Let，p（y）=yM-1.q（y）=Zl（y）-∞e-t/2dtRM（y）=yM+1（M+1）！XM！kk公里！p（k）（q（y））q（y）1！kq（y）2！kq（M）（y）M！公里数y=ξMAs为图解，设k=M=> k=Mand让k=m，其中4m是其他项的总和，其中每个其他项都小于我们考虑的项。RM（y）=y2K+1（2K+1）！2K！Kp（K）（q（y））q（y）2！K+4My=ξMRM（y）=y2K+1（2K+1）！（2K！）（M）- 1) ... （M）- K） K！“Zl（y）-∞e-t/2dt#K-1.e-l（y）l（y）h-y- l（y）l（y）i2！K+4My=ξMRM（y）=y2K+1（2K+1）！（2K！）（2K- 1) ... （K） K！“Zl（y）-∞e-t/2dt#K-1.u - σ- lnyσyel（y）2.K+4My=ξm，在y.RM（y）的最大值下计算=y2K+1y2K（2K+1）！（2K！）（2K- 1) ... （K） KK！“Zl（y）-∞e-t/2dt#K-1.u - σ- lnyσel（y）K+4M下一个剩余期限为RM+1（y）=yM+2（M+2）！M+1hRl（y）-∞e-t/2时间yM+1y=ξMRM+1（y）=yM+2（M+2）！X（M+1）！kk公里！p（k）（q（y））q（y）1！kq（y）2！kq（M+1）（y）（M+1）！公里数y=ξM+1在这种情况下，k+2k+···+（M+1）kM+1=M+1，k=k+k+···+kM+1。例如，设k=1；k=M=> k=M+1，设k=M，其中4M+1是其他项的总和，其中其他各项均小于我们考虑的项。RM+1（y）=y2K+2（2K+2）！（2K+1）！1.Kp（K+1）（q（y））q（y）1！q（y）2！K+4M+1y=ξMRM+1（y）=y2K+2（2K+2）！（2K！）（M）- 1) ... （M）- K） （M）- K- 1） K！“Zl（y）-∞e-t/2dt#K-2n个e-l（y）l（y）oe-l（y）l（y）h-y- l（y）l（y）i2！K+4M+1y=ξMRM+1（y）=y2K+2（2K+2）！（2K！）（2K- 1) ... （K） （K）- 1） K！“Zl（y）-∞e-t/2dt#K-2.el（y）σyu - σ- lnyσyel（y）2.K+4M+1y=ξm，在y.RM+1（y）的最大值下计算=y2K+2y2K+1（2K+2）！（2K！）（2K- 1) ... （K） （K）- 1） KK！“Zl（y）-∞e-t/2dt#K-2.el（y）σu - σ- lnyσel（y）K+4M+1让我们考虑两个连续余数的比率。RM+1（y）RM（y）=hy2K+2y2K+1（2K+2）！i“（2K！）（2K-1) ...

