm变换的迭代过程，我们证明它总是收敛的，并且我们给出了它的许多性质，这些性质在应用。（2）利用这一结果，我们还发现了MM变换迭代过程的极限，从而回答了[10]中提出的一个问题。（3）我们给出了多元相关的RMM copula，与文献[10]中给出的MM版本进行了比较。在我们所有的连接函数中，异向冲击和系统冲击通过不对称连接函数组合，而马歇尔连接函数使用对称连接函数。1、引言依赖概念在多元统计文献中起着至关重要的作用，因为人们认识到独立假设不能方便地描述随机系统的行为。其中一个主要工具最终成为了copulas，因为它们的理论全能性来自于Sklar定理【30】。关于这个问题已有大量文献，包括[14、19、16、17、18]；2010年数学学科分类。一次：60E05；次要：60E15,62N05。关键词和短语。

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2022-6-25 03:38:44

连接词；依赖性概念；最大最小连接函数；分布函数的变换；PQD属性；生存分析；冲击模型。DKB&TK&BM&MO感谢斯洛文尼亚研究机构的财政支持（研究核心资金编号P1-0222）。2 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇcelent对这些方法和copulas性质的概述参见【27】和最近的专著【11】。有关probabilitybackground的概述，请参见示例【13】。在本文中，我们致力于研究在应用中发挥重要作用的冲击模型中出现的copula（参见[15、26、22]等）。这一理论始于马歇尔·安道尔金（Marshall andOlkin）[24]，尽管马歇尔（Marshall）[23]才是真正将copulasinto引入冲击模型的人。我们认为，这条道路上的第三个里程碑是由Durante、Girard和Mazo【6】设定的，参见更一般的【2】。这篇论文可能激发了人们对这一领域的浓厚兴趣。我们想指出[28]这篇论文中引入了马歇尔copulas的不对称版本，称为maxmaxmin copulas。[10]中介绍了这些copula的依赖版本和多变量版本，而[21]中引入了反映最大最小copula的概念，简称RMM；这里还表明，这些copula总是以乘积copula∏为界，这特别意味着它们是负象限依赖的。这些观点使RMM copulas成为一些先前研究的方法的焦点，并拓宽了它们的应用范围。这种类型的copula出现在[7，命题3.2]中。此外，这些copula可被视为乘积copula∏的扰动。[4]和[25]研究了copulas的一般扰动，其中考虑了一类我们称之为反射maxmin copulas的函数（参见[25，§3]）。

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2022-6-25 03:38:47

RMM连接函数也可以与[9，定理7.1]中给出的结果相关，其中最大值替换为最小值；我们相信这种相似性不仅仅是巧合。[29]中产生的copulas不仅非常接近我们的RMM copulas，正如[21]中所说的那样，事实证明，在我们的示例3（a）中，它们基本上是MM copulas。让我们还指出，maxmin（以及由此反映的maxmin）copula具有一些性质，这些性质在与模糊集理论和多准则决策相关的各种上下文中都会出现。该类包括非对称copula，例如用作更一般的模糊连接词[1，8]。例如，考虑一个系统的两个内生冲击X和XO，以及一个外生冲击Z。让pX，Xq的依赖性由一个copula C开始，而Z独立于它。分配方案，Yq“pmaxpX，Zq，maxpX，Zqq，正如我们所知，是由马歇尔copula的两种形式之一给出的，而另一个则是通过将两个链接对称链接替换为链接函数min来获得的：MAXMIN VS.REFLECTED MAXMIN COPULAS 3 functions max与链接函数min。关键在于，系统冲击要么对与两个特殊冲击相关的两个分量都有影响，要么与两个冲击相冲突。另一方面，如果我们取非对称连接函数（术语在[6]中介绍）max和min，我们得到了在[28]中介绍的maxmin copula。这可能被视为冲击Z对两个组件X和X有相反的影响。

