半参数实现的非线性条件自回归期望值

nandehutu2022

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收藏 2022-06-25

英文标题：
《Semi-parametric Realized Nonlinear Conditional Autoregressive Expectile
and Expected Shortfall》
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作者：
Chao Wang, Richard Gerlach
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
A joint conditional autoregressive expectile and Expected Shortfall framework is proposed. The framework is extended through incorporating a measurement equation which models the contemporaneous dependence between the realized measures and the latent conditional expectile. Nonlinear threshold specification is further incorporated into the proposed framework. A Bayesian Markov Chain Monte Carlo method is adapted for estimation, whose properties are assessed and compared with maximum likelihood via a simulation study. One-day-ahead VaR and ES forecasting studies, with seven market indices, provide empirical support to the proposed models.
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中文摘要：
提出了一个联合条件自回归期望值和期望短缺框架。该框架通过加入一个度量方程进行扩展，该方程建模了已实现度量和潜在条件期望之间的同时依赖关系。非线性阈值规范被进一步纳入所提出的框架中。采用贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗方法进行估计，并通过仿真研究对其性能进行了评估，并与最大似然法进行了比较。为期一天的VaR和ES预测研究，以及七个市场指数，为提出的模型提供了实证支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Economics 经济学
二级分类：Econometrics 计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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Semi-parametric_Realized_Nonlinear_Conditional_Autoregressive_Expectile_and_Expe.pdf
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nandehutu2022

2022-6-25 06:22:37

澳大利亚悉尼大学商学院商业分析学Richard GerlachDisciplin e，半参数实现非线性条件下的期望值和期望短期模型Schao Wang。本文提出了一个条件自回归期望值和期望短缺的联合框架。该框架通过加入一个度量方程进行扩展，该方程模拟了已实现度量和潜在条件期望之间的同时依赖关系。非线性阈值规范进一步纳入拟议框架。采用贝叶斯-马尔可夫链-蒙特卡罗方法进行估计，并通过仿真研究对其性质进行了评估，并与最大似然法进行了比较。提前一天的VaR和ES预测研究，以七个市场为单位，为提议的模型提供了实证支持。关键词：期望值、风险价值、预期缺口、非线性、已实现测度、马尔可夫链蒙特卡罗。1引言风险价值（VaR）被许多金融机构用作重要的风险管理工具。VaR将市场风险表示为一个数字，已成为一种标准的风险度量指标。然而，VaR无法衡量极端（违规）回报的预期损失。预期差额（ES，Artzner et al.，1997，1999）计算低于其分布分位数（VaR）的收益的平均值，是一个比VaR更为一致的度量。因此，近年来，ES越来越广泛地用于尾部风险度量，是BaselAccord III（巴塞尔委员会，2010）中出现的一个重要变化，预计将在2019年1月1日之前发生。

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kedemingshi

2022-6-25 06:22:40

然而，与VaR相比，现有的建模研究要少得多。近二十年来，高频数据的可用性使得能够计算各种已实现的波动性度量，包括已实现的波动性（RV）：Andersen andBollerslev（1998），Andersen e t al.（2003）；和实现范围（RR）：Martens和vanDijk（2007）、Christensen和Podolskij（2007）等。目前，实现的波动性度量在计算准确的波动性估计和预测方面起着关键作用，例如，Hansen、Huang和Shek（2011）的RealizedGARCH模型以及Giot a和Laurent（2004）a和Clements、Galvao和Kim（2008）的早期wo r k模型。分位数回归型模型，例如Engle和Manganelli（2004）的条件自回归风险值（CAViaR）模型，是预测VaR的一种流行的半参数方法。Gerlach、Chen和Chan（2011）将鱼子酱模型推广到完全没有非线性家族。此外，已实现的度量已被应用到分位数回归框架中。71zikeˇs和Barunik（2014）研究了金融资产未来收益率和波动率的条件分位数如何随各种实际测量值而变化。Avdulaj和Barunik（2017）探讨了收益的非线性，并提议使用Copulas将已实现的指标与非线性分位数回归框架结合起来，以解释和预测财务收益的条件分位数。然而，鱼子酱模型不能直接估计和预测ES。Taylor（2008）提出了一种直接估计分位数和期望值并隐式估计ES的半参数模型，称为条件自回归期望值（CARE）模型。Gerlach和Chen（2016）将日常范围纳入护理框架，进一步扩展到完全非线性家庭。

