最优投资组合权重和特征的抽样分布

2022-6-25 07:41:11

低维和大维最优投资组合权重和特征的抽样分布斯塔拉斯·博德纳拉（Bodnara）、霍尔格·德特布（Holger Detteb）、内斯特·帕罗利（Nestor Parolyacand）和埃里克·托尔斯（Erik Thors）数学系，斯德哥尔摩斯德哥尔摩斯德哥尔摩大学（Stockholm University），瑞典数学系，波鸿鲁尔大学（Ruhr University Bochum），D-44870波鸿，德国德尔夫特应用数学研究所，德尔夫特理工大学（Delft），荷兰的最佳投资组合选择问题由数据生成过程的（未知）参数决定。如果投资者想要实现最优投资组合所建议的头寸，他/她需要估计未知参数，并在决策过程中考虑参数的不确定性。通常，相关参数是资产收益分布的总体平均向量和总体协方差矩阵。在本文中，我们通过导出估计的最优投资组合权重的抽样分布来描述其精确抽样分布及其特征，该分布以随机表示形式呈现。这种方法有几个优点，比如（i）它通过表达式确定估计的临时投资组合权重的抽样分布，可以有效地从该分布中提取样本；（ii）导出的随机表示的应用提供了一种获得采样分布渐近近似值的简单方法。利用后一个性质证明了最优投资组合权重的高维渐近分布是多元正态分布，并确定了其参数。此外，在高维环境下，给出了最优投资组合权重的一致估计及其特征。

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2022-6-25 07:41:15

通过广泛的模拟研究，我们研究了导出的渐近近似的有限样本性能，并研究了其对违反理论结果推导中使用的模型假设的鲁棒性。关键词：抽样分布；最优投资组合；参数不确定性；随机表示；高维渐近1简介最优投资组合问题的解由数据生成过程的参数决定。在许多情况下，最优投资组合权重及其特征，如投资组合均值、投资组合方差、风险价值（VaR）、条件VaR（CVaR）等，可以仅使用资产收益分布的均值向量和协方差矩阵来计算。更准确地说，这些关系由以下五个量总结：VGMV=>∑-1，wGMV=∑-1>Σ-1，RGMV=u>∑-1>Σ-1，s=u>Qu，v=Qu>Qu，（1.1），其中u=E（x）和∑=v ar（x）是p维资产回报向量x和Q=∑的平均向量和协方差矩阵-1.-Σ-1>Σ-1>Σ-（1.2）（1.1）中的五个数量具有有趣的财务解释。p维向量WGMV是全局最小方差（GMV）投资组合的权重，即方差最小的投资组合的权重，而RGMV和VGM则是GMV投资组合的预期收益和方差。数量s是有效前沿的斜率参数，即按照马科维茨方法的所有最优投资组合的集合。该参数与rgmv和vgmvf一起完全确定了有效前沿的位置和形状，即均值-方差空间中的抛物线。最后，p维向量v是所谓自我融资投资组合的权重（参见Korkie和Turtle[43]），即。

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2022-6-25 07:41:18

其权重之和等于0，即1>v=0。（1.1）中的五个数量决定了许多最优投资组合的结构，如GMV投资组合、均值方差（MV）投资组合、预期最大指数效用（EU）投资组合、相切（T）投资组合、最大化夏普收益率（SR）的最优投资组合、最小VaR（MVaR）投资组合和最小CVaR（MCVaR）投资组合、最大回报值（MVoR）投资组合，最大条件回报值（MCVoR）投资组合（参见，例如，马科维茨[45]、英格索尔[37]、约布森和科尔基[40]、亚历山大和巴普蒂斯塔[3]、亚历山大和巴普蒂斯塔[4]、奥克林和施密德[49]、坎和周[42]、弗拉姆和梅梅尔[31]、博德纳尔等人[21]、阿德科克[1]、伍德盖特和西格尔[57]、博德纳尔等人[17]、博德纳尔等人[11]、西曼等人[54]、博德纳尔等人[16]，Bodnar等人[9]）。另一方面，数量（1.1）不能直接用于计算这些投资组合的权重和特征，因为u和∑在实践中都是不可观察的参数。因此，投资者通过将（1.1）中的u和∑替换为^u=nnXi=1xind∑=n给出的相应样本估计量来确定最佳投资组合-1nXi=1（xi-（xi）-^u）>（1.3）给定一个资产回报样本x，x。。。，xn。这种方法得到最优投资组合的样本或所谓的插件估计量，其基于（1.1）的相应样本估计量，表示为^VGMV=>^∑-1，^wGMV=^∑-1>^Σ-1，^RGMV=^u>^∑-1>^Σ-1，^s=^u>^Q^u，^v=^Q^u>^Q^u，（1.4）带^Q=^∑-1.-^Σ-1>^Σ-1>^Σ-1.（1.5）以及最优投资组合权重的样本（插件）估计器。最近，投资组合分配中的抽样分布概念受到了广泛关注。

