图列描述了不同的样本大小，而颜色表示四个不同的包含测试，线型表示两个测试过的无效假设。理想测试显示π=0和H（1）的抑制频率为10%（π=1和H（2）的抑制频率相反），并且随着π值的增加（减少），抑制率尽可能急剧增加。略微不对称意味着测试对气体模型中不同数量驱动因素的规格反应不同。3.3模拟设置的扩展在本节中，我们考虑模拟设置的三个扩展。首先，在第3.3.1节中，我们介绍了两个额外的DGP。其次，在第3.3.2节中，我们分析了我们的测试在VaR和ES对的不同严格一致损失函数下的行为。第三，在第3.3.3节中，我们通过测试包含一个函数和非线性预测组合的预测，使用了两个额外的链接函数。3.3.1预测包括在不同的数据生成过程中，在本小节中，我们考虑了两个额外的DGP，即Crealet al.（2013）的GAS-t模型和Taylor（2019）的ES-CAViaR模型，补充材料第S.1节对此进行了详细描述。这两种模型都超出了纯比例模型的范畴，因此在严格ES包含测试的分位数回归方程中产生了模型误判。

图2给出了这两个DGP的功率曲线，补充材料报告中的表S.3给出了相应的试验尺寸。天然气-工商业污水附加费-鱼子酱0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.00 0.75 1.00 0.00 0.00 0.25 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.000.250.500.751.00π拒绝率测试假设0（1）H0（2）测试严格的ES关节VaR和ES辅助ES VaR图2：该图显示了标称尺寸为10%的包围测试的功率曲线（经验拒绝频率）。绘图行对应于补充材料第S.1节中所述的GAS-t和ES CAViaR DGP。图列描述了不同的样本大小，而颜色表示四个不同的包含测试，线型表示两个测试过的零假设。这两个DGP的结果定性地证实了第3.2节的模拟结果。三个ES特殊测试显示出准确的实证测试规模，尤其是在大样本中，而严格测试和辅助测试通常比联合VaR和ES以及独立VaR包含测试表现出更好的规模特性。增加样本大小会增加DGP和所有考虑的包容测试的功率。值得注意的是，所有测试表明ES CAViaR DGP的功率比其他DGP低得多。该结果与Giacomini和Komunjer（2005）的功率结果相当，因为该DGP是其DGP的略微修改版本。总之，这两个额外的DGP表明，新的ES包含测试在各种实际数据生成过程中表现良好。3.3.2不同损失函数下的预测第2.2节所述ES的三个包含测试规范基于（2.8）中给出的VaR和ES的零齐次联合损失函数。

虽然这种损失函数是最近关于半参数ES模型的文献中最流行的选择（Patton et al.，2019；Bayer and Dimitriadis，2020；Taylor，2019），但对于VaR和ES，存在一整套联合损失函数，Fissler和Ziegel（2016）提出ρ（Y，qα，eα）={Y≤qα}- αg（qα）- 1{Y≤qα}g（Y）+φ（eα）eα- qα+（qα- Y）1{Y≤qα}α- φ（eα）+a（Y），（3.7），其中函数g是两次连续可微分和递增的，φ是三次连续可微分、严格递增和严格凸的，a和g是可积函数（Fissler和Ziegel，2016）。（2.8）中的损失函数是（3.7）的特例，用于选择g（z）=0，φ（z）=-日志(-z） a（z）=0。包含ES的测试通常可以通过使用（3.7）中的任何选项进行设置（充分满足某些进一步的弱正则性条件）。我们考虑以下两个额外规范。根据齐次损失函数理论（Nolde和Ziegel，2017）和线性回归设置中的数值性能（Dimitriadis和Bayer，2019），我们确定g（z）=0，除了φ（z）=-日志(-z） ，我们采用φ（z）=1的选项/√-zandφ（z）=-1/z。图3显示了不同样品尺寸的VaR/ES气体DGP的拒收率以及ES的三个包含测试规范，其中不同的线颜色表示三个不同的损失规范。表S.4在补充材料中，严格地说，定理2.10中的渐近理论仅涵盖（2.8）中基于损失函数的M估计。

然而，通过将本文的方法与Dimitriadisand Bayer（2019）对（3.7）中给出的一般损失函数的扩展相结合，证明和由此产生的渐近协方差矩阵很容易扩展到一般情况。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●严格ES测试联合VaR和ES测试辅助ES测试0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.000.250.500.751.000.250.500.751.00π拒绝率测试假设0（1）H0（2）φ（z）=●- 日志(-z） 1个/-z-1/z图3：该图显示了补充材料第S.1节中所述的三种特定试验的功率曲线（经验抑制频率），包括标称尺寸为10%的VaR/ES气体DGP试验，其中不同的颜色表示试验中使用的不同损失函数，见下文（3.7）。绘图行显示了不同的样本大小，绘图列显示了三个包含测试的不同E，线型指的是测试过的零假设。报告相应的测试大小。我们发现，基于三个不同损失函数的测试几乎没有区别，尤其是在大样本中。这一结果并不意外（尤其是在大样本中，样本平均值很好地逼近了期望值），因为Fissler和Ziegel（2016）表明，（3.7）中的所有损失函数都是通过真实VaR和ES唯一最小化的。对于潜在的误判严格ES包容测试，（2.19）中定义的伪真参数理论上可能取决于潜在损失函数，请注意，图3中使用的VaR/ES GAS DGP允许此类模型误判。