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mingdashike22

2022-6-25 06:22:43

再次证明，已实现的措施能够为护理类型模型提供额外的效率（Gerlach、Walpoleand Wang，2017）。为了选择合适的期望级别，需要对计算相对昂贵的核心类型模型进行网格搜索过程（取决于模型复杂性和网格大小）。作为替代方案，Taylor（2017）提出了一个联合ESandQuant-ile回归框架（ES-CAViaR），该框架利用非对称拉普拉斯（AL）密度构建一个似然函数，其最大似然估计（MLEs）与通过最小化联合损失函数f或VaR和ES获得的似然函数一致。Fisslerand Ziegel（2016）开发了一系列关联VaR和ES系列的jo int损失函数（或“评分规则”），这些函数与真实VaR和ES系列严格一致，即它们被真实VaR和ES系列唯一最小化。根据Fissler和Ziegel（2016）的连接损失函数中的特定函数选择，可以证明这种损失函数与Taylor（2017）提出的所有对数似然函数的负值完全相同。Patton、Ziegel和Chen（2017）通过采用广义自回归评分（GAS）框架（Creal、Koopman和Lucas（201 3）和Harvey（2013））并利用Fisslerand Ziegel（2016）中的损失函数，为VaRand ES提出了新的动力学模型。在本文件中，受Engle和Manganelli（2004）以及Taylor（2008、2017）的启发，首先提出了一个联合条件自回归预期和预期短缺（ES-CARE）框架。其次，对所提出的模型进行了扩展，添加了一个度量方程，以纳入已实现的度量来驱动尾部风险动态（R ealizedES CARE）。第三，将所提出的框架扩展到非线性定量和自回归规范，以建模波动不对称性（已实现阈值ESCARE）。

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nandehutu2022

2022-6-25 06:22:46

该模型采用自适应贝叶斯MCMC算法进行估计和预测。为了评估拟议的已实现ES护理和已实现阈值ES护理模型的绩效，通过实证研究评估了相关VaR和ESForecast的准确性。在包括2008年GFC在内的长期预测期内，结果表明，与Taylor\'s CARE和ES CAViaR模型以及一系列传统竞争模型相比，所提出的实现（-阈值）-ES CARE表现良好。本文的组织结构如下：第2节回顾了ES鱼子酱和护理模式。第3节正式确定了建议的ES-CARE、已实现的ES-CARE和已实现的阈值ES-CARE模型。第4节介绍了用于参数估计的关联似然和自适应贝叶斯MCMC算法。第5节讨论了模拟研究。实证结果见第6节。第7节总结了本文并讨论了未来的工作。2 ES CAViaR和CA RE MODELSKoenker和Machado（1999）表明，当假设数据是在分位数处具有模式的条件对称拉普拉斯（AL）时，分位数回归估计量等效于最大似然估计量。如果RTI是第t天和第r天的数据（rt<Qt|Ohmt型-1） =α，则QT模型中的参数可以使用基于：p（rt）的alikelihood估计|Ohmt型-1) =α(1 - α） σexp(-（rt- Qt）（α- I（rt<Qt）），对于t=1，其中σ是一个干扰参数。Taylor（20 17）扩展了这一结果，将相关的ES量纳入LIKELIHOOD表达式中，注意到EST和动态σt之间的联系，从而得出条件密度函数：p（rt|Ohmt型-1) =α(1 - α） EStexp-（rt- Qt）（α- I（rt<Qt）αESt, （1）允许建立并最大化似然函数，给定Qt、ESt的模型表达式。

