显示了第3.1节和附录S.1中所述的水平面板中的四个DGP、垂直面板中的测试假设和不同样本的结果。S、 9表S.2：包含测试的预测经验规模。H（1）H（2）Str ES Aux ES VaR ES VaR Str ES Aux ES VaR ES VaRn GARCH500 9.20 9.30 13.90 17.50 8.75 9.30 13.45 17.551000 6.90 6.45 11.40 14.40 6.90 6.35 12.65 17.102500 6.35 6.40 11.10 13.55 5.90 5.75 9.85 12.055000 5.65 5.25 8.65 9.75 5.00 5.05 9.00 10.65 N VaR/ES GAS500 17.75 18.65 16.00 20 20 13.35 13.20 17.35 20.601000 13.75 13.30 13.10 16.50 11.00 11.05 12.65 16.552500 9.65 9.70 10.05 12.20 6.857.10 9.90 12.955000 7.80 7.10 8.25 9.80 5.45 5.70 8.65 12.05n气体-t500 14.50 14.30 14.40 14.50 11.80 11.50 13.90 16.201000 11.80 11.75 12.30 13.75 7.90 8.10 9.60 11.002500 7.00 6.85 9.85 9.75 6.05 6.05 7.25 9.405000 7.05 7.05 9.50 8.85 5 5 5.30 5.35 6.65 7.15n ES-CAViaR500 6.75 5.5 95 9.15 12.90 7.20 5.75 9.70 13.801000 7.00 6.15 8.40 11.05 6.35 5.30 7.85 10.652500 5.10 4.45 5.60 8.05 5.05 4.40 6.208.705000 5.40 4.80 5.20 7.15 5.25 5.10 5.00 6.85注：本表列出了ES的三个预测包含测试的经验大小（单位%），以及Giacomini和Komunjer（2005）针对5%名义大小的VaR包含测试。

显示了第3.1节和附录S.1中所述的水平面板中的四个DGP、垂直面板中的测试假设和不同样本的结果。S、 10表S.3：两个额外DGPsH（1）H（2）Str ES Aux ES VaR ES VaR ES Str ES Aux ES VaR ES ES VaR ES VaR ES VaR ES VaRn GAS-t500 21.95 21.75 20 19.50 18.10 18.20 21.751000 18.75 18.35 18.75 19.35 14.25 13.95 13.80 17.452500 12.40 12.05 15.45 14.90 11.65 11.75 12.55 15.855000 12.50 15.25 14.50 9.60 9.20 11.50 12.90n ES-CAViaR500 12.95 11.80 13.55 19.00 13.05 11.55 15.05 19.401000 12.3011.70 12.70 17.25 11.40 10.60 11.95 16.502500 10.35 9.45 9.65 13.75 10.85 9.55 10.20 13.105000 9.65 9.65 10.65 12.65 10.35 9.75 10.20 11.70注：此表显示了我们对ES的三个预测包含测试的经验大小（单位%），以及Giacomini和Komunger（2005）对10%名义大小的VaR包含测试。

结果显示了附录S.1中所述的水平面板中的两个附加DGP、垂直面板中的两个测试假设以及不同样本量的结果。S、 11表S.4：不同损失函数的经验测试大小。H（1）H（2）Str ES Aux ES VaR ES Str ES Aux ES VaR ESn GARCH DGP和φ（z）=1/√-z500 13.80 14.30 19.40 14.60 14.90 19.101000 13.40 13.00 17.90 13.00 12.70 17.502500 10.90 10.60 15.70 11.20 11.00 13.205000 10.30 10.40 14.50 9.30 9.70 14.00n GARCH DGP和φ（z）=-1/z500 14.80 14.60 19.30 14.50 14.50 18.301000 12.40 11.60 16.00 14.10 14.10 18.402500 12.20 11.60 16.10 10.70 10.30 14.505000 11.00 10.80 15.30 9.90 10.30 13.60n VaR/ES气体DGP和φ（z）=1/√-z500 27.60 27.30 24.30 20.70 20.20 23.201000 22.10 21.60 19.10 17.60 17.10 18.902500 15.00 16.40 14.90 14.60 14.80 17.905000 13.30 13.00 14.70 12.00 12.30 14.20n VaR/ES气体DGP和φ（z）=-1/z500 30.90 31.00 26.70 21.60 21.90 21.901000 22.90 22.70 22.80 17.70 17.60 18.102500 15.00 14.80 16.30 13.90 13.80 15.905000 11.00 11.80 12.50 11.70 11.30 13.70注：本表列出了我们对ES进行的三次预测试验的经验尺寸（单位%），其中包括对两个严格一致的损耗函数和第3.1节所述的两个DGP进行的标称尺寸为10%的试验。