然而，我们发现，无论是采用不同的损失函数，都不会影响严格ES包容测试的拒绝率，也不会影响图3中两个正确规定的兼容测试的拒绝率。这一结果表明，潜在的不同伪真参数几乎完全不受误判的影响。3.3.3不同链接功能下的预测在本节中，我们采用了两个额外的链接功能规范。首先，我们考虑一个有效组合，包括截距gq（^ft，β）=β+β^f1，t+（1- β） ^f2，tand ge（^et，η）=η+ηe1，t+（1- η） ^e2，t，（3.8），其中^ft=^qt用于接头和辅助试验，^ft=^et用于严格试验。对于jointtest，第一个无效假设由H（1）给出：（β*, η*) = （1，1）而对于严格和辅助试验，由H（1）：η给出*= 第二个相反的零假设H（2）是通过将1替换为0得到的。对于a ffne链接函数，我们使用sameDGPs作为基于线性链接函数的包围测试。此外，我们采用非线性链接函数，其中^fti如（3.8）所示，而gq（^ft，β）=β- 经验值β对数(-^f1，t）+βlog(-^f2，t）, andge（^et，η）=η- 经验值η对数(-^e1，t）+ηlog(-^e2，t）,（3.9）我们包括一个截距，因为这可以稳定相关分位数回归的性能。我们不包括经典的凸组合（其中0≤ β≤ 1） 因为我们的理论框架不允许在边界上进行测试（详见Andrews（1999））。我们测试了与（3.1）中描述的线性连接函数相同的零假设。对于非线性链接函数，我们采用了一种略微修改的GARCH DGP。如第3.1节所述，让σ1和σ2 t表示GARCH和GJR GARCHmodels的条件波动率。

然后，我们根据yt+1=exp模拟数据(1 - π） 对数（σ1，t）+π对数（σ2，t）· ut+1（3.10），对于π的21个值的等距网格∈ [0，1]，其中ut+1ID~ N（0，1）。这确保了对于π=0、^q1、tand^e1，皮重是正确的VaR和ES预测，反之亦然，对于π=1。对于任意π∈ （0，1），根据（3.9）中的非线性连接函数，通过组合给出真实VaR和ES。图4显示了这两个附加连接函数的功率曲线，其中对于有效组合，我们同时考虑GARCH和VaR/ES燃气DGP。补充材料中的表S.5列出了相关的试验尺寸。我们发现，如图1所示，图4中所示的线性组合的功率曲线与所考虑的两种DGP的线性规格具有可比性。此外，基于第三行图中的非线性链接函数的包围测试与GARCH设置中的线性包围测试表现相似。此模拟设置的扩展表明，我们的ESencompassing测试可以基于各种不同的链接函数应用。仿射链接：GARCHAffine链接：VaR/ES GasNonal链接0.00 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.50 0.75 1.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.000.000.250.500.751.000.250.500.751.00π拒绝率测试假设0（1）H0（2）测试严格的ES联合VaR和ES辅助ES图4：该图显示了功率曲线（经验拒绝频率）对于包含两个附加链路功能的标称尺寸为10%的测试。前两行图显示了（3.8）中给出的链接函数和GARCHand VaR/ES GAS DGP的结果。第三个绘图行显示了（3.9）中给出的非线性链接函数和相应的非线性GARCH DGP的结果。

图列描述了不同的样本大小，而颜色表示包含测试的三个ES规范，线型指的是两个测试过的无效假设。4实证应用我们使用2000年6月1日至2019年5月31日期间IBM股票、标准普尔500指数和DAX 30指数的近收盘收益，总计T=4779个每日观察。我们使用固定的预测方案，即模型参数是在第一个m=2000的样本观测值上估计的。这些参数估计用于以滚动窗口方式生成剩余n=2779天的样本外期间的VaR和ES预测。根据巴塞尔协议III的建议，我们对VaR和ES使用概率水平α=2.5%。为了进行分析，我们考虑以下相互竞争的预测模型。首先，我们使用历史模拟（HS）模型，该模型通过计算过去250个交易日α级的经验分位数和ES来生成VaR和ES预测。第二个模型是RiskMetrics（RM）模型，该模型将条件波动率建模为具有固定参数值的IGARCH方程，σt=0.94σt-1+0.06YT和高斯个体。第三，我们使用Glosten et al.（1993）的GJR-GARCH（1,1）-t模型和Student-t残差。第四个模型由补充材料第S.1节中介绍的具有时变方差和自由度的Student-t-GAS模型给出。第五个和第六个模型是巴顿等人（2019）的VaR和ES的单因素和双因素气体模型，如第3.1节所述，并通过最小化（2.8）中给出的VaR和ES的严格一致损失函数进行估计。最后两个模型是补充材料第S.1节中描述的泰勒（2019）的两个动态ES鱼子酱模型。

补充材料中的表S.6显示了这些模型各自VaR和ES预测的相关性。我们发现，没有一对预测是完全相关的，这对于假设2.7的条件（f）所述的包容测试的适用性至关重要。我们对所有八种预测方法进行了配对测试。因此，对于每个模型对，我们对这两个假设都进行了包含测试，即第一个预测包含第二个，用H（1）表示，反之亦然，用H（2）表示。这导致了这两个测试的四个可能结果：（1）非拒绝（NR）表明没有一个无效假设被拒绝，测试没有帮助。（2） 包含（E1）表示第一个模型包含在竞争对手模型中但不包含它的设置，即H（1）被拒绝，但H（2）未被拒绝，这导致选择竞争对手模型。（3） 包含（E2）表示第一个模型包含另一个模型，但不包含在其中，即H（1）未被拒绝，但H（2）被拒绝，这意味着我们选择了第一个模型。最后，（4）组合（C）是指两个零假设都被拒绝的情况，因此我们选择预测组合。在表2中，我们报告了所有三个返回时间序列的不同包含测试的10%显著水平的测试结果的相对频率。补充材料中的表S.7、S.8、S.9报告了包含试验的各个p值。结果可以总结如下：首先，对于IBM股票回报，我们发现了许多双重拒绝案例，因此提供了使用预测组合的经验证据。这意味着单个模型提供了额外的独家信息，因此，预测组合通常优于独立预测模型。