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2022-6-25 07:41:21

投资者和研究人员认识到，使用历史数据引入的不确定性需要整合到最优投资组合决策过程中，并得到适当的评估。平均方差投资组合的抽样分布由earlyas Jobson和Korkie【40】、Britten Jones【22】、Okhrin和Schmid【49】进行研究，其中，估计最优投资组合权重的分布是在假设从多元正态分布中获取资产回报的独立样本的情况下得出的。此外，Jobson【39】、Bodnar和Schmid【19】、Kanand Smith【41】和Bodnar和Schmid【20】等人获得了估计有效前沿（全均值方差最优投资组合集）的共有和有限样本分布，而Siegel和Woodgate【53】和Bodnar和Bodnar【7】提出了其改进的估计量，并对其存在性进行了检验。其中一些结果后来在Frahm和Memmel【31】、Glombeck【33】、Bodnar等人【17】、Bodnar等人【16】中扩展到高维环境。（1.3）中给出的样本平均向量和样本协方差矩阵已在之前的研究中广泛使用（见Britten Jones【22】、Memmel和Kempf【47】、Okhrinand Schmid【50】），用于估计资产回报向量及其协方差矩阵。当投资组合维数远小于样本量时，这些估计量似乎是一致的，并且涉及它们的估计最优投资组合具有理想的渐近性质。然而，当构建高维投资组合时，它们不能再使用，因为当投资组合维度与样本大小相当时，它们的纯性能。

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2022-6-25 07:41:24

其中一个问题在于，数量（1.4）取决于逆协方差矩阵，而样本逆协方差矩阵在高维环境中不是一致的估计量（参见Bodnar等人【10】）。为了应对这些限制，文献中考虑了许多改进的估计量（参见Efron和Morris【29】、Jagannathan和Ma【38】、Golosnoy和Okhrin【34】、Frahm和Memmel【31】、DeMiguelet等人【27】、Rubio等人【52】、Yao等人【58】）。通过推导（1.4）中估计的五个数量的联合抽样分布，我们对现有文献做出了贡献，该分布仅决定了最优投资组合的结构。然后，利用这些结果建立一种统一的方法来描述估计权重的抽样分布以及最优投资组合的相应估计特征。这一目标是通过在一个非常有用的随机表示中呈现（^VGMV，^w>GMV，^RGMV，^s，^v>）的联合分布来实现的。随机表示是统计学和计量经济学中一种计算效率很高的工具，用于描述随机变量/向量的分布，这在传统统计和贝叶斯统计中都有广泛的应用。虽然它在椭圆分布理论中扮演着特殊的角色（c.f.，Gupta等人[36]），但随机表示也是计算统计中生成随机变量/向量的一种非常流行的方法（参见Givens和Hoeting[32]）。Bodnar等人[12]和Bauder等人[6]发现了随机表示在确定估计最优投资组合的后验分布中的应用。最后，Zellner和Ando等人认为，基于随机表示的直接蒙特卡罗方法是计算贝叶斯估计的有效方法。

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能者818

2022-6-25 07:41:27

在本文中，我们使用（^VGMV，^w>GMV，^RGMV，^s，^v>）的衍生随机表示来推导高维渐近分布，以及获得估计最优投资组合的高维渐近分布。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们得出了（^VGMV，^w>GMV，^RGMV，^s，^v>）的有限样本联合分布。然后，该结果用于建立第3节中估计的最优投资组合权重及其估计特征的抽样分布。第4节给出了在大维渐近下导出的估计权重的渐近分布。第5节研究了共有分布的有限样本性能以及对数据生成过程中的分布假设进行稳健性分析的结果，而第6节给出了最后的备注。技术推导移至附录（第7节）。2^VGMV、^wGMV、^RGMV、^s和^vt的精确抽样分布通过本文，我们假设资产收益的p维向量x，x。。。，xnare独立且正态分布，平均向量u和协方差矩阵∑，即xi~ 对于i=1，…，Np（u，∑）。。。，n、 Fama[30]认为，月收益率的分布可以很好地近似于正态分布，Tu和Zhou[55]发现重尾对最优投资组合的表现没有显著影响。^VGMV、^θ、^RGMV、^s和^η的随机表示是在更一般的情况下导出的，即通过考虑^θ和^η的线性组合，表示为^θ=L^wgmv和^η=L^v，其中L是k<p的常数k×p矩阵- 1和秩（L）=k。同样，我们确定θ=LwGMVandη=Lv给出的^θ和^η的人口对应项。因为^u和∑是独立分布的（参见。