（K） （K）-1） KK！hRl（y）-∞e-t/2dtiK-2(el（y）σ)u-σ-lnyσel（y）K+4M+1#hy2K+1y2K（2K+1）！我（2K！）（2K-1) ... （K） KK！hRl（y）-∞e-t/2dtiK-1.u-σ-lnyσel（y）K+4MRM+1（y）RM（y）=“（2K！）（2K-1) ... （K） （K）-1） KK！hRl（y）-∞e-t/2dtiK-2(el（y）σ)u-σ-lnyσel（y）K#（2K+2）（2K！）（2K-1) ... （K） KK！hRl（y）-∞e-t/2dtiK-1.u-σ-lnyσel（y）K+4M+[4M+1]（2K+2）（2K！）（2K-1) ... （K） KK！hRl（y）-∞e-t/2dtiK-1.u-σ-lnyσel（y）K+4MRM+1（y）RM（y）=“（K-1） hRl（y）-∞e-t/2dtiel（y）σ#（2K+2）“1+4M（2K！）（2K-1) ... （K） KK！hRl（y）-∞e-t/2dtiK-1.u-σ-lnyσel（y）K-1#+[4M+1]（2K+2）（2K！）（2K-1) ... （K） KK！hRl（y）-∞e-t/2dtiK-1.u-σ-lnyσel（y）K+4M用莱布尼兹积分规则简化并将极限取为M→ ∞ 我们看到RM+1（y）RM（y）<1=>RM（y）→ 0在y的一组受限值下。我们展示了几个术语，说明了ExpansionDevelopment是如何开发的。RM（y）=yM+1（M+1）！M-1.（M）- 1） hRl（y）-∞e-t/2时间-2.e-l（y）l（y）yM公司-1.y=ξMRM（y）=yM+1（M+1）！M-2.yM公司-2.（M）- 1） （M）- 2） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-3小时e-l（y）l（y）i+（M- 1） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-2.e-l（y）hl（y）- l（y）{l（y）}iy=ξMRM（y）=yM+1（M+1）！M-2.yM公司-2.（M）- 1） （M）- 2） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-3小时e-l（y）l（y）i+（M- 1） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-2.e-l（y）l（y）-y- l（y）l（y）y=ξMRM（y）=yM+1（M+1）！M-3.yM公司-3.（M）- 1） （M）- 2） （M）- 3） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-4小时e-l（y）l（y）i+2（M- 1） （M）- 2） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-3小时e-l（y）l（y）i-y- l（y）l（y）+ （M）- 1） （M）- 2） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-3小时e-l（y）l（y）i-y- l（y）l（y）+ （M）- 1） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-2小时e-l（y）l（y）i-y- l（y）l（y）+ （M）- 1） “Zl（y）-∞e-t/2dt#M-2.e-l（y）l（y）y- {l（y）}- l（y）l（y）y=ξM（以下可能选择删除）。

在网站上使用数值积分计算器和公式，（[1+erf{（ln（y））- u）/σ}]/[1+erf{（ln（x）- u）/σ}）M-例如，（（1+erf（（ln（y）-5）/（sqrt（2）*10））/（1+erf（（ln（4）-5）/（sqrt（2）*10）））^24，我们发现数值积分给出的结果与上述理论结果不同。或者，RM（y）=yM+1（M+1）！（M）- 1) M-1(R（lny-uσ)-∞e-2吨/2吨M-2.σye-（lny-u)2σ)yM公司-1.y=ξMRM（y）=yM+1（M- 1） （M+1）！M-2.yM公司-2.（M）- 2） “Z（lny-uσ)-∞e-t/2dt#M-3.