价格动态和波动性的Marked-Hawkes过程建模

2022-6-25 06:44:37

关于市场微观结构和有限订单书的金融理论（Ro,su，2009）以及高频率下算法交易的作用（Foucault，2012；Chaboud et al.，2014；Ho ffemann，2014）的文献量正在增加。许多研究集中于限制订单动态和订单执行的简化formor-s-TO模型；读者可以参考Lo等人（2002年）、Cont等人（2010年）、Malo和Pennanen（2012年）、Co-nt和De-Larrard（2013年）、Abergel和Jedidi（2013年）。超高频数据的统计特性也是一个重要的课题，因为它们显示了宏观价格动态的不确定性特征。例如，在将典型统计方法应用于超高频数据时，以及在计算微观结构噪声引起的实际波动率（Andersen et al.，2003）时，应小心，微观结构噪声指的是高频水平下价格过程的均值回复特性。之前的研究（Ait-Sahalia et al.（2005）、Zhang et al.（20 05）、Hansen和Lunde（2006）以及Ait-Sahalia et al.（20 11））测量了市场微观结构噪音存在时的回报波动性。Huth和Abergel（2014）研究了资产价格之间的领先/滞后关系，并表明，在高频对比下，期货/股票与日常数据情况下存在显著的交叉相关性，其中交叉相关性是不可忽略的。Alsayed和McGroarty（2014）也观察到了不同国家的国际指数期货之间的超前/滞后关系。对于带有价格跳跃的半马尔可夫模型来解释微观结构噪声，请参考Fodra和Pham（20 15）。超高频水平的金融资产价格时间序列显示出一些日常无法观察到的自相关。

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2022-6-25 06:44:40

在最小刻度大小为价格的刻度结构下*韩国庆宁岛庆南大学统计系38541+韩国蔚山国立科学技术研究所管理工程学院通讯作者，韩国蔚山44919。价格动态是一个纯粹的跳跃过程，包括上升和下降跳跃。首先，上升运动的频率往往随着过去下降运动频率的增加而增加，反之亦然。这导致价格动态中出现均值回复特性，即使相关性持续不到几秒钟。其次，同一方向的运动之间也存在自相关。这导致波动率聚类不同于宏观层面的聚类，宏观层面的聚类通常由GARCH（Bollerslev，1986）或随机波动率模型（Heston，1993）建模，因为tick结构中的聚类特性只持续几秒钟。自相关的持续时间比每天观察到的自相关的持续时间短得多。霍克斯模型属于点过程的一类，霍克斯（1971）引入了这些性质。因此，基于霍克斯过程的价格动态建模相关工作有所增加。引入了双变量霍克斯过程来模拟买卖订单的到达，并研究了订单对未来价格的影响（Hewlett，2006）。广义霍克斯模型用于研究时间交易的发生与中期报价变化之间的相关性以及交易日之间的相关性（Bowsher，2007）。Large（2007）使用限额订单数据和相互激励的Hawkes模型研究了交易后的市场弹性。Bacry e t al。

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2022-6-25 06:44:43

（2012）解释了基于高频期货数据的对称霍克斯过程的非n参数估计方法。基于相互激励的霍克斯过程，Bacry et al.（2013）提出了一个数学框架，该框架结合了市场微观结构噪音和PPS效应，即两种不同资产在高采样频率下的回报之间的相关性。自激励霍克斯过程很好地整合了微观层面上价格动态的贸易集群特性（Da Fonseca和Zaatour，2014）。Da Fonseca和Zaatour（2015）推导了自激和互激Hawkes过程的矩和相关函数公式。引入了多变量Hawkes过程来解释涨跌价格变动和买入和卖出订单，以解释市场影响和微观结构的程式化事实（Bacry和Muzy，2014）。Zheng等人（2014年）提出了一个多变量约束霍克斯过程来描述投标和as k价格的动态。Lee和Seo（2014）专注于基于对称Hawkes过程的每日和日内波动率估计，并将结果与实际波动率进行比较。有关霍克斯模型中的核估计的更多信息，请咨询Bacry e t al.（2016），关于使用霍克斯过程的多资产模式l中的相关性和超前滞后关系，请咨询Da Fonseca和Z aatour（2016）。以往的研究主要集中在跳跃大小恒定的简单点过程模型上。在目前的研究中，将现有的简单霍克斯模型扩展到标记霍克斯模型，以处理引入随机规模跳跃（标记）的股票市场中更真实的价格变动。

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2022-6-25 06:44:46

基于ACM-ACD模型引入了标记点流程，其中点是交易时间，标记是交易信息（Russell和Engle，2005）。采用霍克斯过程来解释标记的后果，这更便于计算有用的公式。标记的未来影响取决于标记的绝对大小，因此引入了线性影响函数来处理标记的未来影响。我们的实证研究表明，在股票市场中，影响函数的斜率参数估计值是显著的正值。这表明，较大的标记比较小的标记更容易放大未来强度。对于分数分布，本文不假设特定分布，但使用经验分布进行估计和波动率计算。我们的模型并不局限于独立的标记，因为实证研究显示了强度依赖的标记分布。本文的其余部分按以下方式组织。在第二节中，提出了marked Hawkes模型来描述股票的涨跌动态。第3节和第4节分别给出了模拟结果和实证研究。第5节总结了pape r。附录中报告了数学证明。2对称标记霍克斯模型2.1标记点过程本小节介绍标记点过程的基本概念。数学框架符合Daley和Vere Jone s（2003）。在给定的完全可分离度量状态空间X中，apoint过程是一种度量，用于计算在一个开集中发生的随机事件的数量，该开集b延伸到X的Borel集BX的σ域。