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能者818

2022-6-25 03:38:50

因此，它对一个组件有好处（通过链接函数max看到），对另一个组件有坏处（通过链接函数min看到），因此，Yq公司“pmaxpX、Zq、minpX、Zqq。我们可以认为Xas和Xas r.v.代表两组人各自的财富，而外源性冲击Z被解释为对其中一组有利而对另一组不利的事件。类似地，Xas和Xc可以分别被视为短期和长期投资，而Z只对其中一种类型的投资有利。然而在[21]之后，我们认为，在这种情况下，有一个概念上的理由，可以用相应的生存函数来取代与特质冲击相对应的一个分配函数。这样，我们又得到了这样一种情况，即系统性冲击与向斜冲击的作用方向相同（或相反），但对两个分量的作用方式相同。本文的第一个重要新结果是构建了反映的maxmin copulas（简称RMM）的依赖版本；二元情况在第2节推导，参见公式（4），这些copula的多元扩展在第6节，参见定理14；原始maxmin copulas的多元形式如【10】所示。在第2节末尾，我们略微扩展了[21]的结果，表明Eyraud Farlie Gumbel MorgensterClass的每个copula都属于MM或RMM类（参见示例3（b）），而这些显然只是MM和RMMcopulas的一个非常特殊的子类。有一些证据表明，RMM copulas在概念上是研究MM copulas的更好、更自然的方法。这个方向上的一个重要结果是RMM变换的迭代过程，我们证明了它总是收敛的，并给出了许多在应用中有用的性质。

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能者818

2022-6-25 03:38:53

我们在这个方向上的主要结果是定理8，该定理给出了极限copula，该极限copula依赖于起始copula C（控制向斜冲击的依赖性），以及两个函数f和g（“一步反射maxmin变换的生成器”），以及许多D.KOKOL BUKOVˇSEK，T.KOˇSIR，B.MOJˇSKERC，和M.OMLADIˇCdependence第4节中所述构建模型的属性。更重要的是，也许我们给出了定理10中maxmin变换的极限，从而回答了[10]中提出的问题。在第2节中，我们概述了关于反射maxmincopulas的结果，将其扩展到相依情况，给出了一些性质，并定义了迭代RMM变换。在第3节中，我们实际形成了迭代过程，并证明它总是收敛的。这使我们能够在第4节中研究当这种转换应用于copula时，依赖性属性是如何继承的。为了读者的利益，RMM copula的多变量情况首先在第5节中针对3变量情况给出，最后在第6.2节中针对一般情况给出。依赖冲击的反射maxmin Copula在本节中，我们介绍了[21]中所述的双变量反射maxmin Copula的依赖版本。我们从两个特异性冲击X和X以及一个系统性冲击Z开始。我们寻求Py，Yq“pMaxx，Zq，minpX，Zqq的分布。此外，我们假设具有d.f.G的外源性冲击Z独立于内源性冲击pX，Xq，而联合d.f。

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2022-6-25 03:38:57

这个向量的值可以表示为CpF，Fq，其中C是一个给定的copula。[10]的作者介绍了maxmin copula的依赖版本，介绍了有助于通过maxmin copula表达pY，Yq依赖性的函数φ，ψ，φ，ψ（让我们指出，我们在这里使用的符号与[10]中的符号略有不同）。（1）Tφ，ψpCqpu，vq：“u` pCpφpuq，ψpvqq'φpuqq maxt0，φpuq'ψpvqu。在这里，我们回顾了在[10]中给出的函数集，其中包含生成函数φ，ψ和相应的辅助函数φ，ψ：（1）Fis非减量函数的类φ：r0，1s~nr0，1，使得φp0q“0，φp1q”1和函数φ：“id{φ在p0，1s上是非减量的；和（2）Fis——一类非减量函数ψ：r0，1s~nr0，1使得ψp0q“0，ψp1q”1和函数ψpvq：“v'ψpvq1'ψpvq，如果v P r0，1q；1，如果v“1.是非减量的。不对称连接：MAXMIN VS.反射MAXMIN COPULAS 5我们想用[21]的思想和符号从（1）发展反射MAXMIN copula。首先，我们用第二个变量中的一个flip从C获得的copula替换Cpu，vq。接下来是[21]用Cσ：Cpu，vqTh~nCσpu，vq：“u'Cpu，1'vqto getTφ，ψpCσqpu，vq：”u'Cσpφpuq，1'ψpvqq maxt0，φpuq'ψpvqu。通过对该变换的结果进行flip，我们得到（2）Tφ，ψσpCσqpu，vq：“Cσpφpuq，1'ψp1'vqq maxt0，φpuq'ψp1'vqu。文献[10]的作者正在研究变换C'T¨，¨pCq inour符号）以及将此转换应用于copula C时，copula C的属性是如何继承的。我们的目标是为转换CσTh~nT¨σpCσq实现这一点。