σye-（lny-u)2σ+“Z（lny-uσ)-∞e-t/2dt#M-2.-σye-（lny-u）2σ+σy-2（lny- u）2σye-（lny-u)2σy=ξMRM（y）=yM+1（M- 1） （M+1）！M-2.yM公司-2.“Z（lny-uσ)-∞e-t/2dt#M-3.σye-（lny-u)2σ+（M）- 2)σye-（lny-u)2σ+“Z（lny-uσ)-∞e-2吨/2吨#-y-（lny- u）σy!)y=ξm该简化表明误差项仅在小估值时收敛。举例来说，如果M=2，并且由于ξM=y的最大值，R（y）=yσye-（lny-u)2σ-y-（lny- u）σyy=ξR（y）=-6σ“ye（lny）+u-2ulny2σ1+lnyσ-uσ#R（y）=-6σeu2σ！“yyuσylny2σ1+lnyσ-uσ#R（y）=-6σeu2σ！“y（1+uσ）ylny2σn1-uσo+σy（1+uσ）lnyylny2σ#交替将有限积分写入黎曼和的极限y=（b-a） n；yk=a+kyyn=x，sinceRbaf（y）dy=limn→∞Pnk=1f（yk）yβ（x）=x个-RxhΦ年-uσ感应电动机-1dyhΦ自然对数-uσ感应电动机-1.=x个-（Rx√2πR（ln y-uσ)-∞e-2吨/2吨M-1年）√2πR（ln x-uσ)-∞e-2吨/2吨M-1.f（yk）y=fxknxn公司=Zln{xkn}-uσ!-∞e-2吨/2吨M-1.xn8.3推论1的证明。证据使用引理（1）中的出价函数和均匀分布函数，F（x）=xω，G（x）=xωM-1β（x）=“x-Zx公司F（y）F（x）M-1dy#=“x-Zx公司y/ωx/ωM-1年#=x个-（xM-1)yMM公司x个=hx公司-xMi公司=M- 1米x8.4引理2的证明。证据下面重复（Krishna 2009）的证明以确保完整性。在这种情况下，r>0，因此，如果其估价xi<r，则任何投标人都不能获得正利润。

此外，β（r）=r。当x≥ r as，β（x）=E[最大{Y，r}| Y<x]=Rrrg（y）dy+Rxryg（y）dyG（x）=r{G（r）- G（0）}+Rxryg（y）dyG（x）[∵ G（0）=F（0）=0]=rG（r）G（x）+G（x）Zxryg（y）dy交替，β（x）=rG（r）G（x）+G（x）Zxryg（y）dy=rG（r）G（x）+G（x）|yG（y）| xr-ZxrG（y）dy= rG（r）G（x）+G（x）xG（x）- rG（r）-ZxrG（y）dy= x个-ZxrG（y）G（x）dy8.5推论2的证明。证据使用引理（2）中的出价函数和均匀分布函数，F（x）=xω，G（x）=xωM-1β（x）=rrωM-1.xωM-1+xωM-1Zxry(yωM-1.y） dy=r接收M-1+（M- 1)xωM-1ZxryyωM-2ωdy=r接收M-1+（M- 1） xM公司-1ZxryM-1dy=r接收M-1+xM-1（米- 1） M级yM公司xr=rMxM-1+xM公司- rMxM公司-1（米- 1） M=rMxM-1.1.-M- 1米+ x个M- 1米β（x）=rMxM-1.M+1M+ x个M- 1米8.6推论3的证明。证据使用引理（2）中的bid函数和对数正态分布函数，F（x）=Φlnx公司-uσ, G（x）=Φlnx公司-uσM-1、此处Φ（u）=√2πRu-∞e-t/2dt是标准的正态累积分布，x=eWwhere，W~ N（u，σ）。β（x）=x个-RxrhΦlny公司-uσ感应电动机-1dyhΦlnx公司-uσ感应电动机-1.=x个-（Rxr√2πR（lny-uσ)-∞e-2吨/2吨M-1年）√2πR（lnx-uσ)-∞e-2吨/2吨M-1.Let，h（y）=“Z（lny-uσ)-∞e-t/2dt#M-1j（y）=Zh（y）dyβ（x）=“x-Rxrh（y）dyh（x）#=x个-|j（y）| xrh（x）=x个-j（x）- j（r）h（x）≈x个-j（r）（x）- r） h（x）{∵ j（x）- j（r）\'j（r）（x）- r） ，T泰勒系列}=x个-h（r）（x）- r） h（x）= x个1.-h（r）h（x）+rxh（r）h（x）β（x）=xh（r）（x）- r） h（x）+rxh（r）h（x）使用莱布尼兹积分规则，我们得到以下结果，并使用数值技术（Miranda&Fackler 2002）或误差函数近似（Chiani、Dardari&Simon 2003）进行求解。h（r）=（M- 1） “Z（lnr-uσ)-∞e-t/2dt#M-2（e）-（lnr-uσ）/2rσ）8.7引理3的证明。下面重复（Krishna 2009）的证明以确保完整性。证据