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2022-6-25 06:44:49

为了处理随机事件，概率spa c e(Ohm, P）介绍了。ω的点过程N（ω）∈ Ohm, 或者简单地说，N是BX上的计数度量，即N（A）=N（ω，A）是一个N，对于任何有界A，都不是N个负的有限整数∈ BX。换句话说，N（A）是一个随机变量，它计算A中的事件数。从现在起，为了符号简单起见，省略了ω一词。受损点过程是一个更为复杂的模型，它不仅描述了随机喷口的位置，还描述了附加在每个事件上的额外信息，称为标记。标记点进程是点进程{（tl, k（tl))} 位置为tl∈ R和标记k（tl) 在标记空间K中，位置s速度不一定是R，但在本文中，将spa c e定义为一条实线，以模拟价格随时间的变化。此外，标记空间K=Z+是价格跳跃大小的空间。这表明，价格变动的绝对跳跃大小由最小跳跃大小δ的正整数倍表示。对于价格动态建模，有两个标记点过程，即Nand和N，分别表示价格的上涨和下跌。本研究假设kand k的概率特性、Nand N的标记大小分别相同。对于每个i=1，2，地面过程ngi（·）=Ni（·，Z+），这是位置的边缘过程，其本身就是一个点过程。Ea ch groundprocess，Ngi，描述价格上涨或下跌的到达时间。假设价格过程由二维标记Hawkes-point过程表示，该过程属于标记点过程。设λgi（t）为ngion filtrationft的条件强度-它是由Nand和Non的标记点过程的历史生成的最小σ-代数(-∞, t）。

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2022-6-25 06:44:52

条件强度是Ft适应的随机过程，启发式地说，满足λgi（t）dt=E[Ngi（t+dt）- Ngi（t）|英尺-].由于不连续性，不连续处的强度可能不是唯一的，λgi（t）被视为广义上的左连续修正，但如果强度用作某些随机积分的积分器，则λgi的右连续修正用作积分器。价格动态的标记霍克斯模型一般不需要对称。然而，为了便于计算，可以方便地假设（k，λg1）和（k，λg2）的联合分布是相同的，例如，E【k】=E【k】。标记的霍克斯过程假设意味着，对于每个i=1，2，地面过程的强度满足λgi（t）=u+Xj=1,2qijZ(-∞,t） ×Z+gij（kj）φij（t- u） Nj（du×dkj）（1）=u+Xj=1,2qijX-∞<ul<tgij（kj（ul))φij（t- ul) （2）其中ul是事件时间。标记大小用kjin表示，kjin是带计数度量的积分形式，kj（u）表示l) 以与相关事件timeu相加的形式l. 利用计数测度，在积分中，kjc可以被认为是R×Z+上的函数，这样（u，kj）→ 千焦。如果kj的发生时间需要指定，则标记为askj（u），如等式（2）所示，带有一些时间符号u，表示kj（u）发生在时间u。由上述强度产生的霍克斯过程由祖先-弹簧参数定义（只要强度是有限的）。带有标记k的i型移民以泊松过程的速率u从外部到达系统。这些祖先产生了新春，而Generatedo off spring成为了产生新春的新祖先。

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nandehutu2022

2022-6-25 06:44:55

由于祖先j型出生于timeu，带有k标记，无论是否移民，i型弹簧的基因通过泊松过程进行评级，其比率为qijgij（k）φij（t- u）时间t时，泊松率由时间u时的gij（k）强调，而由φij（t）强调- u）随着t的增加。确定qij、gij（k）和φij（t）的归一化方法- u）一般使用，因为qijgij（k）φij（t）的组合- u）不是唯一的。我们假设φij（t）的指数衰减核- u） =φ（t- u） =βe-β（t-u），β>0，标准化为Z∞φ（τ）dτ=1。mark gijis的影响也在E[gij（k）]=1的意义上正常化。此外，qij>0被称为分支系数，Q：={qij}i，j=1,2被称为分支矩阵。对于exp-onentialdecay核，（λg1，λg2）是马尔可夫核，本文中的计算在很大程度上依赖于此性质。本文考虑了i型标记的分布可能依赖于nλgi的情况，并且标记的条件分布用f（ki |λgi（t））表示。另一方面，本文不假设标记大小的特定参数分布，除非在模拟研究中生成路径。估算程序和波动性分析的格式没有明确标记分布。计数测度可以解释为一个随机跳跃过程。为了稍后应用随机积分理论，在没有符号混淆的情况下，将关联的跳跃过程定义为NI（t）=Z（0，t）×Z+基尼（du×dki），其中在l.h.s中，随机过程NI由唯一参数t和r表示。h、在随机过程表示中，Ni（t）用权重ki计算（0，t）上的事件数。跳跃过程Ni（t）被认为是左极限右连续的。

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2022-6-25 06:44:58

类似ly，地面过程也有随机过程表示：Ngi（t）=Z（0，t）×Z+Ni（du×dki），它计算了（0，t）不考虑跳跃大小ki。作为跳跃过程，地面过程也被视为左极限右连续。2.2线性冲击函数引入了标记的线性冲击函数。标记的冲击函数Gijan和分布应满足一些附加标准，以便标记的Hawkes过程不会爆炸。假设1。（i）地面强度λgiare假定为平稳的。（ii）对于所有i，冲击力具有相同的公式，j=1，2，并且与斜率参数η：g（k）：=gii（k）=gji（k）=1+（k）呈线性关系- 1） ηE[1+（k- 1)η].（iii）分支矩阵与qs对称：=q=q=αsβE[1+（k- 1） η]，qc：=q=q=αcβE[1+（k- 1)η].（iv）对于i=1，2，对于一些常数kiλgi>0和{1+（kiλgi），我们假设[kiλgi（t）]=kiλgiE[λgi（t）]（3- 1)η}αsβ+αcβ< 1.（4）此外，（k，λg1）和（k，λg2）的联合分布是相同的，我们得到K1λg1=K2λg2。除了附加项{1+（Kiλgi）外，eq.（4）的条件类似于简单对称Hawkes过程的存在条件- 1)η}. 事实上，假设1（ii）~（iv）导致λgi的弱稳定性。在具有指数衰减函数的式（1）下，我们得到λg1（t）=u+qsZ(-∞,t） ×Z+g（k）βe-β（t-u） N（du×dk）+qcZ(-∞,t） ×Z+g（k）βe-β（t-u） N（du×dk），（5）λg2（t）=u+qcZ(-∞,t） ×Z+g（k）βe-β（t-u） N（du×dk）+qsZ(-∞,t） ×Z+g（k）βe-β（t-u） N（du×dk）。