这一发现支持预测组合的理论优势，如Giacomini和Komunjer（2005）、Timmermann（2006）和Halbleib and Pohlmeier（2012）在一般设置中提出的预测组合，特别是Taylor（2020）提出的VaR和ES对。其次，对于标准普尔500指数，尤其是DAX 30指数，我们总体上观察到ES包含测试的双重拒绝事件较少。虽然包含VaR的测试选择预测组合的情况下减少的幅度较小，但考虑到第3节中所有模拟设置中的包含VaR的测试都过大，即使是在大样本中，也必须仔细考虑这些拒绝。这一结果可以用以下事实来解释：标准普尔500指数和DAX指数的多样性很好，与单一股票收益率序列相比，收益率波动较小，极端异常值也较少。此外，所考虑的VaR和ES预测显示，与补充材料表S.6中的单只股票相比，指数的相关性更大，这对测试的威力产生了负面影响。第三，根据病例E1和E2的频率，我们观察了这两个时间序列在不同模型上的复发模式。特别是ES-specific GAS和鱼子酱型模型似乎表现出优异的性能，而HS、RM、GARCH和GAS-t模型往往更为常见。

最后，这两项测试仅侧重于测试ES预测，其表现几乎相同，这支持了模拟研究得出的结论，即潜在的误判并不稳定2：包括IBM股票、DAX 30和标准普尔500指数的测试结果。Strict ES Aux ES Joint VaR ES VaRModel NR E1 E2 C NR E1 E2 C NR E1 E2 C NR E1 E2 CIBMHS 57 43 43 57 43 57 43 57 43 57 Rm 57 43 57 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 57 14 29 57 GJR 57 43 57 43 57 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 57 43 43 43 57 57 57 14 29 57天然气43 57 43 57 43 57 57 57 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 57 71 29 71 71 G1F 14 29 43 43 43 43 43 43 43 43 14 14 14 29 29 29 29 29 14 57 G2F 14 29 57 29 57 29 57 29 29 57 14 57 14 29 ASES 86 14 86 14 86 57 57 57 57 57 57 57 57 29 S&14 14 43 14 29 GJR 29 71 29 71 29 71 29 71 29 29气体29 29 14 43 29 14 57 29 14 43 14 14 29 G1F 29 71 29 71 14 86 29 G2F 29 14 57 14 71 57 14 14 29气体14 71 14 71 14 43 57 14 29节省14 43 29 14 14 43 14 43 14 29 DAX 30 HS 86 14 100 86 14 RM 43 57 57 57 43 43 43 14 29 GJR 57 43 43 57 43 14 14 14 43 14 14 14 14 14 14 71 29 14 71 14 14 14 14 71 14 14 14 43 14 57 G1F 71 2914 14 43 14 43 G2F 86 14 86 14 57 43 43 57 ASES 29 71 29 71 86 14 86节省14 86 29 71 14 43 29 29注：此表显示了三个ES包含测试的成对包含测试结果和Giacomini和Komunjer（2005）的VaR包含测试的结果，这八个考虑的模型在m=2000天的样本期内估计，对于IBM股票、标准普尔500指数和DAX 30指数，名义测试显著性水平为10%。各列报告了当模型在包含测试中生成FirstForecast时，模型（在行中给出）相应测试结果出现的相对频率（单位%）。

“NR”（非拒绝）列报告了两个无效假设均未被拒绝的情况的频率，而“C”（组合）列表明了两个假设均被拒绝的频率。列“E1”（包含）指的是H（1）被拒绝而H（2）未被拒绝的情况，即它给出了该模型被其竞争对手包含的相对频率，列“E2”（包含）指的是相反的情况，即它给出了该模型包含其竞争对手的相对频率。在现实金融环境中，不会对严格ES测试的表现产生负面影响。这是令人鼓舞的，因为严格的ES包容测试可以应用于手头没有VaR预测的情况，例如巴塞尔银行监管委员会（Basel Committeeof Banking Supervision，2016、2017）目前实施的测试。补充材料中的表S.10、S.11和S.12报告了（2.8）中零同质损失函数的联合VaR andES损失，用于独立模型的预测和各自的预测组合，以及基础回归的估计组合权重。这些结果定性地证实了包含测试的结果：例如，对于表2第一个面板中的IBM股票，我们发现预测组合尤其适合前四个模型（在表的模型排序中）。表S.10中的平均损失显示了三个面板的类似模式。