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mingdashike22

2022-6-25 06:22:49

Taylor（2017）认为，所得似然函数的负对数对于Qt是严格一致的，联合考虑，例如，它属于Fissler和Zeigel联合开发的VaR&es的严格一致函数类别（2016）。Taylor（20 17）合并了两个不同的ES分量，它们描述了VaR和ES之间的动态，也避免了ES估计值与相应的VaR估计值交叉，如模型（2）（ES CAViaR Add:ES CAViaR with a additive VaRto ES component）和模型（3）（ES CAViaR Mult:ES CAViaR with a multiativeVarto ES component）：ES CAViaR Add:Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（2）ESt=Qt- 重量，重量=γ+γ（Qt-1.- rt公司-1） +γwt-1如果rt-1.≤ Qt-1，重量-1另一方面，其中γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0在Taylor（2017）中受到限制，以确保Va R andES系列不会交叉。ES鱼子酱组合：Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（3）ESt=wtQt，wt=1+exp（γ），其中γ是无约束的。此外，对于α=1%，ES鱼子酱添加模型的wtcomponent具有如图1所示的样本估计。此步骤函数行为发生在rt之后-1.≤ Qt-1在精确模型中，只有1%的观测值发生。这种行为在长期内表现出VaR和ES之间的持续差异，并且在aRt中表现出巨大的持续跳跃- ESt，似乎不直观，可能需要改进。此外，theES CAViaR-Mult模型有一个简单的乘性VaR-ES比率分量，而框架中的参数γ没有直接的计量经济学解释。2.1 ExpectileExpectle与分位数密切相关。

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mingdashike22

2022-6-25 06:22:52

Aigner、Amemiya和Poirier（1976）定义的τ水平预期μτ可通过最小化以下Asym0 200 400 600 800 1000 1400 1600 1800 20000.550.60.650.70.750.80.850.90.95来估计。图1：使用标准普尔500的ES鱼子酱添加模型估计的样本wtplots。度量最小二乘（ALS）方程（Taylor，2008）：nXt=1 |τ- I（rt<uτ）|（rt- uτ），（4）此处估算uτ不需要分布假设。如第1节所述，ES定义为ESα=E（Y | Y<Qα），代表Y的预期值，条件是Y的集合比Y的α级分位数更极端，表示为Qα。Newey和Powell（1987）以及Taylor（2008）表明，这种关系可以表述为：ESα=1 +τ(1 - 2τ )ατuτ，（5）其中uτ=Qα，例如，uτ出现在Y的分位数水平ατ。因此，可以使用μτ来估计α级分位数Qα，然后按比例t来估计相关的ES。Taylor（2008）提出了与Engle和Manganelli（2004）的鱼子酱模型类似的护理类型模型，其中滞后回报驱动预期值，并雇佣ALS进行估计。该模型的一般对称绝对值（SAV）形式为：CARE-SAV：ut；τ=β+β| rt-1 |+βut-1.τ，其中rtis为返回值，ut；τ是τ水平的预期值和rtis每日回报，均在t天。护理型模型可提前一步预测ut；τ（期望值），可以通过适当选择τ来用作VaR估计。可以使用方程（5）进一步缩放VaR估计，以生成在CAViaR框架下无法直接计算的ES预测。然而，选择适当的预期水平τ需要基于违规率（VRate，收益率超过VaR估计值）或分位数损失函数进行网格搜索（Gerlach和Wang，2016b）。

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mingdashike22

2022-6-25 06:22:54

具体而言，对于τ的每个网格值，可以找到CARE方程参数β的ALS估计量，从而得出关联Vrate（τ）。^τ设置为τs.t的网格值。VRate最接近所需的α。在实际应用中，这种网格搜索方法的计算成本可能会很高（取决于模型的复杂性和网格的大小），而性能可能会受到网格大小和间距的影响，而网格的大小和间距通常是根据第3章第3.1节提出的ES-CARE模型确定的。在本文中，我们首先提出了一种新的ES-CARE框架，受Engle和Manganelli（2004年2月）和Taylor（2008年、2017年）的启发，共同高效地估算和生成评估与评估预测。如等式（5）所示，给定ES与τ水平期望值（α水平分位数）的关系，我们得到：uτ=Qα=ESα1+τ（1-2τ）ατ（6）将方程式（6）放入下面的护理模型中：ut；τ=β+β| rt-1 |+βut-1.τ、我们有：ESt；α1 +τ(1-2τ）ατ=β+β| rt-1 |+βESt-1.α1 +τ(1-2τ）ατ，因此ES的自回归框架可导出为：ESt；α= β1 +τ(1 - 2τ)ατ+ β1 +τ(1 - 2τ )ατ|rt公司-1 |+βESt-1.α、因此，提出了新的ES-CARE模型：ES-CARE：ut；τ=β+β| rt-1 |+βut-1.τ、（7）ESt；α= β1 +τ(1 - 2τ)α+ β1 +τ(1 - 2τ)α|rt公司-1 |+βESt-1.α、从ατ中删除下标τ以简化表示法。模型（7）中总共有4个参数需要估计：β、β、β和τ。τ是基于定义的[0，α]约束。虽然文献中没有从理论上考虑平稳性条件，但从逻辑上讲，必要条件是β<1，因此ut；τ和ESt；α不发散；但这并不是稳定的充分条件。β、β和β没有其他限制。值得注意的是，1+τ（1-2τ）ατ因子相当于鱼子酱-多框架（模型3）的1+经验（γ）因子。