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2022-6-25 06:45:00

（6）然后，在地上强度下定义的点过程（N，N）是一个具有线性冲击函数的二维标记自激霍克斯过程。假设以下公式的被积函数是可积的，则可预测的有限变化过程zt·E【g（ki）|λgi（u）】λgi（u）βE-β（t-u） duis是Z（·，t）×Z+g（ki）βe的补偿器-β（t-u） Ni（du×dki）和henceZ（·，t）×Z+g（ki）βe-β（t-u） Ni（du×dk）-Zt·E[g（ki）|λgi（u）]λgi（u）βE-β（t-u） duis是一个鞅。因此，通过对地面强度公式inEqs的无条件期望。（5）和（6），我们有e[λg1（t）]=u+qsZt-∞E[E[g（k）|λg1（u）]λg1（u）]βE-β（t-u） du+qcZt-∞E[E[g（k）|λg2（u）]λg2（u）]βE-β（t-u） du，E[λg2（t）]=u+qcZt-∞E[E[g（k）|λg1（u）]λg1（u）]βE-β（t-u） du+qsZt-∞E[E[g（k）|λg2（u）]λg2（u）]βE-β（t-u）根据公式（3），E[E[g（ki）|λgi（u）]λgi（u）]=E[g（ki）λgi（u）]={1+（kiλgi- 1） η}E[λgi（u）]1+（E[k]- 1） η式中，E【k】=E【ki】，因为kand khave具有相同的分配性质。我们写下[λg1（t）]=u+αsβZt-∞{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（u）]βE-β（t-u） du+αcβZt-∞{1+（K2λg2- 1） η}E[λg2（u）]βE-β（t-u） du，（7）E[λg2（t）]=u+αcβZt-∞{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（u）]βE-β（t-u） du+αsβZt-∞{1+（K2λg2- 1） η}E[λg2（u）]βE-β（t-u） du（8）或，在线性微分方程系统中，dE[λg1（t）]dtdE[λg2（t）]dt=αs{1+（K1λg1- 1)η} - βαc{1+（K1λg1- 1） η}αc{1+（K1λg1- 1） η}αs{1+（K1λg1- 1)η} - βE[λg1（t）]E[λg2（t）]+βuβu式中，使用K1λg1=K2λG2。系统的特征值为（ξ，ξ）=-β+（αs- αc）{1+（K1λg1- 1)η}, -β+（αs+αc）{1+（K1λg1- 1)η}上述系统的解决方案是E[λg1（t）]E[λg2（t）]=-λg1（0）+λg2（0）eξt-1.+λg1（0）+λg2（0）eξt-uβξ1.- eξt.如果公式（4）成立，则ξ，ξ<0，且解收敛为常数t→ ∞.

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何人来此

2022-6-25 06:45:04

类似的论证适用于λg1（t）和λg2（t）的二阶矩，λgi（t）至少在长期内是弱平稳的，或者通过假设λgi（0）等于其长期期望值。注意，根据λgi的对称性和平稳性，等式（7）和（8）直接导致toE[λg1（t）]=u+αsβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（t）]+αcβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg2（t）]，E[λg2（t）]=u+αcβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（t）]+αsβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg2（t）]。和我- {1+（K1λg1- 1)η}αsβαcβαcβαsβE[λg1（t）]E[λg2（t）]=uu.根据λg1和λg2之间的对称性，E[λg1（t）]=E[λg2（t）]=μβ- （αs+αc）{1+（K1λg1- 1)η}. （9）因此，如果条件（4）得到满足，则地面过程得到很好的定义，即地面强度的经验值为正。2.3二阶矩性质在本小节中，计算对称模型下标记霍克斯过程产生的资产回报的波动率公式。模型的对称性意味着i和j可以互换，这使得公式变得简单。在下面的符号中，各种K和α以类似于等式（3）的方式定义，从而简化了符号。符号1。对于跳跃过程X，如λgiand Ni，letE[kiX（t）]=KiXE[X（t）]，E[kiX（t）]=K（2）iXE[X（t）]。（在前面的公式中，当X=λgi时，为了简单起见，省略了下标，如式（3）所示，即K=Kiλgi。）此外，K=1+2（K1λg1- 1） η+（K（2）1λg1- 2K1λg1+1）η=1+2（K2λg2- 1） η+（K（2）2λg2- 2K2λg2+1）η，(R)K=K1λg1+（K（2）1λg1- K1λg1）η=K2λg2+（K（2）2λg2- K2λg2）η，α=α{1+（K1λg1- 1） η}=α{1+（K2λg2- 1） η}，|α=α{1+（K2λg1λg2- 1） η}=α{1+（K1λg2λg1- 1） η}，'α=α{1+（K1λg1N- 1） η}=α{1+（K2λg2N- 1） η}，`α=α{1+（K2λg2N- 1） η}=α{1+（K1λg1N- 1） η}，和m=αs- β▄αc▄αc▄αs- β, M级=\'αs- β`αc'αc'αs- β,K级=K1λg10 K1λg1, K级=K1λg10 K2λg1λg2, K级=K1λg1N0 K1λg1N.定理1。