我们观察到，与前四个模型的独立模型相比，最优预测组合表现出实质性的巨大损失，而后四个模型的下降幅度要小得多。5结论随着《第三次巴塞尔协议》（巴塞尔委员会，2016、2017）的实施，风险管理者和监管机构目前将注意力转移到了风险度量预期缺口（ES），这表明了ES预测评估和比较工具的必要性。在本文中，我们介绍了新的预测，包括ES的测试，其基于联合损失函数和风险价值的EStogether相关联合回归框架（Fissler和Ziegel，2016；Patton et al.，2019；Dimitriadisand Bayer，2019）。我们提出了ES包围测试的三种变体，用于测试灵活的参数预测组合方法的包围预测。一旦测试变量可能存在模型误判，我们将Patton等人（2019）、Dimitriadis和Bayer（2019）以及Bayer和Dimitriadis（2020）的现有渐近理论扩展到柔性参数模型的潜在模型误判情况。扩展本文所述设置的潜在未来研究包括对凸预测组合和预测组合的测试，从理论上防止VaR和ES的交叉。这两种方法都需要非标准渐近理论来检验参数空间的边界。当预测包含的两个相反假设均被拒绝时，预测包含测试为两个竞争预测的预测组合奠定了理论基础。这种情况对应于两种预测都不包含其竞争对手的情况。

通常，通过组合不同的模型规格和基础信息集而获得的多样化收益，应用预测组合可能会带来很大的好处。对于ES（Taylor，2020）等极端风险度量指标而言，这一好处尤为明显，因为独立模型对收益分布尾部的极少观察值非常敏感。因此，组合预测可以被视为预测的稳健性。我们的应用程序从经验上验证了这个猜想，特别是对于IBM股票的每日回报。虽然我们提出了适用于ES在有风险值预测和无风险值预测的情况下联合报告的包含测试，但考虑到风险值和ES的联合可引出性，对它们联合进行包含测试是最自然的。此外，这种可联合性属性明确暗示，在默认情况下，应将ES预测与其相应的VaR预测一起报告。相比之下，辅助测试可视为ES的第一个预测比较程序，它几乎完全关注ES。理论上，在研究者主要关注ES的情况下，即使VaR预测可用，其应用也是最合理的。最终，严格的EStest适用于只有竞争ES预测可用的场景。

此外，如果竞争ES预测建立在同一VaR模型（预测）上，则严格ES测试适用，而联合和辅助测试的应用由于（相同）VaR预测的共线性而不可行。感谢编辑（Michael McCracken）、副编辑和两名裁判，以及桑德·巴伦兹、塞巴斯蒂安·拜尔、拉尔夫·布雷格曼、约阿希姆·格拉米格、阿拉斯泰尔·霍尔、安德鲁·巴顿、詹姆斯·泰勒以及康斯坦茨大学、杜克大学、霍亨海姆大学2019年马塞利QFFE会议的研讨会参与者，2019年在尼科西亚举行的IAAE会议、2019年在曼彻斯特举行的ESEM会议、2019年在特里尔举行的Statistische Woche会议和2019年在巴西举办的金融计量经济学研讨会。感谢克劳斯·奇拉基金会、霍恩海姆大学、决策科学研究生院（GSDS）和IAAE旅行基金的资助。参考Andrews，D.W.K.（1999）。参数位于边界上时的估计。《计量经济学》，67（6）：1341–1383。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203–228。Barendse，S.（2020年）。尾部和四分位期望的有效加权估计。工作文件，可访问https://drive.google.com/file/d/1nI0QAWbM_VchAZDVg79p2vJcKoCrQB8o/view.Basel委员会（2013年）。交易账簿的基本审查：修订后的市场风险框架。国际清算银行技术报告。可获得的athttp://www.bis.org/publ/bcbs265.pdf.Basel委员会（2016年）。市场风险的最低资本要求。国际清算银行技术报告。可用位置：http://www.bis.org/bcbs/publ/d352.pdf.Basel委员会（2017年）。支柱3披露要求——整合和增强的框架。

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由于ZT工艺的粒度混合性强-r/（r）- 2） 对于某些r>2by条件（a）和函数ρYt+1，gqt（β），get（η）对于所有t，上确界/内确界函数都是Ft可测量的∈ N、 我们可以得出结论，通过应用相同的定理，序列ρt（θo，δ）和ρt（θo，δ）也是相同大小的强混合。此外，对于￠r>1和一些δ>0非常小的情况，r≥ r+δ和thusE||ρt（θo，δ）|Μr+δ≤ sup1≤t型≤TE公司supθ∈ΘρYt+1，gqt（β），get（η）r对于所有t，1≤ t型≤ T、 T型≥ 1、由于Θ是紧的，因此存在一些c>0使得supθ∈Θ||θ|| ≤ 因此，对于所有t=1，T，它认为supθ∈ΘρYt+1，gqt（β），get（η）r（A.3）≤4r-1.1 +cK公司1 +αE | | gqt（β）| | r+αKE | Yt+1 | r+supθ∈ΘE | | log（get（η））| | r, （A.4）以条件（h）和对数（z）为界≤ z代表z足够大。ρt（θo，δ）|的质量相同。因此，我们可以应用弱大数定律来定义strong参见定义A.2.3 in White（1994）来定义Lipschitz-L。请注意，我们没有双指数，因此我们抑制了White（1994）符号中的n。此外，我们通过使用aot的标识函数来应用定义。White（2001）中推论3.48中的混合序列，第49页，以得出结论，对于所有θo∈ Θ使得| |θo- θ|| ≤ δ、 它认为NPT-1t=mρt（θo，δ）- E[(R)ρt（θo，δ）]P→ 0和NPT-1t=mρt（θo，δ）-Eρt（θo，δ）P→ 0，显示条件2。因此，通过应用定理A.2.5中给出的一致弱大数定律，一致收敛条件（iv）成立。白色（1994）。如我们所示，映射θ7→ ρYt+1，gqt（β），get（η）Lipschitz-Lin引理S.1在补充材料中，映射θ7→ Qn=nPT-1t=mEρYt+1，gqt（β），get（η）也是连续的，显示条件（iii）。因此，我们可以应用定理2.1。Newey和McFadden（1994）的文章，其中总结了这一命题的证明。命题2.9的证明。