投标人预期支付x≥ r ism（x，r）=G（x）β（x）=rG（r）+Zxryg（y）预期投标人的预付款为，E[m（x，r）]=Zωrm（x，r）f（x）dx=ZωrrG（r）+Zxryg（y）dyf（x）dx=ZωrrG（r）f（x）dx+ZωZxryg（y）dyf（x）dx=rG（r）{f（ω）- F（r）}+ZωrZωyf（x）dxyg（y）dy=rG（r）{F（ω）- F（r）}+Zωr{F（ω）- F（y）}yg（y）dy=rG（r）{1- F（r）}+Zωry{1- F（y）}g（y）dy[∵ F（ω）=1]如果卖方有估价，则xs∈ [0，ω）那么卖方设定底价的预期收益，r≥ xsis，∏s=M* E【m（x，r）】+F（r）MxsF（r）mxs如果所有投标人的估价低于底价r，则为付款。根据底价r区分付款后的第一订单条件。∏sr=百米* E[m（x，r）]+F（r）Mxsir=0=>百米rG（r）{1- F（r）}+rωry{1- F（y）}g（y）dy+ F（r）Mxsir=0M[r[g（r）（1- F（r））- G（r）f（r）]+G（r）{1- F（r）}- r{1- F（r）}g（r）]+MF（r）M-1f（r）xs=0Rωry{1-F（y）}g（y）dyr=-r{1- F（r）}g（r）使用莱布尼兹积分规则。M{rg（r）- rg（r）F（r）+G（r）- G（r）F（r）-rG（r）f（r）- rg（r）+rg（r）F（r）+G（r）F（r）xs}=0=> M{G（r）- G（r）F（r）- rG（r）f（r）+G（r）f（r）xs}=0=> MG（r）{1- F（r）- rf（r）+f（r）xs}=MG（r）{1- F（r）- f（r）（r）- xs）}=0=> {1 - F（r）- f（r）（r）- xs）}=1.-f（r）[1- F（r）]（r- xs）= 0=>f（r）[1- F（r）]（r- xs）=1=> （r）- xs）=[1- F（r）]F（r）这给出了最优储备价格，r*必须满足以下表达式，xs=r*-[1 - F（r*)]f（r*)8.8引理4的证明。证据来自（Ortega Reichert 1967；Harstad，Kagel&Levin 1990），当投标人数量不确定时，他们推导出以下表达式。（Levin&Ozdenoren 2004；Dyer，Kagel&Levin 1989）是其他有用的参考资料。证据让任何投标人面对所有其他投标人的概率为pll。

如果对称分布F得出的l值的最大值Yl小于其估值x，则投标人获胜。该事件发生的概率为Gl（x）=[F（x）]l。投标人在投标时获胜的总概率βM（x）为g（x）=M-1Xl=0plGl（x）投标人的预期付款，值x ism（x）=G（x）βM（x）或者，投标人的预期付款也可以写如下。首先，我们注意到，当有l个其他投标人且其估价为x时，预期付款是hewins的概率Gl（x）、有l个其他投标人的概率pl和他投标的金额βl（x）=E的乘积Yl | Yl<x.这里，βl（x）是当总共有确切的l+1个投标人时的均衡投标策略。考虑到其他投标人数量l从0到M的所有情况- 1给出，m（x）=m-1Xl=0plGl（x）EYl | Yl<x=> βM（x）=M-1Xl=0plGl（x）G（x）EYl | Yl<xβM（x）=M-1Xl=0plGl（x）G（x）βl（x），因此，当实际投标人不确定其面临的竞争对手数量时，其均衡出价是所有人都知道投标人数量的拍卖中均衡出价的加权平均值。8.9命题2的证明。证据我们首先需要证明离散对称概率密度为正且和为1，从而满足概率分布的性质。其余的证明来自于引理4中的结果、上限ω=1的估值的均匀分布假设以及引理1或推论1中均匀分布下的投标策略结果。pl公司=lp、 如果l≤（M）-1） （M）- l）p、 如果l>（M-1)p=M-1=MM的最小值为2。当M=2时，p=1；M=3，p=；M=4，p=；M=5，p=；M=6，p=；M=7，p=。因此，我们注意到，对于任何有限M，0<p≤ 1、Sincel∈ {1, 2, . . .