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2022-6-25 06:45:07

设（N，N）为假设1下具有线性冲击函数的二维标记自激和互激霍克斯过程，地面强度为Eqs。（5）和（6）。如果价格过程stfollowst=S+δ（N（t）- N（t）），则收益率在[0，t]上的条件方差为varSt公司- 不锈钢=δSE[（N（t））- N（t））]带E【N（t）】E【N（t）N（t）】= -E[λg1（t）]KβuKM-1.t+2M-1.αs'Kαc'K- M-1公里-1.（αs+αc）(R)K2αsαc'K+ 2米-1（公里-1.- 公里数-1)βuβu-“K（2）1λg/K1λg1N#！t）.证明.见A.结果稍微复杂，但以下备注对实践有用.备注2.通过假设K1λg1N≈ K1λg1和K1λg1≈ K1λg1λg2，我们有[（N（t）- N（t））]=2（E[N（t）]- E[N（t）N（t）]）≈ 2K1λg1NE[λg1（t）]K1λg1’’K（αs- αc）（β- αs+αc）（β- \'αs+\'αc）+2（αs- αc）(R)Kβ- \'αs+\'αc+K（2）1λg1K1λg1Nt、（10）在此假设下，M，Mand-Kare对称，方差公式变得简单。此外，如果所有Ks均等于1，则方差公式为减少至[（N（t））- N（t））]=2E[λg1（t）]β（β- αs- αc）t，这与简单霍克斯模型中的方差公式相同。推论3。在定理1中的假设下，如果标记kiare i.i.d.，那么对于所有X，KiX=K：=E[ki]和K（2）iX=K（2）：=E[ki]∈ {λgi，λgiλgj，λgiNj:i，j=1，2}和α=～α='α=`α。因此，E[（N（t））- N（t））]=2KE[λg1（t）]K'K（αs- αc）（β- αs+αc）+2（αs- αc）(R)Kβ- αs+αc+K（2）K！t其中K和K现在由K=1+2（K）表示- 1） η+（K（2）- 2K+1）η，(R)K=K+（K（2）- K） η。2.4似然函数要估计强度过程中的参数，如u、αs、αc、β和η，需要计算对数似然。

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2022-6-25 06:45:10

用Z（0，T）logλg1（u）Ng1（du）+Z（0，T）logλg2（u）Ng2（du）表示周期[0，T]内（N，N）跳跃和标记的已实现间隔的联合对数似然函数-ZT（λg1（u）+λg2（u））du+Z（0，T）×Z+对数f（k |λg1（u））N（du×dk）+Z（0，T）×Z+对数f（k |λg2（u））N（du×dk）！=：log Lg+log Lm（11），其中f表示给定λgi的标记Ki的条件分布。在上述公式中，对数似然分为两部分，log lg和log Lm。第一部分log lg是地面强度过程的对数似然函数，或者更准确地说，是跳跃间隔时间的联合对数似然函数。第二部分是条件标记分布的对数似然函数。当log lg仅用于最大似然估计时，则log lg实际上是跳跃间隔时间的条件对数似然函数，条件是实现标记，即估计是基于给定实现标记的跳跃间隔时间的最大似然估计。在随后的模拟和实证研究的估计过程中，没有假设地面强度和标记大小的联合分布的具体形式，但经验标记分布用于执行最大似然程序，以最大化log Lg，即跳跃间隔时间的条件对数似然函数。由于使用了经验标记分布，对数Lmpart不会影响θ=（u，αs，αc，β，η）的估计。

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2022-6-25 06:45:13

另一方面，如果通过将条件分布f（ki |λgi）指定为第3.1节，假设对标记分布进行特定参数建模，并且还想估计f中的参数，那么对数线性矩阵也受θ的影响，因为在推断λgis时，它是使用θ计算的。在另一方面，仅在对数lg上的估计过程是可能的，包括可以观测到的mar ks kiare。如果标记大小不可观察，则不可避免地对λgi和kit之间的联合分布或条件分布进行参数建模，以推断标记大小ki。根据f（ki |λgi（u））上的参数假设，如前所述，θ的参数family也出现在log Lm的公式中，θ的变化值不仅会改变log lg的值，还会改变log Lm的值。因此，随着样本量的增加，使对数Lg最大化的估计器可能不会收敛到使（对数Lg+对数Lm）最大化的估计器。幸运的是，由于所有KIA在我们的实证研究中都是可以观察到的，因此观察到的已实现标记大小用于计算对数Lg，而不是基于某些参数假设推断出的KI。因此，使log lga最大化的e stimatorofθ是最大似然估计量，该估计量与给定mark的跳跃间隔时间的条件联合分布有关。注意，对数lg和对数lg的分离并不是因为标记s与地面强度无关，而是因为使用对数lg可以表示为具有给定标记s的到达时间的条件联合分布的对数似然函数。在实践中，对数lg的计算如下所示。利用假定的参数值αs、αc、β和η，我们根据股票价格过程和方程的实现Nis计算推断的地面强度过程λgis。（5）和（6）。