我们定义ψn（θ）=nPT-1t=mψYt+1，gqt（β），get（η）ψn（θ）=E[ψn（θ）]。根据补充材料中引理S.2的证明，我们得到了平均值展开式（对于^θnclose到θ*n） ，ψn（^θn）- ψn（θ*n） =n（|θ，…，|θk）^θn- θ*n, （A.5）对于（可能不同的）值￠θ，θksomewhere在^θ与θ之间的直线上*n、 其中：补充材料中引理S.2给出了n（|θ，…，|θk），其中ψn（θ*n） =0。此外，它认为n（θ*nθ*n） =λn（θ*n） 以及n（|θ，…，|θk）在其参数|θ，…，中是一个连续函数，θk.使用∧n（θ*n） 如果特征值远离零（对于足够大的n），我们也可以得到n（|θ，…，|θk）在θ周围的邻域中是非奇异的*n（对于所有参数）对于足够大的n，作为将矩阵映射到其上的映射，中值定理不能直接推广到向量值函数。因此，我们必须分别考虑每个分量中的平均值展开，这会给出更复杂的表达式。特征值是连续的。我们进一步了解到-θ*nP公司→ 0和| |∧θj-θ*n | |≤ ||^θn-θ*n | |对于所有j=1，k、 我们从连续映射定理得到-1n（|θ，…，|θk）- Λ-1n（θ*n） P→ 0.（A.6）在下文中，我们应用Weiss（1991）中的引理A.1（通过验证其假设），将Huber（1967）的iid结果扩展到强混合序列。Weiss（1991）中引理A.1的假设（N1）得到满足，因为几乎可以肯定的是，每个连续随机过程在Doob（Gikhman和Skorokhod，2004）和函数ψ的意义上是可分离的Yt+1，gqt（β），get（η）几乎可以肯定的是∈ N、 假设（N2）满足命题2.8的证明。假设（N3）（i）如补充材料中的引理S.2所示。

技术假设（N3）（ii）和（N3）（iii）源自巴顿等人（2019）补充附录中的引理4和引理5。为此，请注意，巴顿等人（2019）假设2（C）和（D）中的力矩条件由假设2.7中的条件（h）隐含。假设（N4）遵循假设2.7中的瞬时条件（h），假设（N5）遵循强混合条件（a）。此外，巴顿等人（2019）补充附录中的引理2暗示√nψn（^θn）P→ 因此，我们可以应用Weiss（1991）中的引理A.1，得到√nψn（^θn）-√nψn（θ*n） P→ 0.（A.7）将（A.5）、（A.6）和（A.7）结合起来，我们得到√n^θn- θ*n= -n（|θ，…，|θk）-1.√nψn（^θn）（A.8）=-Λ-1n（θ*n） +op（1）·√nψn（θ*n） +op（1）= -Λ-1n（θ*n）·√nψn（θ*n） +op（1）。（A.9）此外，∑-1/2n（θ*n）√nψn（θ*n） d→ N0，Ik根据补充材料中的引理S.3，因此，∑-1/2n（θ*n） ∧n（θ*n）√n^θn- θ*nd→ N0，Ik, 这就是这个命题的证明。定理2.10的证明。我们首先注意到BOhm-1/2n√n^θn- θ*n= Ohm-1/2n√n^θn- θ*n+bOhm-1/2n- Ohm-1/2n√n^θn- θ*n. （A.10）从命题2.9中，我们得到Ohm-1/2n√n^θn- θ*nd→ N0，Ik. 此外，作为bOhm-1/2n- Ohm-1/2n= oP（1）通过假设，我们应用Slutzky定理得到bOhm-1/2n-Ohm-1/2n√n^θn-θ*n= oP（1）。

因此，bOhm-1/2n√n^θn-θ*nd→ N（0，Ik）和基于选择矩阵R的结果，然后应用连续映射定理，得出该定理的证明。用于预测的补充材料，包括20世纪20年代8月31日的预期短期测试。1额外的数据生成过程在下文中，我们描述了第3.3.1节模拟研究扩展中使用的两个额外的数据生成过程（DGP）。GAS DGPWe介绍了GAS模型的两种规格（Creal等人，2013年），其中第二个候选模型可能在严格的ES包容测试中产生模型规格错误。为此，我们从具有高斯新息的气体模型中生成▄Y1、t+1、^q1、tand^e1、t，这与（3.2）中给出的标准GARCH规范相对应。我们从具有随时间变化的方差和自由度的Student-t残差的GAS模型中获得第二个预测序列，由（u，σ2，t，ν2，t）>=κ+B·（u，σ2，t）给出-1，^ν2，t-1） >+AHtt、 （S.1.1）其中Ht这是模型的强制变量，比例矩阵是Hessian和t对数似然函数的导数。我们将两个模型校准为每日IBM返回值，结果得到参数值κ=（0.0659，0.00599，-1.737），A=诊断（0，0.146，7.563），B=诊断（0，0.994，7.381）。该模型意味着￠Y2，t+1~ t^ν2，t^u，^σ2，t我们从这个t分布中得到了VaR和ES预测。为了模拟服从这两个分布的凸组合的返回，我们模拟了伯努利图πt+1~ Bern（π），设Yt+1=（1-πt+1）~Y1，t+1+πt+1Y2，t+1，如第3.1节中的VaR/ES-GAS模型。S、 1VAR/ES鱼子酱DGP此模拟设置遵循Taylor（2019）的动态ES模型，我们用ES鱼子酱表示，因为它们用动态ES规范扩充了Engle和Manganelli（2004）的鱼子酱模型。