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2022-6-25 03:39:00

在【21】之后，我们将maxmin copula的“生成函数”φ，ψ替换为反射maxmin copula的“生成函数”f，g，并引入辅助函数f，g，pf，pg:fpuq“φpuq'u，gpvq“1'v'ψp1'vq，fpuq”fpuqu，pfpuq“u'fpuq，gpvq”gpvqv，pgpvq“v'gpvq”。（3）一个简短的计算将公式（2）转换为（4）Tf，gσpCσqpu，vq：“uvCσppfpuq，pgpvqpqfpuqpqpqpqpqmaxt0，1'fpuqgpvqu。这是我们对公式[21，（3）]的从属情况的扩展。.作为测试，如果我们将公式C“π”放入，我们首先得到Cσ“π，因此（4）被转换为[21，（3）]。结果表明，（3）中给出的生成函数和辅助函数满足[21]（G1）中引入的条件：f p0q“gp0q”0，f p1q“gp1q”0，fp1q“gp1q”0，（G2）：函数spfpuq“fpuq`u和pgpuq“gpuq`u在r0，1s上是不变的。（G3）：函数f和g在p0、1s上不增加。实际上，[21，引理1]和[21，引理2]表明，这些条件等价于[28，10]中研究的函数φ，ψ的起始条件（F1）–（F3）。6 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇcPosition 1。如果C是任意copula，且f和g满足条件（G1）、（G2）和（G3），则由（4）定义的Tf，gσpCσq是一个普遍值。证据在考虑到其中一个变量的波动将copula传递给copula这一事实后，上述考虑从【10，定理2.7】立即得出。"我们在图1中给出了当转换Tσ应用于三个典型的copulas，π，M，和W代替C。在本例中，生成函数的选择是fpuq“up1'uq”和gpvq“vp1'vq。将在命题2.Comment后对图1进行进一步注释。本文中的所有散点图均使用Mathematica软件绘制【31】。

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nandehutu2022

2022-6-25 03:39:03

在双变量情况下，我们使用copulas的精确表达式和算法从[27，第2.9章]中给出的给定copula生成样本，即：（i）生成两个独立的统一p0，1q变量u和t；（ii）设置v“Cp'1quptq，其中Cp'1qu表示导数Cu的准逆；（iii）样本项为pu，vq。"0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.60.81.0图1.连接函数∏、Mσ和wσ上的变换Tσ分别观察到，反射的maxmin copulas公式[21，（2）&（3）]在冲击独立的情况下，与maxmin copulas[21，（1）]（从[28，（2）]改写）的概念更为清晰。我们现在已经看到，当我们比较公式（4）和公式（1）（从[10，（2.3）]改写）时，依赖性冲击的情况显然也是如此。此时，我们要展示变换CσTh~nT¨σpCσq继承的第一个属性。在这里，我们使用缩写PQD（分别为NQD）表示随机向量pY，Yq（或copula CY，Y）正象限依赖（分别为负象限依赖）的属性；这意味着对称联系：MAXMIN VS.反映的MAXMIN COPULAS 7，CY，Ypu，vqě∏pu，vq（分别为CY，Ypu，vqd∏pu，vq）为ALU，v P r0，1s。有关PQD/NQD特性的进一步解释，请参阅【27，第5章】和【11，第64页】。结合该结果和明显的事实，即反射正在交换PQD copula和NQD copula，可以清楚地获得对[10，定理3.1（i）]的阐述。提案2。设C为PQD copula，或等价地设Cσ为anNQD copula，则Tf，gσpCσqpu，vq为NQD copula。评论我们可以通过图1来说明这个结果。