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mingdashike22

2022-6-25 06:22:58

然而，ES-CARE有一个简单的线性τ（1-2τ）ατ函数，与ES CAViaR Mult模型中的t heExp一元函数相比，该函数可能更容易识别，精确度更高。模拟研究实际上对这一点很有帮助。此外，估计的τ具有直接的计量经济学解释（预期水平），并可用于证明为什么ES-CARE模型比原始CARE模型更有效。后续章节将提供更多结果。新框架有几个很好的属性。与CARE模型相比，t hemodel可以在无需任何网格搜索的情况下同时估计VaR（expectile）、ES和expectile水平τ，从而显著加快了估计过程。此外，τ是在VaR和ES连接损失函数下估计的，例如方程（10），因此与现有的特别网格搜索相比，它是一个更具统计性的估计过程，可以潜在地提高VaR和ES估计和预测精度。关于改进的τ、VaR和ES结果，将在后面的章节中提供更多证据。此外，与Taylor（2017）中的ES CAViaR-Add模型相比，ES-CARE框架具有更为精简和动态的ES组件，可以潜在地应对图1中所示的挑战。此外，基于上述推导，保证ES和VaR（预期值）不会相互交叉。稍后，我们将提供更多的经验证据，与CARE和ES CAViaR相比，ES-CARE改善了VaR和ES预测性能。最后，ES-CARE模型对expectile和ES都采用了自回归规范，这使得完全非线性的t hr eshold expectile和ESautoregressive动力学得以发展。3.2实现的（-阈值）-ES-CARE模型Hansen、Huang和Shek（2012）提出了实现的GARCH（Re-GARCH）框架。

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可人4

2022-6-25 06:23:00

与传统的GARCH模型相比，Re-GARCH采用了一个度量方程，该方程捕捉了未观测波动率和已实现度量之间的同期关系。Re-GARCH与GARCHand-GARCH-X相比的优势已得到充分证明，例如参见Hansen、Huang和Shek（2012）、Watanabe（2012）和Gerlach以及Wang（20 16a）。通过在ES-CARE框架中引入一个测量方程，对预期和实现测量之间的关系进行建模，提出了实现ES-CARE（Re-ES-CARE）框架。Re ES保养：ut；τ=β+βXt-1+βut-1.τ、（8）ESt；α= β1 +τ(1 - 2τ)α+ β1 +τ(1 - 2τ)αXt公司-1+βESt-1.α、 Xt=ξ+φ|ut；τ|+Δt+δ（t- E（））+ut，其中XT是在t天观察到的已实现度量，详情将在第6节中讨论。这里的测量方程是标准的时间序列形式，例如e（ut）=0，因此标准设置和uti的选择。i、 d。~ 测量误差取N（0，σu）。需要注意的是，ES-CARE模型和已实现ES-CARE模型的可能性都不是参数可能性或导致准度量MLE。在估计期间，似然假设α的给定值，因此直接针对条件回报分布的特定期望值（分位数），而不假设它是特定的分布形式。与ES CAViaR或已实现GARCH模型相比，该模型只有一个与回报相关的“错误”，在建议的RealizedES护理类型模型中有两个与回报相关的“错误”序列：一个是zt=rt-ut；τ、假设其服从时变尺度的不对称拉普拉斯分布，因此可以基于此AL密度构造似然，以联合估计条件VaR和条件ES。