M- 1} 最大值为M-1，根据概率密度的定义，概率密度为正≥ 为了证明概率密度之和为1，我们进行如下操作，M-1Xl=0pl=b（M-1） cXl=0pl+M-1Xl=b（M-1） c+1pl=b（M-1） cXl=0升p+M-1Xl=b（M-1） c+1（M- l）pM可以是偶数或奇数，可以表示为2K或2K+1。K的最小值=1。当M=2K时，给出M-1Xl=0pl=b（2K-1） cXl=0升p+2K-1Xl=b（2K-1） c+1（2K- l）p=黑色-cXl=0升p+2K-1Xl=黑色-c+1（2K- l）p=K-1Xl=0升p+2K-1Xl=K（2K- l）p=K-1Xl=1lp+2K-1Xl=K（2K- l）p=p（K-1Xl=1l+2K-1Xl=K（2K- l） ）=p（（K- 1） K+KXl=1l）=j（2K）K（K）- 1） K+K（K+1）=bKc公司K（K- 1+K+1）=KK= 1我们接下来考虑当M=2K+1时的情况，即M-1Xl=0pl=b（2K+1-1） cXl=0升p+2K+1-1Xl=b（2K+1-1） c+1（2K+1- l）p=bKcXl=0升p+2KXl=bKc+1（2K+1- l）p=p（KXl=0l+KXl=0l）=j（2K+1）k（KXl=0l）=j（4K+1+4K）kK（K+1）=j（4[K+K]+1）K[K（K+1）]=（K+K）+[K（K+1）]=（K+K）[K（K+1）]=1这就证明了离散对称密度和为1，离散对称分布为概率分布。我们可以使用以下替代定义得出相同的结果：使用类似于上述一种证明的pas井。我们还可以证明对等价格。p=nj（M-1） knj（米-1） k+1o+hn（M）-1） 模块1+（M）-1） 在上（M）-1） 模块1oio公司≡M-18.10引理5的证明。证据（Lebrun 1999），推导了存在两个以上投标人的不对称均衡的条件。使用前面描述的符号，我们必须使βi（ωi）=βj（ωj）=b。i、 j∈ [1，2，…，M]。我们还有，xi=β-1i（bi）=φi（bi）。

任何投标人i的预期付款，当其价值为xian时，投标人金额βi（xi）=b<b为∏i（b，xi）=j∈{1，…，M}Yj6=iFj（φj（b））（xi）- b） 考虑，P rob（b>bj）=P rob（βi（xi）>βj（xj））=P rob（b>βj（xj））≡ P罗布β-1j（b）>xj= P rob（xj<φj（b））≡ Fj（φj（b））区分上述关于b的内容，给出了投标人i最大化其预期收益的一阶条件，nhQj公司∈{1，…，M}j6=iFj（φj（b））i（xi- b） ob=0j∈{1，…，M}Xj6=ij、 k级∈{1，…，M}Yk6=i，jj6=iFk（φk（b））fj（φj（b））φj（b）[φi（b）- b]=j∈{1，…，M}Yj6=iFj（φj（b））=>j∈{1，…，M}Xj6=ifj（φj（b））φj（b）fj（φj（b））=[φi（b）- b] 8.11命题3的证明。证据任何投标人i的预期报酬，当其价值为xAND时，其投标金额βi（xi）=b<b为∏i（b，xi）=[F（φ（b））]K[F（φ（b））]M-1.-K（xi）- b） 通过考虑每组投标人中的一个投标人（其他组合也可以），并采用一阶条件，给出了一个更简单的微分方程组，n[F（φ（b））]K[F（φ（b））]M-K-1（xi）- b） ob=0nK[F（φ（b））]K-1f（φ（b））φ（b）[F（φ（b））]M-K-1[φi（b）- b] o+n（M）- K- 1） [F（φ（b））]M-K-2f（φ（b））φ（b）[F（φ（b））]K[φi（b）- b] o=[F（φ（b））]K[F（φ（b））]M-K-1.Kf（φ（b））φ（b）[F（φ（b））]+（M）- 1.- K） f（φ（b））φ（b）[f（φ（b））]=[φi（b）- b] 8.12引理6的证明。下面重复（Krishna 2009）的证明以确保完整性。证据当投标人投标金额β（z）为∏（z，x）=Zz（ν（x，y）时，其预期支付给信号为x的投标人- β（z））g（y | x）dy=ZzИ（x，y）g（y | x）dy- β（z）G（z | x）[∵ G（0 | x）=0]一阶条件，与z不同，使用RzИ（x，y）g（y | x）dyz=Д（x，z）g（z | x），通过应用莱布尼茨积分规则是Д（x，z）g（z | x）- β（z）g（z | x）- β（z）G（z | x）=0在对称均衡条件下，最优z=x，因为只有当投标策略在基于每个投标人的价值的情况下使支付最大化时，支付的价值才最大化。