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kedemingshi

2022-6-25 03:39:06

连接词W isNQD，因此，Wσ“M是PQD，在这种情况下，命题2没有给出关于象限依赖性的信息。这与图1的第三幅图像一致，很难找到任何规律性。另一方面，copula M是PQD，因此Mσ“W是NQD，第二幅图显示了与该命题一致的规律性。我们用两个简单的例子来结束本节，我们认为这可能有助于我们强调RMM和MM copulas的重要性。第一幅图涉及[29]（5）Cpu，vq“uv ` fpuqgpvq）中引入的copulas，第二幅图涉及著名的Eyraud Farlie Gumbel Morgensterncopulas（参见[11，p.26]），即对于αP r'1，1s（6）Cpu，vq“uv`αup1'uqvp1'vq。示例3。（a）：让函数f ptq和gp1'tq满足条件（G1）、（G2）和（G3），让函数f和g满足[29，定理2.3]的条件。然后copula C，由（5）isa maxmin copula定义。（b）：如果αě0，则EFGM copula是maxmin copula，如果αd0，则EFGM copula是反射的maxmin copula。证明。考虑Cσpu，vq“u'Cpu，1'vq“uv'fpuqgp1'vq得到（a）。权利要求（b）如下，因为f puq“αup1'uq”和gpvq“vp1'vq满足条件（G1），（G2）和（G3）。3.迭代反射的maxmin copula在本节中，我们迭代了上一节中介绍的变换CσTh~nT¨，¨σpCσq，作为迭代变换CThT¨，¨pCq（在我们的符号中）的作者，即我们定义了T，¨pnq：“8 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇCT¨σpT¨、¨σpn'1qq。数学归纳原理的直接应用产生（7）Tf、gσpnqpCσqpu、vq：“uvCσppfpnq、pgpnqpnqpnqpnqpnqpnqpn'1'zk”0maxt0、1'fppfpkqpuqgppgpkqpqpqqqqqqqq，其中pfp0q“pgp0q”id.Sincepfpuq，pgpvq在r0，1s上由[21，引理1，（G2）]，其值不大于等于1的1处的值，也不小于等于0的0处的值。

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2022-6-25 03:39:09

因此，可以很好地定义迭代。在我们展示所有这些序列都是收敛的之前，我们先从基于命题2的simpleobservation开始。推论4。如果C是PQD copula，那么Tf，gσpnqpCσqpu，vq是所有n P n证明的NQDcopula。结果归纳地遵循命题2。"引理5。函数SPFPNQ、pgpnq的序列是逐点收敛的。此外，如果α和β分别是它们的任何极限值，然后，它满足了方程PFPαq“α，分别是PGPβq”β。证明。我们回顾了这样一个事实，即PFPUQ，pgpvq，在r0，1sby[21，引理1，（G2）]上是不递减的，这意味着所有的迭代都是单调的非递增的。一个简单的观察PFPUQ“u\'f puqěu意味着PFPNQPUQ“pfpn'1qppfpuqqěpfpn'1qpuq，因此该序列对于所有u P r0，1s是单调的；对于g也是一样的。选择任意u P r0，1s，并让α为fpnqpuq的极限。然后，pfpαq是fpn'1qpuq的极限，因此pfpαq“α；对于β也是一样。注。映射CσTh~nTf，gσpCσq是否以及可能何时是所有copula的紧度量空间上的收缩是一个有趣的问题。很容易看出，对于任何copula C，D，我们有}Tf，gσpCσqpu，vq'Tf，gσpDσqpu，vq}”κpu，vq}Cσpu，vq'Dσpu，vq}，其中κpu，vq是u{pfpuq，v'的乘积{pgpvq和maxt0，1'fpuqgpvqu。这些因子中的每一个都不大于1，但是当uan和v趋向于1时，它趋向于1。因此，我们得到了0dκpu，vqd1，这证明了该映射是非膨胀的。因为不可能为κ找到一个恒定的ka1，所以它不是一个收缩。我们省略了细节，但没有进一步延长论文的篇幅。我们有点惊讶于尽管如此，我们仍然能够证明迭代对称连杆机构的收敛性：MAXMIN VS。