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2022-6-25 06:45:16

利用推断出的地面强度过程，随机积分部分的实现值s由z（0，T）logλgi（u）Ngi（du）=Ngi（T）Xn=1logλgi（un）计算，其中未注记Ngi实现的跳跃时间。此外，RT（λg1（u）+λg2（u））du使用具有闭合形式公式的黎曼积分进行计算。通过改变假定参数重复上述过程，优化的数值解算器试图找到log Lg的全局最大值。考虑对数似然函数的凹性。如果对数似然函数的Hessian对于给定实现的所有参数都是负半限定的，则对数似然函数是凹的。然而，标记Hawkes模型的Hessian公式是复杂的，我们不检查β和η固定时的条件凹度。注意，在给定的实际跳变时间ti下，我们有log Lg1（T）：=Z（0，T）logλg1（u）Ng1（du）-ZTλg1（u）du=Xti<Tlogλg1（ti）-Ztiti公司-1λg1（u）du！-ZTtNλg1（u）du=Xti<T对数λg1（ti）-1.- e-βτiβλg1（ti）-ZTtNλg1（u）du，其中tn是最后一次跳转时间。使用λg1的定义，总和中的每个项可以重写如下：logλg1（ti）-1.- e-βτiβλg1（ti）=对数“u+（λg1（0））- u）e-βti+Z（0，ti）×Z+αs{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）+Z（0，ti）×Z+αc{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）#-1.- eβτiβ“u+（λg1（0））- u）e-βti+Z（0，ti）×Z+αs{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）+Z（0，ti）×Z+αc{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）#。用fixe dβ和η表示，该术语为log（mu+αs+acαc+c）-1.- eβτiβ（mu+asαs+acαc+c）对于一些常数m、as、ac和c。因此，对于任何固定的β和η，该项的赫斯矩阵相对于u、α和αcisλg1（ti）-m级-mas公司-雨衣-mas公司-像-asac公司-雨衣-asac公司-交流电这是负半定义。

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2022-6-25 06:45:19

β和η固定的对数似然函数log lg的条件Hes sian表示为xti<Tλg1（ti）+λg2（ti）！-m级-mas公司-雨衣-mas公司-像-asac公司-雨衣-asac公司-交流电这也是负半定义。因此，至少如果β和η的参数值固定，则可以保证对数似然对数Lg（u，αs，αc |β，η）作为u，αs，αcca函数的凹度，并且我们可以假设优化的数值解算器将找到全局最大值。充分考虑大网格和密集网格上的β和η点。对于每个β和η，我们可以在u，αs，αcdue参数空间上找到条件凹度的条件全局最大o flog Lg（u，αs，αc |β，η）。现在的兴趣是β和η网格上条件全局极大值的形状。如果条件全局最大值仍然是凹的，并且可以找到条件最大值的最大值，那么可以检查数值优化器以确定其是否找到整体全局最大值。在后面的数值过程中，将检查β和η网格上条件对数似然函数的形状。3模拟示例3.1对称模型在本文中，通常不假设标记的特定分布。然而，对于模拟研究，有必要假设标记大小的特定条件分布以生成路径。假设标记ki遵循一些常数c、d和u的条件几何分布，其中P（λgi（u））=min（d+cλgi（u），u），即P（ki=n |λgi（u））=P（λgi（u））（1- p（λgi（u）））n-表1：标记霍克斯模型的模拟研究，500个样本路径uαsαcβηTSRV H.Vol.True 0.1000 0。9500 0.8200 2.2500 0.1900平均0.0999 0.9496 0.8199 2.2487 0.1882 0.2807 0.2798标准。0.0021 0.0194 0.0190 0.0326 0.0170 0.0333 0.0126真0.1500 0。6200 0.5000 1.9000 0.2200平均值0.1499 0.6193 0.5008 1.8999 0.2177 0.1317 0.1312std。

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2022-6-25 06:45:22

0.0027 0.0172 0.0149 0.0419 0.0502 0.0101 0.0018真0.3000 1。0500 0.9200 2.3000 0.0100平均0.3003 1.0508 0.9206 2.3014 0.0094 0.6391 0.6291标准。0.0051 0.0136 0.0135 0.0229 0.0051 0.0562 0.0177真0.2000 1。1000 1.2600 2.5700 0.0100平均值0.2002 1.0997 1.2610 2.5702 0.0099 4.4299 4.3628标准。0.0039 0.0154 0.0164 0.0238 0.0007 1.6973 0.6811这表明，对于某些斜率c、截距d和上界u，标记大小ki的条件期望值具有给定的Ground强度λgiisE[ki |λgi（u）]=min（d+cλgi（u），u）。需要设置标记大小e的条件平均值的上界，以防止标记的Hawkes过程破裂。在该设置下，碰撞的条件预期取决于电流强度：E[g（ki）|λgi（u）]=1+{min（d+cλgi（u），u）- 1} ηE[1+（ki- 1)η].通过每个不同的假设条件分布和参数设置，生成了500条二维标记霍克斯过程的样本路径和相应的地面强度。路径的时间范围设置为5.5小时，这等于稍后实证研究中使用的时间范围。模拟机制类似于简单的霍克斯模型，但需要考虑到市场规模及其未来影响。根据生成路径的已实现间隔时间和重新确定的标记大小s，在最大对数Lgin公式（11）上形成最大似然估计，结果如表1所示。该表由三个具有不同参数设置的面板组成，以“True”行显示。

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2022-6-25 06:45:25

对于第一个面板，c=0.15，d=1.0，U=2.0；对于第二个面板，c=0.18，d=1.0，U=2.2；对于第三个面板，c=0.18，d=1.0，U=3.5；对于第四个面板，c=0。25，d=1.0，U=9。由于计算了地面过程的可能性，因此计算了u、αs、αc、β和η的估计值，但没有计算c、d和U的估计值。500个样本路径的估计值的样本平均值报告在“平均值”行中。行“std.”表示500个样本估计的样本标准偏差。表中显示e估计值与真值一致。如前一节所述，图1给出了在第一个模拟设置下，具有不同β和η的条件对数似然函数的全局最大值。数值计算的条件最大值点显示凹度，预计数值优化器将在过程中找到全局最大值。为了计算波动率，我们需要计算符号1中的Ks，它涉及几个无条件的预期，包括标记大小、强度和计数过程。由于标记和强度之间的复杂关系，没有准确的期望公式，以下2.82.822.84×102.86β0.60.4η0.2-0.2图1：β和η统计量上的条件对数似然函数的最大值用于期望：E[λgi（t）]≈TNgi（T）（12）E[kiλgi（T）]≈TNi（T）（13）E[kiλgi（T）]≈TZ（0，T）×Z+kiNi（du×dki）（14）E[λgi（T）]≈TZ（0，T）×Z+λgi（u）Ni（du×dki）（15）E[kiλgi（T）]≈TZ（0，T）×Z+kiλgi（u）Ni（du×dk）（16）tE[λgi（T）Ni（T）]≈TZ（0，T）×Z+Ni（u-)Ni（du×dki）（17）tE[kiλgi（t）Ni（t）]≈TZ（0，T）×Z+基尼（u-)Ni（du×dki）（18），其中[0，T]是观测时间间隔。为了计算右侧，使用生成路径的已实现ki、nian和ngio，以及根据u、αs、αc、β和η的估计推断出的λgif。