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mingdashike22

2022-6-25 06:23:03

然而，该框架不依赖AL或任何收益分配假设。另一个是t=rtut；τ、这出现在计量方程中，并用于获取众所周知的杠杆效应。再次，如果ut；τ是的倍数√然后，我们将像往常一样，E（t）=0，但要保持零平均不对称项（t-E（）），我们需要知道E（）=Ertut；τ.此二阶矩信息不包括在已实现的ES CARE框架中。因此，我们将其替换为经验估计E（）≈\'，是平方乘法误差的样本平均值。我们注意到E（t-如果“”是无偏估计，则保留“0”。因此，术语Δt+δ（t-“（）仍然会对波动性产生不对称反应，以应对回归冲击。此外，δ的符号预计与已实现GARCH模型的符号相反，因为预期ut；对于较低的分位数水平，τ为负，例如本文中考虑的α=1%。受Gerlach、Chen和Chan（20 11）中非线性分位数动力学的激励，实现的ES CARE框架进一步扩展到阈值非线性规范。除了非线性期望值（VaR）分量外，还引入了非线性ES自回归分量。这得益于拟议的ES CAREframework，该框架直接包含ES自回归组件。

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何人来此

2022-6-25 06:23:08

该模型被命名为Realized Threshold ES CARE（Re Threshold ES CARE）：Re Threshold ES CARE：ut；τ=β+βXt-1+βut-1.τ、 zt公司-1.≤ c，β+βXt-1+βut-1.τ、 zt公司-1> c、（9）ESt；α=β1 +τ(1-2τ)α+ β1 +τ(1-2τ)αXt公司-1+βESt-1.α、 zt公司-1.≤ c，β1 +τ(1-2τ)α+ β1 +τ(1-2τ)αXt公司-1+βESt-1.α、 zt公司-1> c，Xt=ξ+φ|ut；τ|+τt+τ（t- E（））+ut，zt是一个阈值变量，选择自激，例如zt=rt，c是阈值，在本文中设置为0。4似然和贝叶斯估计4.1 ES-CARE似然函数与ALTaylor（2017）扩展了Koenker和Machado（1999）的结果，将ES纳入等式（10）中给出的等效似然函数中。此处注ut；τ=第3节中讨论的QT。l（r；θ）=nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- ut；τ)(α - I（rt≤ ut；τ））αESt. （10） 4.2已实现（-阈值）-ES-CARE日志可能性，因为已实现的ES-CARE框架具有uti的测量方程。i、 d。~N（0，σu），实现ES护理的完整对数似然函数是对数似然函数的和l（r；θ）对于expectile和ES方程（如方程10）和对数似然l（x | r；θ）根据测量方程：l（r，X；θ）=l（r；θ）+l（X | r；θ）=（11）nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- ut-1.τ)(α - I（rt≤ ut-1.τ））αESt|{z}l（r；θ）-nXt=1对数（2π）+对数（σu）+ut/σu|{z}l（X | r；θ），其中ut=Xt- ξ - φ| Qt |- τt- τ（t-\'t），t=1，n、此外，非线性实现阈值ES-CARE的lo g-似然函数与实现ES-CARE模型相同，只是期望值（VaR）和ES的非线性动态变化不同。4.3最大似然估计我们为拟议的实际（-阈值）-ES-CARE模型采用了三步最大似然（ML）方法。在第一步中，对于已实现的ES护理，通过优化预期回归的伪似然，分别估计预期方程参数（β，β，β）。