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2022-6-25 03:39:12

反映了该映射的MAXMIN COPULAS 9，在推论9的情况下，甚至存在一个唯一的固定点，迭代收敛到该点独立于起始点。"根据[10，命题2.2.（ii）]，只要我们能找到一个u P p0，1s，那么pfpuq“u”，pf就等于区间ru，1s上的单位函数。（实际上，用原始形式写下写在这里的事实是有用的：如果f puq“0”代表一些u P p0，1s，那么f就等于区间ru，1s上的零。）让我们用α表示具有此性质的最小数u。所以我们发现，对于所有的u P rα，1s和α，pfpuq“u是此类中最小的数。观察到α”0相当于说f在r0，1s上等同于零，而α”1相当于说f在p0，1q上没有零。数β以同样的方式对应于函数g。因此，尤其是pgpvq“v代表所有P rβ，1s和β是具有此属性的最小数字。这有助于计算序列的极限SPFPNQPUQ，pgpnqpvq：引理6。上述序列的极限存在，并由PFP8QPUQ给出：“limn~n8pfpnqpuq”$&%0，u“0；α，0auaα；u，uěα。pgp8qpvq：“limn~n8PGPNQPUQ”$&%0，v“0；β，0avaβ；v，věβ。我们现在可以计算（7）给出的序列的极限copula。我们将单位平方r0，1s”r0，1s^r0，1s划分为四个相对于u”α和v线的矩形“β，暗指正方形的西北角、东北角、西南角、东南角。我们将在逐角计算极限时显示收敛性。为了简化符号，我们编写了cF，gσ：“limn~n8Tf，gσpnqpCσq.Lemma 7。（a）：对于uěα和věβ，我们有cf，gσpu，vq”Cσpu，vq。（b）：对于uěα和vdβ，我们有cf，gσpu，vq“vβCσpu，βq.10 D.KOKOL BUKOVˇSEK，T.KOˇSIR，B.MOJˇSKERC和M。

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mingdashike22

2022-6-25 03:39:16

OMLADIˇC（C）：对于udα和věβ，我们有Cf，gσpu，vq“uαCσpα，vq。（d）：在剩余的情况下，它认为∏f，gσpu，vq“$”&“%uv'zk”0'1'fppfpkqpuqgppgpkqpvqq'，如果fpuqgpvqauv；如果fpuqgpvqěuv；在第一种情况下的乘积总是收敛的。证明。（a）由于fp8qpuq“u”和pgp8qpvq“v”，仍需确保（7）中的乘积等于1事实上，pfpuq“u，所以PFPKQPUQ“ufor all kě0，而fpuq“0，因此fpuq”0，以及同样的考虑因素适用于g。因此，可以得出（7）右侧的乘积与1相同。（b）和（c）的证明基于类似的想法。（d）我们首先假设α“β”1。如果f puqgpvqěuv，则为（7）中的乘积的第一因子为零，然后得出所需的结论。如果fpuqgpvqauv，我们只需要显示乘积的收敛性，从（7）中可以明显看出。现在，第一个因子，以及所有因子，都是严格正的，并且严格小于1。因此，部分积的序列是正的和递减的，并且总是收敛的。然而，只有当有限乘积的极限为非零时，它才收敛。在u\'va1的情况下，我们使用Fr\'echet-hoeff-ding-lowerbound作为我们的copula，以确定这确实是这样的，并且期望的结果如下。仍然需要处理u，va0的一般情况，我们将把它减少到前一个情况。我们将使用一个众所周知的事实，即（C）一个乘积'sk“0AK收敛当且仅当系列rk”0p1'AKQ收敛。这特别证明了系列（8）"yk“0fppfpkqpuqgppgpkqpqqconverge为u'va1。接下来，如果u，va0，则序列fpkqpuq分别为不递减和收敛到α“1β“1、考虑到j足够大，我们为所有kěj提供了Pfpkqpuq`pgpkqpvqa1。