作为ES CAViaR模型的不对称斜率由^q1给出，t=-0.0003- 0.05 | Y1，t | 1{Y1，t≥0}- 0.15 | Y1，t | 1{Y1，t<0}+0.8^q1，t-1和（S.1.2）^e1，t=^q1，t- xt，其中（S.1.3）xt=0.00017+0.125（^q1，t-1.-Y1，t）+0.84^q1，t-1if^q1，t-1.≤Y1，t，xt-1if^q1，t-1> Y1，t.（S.1.4）我们考虑的第二个模型变量是对称绝对值SAV ES Caviar模型，其中分位数方程由^q2，t=-0.0003- 0.1 | Y2，t |+0.8^q2，t-1、（S.1.5）和^e2，and XT遵循（S.1.3）和（S.1.4）中的动态规范。这些参数选择是Taylor（2019）获得的值的略微修改值。在此设置中，我们根据加法模型Yt+1模拟数据=(1 -π） ^e1，t+π^e2，t+ εt+1，其中εt+1~ N-σξα, σ, 对于σ=0.1。这意味着对于π=0，ESα（Yt+1 | Ft）=e1，talmostssure，对于π=1，情况相反。该设置将Giacomini和Komunjer（2005）的VaR包容测试模拟中的鱼子酱DGP推广到ES。S、 2技术证明MMA S.1。在假设2.7的条件下，函数ρYt+1，gqt（β），get（η）是Lipschitz LonΘ，具有Ft可测且可积的Lipschitz常数。证据我们拆分ρ-函数ρYt+1，gqt（β），get（η）= ρYt+1，gqt（β），get（η）+ρYt+1，gqt（β），get（η）,式中ρYt+1，gqt（β），get（η）= -1{Yt+1≤gqt（β）}αget（η）（gqt（β）- Yt+1），ρYt+1，gqt（β），get（η）=gqt（β）- get（η）get（η）- 日志(-get（η））。S、 2ρ的局部Lipschitz连续性如下，因为它是θ中的一个连续可微分函数（因此get（η）6=0），因此（局部）Lipschitz-L。

因此我们得到所有θo∈ Θ，存在δo>0，因此对于所有θ∈ Uδo（θo）：=θ ∈ Θ||θ - θo | |≤ δo, 我认为ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）- ρYt+1，gqt（β），get（η）≤θ - θo· supθ∈Uδo（θo）βgqt（β）+ηget（η）get（η）+gqt（β）ηget（η）（get（η））,（S.2.1）如果序列-1t=兆欧βgqt（β）+ηget（η）get（η）iandnPT公司-1t=兆欧gqt（β）ηget（η）（get（η））i所有θo都有界∈ 根据假设2.7中的条件（h）。对于函数ρ，我们考虑以下四种情况。首先，让我们=ω ∈ Ohm, θ ∈Uδo（θo）gqt（βo）（ω）<Yt+1（ω）和gqt（β）（ω）<Yt+1（ω）. 那么，在Γ上，它认为ρYt+1，gqt（β），get（η）= ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）= 0，（S.2.2），即Lipschitz-L.Second，letΓ=ω ∈ Ohm, θ ∈ Uδo（θo）gqt（βo）（ω）≥ Yt+1（ω）和gqt（β）（ω）≥ Yt+1（ω）.OnΓ，对于两个Γθ∈ {θ，θo}，它认为ρYt+1，gqt（|β），get（|η）= -αget（η）gqt（℃β）- 年初至今+1, （S.2.3）这是一个连续可微分函数。因此ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）- ρYt+1，gqt（β），get（η）≤θo- θ·supθ∈Uδo（θo）βgqt（β）αget（η）+ supθ∈Uδo（θo）ηget（η）α（get（η））（gqt（β）- 年初至今+1）!,（S.2.4）其中最后两行中suprema序列的平均期望值受假设2.7中的条件（h）的限制。最后，让我们=ω ∈ Ohm, θ ∈ Uδo（θo）gqt（β）（ω）<Yt+1（ω）≤ gqt（βo）（ω）. 同于Γ，| gqt（βo）- Yt+1 |≤ |gqt（βo）- gqt（β）|几乎可以肯定，它认为ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）- ρYt+1，gqt（β），get（η）=αget（ηo）（gqt（βo）- 年初至今+1）≤αget（ηo）（gqt（βo）- gqt（β））≤θ - θo· supθ∈Uδo（θo）βgqt（β）αget（η）.S、 3如上所述，最后两行中suprema序列的平均期望值受假设2.7中条件（h）的限制。Γ的等效参数=ω ∈ Ohm, θ ∈ Uδo（θo）gqt（βo）（ω）<Yt+1（ω）≤ gqt（β）（ω）.