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mingdashike22

2022-6-25 06:23:11

为实现阈值ES护理，分别估计阈值预期回归模型（Gerlach和Chen，2016），以获得阈值预期方程参数（β至β）。在第二步中，随机抽样测量方程参数（ξ、φ、τ、τ、σu）和τ的多个起始值：使用10000个随机候选起始向量。最后，第一步中（阈值）分位数方程参数的估计值与第二步中随机抽样的候选样本相结合。选择对数似然函数（11）最大化的参数集作为Matlab中约束优化例程fmincon的起始值，以生成最终的ML估计。4.4贝叶斯估计根据鱼子酱（Gerlach，Chen a and Chan，2011）和CARE-X模型（Gerlach and Chen，2016）的有利估计结果，与相关的MLE相比，还考虑了贝叶斯估计。在给定似然函数和先验分布的情况下，贝叶斯算法可用于估计已实现ES护理和已实现阈值ES护理模型的参数。在这种情况下，采用了Gerlachand Wang（2016a）和Chen et al.（2017）中采用的自适应MCMC方法。MCMC模拟中使用了三个pa参数块：θ=（β，β，β，φ）用于已实现ESCARE，θ=（β，β，β，β，β，φ）用于已实现阈值ES护理，θ=（τ），θ=（ξ，δ，δ，σu），通过假设同一块内的参数在后面可能比块间的参数更密切相关，允许链条快速终止（例如，见Damien等人，20 13）。在可能的平稳性和正性区域，如π（θ），先验被选择为无信息的∝ I（A），是区域A上的f或θ。在“老化”期间，采用Chen等人（2017）中的“历元”方法。

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能者818

2022-6-25 06:23:14

对于初始“epoch”，Metropolis算法（Metropolis et al.，1953）采用3个高斯建议分布的混合，以及随机游走平均向量，用于每个参数块。每个混合元素中每个块的建议va r-cov ma trix为Ci∑，其中C=1；C=100；C=0.01（允许非常大（i=2）和非常小（i=3）的跳跃），∑初始设置为2.38√（di）Idi。这里Dii是块（i）的尺寸；IDI是维度di的单位矩阵。随后调整协方差矩阵，目标接受率为23.4%（如果di>4，或35%（如果2≤ di公司≤ 根据Roberts、G elman和Gilks（1997）的算法，标准值为4，如果di=1，则为44%。为了增强链的收敛性，在第一个历元结束时，例如20000Iterations，在丢弃第一个（例如2000个）迭代后，计算每个参数块的协方差矩阵，该协方差矩阵用于下一个历元（例如20000个迭代）的提案分布。在每个历元之后，计算该历元中每个参数链的标准偏差，并与前一历元的标准偏差进行总体比较。这一过程一直持续到参数标准偏差的平均绝对百分比变化小于预先规定的阈值（本文采用10%）。在实证研究中，平均需要6-10个时期才能观察到低于10%的绝对百分比变化；因此，在本文的实证部分中，这些链作为磨合期运行到总计120000-200000次迭代中。

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何人来此

2022-6-25 06:23:17

使用“独立”的Metropolis Hastingsalgorithm运行12000次迭代的最终纪元，为每个块使用三个高斯建议分布的混合。每个块的平均向量设置为该块的第一个历元迭代的样本平均向量（在丢弃前2000次迭代之后）。每个元素中的建议var cov矩阵为Ci∑，其中C=1；C=10 0；C=0.0 1，∑是该块最后一次历元迭代的样本协方差矩阵（在丢弃前2000次迭代后）。该最终纪元被用作样本期，所有估计和推断（以及预测）都是通过后验平均值进行的。5已实现（-阈值）-ES-CARE模拟研究进行模拟研究，以比较已实现阈值ES-CARE类型模型的贝叶斯方法和最大似然估计的特性和性能，包括参数估计、提前一步的VaR和ES预测精度。为了比较MCMC和ML方法的偏差和精度性能，在复制的数据集上计算平均值和均方根误差（RMSE）值。1000个重复收益序列由以下特定的平方根实现（-阈值）-GARCH模型模拟，具体为模拟模型1和2。n=1900近似为7个指数实证研究的平均样本量（固定），详情如表4所示。