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2022-6-25 07:41:30

Rencher【51】，（VGMV，θ>，RGMV，s，η>）条件下的条件分布等于（VGMV，θ>，^RGMV，s，η>）的分布，其中^RGMV=^u>^∑-1>^Σ-1、▄s=▄u>^Q▄u和▄η=L^Q▄u▄u>^Q▄u，（2.1），而它们的种群对应物我们表示为：▄RGMV=▄u>∑-1>Σ-1，s=u>Qu，和η=LQu>Q。（2.2）让symbold=表示分布中的相等。在定理2.1中，我们给出了^VGMV、^θ、^RGMV、^s和^η的联合随机表示，将在下一节中用于描述有效前沿上的投资组合权重分布。证据见附录。定理2.1。设x，x。。。，xnbe独立且正态分布，平均向量u和协方差矩阵∑，即xi~ 对于i=1，…，Np（u，∑）。。。，n，其中n>p。定义M=（L>，|u，1）>，并假设秩（M）=k+2。设∑为正定义。然后，由（i）VGMVd=VGMVn给出了^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的联合随机表示-1ξ;（ii）^RGMVd=RGMV+√VGMVz√n个+√英尺√n-p+1;（iii）^θd=θ+pVGMVsη+z/√n√英尺√n-p+1+LQL>-（sη+z/√n）（sη+z/√n） >f！1/2s1+tn-p+1吨√n-p+2！；（iv）^sd=（n- 1)1+tn-p+1fξ，f=ξn+sη+z√n>LQL>-1.sη+z√n; （2.3）（v）^ηd=sη+z/√nf公司+√fLQL>-（sη+z/√n）（sη+z/√n） >f！1/2×q1+tn-p+1吨√n-p+2t√n-p+1+Ik+ftt>n-p+21/2吨√n-p+3式中ξ~ χn-p、 ξ~ χn-p+2，ξ~ χp-k-1.nu>Au，z~ N（0，1），z~ Nk（0，LQL>），t~ t（n- p+1），t~ tk（n-p+2）和t~ tk（n-p+3）相互独立，a=Q- QL>LQL>-1LQ。（2.4）定理2.1的结果提供了一种简单的方法，可以从^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的样本分布中得出观测值。值得注意的是，在一次模拟运行中，应该只模拟来自已知分布的随机变量。

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能者818

2022-6-25 07:41:33

此外，独立模拟变量的总维数等于（3k+5），这在使用直接模拟时是非常重要的，直接模拟是基于从aWishart分布绘制p×p矩阵和从正态分布绘制p维向量。为此，我们指出，（iii）和（v）中的平方根都可以解析计算，这将进一步有助于加速模拟研究。该观察结果基于以下两个等式（D-bb>）1/2=D1/2我-cD光盘-1/2bb>D-1/2（2.5）式中，D1/2是D和c的平方根=（1-√1.-b> D-1b）/b>D-1b和（I+dd>）1/2=I+add>（2.6），其中a=(√1+d>d-1） /d>d。因此，它认为lql>-（sη+z/√n）（sη+z/√n） >f！1/2(2.7)=LQL>1/2Ik-1.-qξnff-ξnLQL>-1/2sη+z/√nsη+z/√n>LQL>-1/2和Ik+ftt>n-p+21/2=Ik+s1+ft>tn-p+2- 1.因此，定理2.1中给出的随机表示矩阵的逆矩阵和平方根仅是总体量的函数。因此，与生成的样本长度无关，它们都应该只计算一次。当仿真基于生成样本协方差矩阵和样本平均向量的实现时，这种情况不再存在。综上所述，我们获得了一种高效的算法，可以在相对较短的时间内从^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的样本分布中生成任意大尺寸的样本。定理2.1的另一个重要应用是从最优投资组合权重及其估计特征的样本分布中进行有效抽样，这将在下一节详细讨论。

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2022-6-25 07:41:36

这些结果将用于评估估计最优投资组合权重的有限样本属性。3最优投资组合权重的精确抽样分布属于有效前沿的最优投资组合的权重具有以下结构wg=wGMV+g（RGMV，VGMV，s）v（3.1），其k线性组合表示为lwg=θ+g（RGMV，VGMV，s）η，（3.2），其中函数g（RGMV，VGMV，s）确定了最优投资组合的特定类型。值得注意的是，该函数仅依赖于三个量RGMV、VGMV和s上的u和∑，这三个量完全决定了均值-方差空间中的整个有效前沿。通过考虑（3.2）的一般形式，我们能够涵盖许多著名的最优投资组合：全球最小方差（GMV）投资组合、均值方差（MV）投资组合、预期最大指数效用（EU）投资组合、相切（T）投资组合、夏普比（SR）最大化的最优投资组合、rsik（MVaR）投资组合的最小值，以及最小条件风险价值（MCVaR）投资组合、最大回报价值（MVoR）投资组合、最大条件回报价值（MCVoR）投资组合等。表1提供了每个最佳投资组合的g（，，，，）的具体选择。投资组合g（RGMV、VGMV、s）额外数量GMV 0MV RGMV- uu∈ R-目标预期回报Euγsγ>0是风险规避系数VGMVs/（RGMV- rf）rf是无风险回报sr VGMVs/RGMVMVaR spVGMV/（zα）- s） zα=Φ-1（α）MCVaR spVGMV/（kα）- s） kα=经验值{-zα/2}/（2π（1- α））MVoR（RGMV+v）s+√zαs（（RGMV+v）+（s-zα）VGMV）zα-sv>0是riskMCVoR（RGMV+k）s的目标值+√kαs（（RGMV+k）+（s-kα）VGMV）kα-SKI风险的目标条件值表1：为几个最优投资组合选择函数g。