第一和第三水平面板考虑选择g（z）=0和φ（z）=1/√-（3.7）中损失函数中的z，而第二和第四个面板考虑选择g（z）=0和φ（z）=-1/z.S.12表S.5：不同链接函数的经验大小。H（1）H（2）Str ES Aux ES VaR ES Str ES Aux ES VaR ESn A FFNE Link：GARCH DGP500 12.93 11.52 13.83 14.21 12.31 14.011000 14.20 12.70 14.00 11.80 9.70 13.702500 13.20 11.40 13.40 11.70 9.90 12.805000 11.60 9.90 11.80 12.20 9.60 15.60 N A FFNE Link：VaR/ES GAS DGP500 23.52 22.72 15.82 14.70 13.70 13.50 10 501000 21.30 18.20 14.60 10.90 10.40 13.002500 16.20 14.30 12.80 10.50 9.80 12.805000 13.80 11.00 10.709.90 9.90 12.00n有效链接：GAS-t DGP500 18.63 16.72 15.21 12.80 10.50 11.401000 12.90 10.30 12.00 11.20 9.00 8.802500 12.80 11.20 12.20 10.50 8.90 9 205000 15.10 12.90 12.70 12.80 9.70 10.60n有效链接：ES CAViaR DGP500 11.88 10.39 11.56 11.33 10.40 11.541000 12.45 12.75 14.26 12.42 10.71 11.012500 9.80 9.40 10.30 12.10 11.90 12.005000 8.50 8.60 9.80 10.40 10.30 10.80n非线性链接：非线性DGP500 8.12 8.82 13.53 8.82 8.72 16.031000 8.70 9.10 14.80 8.90 9.10 13.602500 10.40 10 11.90 9.50 10 10.10 14.305000 11.30 11.30 17.20 11.10 10 10 10.80 12.50注：此表显示了我们三个预测中的经验大小（单位%），其中包括第3.3节所述的10%标称大小的ES和非线性链接函数。上面四个水平面板考虑了第3.1节和附录中所述四个DGP的a ffine链路功能。1.

最下面的面板显示了（3.10）中描述的基于非线性GARCH DGP的非线性链接函数的结果。S、 13秒。14秒。15秒。16秒。17表S.10:IBM股票VaR和ES预测的平均损失。面板A：预测组合损失和联合风险，包括权重模型损失HS RM GJR GAS G1F G2F ASES SAVESHS 1.544 1.369 1.381 1.358 1.380 1.375 1.326 1.324RM 1.504 1.370 1.365 1.368 1.370 1.325 1.321GJR 1.476 1.363 1.375 1.376 1.324 1.320GAS 1.420 1.360 1.363 1.324G1F 1.403 1.375 1.323 1.318G2F 1.382 1.322 1.316ASES 1.329 1.322SAVES 1.325面板B：预测组合损失&包含重量的严格ES模型损失HS RM GJR气体G1F G2F ASES SAVESHS 1.544 1.369 1.378 1.355 1.380 1.367 1.334 1.323RM 1.504 1.370 1.364 1.369 1.372 1.324 1.320GJR 1.476 1.361 1 1 1.375 1.376 1.323 1.320气体1.420 1.359 1.364 1.326 1.323G1F 1.403 1.370 1.325 1.317G2F 1.382 1.323 1.317ASES 1.329 1.320节省1.325面板C：预测组合损失和风险值，包括权重模型损失HS RM GJR气体G1F G2F ASES SAVESHS 1.120 0.993 1.002 0.988 0.998 0.997 0.971 0.969RM 1.008 0.998 0.994 0.988 0.989 0.970 0 0.970GJR 1.010 0.996 0.992 0.994 0.971 0.970气体1.008 0.985 0.988 0.969 0.970G1F 1.022 0.993 0.971 0.969G2F 0.998 0.971 0.969气体0.979 6 0.968节省0.970注：此表显示了第4节中描述的八个独立模型的平均样本外预测损失以及各自的具有IBM股票估计权重的线性预测组合。标有“损失”的列报告了各个预测模型的平均损失，其余八列报告了预测组合的平均损失以及各自的估计组合参数。