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何人来此

2022-6-25 06:23:21

为了与预测研究相匹配，并在类似情况下为估计员找到属性，模拟研究中选择了n=1900作为样本量。模拟模型1rt=phtε*t、（12）pht=0.02+0.10Xt-1+0.85 pHT-1，Xt=0.1+0.9pht- 0.02ε*t+0.02（ε*2吨- 1） +ut，ε*ti。i、 d。~ N（0，1），uti。i、 d。~ N（0，0.3）。仿真模型2rt=phtε*t、（13）pht=0.05+0.20Xt-1+0.80 pHT-1，rt-1.≤ 0，0.10+0.10Xt-1+0.75 pHT-1，rt-1> 0，Xt=0.1+0.9pht- 0.02ε*t+0.02（ε*2吨- 1） +ut，ε*ti。i、 d。~ N（0，1），uti。i、 d。~ N（0，0.3）。为了计算相应的已实现ES CARE真参数值，需要从仿真模型1映射到已实现ES CARE。此外，给定Φ-1（α）作为标准高斯逆cdf，我们有ut；τ=Qt=√htΦ-1（α），然后√ht=ut；τΦ-1(α). 然后，用ε*ti。i、 d。~ N（0，1），我们有t=rtut；τ=rt√htΦ-1(α)=ε*tΦ-1(α). 将其替换回模拟模型1，相应的RealizedES护理规范可以写为：ut；τ= 0.02Φ-1(α) + 0.10Φ-1（α）Xt-1+0.85ut-1.τ、（14）ESt；α= 0.02Φ-1(α)1 +τ(1 - 2τ )α+ 0.10Φ-1(α)1 +τ(1 - 2τ )α|rt公司-1 |+0.85ESt-1.α、 Xt=0.1-0.9Φ-1（α）|ut；τ| - 0.02Φ-1（α）t+0.02Φ-1（α）（t-Φ-1（α））+ut，允许计算或读取真实参数值。这些真值显示在表1中。类似地，与仿真模型2相对应的已实现阈值ES CAREmodel的参数真值也得到了类似的推导，如表2所示。也可以计算τ参数的真值。对于每个数据集，都可以准确地计算出真实的样本内提前一步的α级VaR和ES预测；i、 e.瓦特；α=ut；τ=Qt；α=√htΦ-1（α）和ESt；α= -√htφ（Φ-1（α））α，其中φ（）是标准正常pdf。

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kedemingshi

2022-6-25 06:23:24

通过方程式（5）中VaR和ES之间的一对一关系，可以精确计算出该模型中τ的true值：0.001461。VaR预测为VaRn+1=√hn+1Φ-1（α），相应的真实ES预测isESn+1=-√hn+1φ（Φ-1（α））α，其中φ是标准高斯pdf，为每个数据集计算；1000多个数据集的平均值在表1和表2的“真”列中表示为VaRn+1和sn+1。一次使用adaptiveMCMC方法，一次使用ML估计器，实现的ES-CARE和实现的阈值ES-CARE模型分别适用于模拟模型1和2生成的1000个数据集。表1总结了已实现ES护理的估计结果，其中方框表示最小bia s（最接近真实值的平均值）和最大精度（最小RMSE）方面的首选模型。首先，在这种情况下，MCMC和ML都生成了相对准确的参数估计和VaR&ES预测，这证明了第4节讨论的两种方法的有效性。对于所有9个参数和两个VaR&ES预测，与ML相比，偏差结果明显有利于MCMC估计。此外，MCMC方法对9个参数中的7个以及VaR和ES预测的精度更高。值得注意的是，所提出的框架可以生成非常接近真实τ估计，这证明了所提出框架的有效性。如第3节所述，ES-CARE模型具有简单的线性τ（1-2τ）ατ函数，与ES CAViaR Mult模型中的指数函数相比，该函数可能更容易估计，精度更高。如图所示，两种方法的τ的RMSE值相当，且远小于ES CAVia R-Mult的γ值（此处未显示模拟结果）。

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kedemingshi

2022-6-25 06:23:27

在测量方程中，MCMC对ξ和φ产生了明显更好的估计结果，这两个参数是已实现GARCH框架中最重要的两个参数。如表2所示，MCMCstill证明了其与ML相比的优势。自适应MCMC和ML都能产生准确的参数估计和VaR&ES预测结果。然而，与表1中VaR和ES预测的RMSE结果相比，观察到的RMSE值增加，这是由于评估更复杂的框架所带来的挑战。就偏差结果而言，MCMC受到5个参数以及Vars和ES尾部风险预测的支持。

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