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kedemingshi

2022-6-25 06:45:28

利用方程组计算了下推式λgia。（5）（6），一旦估算出u、αs、αc、β和η。地面强度的期望值近似于公式（12）中每单位时间相应上升或下降移动总数的样本平均值。类似地，对于E[kiλgi（t）]，使用计数过程NI来计算样本平均值。等式（14）的右侧是单位时间内总跳跃次数的样本平均值，每个跳跃的权重为Ki，这与左侧近似。对于EQ。（15）和（16），考虑“Z（0，T）×Z+λgi（u）Ni（du×dk）#=中兴通讯[λgi（T）]dt=T E[λgi（T）]E”Z（0，T）×Z+kλgi（u）Ni（du×dk）#=中兴通讯[kiλgi（T）]dt=T E[kiλgi（T）]。图2显示了使用上述方法计算的K和K（2）的收敛性，因为样本大小随着模拟中第一个参数集的增加而增加。此外，根据A和E[λgi（t）Ni（t）]/t0 1 2 3 4×101.52.50 0.5 1 1 1.5 2×10图2：随着样本大小E的增加，K1λg1和K（2）1λg1的收敛收敛到cas t的增加，E[λgi（t）Ni（t）]=ct+Cf对于一些常数Cd和c。注意te“Z（0，T）]×Z+Ni（u-)Ngi（du×dk）#=TZTE[λgi（t）Ni（t）]dt=c+2cT≈ c≈2tE[λgi（t）Ni（t）]，具有足够大t和t的近似值。等式（18）也采用了类似的论点。“H.vol”列是由u、αs、αc、β、η和Ks的似然估计值（使用备注2）计算得出的挥发性估计值的平均值。这与Zhang等人（2005年）提出的“TSRV”一栏中的双标度波动率（TSRV）进行了比较。对于TSRV计算，小时间尺度设置为1秒，大时间尺度设置为5分钟。结果表明，霍克斯波动率和TSRV相似。

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2022-6-25 06:45:32

在所有模拟情况下，霍克斯波动率的标准偏差均小于TSRV的标准偏差。3.2其他示例本小节研究霍克斯波动率和实际波动率之间存在差异的情况。首先，研究了完全特征化的霍克斯模型，即分支矩阵的系数用qij=αijβij[1+（kj）表示- 1） η]具有假设1（ii）的线性影响函数。在此设置下，无法保证对称性。回想一下，在对称模型中，αs=α=α，αc=α=α，β=β=β=β=β。表2列出了具有假定参数的模拟路径的完全特征化Hawkes模型的估计结果。假定的参数显示在“真”列中，并在一天的时间范围内重新生成500条样本路径，更准确地说，如前一示例中所示，为5.5小时。“完整”列报告了具有完全特征的d Hawkes模型的最大似然估计下估计的平均值和标准偏差。在对称霍克斯模型下也进行了似然估计，即使路径是由具有充分特征的霍克斯模型生成的。结果显示在相应参数行中心的“对称”列中。例如，u表示在u和u两行的中心，αsis表示在α和α两行的中心，等等。。“S.Vol.”表示由500个样本路径生成的收盘股票价格的样本标准偏差计算的回报率的样本波动率。TSRV和标记的霍克斯挥发度及其相应的标准偏差分别在“TSRV”和“H.Vol”列中报告。霍克斯波动率是使用对称霍克斯模型的估计来计算的。与样品挥发性相比，两种挥发性偏差约为4%。

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kedemingshi

2022-6-25 06:45:35

在这些情况下，TSRV比样品挥发性大，霍克斯挥发性小。其次，研究了对称标记霍克斯模型，模型参数在样本期内发生变化。表3列出了表2对称Hawkes模型的估计结果：具有500个样本路径的全特征Hawkes模型全对称全对称平均标准值标准值真平均标准值标准值标准值标准值0.1461 0.1467 0.00380.1345 0.00260.1130.1131 0.00300.1152 0.0024 0.1155 0.1159 0.0032 0.1149 0.1153 0.0033α0.3185 0.3204 0.01500.4102 0.01480.4994 0.5031 0.02420.52520.0159α0.3821 0.3865 0.0219 0.4682 0.4799 0.0210α0.9812 0.9848 0.02821.1512 0.02230.5937 0.5992 0.02320.7012 0.0199α1.4949 1.5000 0.0334 0.9754 0.9854 0.0368β1.1799 1.1893 0.05672.0547 0.03151.8305 1.8512 0.09481.8744 0.0364β1.9553 1.9840 0.11951.4706 1.5142 0.0666β2.0952 2.1077 0.0697 1.5963 1.6110 0.0624β2.5030 2.5132 0.0587 2.7850 2.8064 0.1036η 0.1488 0.1501 0.0235 0.1424 0.02550.1761 0.1768 0.0216 0.1756 0.0225c=0.1，d=1.0，U=2.0 c=0.08，d=1.5，U=3.0。Vol.TSRV std.H.Vol.std.S.Vol.TSRV std.H.Vol.std.0.1405 0.1463 0.0146 0.1346 0.0051 0.1853 0.1897 0.0161 0.1795 0.0044表3：具有500个样本路径的模拟研究，具有时变参数uSαcβηc d U.Vol.TSRV H.Vol True 1 0.1000 1.2600 2.5700 0 0 0 0.0100 1.2500 1 7 True 2 0.1000 1.2600 2.5700 0 0.0100 0.2500 1 1.5平均值0.1017 1.1017 1.26622.5667 0.0085 0.6431 0.5801 0.6288标准。0.0022 0.0205 0.0265 0.0319 0.0039 0.1990 0.1381真1 0.1000 1.1000 1.2600 2.5700 0.1000 0.1000 1 7真2 0.0500 0.5000 0.5000 2.0000 0.1000 0.1000 1 1 1.5平均0.0375 1.0162 1.1190 2.3567 0.0233 0.2496 0.2204 0.2300std。