然后我们得到，β（x）=[γ（x，x）- β（x）]g（x | x）g（x | x）如果正出价可能导致负回报，即{Д（x，x）- β（x）}<0，出价0可能是最佳选择。因此我们有，x、 {И（x，x）- β（x）}≥ 0=> β (0) = 0 [∵ ν（0，0）=0]define，一个支持[0，ω]as，L（y | x）=exp的函数-Zxyg（t | t）G（t | t）dt从负债的性质来看，我们有t>0g（t | t）G（t | t）≥g（t | 0）g（t | 0）=> -g（t | t）g（t | t）≤ -g（t | 0）g（t | 0）从0到x积分，-Zxg（t | t）G（t | t）dt≤ -Zxg（t | 0）G（t | 0）dt=-Zxddt（ln G（t | 0））dt=ln G（0 | 0）- ln G（x | 0）=-∞∵ G（0 | 0）=P rob（Y<0 | X=0）=1- P rob（Y>0 | X=0）=1- 1=0G（x | 0）=P rob（Y<x | x=0）=1- P rob（Y>x | x=0）=1-  ,  ∈ [0, 1)=> 0<G（x | 0）<1=> -∞ < ln G（x | 0）<0将指数应用于两侧xL（0 | x）=exp-Zxg（t | t）G（t | t）dt= e-∞= 0 [∵ b、 b类≤ -∞ => b=-∞]L（x | x）=exp-Zxxg（t | t）G（t | t）dt= e=1因为L（.| x）在增加，这是一个有效的分布函数。如果x>x，则y∈ [0，x]，Zxyg（t | t）G（t | t）dt≥Zxyg（t | t）G（t | t）dt=> exp“-Zxyg（t | t）G（t | t）dt#≤ 经验值-Zxyg（t | t）G（t | t）dt=> L（y | x）≤ L（y | x）考虑当信号为x时投标β（z）的投标人。

预期收益可以写成∏（z，x）=Zz（Д（x，y）- β（z））g（y | x）dydifferenting关于z产量∏（z，x）z=[ν（x，z）- β（z）]g（z | x）- β（z）G（z | x）=G（z | x）{И（x，z）- β（z）}g（z | x）g（z | x）- β（z）如果x>z，那么由于ν（x，z）>ν（z，z）并且由于碰撞，g（z | x）g（z | x）≥g（z | z）g（z | z）=>∏（z，x）z> G（z | x）{ν（z，z）- β（z）}g（z | z）g（z | z）- β（z）> 0∵ β（z）={ν（z，z）- β（z）}g（z | z）g（z | z）同样，如果x<z，则∏（z，x）z<0=> max[π（z，x）]|当，z=x时，我们有一个均衡竞价策略，β（x），因为，ZxД（y，y）dL（y | x）=ZxД（y，y）dL（y | x）dydy=ZxД（y，y）L（y | x）g（y | y）dy∵dL（y | x）dy=dnexph-Rxyg（t | t）G（t | t）dtiody=L（y | x）G（y | y）G（y | y）=Zx公司β（y）+β（y）g（y | y）g（y | y）L（y | x）dy∵ ν（y，y）g（y | y）g（y | y）=β（y）+β（y）g（y | y）g（y | y）=Zx公司 [β（y）L（y | x）dy]ydy=|β（y）L（y | x）| x=β（x）[∵ L（x | x）=1和β（0）=0]8.13命题4的证明。证据