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2022-6-25 07:41:39

符号Φ（.）表示标准正态分布和Φ的分布函数-1(.) 代表其反面。设^wg表示（3.2）中一般形式中给出的最优投资组合权重的样本估计量，该估计量是通过插入样本平均向量和样本协方差矩阵而不是未知的总体对应项获得的。然后，最优投资组合权重的k个线性组合由l^wg=^θ+g（^RGMV，^VGMV，^s）^η估计。（3.3）根据定理2.1，根据（3.3）的随机表示推导出（3.3）的精确抽样分布。结果总结在定理3.1中，其证明来自定理2.1。定理3.1。在定理2.1的条件下，它认为L^wgd=θ+sVGMVft√n-p+1+g（^RGMV，^VGMV，^s）f！sη+z/√n+LQL>-（sη+z/√n）（sη+z/√n） >f！1/2pVGMVs1+tn-p+1+g（^RGMV、^VGMV、^s）√英尺/√n-p+1q1+tn-p+1！t型√n-p+2+g（^RGMV、^VGMV、^s）√f×Ik+ftt>n-p+21/2吨√n-p+3（3.4），其中^VGMV、^rgmv和^s的联合随机表示在定理2.1的（i）-（v）中给出。从定理3.1的发现中，我们可以得出许多重要结果。首先，他们为最优投资组合权重的估计量的抽样分布提供了一个完整的特征。这种分布可以通过从导出的相对较大尺寸的随机表示中抽取具有独立观测值的样本来评估，然后应用成熟的统计方法来估计分布函数、密度、矩等。其次，定理3.1中获得的随机表示提供了一种从L^wg的有限样本分布生成样本的有效方法，遵循第2节在定理2.1之后提供的讨论，该讨论基于从已知的单变量和多变量分布中提取独立分布。

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2022-6-25 07:41:42

为此，我们注意到，（3.4）中的两个平方根应按照（2.7）和（2.7）中的规定进行计算。因此，导出的随机表示仅包括总体矩阵的逆方根和平方根，因此，在整体模拟研究期间，这些对象只能计算一次。当估计最优投资组合权重的抽样分布的观测值通过其相应的定义获得时，即通过从Wishart和正态分布生成独立样本，情况就不再如此了。第三，对于模拟研究中使用的人口数量的选择值，我们可以构建最优投资组合权重的集中集。第四，关于L^wg抽样分布的一个重要概率结果直接来自导出的随机表示。即，L^wg的有限样本分布仅取决于RGMV、VGMV、s、θ、η和LQL上的总体平均向量u和总体协方差矩阵∑。当必须绘制L^wg分布的样本时，仅需确定这七个数量。特别是，在单一线性组合的情况下，即当k=1时，我们只需确定六个独立于数据生成过程的维度p的单变量量。以类似的方式，我们推导了最优投资组合估计特征的统计推断，并给出了权重^wgas（3.1）。权重为（3.1）的最优投资组合的预期收益由g=RGMV+g（RGMV，VGMV，s），（3.5）给出，而其方差为VG=VGMV+g（RGMV，VGMV，s）。

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2022-6-25 07:41:45

（3.6）类似地，VaR、CVaR、VoR和CVoR由V aRg=-（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-zαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s，（3.7）CV aRg=-（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-kαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s，（3.8）和by symmetryV oRg=（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-zαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s，（3.9）CV oRg=（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-kαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s.（3.10）在（3.5）-（3.10）中插入样本均值向量和样本协方差矩阵，而不是人口对应项，我们得到了最优投资组合特征的样本估计量。定理2.1的应用导致了关于其（联合）采样分布的陈述，如定理3.2定理3.2所示。在定理2.1的条件下，最优投资组合估计特征的随机表示如（3.5）-（3.10）所示，其中RGMV、VGMV和s被其样本对应的^RGMV、^VGMV和^s替换为^VGMV=VGMVn-1ξ，^RGMVd=RGMV+sVGMVn1+p-1n-p+1ψz、 ^sd=（n-1）（p- 1） n（n-p+1）η，其中ξ~ χn-p、 ψ~ F（p- 1，n- p+1，ns），z~ N（0，1）是相互独立的。附录中给出了定理3.2的证明。必须注意的是，所有六个估计量（^Rg、^Vg、dV aRg、dCV aRg、dV oRg、dCV oRg）的联合分布完全由三个相互独立的随机变量ξ、ψ和z以及标准边际单变量分布确定。此外，它仅依赖于三个单变量量RGMV、VGMV和s上的未知总体平均向量和协方差矩阵，这三个单变量量唯一地确定了均值-方差空间中的整个有效前沿。为此，估计的最优投资组合特征的随机表示似乎比定理3.1中获得的最优投资组合权重的相应估计更简单。