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2022-6-25 06:45:38

0.0010 0.0302 0.0347 0.0438 0.0142 0.0378 0.02055.5小时的时间范围，但该时段前一个小时的模型参数符合“真1”的规定，在该时段的其余时间，模型遵循“真2”。在第一个面板中，变量部分是分数分布条件平均值的上界。换言之，在样本期的第一部分，由于马克的尺寸可能很大，冰过程非常不稳定，其余部分相当稳定。这与2010年的闪存崩溃类似，稍后将进行实证分析。结果表明，TSRV和霍克斯波动率之间的差异小于s充分波动率，TSRV甚至小于霍克斯波动率。4实证研究4.1数据实证研究使用纽约证券交易所（NYSE）报告的bes t买入和卖出报价的几年内一些主要股票价格的超高频逐点数据。每天样本的时间范围设置为10:00至15:30。开盘后和收盘前30分钟的数据并没有用来减少季节性影响。在接近开盘和收盘时，价格波动模式通常与当天其他时间有所不同。标普500指数中股票价格变动的跳跃幅度并不是随时间而恒定的，特别是当股票价格较高时，因此纽约证券交易所的价格与交易中最小交易量（0.01美元）之间的比率较高。纽约证券交易所的交易量从1997年的1/8美元降至1/16美元，从2001年的1/16美元降至0.01美元。

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2022-6-25 06:45:41

本文考虑了标记霍克斯模型的中间价格变动，以消除bid-a sk反弹，因此最小跳跃大小为表4：2008年至2011年期间，IBM（左）和GE（中）以及CVX（右）的标记大小分布（%）。2008年12月，2010年2月，2008年2月，2008年2月，2008年2月，2008年2月，2010年11月，51.80 59.98 80.88，57.04，89.81，98.39，99.61，99.68，60。69 68.30 91.55 7 7.212 21.53 20.57 13.96 18.41 7.61 1.5 1 0.34 0.30 20.02 19.75 7.32 16 .203 11.22 10.89 3.53 9.54 1.55 0.00 0.00 9.25 8.43 0.77 4.774 6.36 5.50 1.01 5.800.52 0.00 0.00 0.00 0.00 4.78 2.70 0.1 5 1.285 3.61 1.98 0.35 3.68 0.19 0.00 0.0 0 0 0 0 0.00 2.49 0.62 0.06 0.326 2.04 0.66 0.10 2.220.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.29 0.13 0.0.0 3 0.127 1.17 0.24 0.00 1.37 0.00 0.00 0.0 0 0.00 0.66 0.04 0.02 0.058 0.71 0.01 0.00 0.81 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.35 0.01 0.01 0.025 1000.20.40.6马克大小BM，2008（a）IBM，20085 1000.20.40.6Mark sizeIBM，2009（b）IBM，20095 1000.20.40.60.8Mark sizeIBM，2010（c）IBM，20105 1000.20.40.6Mark sizeIBM，2011（d）IBM，2011图3：markhalf tick size的经验无条件分布，0.005美元。在原始数据中，记录的时间分辨率为1秒。如果在1秒内报告了多个价格变化的时间戳，则报告的事件将在1秒间隔内分布到等距的内部分区。4.2无条件分配标记表4比较了2008年至2011年IBM、GE和CVX的标记大小百分比，即表中报告了标记大小的无条件分配。I BM和CVX多年来有一系列的标记大小，但GE的标记大小分布集中于最小标记大小。这是因为IBM和CVX的价格相对较高（IBM约为150美元，CVX约为100美元），而GE的价格约为25美元。

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2022-6-25 06:45:44

标记s的无条件分布具有与几何分布相似的指数递减形状。2010年和2011年IBM市场的经验分布与图3中的几何分布进行了比较。实线表示经验分布，虚线表示通过匹配经验分布和几何分布的一阶矩得到的几何分布。4.3标记大小和强度本小节检查标记大小和g轮强度之间的相关性，以及单位时间间隔内预期事件的数量。经验证据表明，标记大小和当前接地强度之间存在显著的相关性。