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2022-6-25 03:39:19

所以如果我们表示u“pfpjqpuq”和v“PGPJQPVQ”，我们得到jfppfpk'jqpuqgppgpk'jqpvqq”k“0fppfpkqpuqgppgpkqpvqq，不对称连接：MAXMIN VS.反射MAXMIN copulas1，因此左侧的级数必须收敛，因为它是收敛级数和u\'va1的剩余级数。因此，右侧的级数收敛，因此乘积收敛于（C）.αa1或βa1的情况仍需处理。如果我们选择u“α”和v“β”，我们很容易得到∏f，gσpu，vq“αβa0。现在，这些迭代是copulas，极限也是copulas，因此它是连续的。因此，对于接近α的u和接近β的v，我们仍然有，比如∏f，gσpu，vqαβ{2a0。由于极限是正的，其余的证明也是如上所述的。"定理8。序列的极限（7）始终存在，并且在NE角与Cσpu，vq相等，在NW角与VβCσpu，βq相等，分别为UαCσpα，vq，在SE角；在西南角，它等于UVCσpα，βqαβ'zk“0'1'fppfpkqpuqgppgpkqpvqq'，如果fpuqgpvqauv（在这种情况下，乘积总是收敛）或零iffpuqgpvqěuv.Proof。NW、NE、SE角上的极限形式分别由引理7（a）、（b）和（c）给出。要在SW角上获得所需的结果，请写出（7）的右侧asCσppfpnqpuq，pgpnqpvqpfpnqpuqppnqpvqtf，gσpnqp∏σqpu，vqand引理6和引理7（d）遵循的定理。"推论9。假设α“β”1。然后Cf，gσ“任何copula C的∏f，gσ。图2所示的散点图给了我们一些我们在本节中研究的迭代收敛的感觉。第一行中的每个图显示了当转换Tσp1q应用于起始copula C时获得的copula散点图，下图显示了当Tσp2q应用于同一起始copula时获得的copula散点图。起始copula分别为∏、M和W。

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2022-6-25 03:39:22

在所有这些例子中，生成函数的选择是fpuq“p1'uq和12 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇCgpvq“p1'vq。在所有情况下，点都分散在一个超抛物线上方。在第一列中，只有点的密度随迭代而变化。在第二列中，出现了一条奇异线，通过迭代收敛到正方形的顶部。在第三列中，出现了一条奇异线，该线仅在Tσp1q的绘图上切割出一部分区域，而随后双曲线上方的整个区域为星罗棋布的。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.6 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0图2。变换Tσp1qon和Tσp2qon copulas∏σ、Mσ和Wσ。在图3中，我们展示了一些更有趣的散点图。我们在这里逐行描述图像，从上到下，从左到右在一行内。前三幅图像的生成函数为fpuq“p1'uq”和gpvq“p1'vq，而copula等于C”W，分别为n“1，n”3，n“8。对于其余图像，第一个生成函数为f puq“maxt0，'uu和gpvq，与前一种情况相同。第二行中的估计值对应于copula C”和n“1.对于较大的n值，本例中的图像非常相似。接下来的两幅图像分别对应于C“M”和n“1，分别对应于lyn”8。最后两幅图像分别对应于C“W”和n“1，分别对应于n”8。不对称链接：MAXMIN VS。

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kedemingshi

2022-6-25 03:39:25

反射最大最小连接函数130.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.60.81.0 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.60.0 81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.60.81.0图3。各种变换Tσpnqon copulas∏σ、Mσ和Wσ，如本文所述。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.81.0图4。单数部分的演化。在图4中，我们考虑了f puq“mintu，1'uu，gpvq”vp1'vq，14 D.KOKOL BUKOVˇSEK，T.KOˇSIR，B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇCand C“M给出的RMM copula示例的单数部分的演变。n“1，2显示在图4的前两个散点图上，并且明显是奇异的。当Napproach进入整体时，奇异性被推到正方形的下边缘，在极限处消失。这在该图的第三个散点图上可以看到。极限copula等于∏f，gσ，如推论9所述。让我们通过转换定理8中的Maxmin co来结束本节普拉斯。变换CσTh~nTf，gσpCσq是通过在变换的任一侧应用flip从变换CTh~nTφ，ψpCq中获得的。由于FLIP是一种对合运算（参见[11，p.33]），因此归纳得出，通过在变换的两侧应用FLIP，变换CσTh~nTf，gσpnqpCσq是从变换CTh~nTφ，ψpnqpCq得到的（这里我们以明显的方式调整了[10]的旋转）。