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2022-6-25 07:41:48

类似地，通过使用第3.2条的结果，可以有效地得出联合分布（^Rg、^Vg、dV aRg、dCV aRg、dV oRg、dCV oRg）的独立实现。定理3.2导出的理论结果的另一个有趣的金融应用出现在欧盟投资组合的情况下，其样本预期收益率和样本方差超过以下随机表示：REUd=RGMV+γ-1^s，（3.11）^VEUd=^VGMV+γ-2^s.（3.12）因此，鉴于有效前沿的估计斜率参数，似乎^reu和^reu条件独立。只有在极限情况下，当风险规避系数γ变得一致时，即欧盟投资组合位于有效前沿的顶点，因此与GMV投资组合一致，这两个估计的投资组合特征变得无条件独立。在所有其他情况下，它们之间的依赖关系完全由效率边界的估计几何体来捕获。4高维渐近分布第3节和第4节导出的随机表示在推导最优投资组合权重估计量的渐近分布及其估计特征时也非常有用。为此，我们注意到，无论数据生成过程p的维度假设为fix，还是允许其与额外可用于分析高维最优投资组合结构的样本量一起增长，都可以单独使用相同的方法。统计文献对这两种制度进行了深入讨论。前一种渐近状态，即固定p，称为“标准渐近”（参见Le Cam和Yang[44]）。这里，样本均值和样本协方差矩阵都被证明是对应总体对应的一致估计量。当p与n相当时，挑战会增加，即。

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mingdashike22

2022-6-25 07:41:51

维度p和样本量n都趋于一致，而它们的比率p/n趋于正常数c∈ [0，1），即所谓的浓度比。它被称为“大维渐近”或“Kolmogorov渐近”（c.f.，B–Uhlmanand Van De Geer[23]，Cai和Shen[24]），而c=0的情况对应于标准渐近。尽管如此，在高维渐近条件下，对仅包括样本平均向量或样本协方差矩阵的泛函的渐近行为进行了大量研究（参见，例如，Bai和Silverstein【5】、Cai等人【25】、Wang等人【56】、Bodnar等人【10】、Bodnar等人【14】、Bodnar等人【8】，当表达式中同时存在样本平均向量和样本（逆）协方差矩阵时，情况变得更加复杂。这个问题仍然没有解决，吸引着研究者和实践者。在本节中，我们将展示如何利用第2节和第3节的导出随机表示来推导估计最优投资组合的高维渐近分布及其特征。基于随机表示的建议方法的主要优点是，它们清楚地将确定性量与随机量分开，后者的联合渐近分布可以确定。在本节中，我们将对涉及总体平均向量和总体协方差矩阵的函数施加以下技术条件：（A1）存在m和m，使得0<m≤ u>Σ-1u ≤ M<∞ 和0<m≤ 1>Σ-11≤ M<∞ （4.1）在p。

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2022-6-25 07:41:54

此外，对于由p维向量l确定的最优投资组合权重的线性组合，它认为0<m≤ l> ∑-1升≤ M<∞ （4.2）p中一致。假设（A1）的财务解释基于这样一个事实，即它确保有效前沿RGMV、VGMV和s的参数以及最佳投资组合权重的K线性组合的组成部分都是有限的数字。从数学上讲，随着p的增加，某些数量的RGMV、VGMV、s和Lwgtend变为单位，这可能取决于u和∑。在这种情况下，应将（4.1）和（4.2）中的常数m和m替换为p-κm和p-κM表示一些κ>0。这种方法只会导致本节中导出的渐近协方差矩阵的表达式发生微小变化，其中一些术语可能会消失（类似讨论见Bodnar等人[13]）。为此，通过滥用符号，我们对涉及总体平均向量u和总体协方差矩阵∑及其相应确定性极限的函数使用相同的符号。例如，u>∑-1u也将用于表示limitlimp→∞u>Σ-1u. 从使用数量的文本中，可以清楚地理解数量。4.1^VGM V、^RGM V、^θ、^s和^η的高维渐近分布在给出估计最优港口权的高维渐近结果及其特征之前，我们推导了五个数量^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的渐近随机表示。定理4.1中给出了几个独立正态分布随机变量/向量。这样的表述还允许刻画渐近依赖结构^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η，以及推导定理4.1之后给出的渐近协方差矩阵的表达式。定理4.1。

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2022-6-25 07:41:57

在定理2.1和假设（A1）的条件下，它认为（i）√n-p^VGMV-1.-p/n1-1/nVGMVd→√2(1 -c） VGMVu，（二）√n-p^RGMV- RGMVd→√VGMV√1.-铜+√硫+铜,（三）√n-p^θ - θd→√VGMV苏√s+cη+LQL>-ss+cη>1/2件,（四）√n-p^s-（序列号+序列号）（1）-1/n）1-零件号+2件d→1.-cp2（1-c）（c+2u>Au）u+2sp（1-c） η>（LQL>）-1/2件+√2（s+c）u！，（五）√n-p^η -ss+零件号ηd→√s+cLQL>-ss+cη>1/2件+√1.-c（s+c）LQL>- 2ss+cηη>！（LQL>）-1/2件-sq2（1-c） p/n的（c+2u>Au）u（s+c）η→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 其中u，u，u，u，u，u，u，u，uare相互独立，u，u，u，u，u，u~ N（0，1）和u，u，u~ Nk（0，Ik）。定理4.1的陈述总结了几个有趣的结果，其证明见附录。我们观察到三个量与GMV投资组合的权重和特征的估计量有关，即有效前沿上的顶点，面积与效率边界的估计斜率参数无关，该参数决定了效率边界的曲率以及与所选最优投资组合在效率边界中的位置相关的自融资投资组合η的估计权重。此外，根据定理2.1的有限样本结果，GMV投资组合的样本方差似乎与其估计的预期收益率和权重估计值无关。然而，令人惊讶的是，^θ和^rgmv之间的偏差部分由估计的自我融资投资组合^ηdu决定，其确定性表达式接近于√n-p^RGMV- RGMV和√n-p^θ - θ. 最后，定理4.1中导出的随机表示的直接应用导致了推论4.1中给出的渐近协方差矩阵的表达式。推论4.1。