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2022-6-25 06:45:47

首先，经验条件表5：标记大小与氧强度平均值（10秒）之间的关系，IBM2011 2010mark size up down total 6 3.4784 3.6400 7.1184 6.4059 6.5618 12.9676（0.0145）（0.0149）（0.0292）（0.2306）（0.1171）（0.1150）3.1191 3.2461 6.3652 4.3289 4.5448 8.8738（0.0105）（0.0106）（0.0209）（0.0890）（0.0449）（0.0448）2.8206 2.9237 5.7443 3.4963 3.6881 7.1844 0.0078）（0.0078）（0.0155）（0.0439）（0.0221）（0.0221）3 2.5683 2.6551 5.2233 2.7119 2.8717 5.5836（0.0061）（0.0060）(0.0120) (0.0182) (0.0092) (0.0092)2 2.3051 2.3795 4.6846 2.1799 2.2892 4.4691(0.0042) (0.0041) (0.0083) (0.0071) (0.0036) (0.0036)2.3131 2.3501 4.6632 1.7682 1.8481 3.6163(0.0028) (0.0028) (0.0056) (0.0024) (0.0012) (0.0012)-12.2403 2.4140 4.6543 1.7488 1.8883 3.6371(0.0028) (0.0028) (0.0056) (0.0024) (0.0012) (0.0012)-2 2.3004 2.4376 4.7381 2.1655 2.3022 4.4687(0.0042) (0.0042) (0.0084) (0.0072) (0.0036) (0.0036)-3 2.5924 2.7167 5.3090 2.7264 2.8552 5.5816(0.0062) (0.0062) (0.0123) (0.0185) (0.0094) (0.0093)-42.8174 2.9552 5.7726 3.4806 3.6163 7.0969(0.0078) (0.0079) (0.0156) (0.0432) (0.0218) (0.0217)-53.1078 3.2399 6.3477 4.4487 4.5968 9.0454(0.0104) (0.0106) (0.0209) (0.0902) (0.0466) (0.0469)-6 3.4606 3.5845 7.0451 6.1019 6.2334 12.3352（0.0145）（0.0149）（0.0292）（0.2141）（0.1083）（0.1074）计算了给定标记大小E[λgi（t）| ki]下的强度预期。由于总强度不可观测，因此引入了代理强度。向上、向下和总跳跃的代理强度分别由固定时间段内的向上、向下和总跳跃次数定义，该时间段恰好在跳跃时间之前结束，除以该时间段的长度。代理强度的周期选择为10秒。

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2022-6-25 06:45:50

从数学上讲，在时间t发生的markk的上代理强度由Ng1（t+τ）表示- Ng1（t），其中τ是周期的长度。表5给出了IBM 2010年和2011年每一年每种基准尺寸的代理强度的计算样本平均值和标准误差。例如，对于标记大小6，报告了86738次上跳，上跳强度的样本平均值为3.4784，s样本标准误差为0.0145。请注意，强度为3.4784表示单位时间内的预期移动次数（设置为1秒）约为3.4784。下表显示，代理强度随给定标记大小的增加而增加。mar k size r列中的负整数表示价格的向下跳跃。还计算了五秒时间范围内的代理强度。结果与之前10秒时间范围的情况相似，因此未显示结果。其次，表6显示了标记大小与使用IBM tick数据的线性影响函数推断的地面强度之间的关系。在计算推断的地面过程之前，通过最大化公式（11）中定义的lo g来估计参数ω、αs、αc、β和η。估计是在日常基础上进行的，详细的估计结果将在稍后演示。随后，利用方程式中地面强度的定义，通过ω、αs、αc、β和η的估计值计算推断的地面强度。（5）和（6）。报告了每个标记大小的推断地面强度的样本平均值和样本标准误差。与代理强度的情况类似，推断的地面强度随着给定标记大小的增加而增加。

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2022-6-25 06:45:52

这意味着，如果观察到较大尺寸的标记，则可能是基于较大的辐射强度。第三，图4说明了标记大小在给定地面强度e【ki |λgi（t）】条件下的经验膨胀，使用IBM 2 008-2 011的刻度数据。对于每一年，使用标记大小的样本平均数计算给定λgi=n的整数n的经验条件期望，其关联推断的地面过程为（n-1，n]。

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2022-6-25 06:45:55

条件分析表6：标记大小与线性冲击函数推断地面强度平均值之间的关系，IBM2011 2010标记大小λg1λg2λgλg1λg2λg6 5.1666 5.1108 10。2774 8.1033 8.0330 16.1364(0.0222) (0.0221) (0.0442) (0.1366) (0.1370) (0.2734)5 4.7423 4.6834 9.4257 6.5586 6.4855 13.0443(0.0165) (0.0164) (0.0328) (0.0621) (0.0620) (0.1240)4.4092 4.3565 8.7656 5.4497 5.3975 10.8472(0.0126) (0.0125) (0.0251) (0.0338) (0.0337) (0.0674)3 4.0264 3.9842 8.0106 4.2182 4.1806 8.3988(0.0094) (0.0094) (0.0188) (0.0145) (0.0145) (0.0290)2 3.5870 3.5505 7.1375 3.4705 3.4476 6.9181(0.0066) (0.0066) (0.0131) (0.0064) (0.0064) (0.0128)1 3.5924 3.5580 7.1504 2.5428 2.5321 5.0749(0.0057) (0.0057) (0.0114) (0.0021) (0.0021) (0.0041)-13.5568 3.5942 7.1509 2.5702 2.5836 5.1538(0.0057) (0.0057) (0.0113) (0.0021) (0.0021) (0.0041)-2 3.5858 3.6270 7.2128 3.4730 3.4978 6.9708(0.0066) (0.0066) (0.0132) (0.0064) (0.0064) (0.0129)-3 4.0451 4.0927 8.1378 4.2369 4.2781 8.5150(0.0096) (0.0096) (0.0192) (0.0148) (0.0148) (0.0296)-4 4.3580 4.4177 8.7757 5.3775 5.4380 10.8154(0.0126) (0.0127) (0.0253) (0.0333) (0.0334) (0.0667)-54.6872 4.7587 9.4459 6.4356 6.5047 12.9402(0.0163) (0.0164) (0.0327) (0.0624) (0.0626) (0.1250)-6 5.0360 5.0884 10 .1244 7.9426 8.0193 15.9620（0.0216）（0.0217）（0.0433）（0.1343）（0.1344）（0.2685）5 10 15012345678λg1E[k1 |λg1]IBM，2008（a）IBM，200810 200123λg1E[k1 |λg1]IBM，2009（b）IBM，200910 20 30 400123456λg1E[k1 |λg1]IBM，2010（c）IBM，201010 20 30 40 50 6001234λg1E[k1 k1 |λg1]IBM，2011（d）IBM，2011图4：konλg1的条件期望，IBM，2008-2011年，如果每年标记的总观察数量大于100，则绘制标记的预期，即丢弃观察数量较少的样本。

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