像Ohm =Si=1Γi，我们可以得出以下结论：函数ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）是Lipschitz LonΘ。引理S.2。根据假设2.7中的条件，存在常数a，d>0，因此ψn（θ）≥ a | |θ- θ*n | |对于任何θ∈ Θ使得| |θ-θ*n | |≤ d、 （S.2.5）和所有n≥ n、 其中n∈ N足够大。证据Letθ∈ Θ使得| |θ-θ*n | |≤ d对于一些（小）常数d>0，并定义ψn，q（θ）=nT-1Xt=我-βgqt（β）αget（η）Ft（gqt（β））- α和（S.2.6）ψn，e（θ）=nT-1Xt=我ηget（η）（get（η））get（η）- gqt（β）+α（gqt（β）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β）}, （S.2.7）使得ψn（θ）>=ψn，q（θ）>，ψn，e（θ）>. 此后，我们使用以下短符号Gqt（β）=βgqt（β）ηgqt（β）>（S.2.8）Gqet（β，η）=βgqt（β）ηget（η）>（S.2.9）Geqt（β，η）=ηget（η）βgqt（β）>（S.2.10）Get（η）=ηget（η）ηget（η）>，（S.2.11）Hqt（β）是gqt（β）的kβ×kβHessian矩阵，等价地，Het（η）是get（η）的kη×kηHessian矩阵。在下文中，我们将中值定理应用于ψn（θ）的各行，而不是完全向量，因为中值定理不能直接推广到向量值函数。然后，通过将中值定理应用于所有j=1，…，的ψn（θ）的第j行，k、 我们得到ψn（θ）- ψn（θ*n） =n（|θ，…，|θk）·θ - θ*n, （S.2.12）S.4其中n（|θ，…，|θk）=n、 qqn、 量化宽松n、 均衡器n、 ee！。（S.2.13）对于所有j=1，kβ，第j行n、 QQI由提供n、 qq，j（|βj）=nT-1Xt=mE“Hqt，j（|βj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α+Gqt（～βj）αget（～ηj）ht（Gqt（～βj））#，（S.2.14），其中Hqt，j（～βj）表示Hqt的第j行（～βj），和n、 qeis由给出n、 qe，j（|θj）=nT-1Xt=我“-Gqet，j（|βj，|ηj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α#. （S.2.15）对于所有j=kβ+1。

，kβ+kη，第j行n、 eqis由提供n、 公式，j（|θj）=nT-1Xt=mE“Geqt，j（|βj，|ηj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α#（S.2.16）和n、 eeis由给出n、 ee，j（|θj）=nT-1Xt=我Het，j（|ηj）get（|ηj）get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}+Geet，j（|ηj）get（|ηj）- 2Geet，j（|ηj）get（|ηj）get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}.在下面，我们展示了n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）≤ c | |θ-θ*n | |再次考虑单个组件。对于每个j，i=1，nβ，（对应于Hessian矩阵的左上分位数特定部分）||n、 冀θj- ∧n，ji（θ*n）||=nT公司-1Xt=mE“Hqt，ji（|βj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α+Gqt，ji（|βj）αget（|ηj）ht（Gqt（|βj））#-nT公司-1Xt=我Hqt，ji（β*n） αget（η*n）Ft（gqt（β*n） （）- α+Gqt，ji（β*n） αget（η*n） ht（gqt（β*n） （）=nT公司-1Xt=我“Hqt，ji（(R)βj）αget（(R)ηj）Ft（gqt（(R)βj））- α- get（\'ηj）αget（\'ηj）Hqt，ji（\'βj）Ft（gqt（(R)βj））- αS.5+βgqt（°βj）Hqt，ji（±βj）αget（±ηj）ht（gqt（±βj））#·θj- θ*n,对于一些θj=\'βj，\'ηj在￠θjandθ之间的直线上*n、 此外，对于所有j=1，nβ和i=nβ+1，nβ+nη（对应于Hessian矩阵的右上分位数/ES特定部分），它认为||n、 冀θj- ∧n，ji（θ*n）||=nT公司-1Xt=mE“Gqet，ji（|βj，|ηj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α#-nT公司-1Xt=我Gqet，ji（β*n、 η*n） αget（η*n）Ft（gqt（β*n） （）- α=nT公司-1Xt=我“Gqet，ji（\'βj，\'ηj）αget（\'ηj）Ft（gqt（(R)βj））- α+ gqt（°βj）Gqet，ji（±βj，±ηj）αget（±ηj）ht（gqt（±βj））- 2.get（\'ηj）Gqet，ji（\'βj，\'ηj）αget（\'ηj）Ft（gqt（(R)βj））- α#·θj- θ*n,对于一些θj=\'βj，\'ηj在￠θjandθ之间的直线上*n、 这相当于左下角的nand∧n。最终对于右下块，即对于每个j，i=nβ+1。