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能者818

2022-6-25 07:42:00

在定理2.1和假设（A1）的条件下，它认为√n-p^VGMV-1.-p/n1-1/nVGMV^RGMV- RGMV^θ- θ^s-（序列号+序列号）（1）-1/n）1-p/n+2/n^η-ss+零件号η→ N2k+3（0，Ξ）带Ξ=2VGMV（1-c） 0 0 0 0 00 VGMV（1+s）VGMVη>0 0 0 VGMVηVGMVLQL>0 0 0 0Ξs，sΞ>s，η0 0 0Ξs，η0Ξη，η对于p/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 式中，Ξs，s=2（c+2s）（1-c） +2（s+c）（1-c），（4.3）Ξη，η=s+1（s+c）LQL>-s（2c（1-c） +（s+c））（s+c）ηη>，（4.4）Ξs，η=2s2c-s+4u>Au）（s+c）η。4.2最优投资组合权重的高维渐近分布定理4.1的结果用于推导估计最优投资组合权重^wg的高维渐近分布以及第3节给出的该投资组合的相应估计特征。设^λ=（^RGMV，^VGMV，^s）>和λ=RGMV，（1-c） VGMV，s+c1-c>（4.5）其中定理4.1的结果表明^RGMV- RGMV=oP（1），^VGMV- (1 - c） VGMV=oP（1），^s-s+c1-c=oP（1），其中oP（1）a.s。→ 0表示p/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞.在本节中，假设函数g（x，y，z）与前向连续导数和负导数（x，y，z）不同=g（x，y，z）x个（x，y，z）=（x，y，z），g（x，y，z）=g（x，y，z）y（x，y，z）=（x，y，z），g（x，y，z）=g（x，y，z）z（x，y，z）=（x，y，z）。定理4.2给出了L^wg的渐近分布，并在附录中给出了证明。定理4.2。设g（，，，，.）与一阶连续导数不同。然后，在定理2.1和假设（A1）的条件下，我们得到√n-pL^wg-θ+sg（λ）s+p/nηd→ Nk（0，Ohm五十、 g）（4.6）对于零件号→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 具有Ohm五十、 g级=1.-cs+c+g（λ）g（λ）s+c+VGMVLQL>+s（（1-c） VGMV（s+c）g（λ）+g（λ）1-c-g（λ）s+c2(1 -c） c（s+c）+4（1-c）（s+c）“g（λ）g（λ）1-c-g（λ）s+c+ sg（λ）1-c-g（λ）s+c#+VGMV（1-c）（s+c）g（λ）+VGMV（s+c）g（λ）+1-cg（λ）-g（λ）（s+c））ηη>。

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2022-6-25 07:42:03

（4.7）在欧盟投资组合的特殊情况下，我们得到g（x，y，z）=γ-1z，g（x，y，z）=g（x，y，z）=0，和g（λ）1-c-g（λ）s+c=1-cγ-1.-γ-1（s+c）（1-c）（s+c）=0。结果表明，L^wEUis的渐近协方差矩阵表示为Ohm五十、欧盟=1.-cs+c+γ-1s+c1-cγ-11-c+VGMVLQL>+（1-2c）γ-2s（1-c） ηη>。（4.8）同样，得到了估计最优投资组合特征的高维渐近分布。以下（3.5）-（3.10），（Rg、Vg、V aRg、CV aRg、V oRg、CV oRg）仅为RGMV、VGMV和s的功能。另一方面，定理4.1确定了^RGMV、^VGMV和^s的联合高维渐近分布，表示为√n-p^RGMV- RGMV^VGMV-1.-p/n1-1/nVGMV^s-（序列号+序列号）（1）-1/n）1-零件号+2件→ N（0，ΞRV s）用于p/N→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 带ΞRV s=VGMV（1+s）0 00 2VGMV（1-c） 0 02（c+2s）（1-c） +2（s+c）（1-c）,这表明（^RGMV，^VGMV，^s）是渐近独立分布的。设hg，i（RGMV，RGMV，s）用权重wg表示最优投资组合的第i个特征，设hg，i^λ代表（4.5）中定义λ的估计样本。hg，i（.）的j阶一阶偏导数在λ处，我们用hg，i表示；j（λ）。然后，我们得到了关于估计最优投资组合特征的高维分布的以下结果，其证明来自定理4.2的证明。定理4.3。设hg，i（，，，.），i=1。。。，q、与一阶连续导数不同。然后，在定理2.1和假设（A1）的条件下，我们得到√n-p汞，1^λ- hg，1（λ）。。。hg，q^λ- hg，q（λ）→ 零件号的Nq（0，Ξh）→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 用Ξh=（Ξh；ij）i，j=1，。。。，qwhereΞh；ij=Xl=1ΞRV s；llhg，i；l（λ）hg，j；l（λ）。