在A组中，估计权重来自“联合VaR和ES包含测试”（或等效于“辅助ES包含测试”）的基础回归，B组来自“严格ES包含测试”，C组来自“VaR包含测试”。面板C中的值乘以10。面板A和B中给出的损失参考（2.8）中给出的联合VaR和ES损失函数，而面板C中的值是通过使用分位数特定的分段线性损失函数获得的。S、 18表S.11：标准普尔500指数VaR和ES预测的平均损失。A组：预测组合损失和包含权重的联合风险模型损失HS RM GJR气体G1F G2F ASES SAVESHS 1.267 1.031 0.985 1.020 0.978 0.995 0.948 1.009RM 1.157 0.976 1.014 0.982 0.996 0.0160 1.011GJR 1.070 0.980 0 0.976 0.981 0.962 0.986气体1 0.090.981 0.993 0.993 0.961 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.990.951 0.970.970.981组合损失预测组合包含重量的严格ES模型损失HS RM GJR气体G1F G2F ASES SAVESHS 1.267 1.031 0.986 1.015 0.979 0.998 0.952 1.011RM 1.157 0.976 1.003 0.982 0.996 0.960 1.011GJR 1.070 0 0.980 0 0 0.976 0.981 0.962 0.985GAS 1.090.981 0.992 0.961 1 1 1 1 G1F 1.001 0.981 0.955 0.977G2F 1.009 0.960 0.990 ASES 0.960 0.960节省1.013面板C：预测组合损失和包含权重的VaR模型损失HS RM GJR气体G1F G2F ASES SAVESHS 9.426 7.644 7.407 7.592 7.420 7.464 7.307 7.581RM 7.876 7.382 7.591 7.414 7.442 7.368 7.566GJR 7.630 7.399 7.381 7.369 7.357 7.411GAS 7.876 7.400 7.427 7.364 7.557G1F 7.463 7.404 7.305 7.391G2F 7.539 7.319 7.436ASES 7.414 7.389节省7.608注：此表显示了第4节中描述的八个独立模型的平均样本外预测损失以及各自的标准普尔500指数估计权重的线性预测组合。

标有“损失”的列报告了各个预测模型的平均损失，其余八列报告了预测组合的平均损失以及各自的估计组合参数。在A组中，估计权重来自“联合VaR和ES包容测试”（或等效于“辅助ESencompassing测试”）的基本回归，B组来自“严格ES包容测试”，C组来自“VaR包容测试”。面板C中的值乘以100。

面板A和B中给出的损失参考（2.8）中给出的联合VaR和ES损失函数，而面板C中的值是通过使用分位数特定的分段线性损失函数获得的。S、 19表S.12:DAX 30指数VaR和ES预测的平均损失。面板A：预测组合损失和联合风险，包括权重模型损失HS RM GJR GAS G1F G2F ASES SAVESHS 1.331 1.140 1.117 1.125 1.150 1.150 1.107 1.121RM 1.202 1.116 1.124 1.138 1.136 1.108 1.121GJR 1.159 1.116 1.121 1.124 1.106 1.111GAS 1.166 1.124 1.124 1.124 1.108 1.120G1F 1.152 1.151 1.108 1.120G2F 1.173 1.118 ASES 1.109 1.1051.121面板B：预测组合损失&包含权重的严格ES模型损失HS RM GJR GAS G1F G2F ASES SAVESHS 1.331 1.138 1.118 1.125 1.151 1.148 1.110 1.112RM 1.202 1.116 1.124 1.138 1.131 1.110 1.111GJR 1.159 1.116 1.121 1.124 1.108 1.104 GAS 1.166 1.124 1.123 1.110 1.110G1F 1.152 1.151 1.110 1.111G2F 1.173 1.109 1.106ASES 1.109 1.106 SAVES 1.121C面板：预测组合包含权重的损失和风险值模型损失HS RM GJR气体G1F G2F ASES SAVESHS 9.853 8.362 8.142 8.237 8.416 8.370 8.097 8.276RM 8.622 8.134 8.215 8.330 8.291 8.097 8.277GJR 8.290 8.144 8.167 8.174 8.098 8.140气体8.447 8.235 8.225 8.097 8.235G1F 8.431 8.392 8.097 8.246G2F 8.561 8.097 8.217ASES 8.105 8.084 8.283注：本表显示了第4节所述八个独立模型的样本外预测平均损失以及各自的具有DAX 30指数估计权重的线性预测组合。标有“损失”的列报告了各个预测模型的平均损失，其余八列报告了预测组合的平均损失以及各自的估计组合参数。

在A组中，估计权重来自“联合VaR和ES包容测试”（或等效于“辅助ESencompassing测试”）的基本回归，B组来自“严格ES包容测试”，C组来自“VaR包容测试”。面板C中的值乘以100。面板A和B中给出的损失参考（2.8）中给出的联合VaR和ES损失函数，而面板C中的值是通过使用分位数特定的分段线性损失函数获得的。S、 20秒。4其他图0.70.80.91.00 100 200 300 400 500分位数与ES ForecastSeriesGasasCaviarSavCaviarGas2Figure S.1：该图显示了Creal等人（2013）GAS-t模型模拟路径的真实VaR和ES forecasts^qt/^et的比率，Patton等人（2019）引入的VaR-andES双因素气体模型，Taylor（2019）提出的AS ES鱼子酱模型和SAV ES鱼子酱模型。S、 21岁