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2022-6-25 03:39:28

因此，我们可以从Tf，gσpnqpCσq的公式计算出Tφ，ψpnqpcq的公式，方法是（a）在（7）的两侧应用flip，（b）使用关系式（3）将生成器f，g及其辅助函数替换为生成器φ，ψ及其辅助函数。当替换迭代时，一个简单的归纳论点揭示了（9）PfNqpuq“φpnqpuq and PgpNqpvq”1'ψpnqp1'vq，这意味着φp8qpuq：“limn~n8φpnqpuq”$&%0，u“0；α，0auaα；u，uěα。ψp8qpvq：“limnИ8ψpnqpvq”$&%v，vd1'β，1'β，1'βava1；1，v“1.这里，α是最小的u P r0，1s，使得φ等于ru上的恒等函数，1s，并且1'β是最大的v P r0，1s，使得ψ等于r0上的恒等函数，vs（参见[10，命题2.2]）. 我们再次将平方r0，1划分为四个角：u中的极限函数等于udα的常数，否则等于恒等式；v中的极限函数等于vd1'β的恒等式，否则等于常数。为了转换方程（7），我们需要使用[10，第156页]中介绍的函数φ，ψ替换函数SF，g。不难找到f和φ之间以及g和ψ之间的关系。不对称联系：MAXMIN VS.REFLECTED MAXMIN Copulas15我们需要公式φpuq“upfpuq”fpuq\'1，ψp1'vq“1'v'ψp1'vq1'ψp1'vq“gpvq”gpvqgpvq\'1，以便（10）fpuq“1'φ'puqφpuq”和gpvq“ψ'p1'vq1'vq1'ψp1'vq1'vqu'vqu使用公式（9）和（10）我们可以转换方程（7）转化为：Tφ，ψpnqpCqpu，vq：“u'up1'vqφpnqpuq'Cpφpnqpuq，ψpnqpvqqφpnqpuqp1'ψpnqpvqq^n'1'zk“0max”0，1'φpφpkqpuqqφpφpkqpuqqψpψpkqpvq1'ψpψpkqpvqq*（11）定理10。

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2022-6-25 03:39:31

序列（11）的极限始终存在并等于（a）：SE角上的Cpu、vq；（b）：uαCpα，西南角vq；（c）：u'1'vβpu'Cpu，1'βqq，在NE角；（d）：eitheru'up1'vqαβpα'Cpα，1'βqq'zk“0^1'φpφpkqpuqqφpφpkqpuqqψpψpkqpvq1'ψpψpkqpvqq˙如果φpuqaψpvq（在这种情况下，乘积总是收敛），oru，如果φpuqdψpvq，在西北角。证据简单的计算。"4. 通过reflectedmaxmin变换继承依赖属性使用定理8，我们升级了推论4中给出的结果。在这里和本节的其余部分中，我们用Cφ，ψ表示序列Tφ，ψpnqpCq的极限copula。定理11。（a）：如果copula C是PQD，或者等效地Cσ是NQD，那么Cf，gσ是NQD。16 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇC（B）：如果函数fpxq对于所有x P p0、1q都不为零，或者函数gpxq对于所有x P p0、1q都不为零，那么对于任何copula C，Cf、gσ是anNQD copula。（C）：如果copula C是PQD，那么Cφ、ψ是PQD。（d）：如果对于函数φ，它认为φpxq‰x对于所有x P p0，1qor对于函数ψ，它认为ψpxq‰x对于所有x P p0，1q，那么Cφ，ψ是任何copula C的PQD copula。我们将省略证明，因为它以一种明显的方式进行。我们想观察copulas的两个重要一致性度量（有时被视为系数），Spearman的rho和Kendall的tau，在对它们应用变换Tσ时是如何变化的。关于这些系数的定义和解释，请参阅【27，第5章】和【11，第2.4节】。尽管如我们所指出的，公式（4）比[10，（2.3）]简单，但计算这两个系数仍然是一项重要的任务。当然，在论文[28]中，它们仅针对独立冲击的情况进行计算。

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