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mingdashike22

2022-6-25 07:42:06

（4.9）4.3区间估计和高维检验理论定理4.2和4.3的结果表明，L^wg和hg，i^λ, i=1。。。，q、是L^wg和hg的不一致估计量，i（RGMV，VGMV，s），i=1。。。，q、分别为。而最优投资组合权重线性组合样本估计量的渐近偏差ss+cg（λ）- g（RGMV、VGMV、s）η、第i个投资组合特征估计量的渐近偏差为hg，i（λ）-hg，i（RGMV，VGMV，s）。另一方面，定理4.1的结果已经为vgmv、RGMV、θ、s和η提供了一致的估计量。即，它们由^VGMV给出；c=^VGMV1-零件号，（4.10）^RGMV；c=^RGMV，（4.11）^θc=^θ，（4.12）^sc=n-pn编号^s-pp+n, （4.13）^ηc=^sc+p/n^sc^η。（4.14）结合这些等式，我们推导出L^wg和hg，i（RGMV，VGMV，s）的一致估计量，表示为L^wg；c=^θ+g^RGMV；c、 ^VGMV；c、 ^sc^ηc（4.15）和^hg，i，c=hg，i^RGMV；c、 ^VGMV；c、 ^sc. （4.16）在定理4.4中，给出了最优投资组合权重一致估计的渐近协方差矩阵及其特征。定理4.4。设λ=（RGMV，VGMV，s）>。

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mingdashike22

2022-6-25 07:42:09

然后，在定理4.2和4.3的条件下，它认为（a）√n-p（L^wg；c- Lwg）d→ Nk（0，Ohm五十、 g、c）用于p/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 具有Ohm五十、 g、c=1.-cs+c+s+csg（λ）g（λ）s+VGMVLQL>（4.17）+s（（1-c） VGMVs（s+c）g（λ）+g（λ）（s+c）s-g（λ）s2(1 -c） c（s+c）+4（1-c）（s+c）“s+csg（λ）g（λ）（s+c）s-g（λ）s+ sg（λ）（s+c）s-g（λ）s#+VGMV（1-c） sg（λ）+VGMVsg（λ）+2（1-c）（s+c）sg（λ）-g（λ）s）ηη>；（b）√n-p^hg，1，c- hg，1（λ）。。。^hg，q，c- hg，q（λ）→ 零件号的Nq（0，Ξh，c）→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 用Ξh，c=（Ξh，c；ij）i，j=1，。。。，qwhereΞh，c；ij=VGMV（1+s）hg，i；1（λ）hg，j；1（λ）+2VGMVhg，i；2（λ）hg，j；2(λ)+2s+4s+2chg，i；3（λ）hg，j；3(λ) .因为两者Ohm五十、 g、candΞh、cdepend on unobserveable quantity，we have to estimated themestical under the high-dimensional渐近机制，when confidence region for the optimal portfolio weights and for the optimal portfolio characteristics，be derivered the optimal dimensional渐近机制下，我们。VGMV、RGMV、θ、s和η的一致估计量在（4.10）-（4.14）中给出。类似地，Lql>=L的一致估计量Σ-1.-Σ-1>Σ-1>Σ-1.五十> =L∑-1L>-构造了VGMVθ>。首先，用它们的一致估计量^VGMV代替VGMVandθ；其次，我们使用l>i∑的一致估计量-1LJ具有确定性向量，且满足假设（A1），由（1）给出- 零件号）l>i∑-1lj（c.f.，Bodnar等人【16，引理5.3】）。因此，LQL>始终由（1）估计- p/n）L^QL>和（1.5）中给出的^Q，因此，VGMV、RGMV、θ、s、η和LQL>及其在（4.17）和（4.18）中的一致估计量，我们得到了Ohm五十、 g、C、COhm五十、 g、cand^Ξh、c。