，nβ+nη，我们得到n、 冀θj- ∧n，ji（θ*n）=nT公司-1Xt=我Het，ji（|ηj）（get（|ηj））get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}+Geet，ji（|ηj）（get（|ηj））- 2Geet，ji（|ηj）（get（|ηj））get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}-nT公司-1Xt=我Het，ji（η*n） （get（η*n） （）get（η*n）- gqt（β*n） +α（gqt（β*n）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β*n） }+Geet，ji（η*n） （get（η*n） （）- 2Geet，ji（η*n） （get（η*n） （）get（η*n）- gqt（β*n） +α（gqt（β*n）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β*n） }=nT公司-1Xt=我Het，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2.get（\'ηj）Het，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2.Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））+6get（\'ηj）Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））×get（(R)ηj）- gqt（(R)βj）+α（gqt（(R)βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（(R)βj）}+Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2.get（\'ηj）Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））S.6+Het，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））·get（(R)ηj）- gqt（(R)βj）+αgqt（(R)βj）Ft(gqt（(R)βj））·θj- θ*n.对于一些θj=\'βj，\'ηj在￠θjandθ之间的直线上*n、 由于各力矩根据假设2.7中（h）中的力矩条件以及自| |θj起确定-θ*n | |≤ ||θ - θ*n | |对于所有j，我们已经证明，对于所有足够大的n，存在一个常数c>0，这样n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）≤ c | |θ- θ*n | |。（S.2.17）此外，作为矩阵∧n（θ*n） 假设特征值从下面开始有界（n足够大），则存在一个常数c>0，使得|∧n（θ*n） ·（θ）- θ*n） | |≥ c | |θ- θ*n | |。（S.2.18）因此，我们选择的d>0足够小，以至于d<c2c。然后| |θ- θ*n | |≤ d<c2candthus，2c | |θ- θ*n个||≤ c | |θ- θ*n | |。因此n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）· (θ - θ*n）≤c | |θ- θ*n个||≤ c/2 | |θ- θ*n | |因此ψn（θ）=n~θ, . . . ,θk· (θ - θ*n）=∧n（θ*n） ·（θ）- θ*n）+n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）· (θ - θ*n）≥||∧n（θ*n） ·（θ）- θ*n） | |-n~θ, . . .

，°θk- ∧n（θ*n）· (θ - θ*n）≥c | |θ- θ*n | |，（S.2.19），通过应用均值展开和逆三角不等式。引理S.3。根据假设2.7中的条件，它认为∑-1/2n（θ*n）√nψn（θ*n） d→ N（0，Ik）。（S.2.20）证明。我们通过应用CramrWold定理来证明这个多元结果，即通过证明Theorem5.20 in White（2001），p.130中给出的强混合序列的单变量CLT条件适用于所有线性组合u>ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）对于所有u∈ Rkuch表示| | u | |=1。根据White（2001）第50页的定理3.49，我们得到了theS。7序列ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）u>ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）大小混合强烈-r/（r）- 2） 对于某些r>2。此外，对于所有t∈ N、 它认为u> ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）r≤ EψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）r≤4r-1.最大值1.- αα, 1重新βgqt（β*n） get（η*n）r+ Eηget（η*n） get（η*n） （get（η*n） （）r+1 +α重新ηget（η*n） gqt（β*n） （get（η*n） （）r+ Eηget（η*n） Yt+1α（get（η*n） （）r≤4r-1.最大值1.- αα, 1rKrE公司[||βgqt（β*n） | | r]+KrE[||ηget（η*n） | | r]+K2r1 +αrE公司[||ηget（η*n） gqt（β*n） | | r]+αK2rE[||ηget（η*n） Yt+1 | | r]< ∞,通过应用Jensen不等式和假设2.7中的力矩条件（h），其中r>2（来自条件（a））。作为序列ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）假设2.7中的条件（c）不相关，我们得到所有n≥ 1，Var√nT公司-1Xt=mψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）!=nT公司-1Xt=mEhψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）· ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）>i=∑n（θ*n） 。（S.2.21）As∑n（θ*n） 是实的、对称的正定义，可以用实正交矩阵S对角化，即S>∑n（θ*n） S=Dn，其中Dn是一个对角线矩阵，包含∑n（θ）的奇异值*n） ，表示为{λ1，n，…，λk，n}。

因此，对于任何u∈ Rk，Var√nT公司-1Xt=μ>ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）!= u> ∑n（θ*n） u=u>S>DnSu=v>Dnv>mini=1，。。。，kλi，n，（S.2.22），其中v=Su，即| | v | | |=1，因为S是正交的，其中对于n个足够大的值，特征值{λ1，n，…，λk，n}远离零。因此，我们可以将定理5.20 inWhite（2001）p.130应用于序列u>ψ的渐近正态性Yt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）对于所有u∈ Rkuch表示| | u | |=1。应用Cramr-Wold定理得出结论。S、 8秒。3附加表表S.1：包含测试的预测的经验大小。H（1）H（2）Str ES Aux ES VaR ES VaR Str ES Aux ES VaR ES VaRn GARCH500 3.05 3.00 8.40 10 2.80 8.20 10.101000 1.45 1.75 5.90 7.80 2.20 1.95 7.70 9.302500 1.85 1.80 5.85 7.30 1.85 1.75 5.45 6.455000 1.25 1.25 3.90 5.05 0.80 0.80 4.80 4.10 5.15 N VaR/ES GAS500 5.65 5.30 9.40 11.40 4.20 9.20 11.501000 4.15 4.05 6.65 7.75 3.55 3.25 6.55 8.402500 2.70 2.65 4.80 5.80 1.35 1.45 4.70 5.955000 1.801.90 3.10 4.10 1.40 1.20 4.50 5.55n气体-t500 5.45 5.50 7.70 8.00 4.90 5.30 7.75 9.151000 4.15 4.45 6.05 6.75 2.00 2.25 4.75 6.002500 2.00 1.90 3.10 3.40 1.25 1.35 3.10 3.905000 1.70 1.80 3.95 4.05 1.00 1.05 2.15 2.70n ES-CAViaR500 2.05 1.30 4.30 6.00 2.35 1.45 5.05 6.501000 1.85 1.25 3.55 5.55 1.65 1.25 3.10 4.852500 1.00 1.15 2.30 3.10 1.00 0.90 2.05 3.005000 1.15 0.85 1.55 2.15 1.10 1.15 1.15 1.151.85注：此表显示了我们对ES的三个预测包含测试的经验大小（单位%），以及Giacomini和Komunjer（2005）对名义大小为1%的VaR包含测试。