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2022-6-25 07:42:12

例如，欧盟投资组合估计权重的协方差矩阵的一致估计量如下所示：^Ohm五十、欧盟，c=1.-cn^sc+cn+（^sc+cn）γ-1.γ-1+^VGMV；c(1 -cn）L^QL>（4.18）+γ-2(2(1 -cn）cn（sc+cn）+4（1）- cn）cn^sc（^sc+2cn）（^sc+cn）+2（1-cn）cn（^sc+cn）^sc- ^sc）^ηc^η>c，其中cn=p/n。建议的一致估计量Ohm五十、 g，candΞh，用于推导（1- β）总体最优投资组合权重的渐近置信区间及其特征。在k个最优投资组合权重的线性组合的情况下，wgwe getCL，g；1.-β=nω：（n- p）（L^wg；c）- Lwg）>^Ohm-1L、g、c（L^wg；c- Lwg）≤ χk；1.-βo，（4.19）式中χk；1.-β表示（1- β） k自由度χ分布的分位数。最后，利用区间估计和检验理论（c.f.，Aitchison[2]）之间的对偶性，可以导出最优投资组合权重的k线性组合与预选向量r相等的检验。也就是说，只要r不属于置信区间CL，g，就必须拒绝无效假设HLwg=r，而在显著性水平β上支持替代假设HLwg=r；1.-β如（4.19）所示。在最优投资组合特征的情况下也得到了类似的结果。5有限样本性能和稳健性分析本节通过广泛的蒙特卡罗研究，研究了估计最优投资组合权重抽样分布的衍生高维渐近近似的有限样本性能。此外，我们还研究了已知的渐近分布对违反正态性假设的鲁棒性。

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何人来此

2022-6-25 07:42:15

模拟研究中将考虑以下两种模拟场景：场景1多元正态分布：资产收益率样本x，x。。。，xnare独立于Np生成（u，∑）；情景2多元t分布：资产收益率样本x，x。。。，xnare由多变量t分布独立生成，自由度d=10，位置参数u，尺度矩阵xD-2d∑。这种尺度矩阵的选择确保XI的协方差矩阵为∑。情景1对应于本文理论结果推导中使用的假设，而情景2则违反了这一假设，允许资产收益率分布出现重尾。在这两种情况下，u的成分均由U生成(-0.2, 0.2).协方差矩阵∑的特征值是固定的，其中20%等于0.2，40%等于1，40%等于5，而其特征向量是通过Haardistribution模拟的。此外，我们将n=1000和c∈ {0.5, 0.9}. 模拟研究的结果以五个数量^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s和^η以及γ=20且L=（1，0，0，…，0）的欧盟投资组合第一权重的估值器为例进行说明。图1：^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuin的标准化量的QQ图，与它们的高维渐近分布进行比较。从Scenario1生成的数据，c=0.5。在图1至图4中，显示了六个估计量的QQ图，其中，从定理4.1和4.2中给出的高维渐近近似中获得的理论量与通过使用图2获得的精确量进行比较：标准化量^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η的QQ图，和L^weuin将其与高维渐近分布进行比较。

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kedemingshi

2022-6-25 07:42:18

从Scenario1生成的数据，c=0.9。定理2.1和3.1的随机表示，其中每个估计量的有限样本分布通过使用B=5000个独立样本来近似表示，即B=1时的^V（B）GMV、^θ（B）GMV、^R（B）GMV、^s（B）、^η（B）和L^w（B）eu。。。，B、为此，我们注意到，REMS 2.1和3.1的应用提供了一种有效的方法来生成样本^V（B）GMV、^θ（B）GMV、^R（B）GMV、^s（B）、^η（B）和L^w（B）EU，这也避免了逆样本协方差矩阵的计算，这可能是大维度中定义不良的对象，尤其是当c=0.9时。在图1和图2中，我们显示了场景1后多元正态分布情况下的QQ图。我们在图中观察到，高维渐近分布为中等浓度比OC=0.5及其大值c=0.9提供了良好的近似值。当c=0.9时，在近似^s分布的情况下，近似值似乎是最差的，因为尾部变得比近似值能够解释的要重得多。在图3和图4中，我们可以看到SAM的高维渐近近似图3：^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuin的标准化量的QQ图与其高维渐近分布进行比较。从Scenario2生成的数据，c=0.5。当收益被假设为多元t分布时，^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuwu的pling分布效果良好。仅在^s和^VGMVwhen c=0.9的情况下，才存在与渐近正态性的小偏差。此外，当c=0.5时，这两个量存在一个小的正偏差，这可以通过高维协方差矩阵逆估计中重尾的影响来解释。

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2022-6-25 07:42:21

另一方面，渐近方差似乎很接近定理4.1和4.2的结果。尽管违反了分布假设，所有其他量都表现出良好的性能。当资产范围变大时，我们还观察到与场景1中的^s相同类型的偏态。本文推导了一大类最优投资组合权重估计量的精确抽样分布及其估计特征。结果如图4所示：将^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuin的标准量的QQ图与其高维渐近分布进行比较。从Scenario2生成的数据，c=0.9。随机表示提供了一种简单的方法来评估估计的最优投资组合权重的抽样分布。导出的随机表示法的另一个重要应用是，它展示了如何高效地生成来自相应（联合）采样分布的样本，从而排除每次模拟运行中样本协方差矩阵的反转。此外，导出的随机模拟大大简化了高维渐近区域下估计量的渐近性质的研究。通过广泛的模拟研究，研究了获得的精确采样分布的渐近近似的有限样本性能，其中还研究了偏离模型假设的情况。虽然从正态分布模拟数据集时观察到了非常好的性能，但当违反正态性假设时，在渐近均值和渐近方差中存在一些偏差。尽管如此，在后一种情况下，正常近似值似乎也提供了很好的拟合。

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