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多维Black-Scholes偏微分中数字符号的使用
何人来此
405 10
2022-06-25
英文标题：
《The Use of Numeraires in Multi-dimensional Black-Scholes Partial
  Differential Equations》
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作者：
Hyong-chol O, Yong-hwa Ro and Ning Wan
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The change of numeraire gives very important computational simplification in option pricing. This technique reduces the number of sources of risks that need to be accounted for and so it is useful in pricing complicated derivatives that have several sources of risks. In this article, we considered the underlying mathematical theory of numeraire technique in the viewpoint of PED theory and illustrated it with five concrete pricing problems. In the viewpoint of PED theory, the numeraire technique is a method of reducing the dimension of status spaces where PDE is defined.
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中文摘要：
数值的变化为期权定价提供了非常重要的计算简化。这项技术减少了需要考虑的风险来源的数量，因此在为具有多个风险来源的复杂衍生品定价时非常有用。在本文中，我们从PED理论的角度考虑了数字技术的基本数学理论，并用五个具体的定价问题对其进行了说明。从PED理论的观点来看，数字技术是一种降低状态空间维数的方法，其中定义了PDE。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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mingdashike22
2022-6-25 15:17:48
我们将给出[1]中的4个例子，以及Li和Ren[10]的另一个例子来描述使用数字变更的PDE基础：2 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ningo员工股票所有权计划（ESOP）的定价采用货币执行价的定价选择权。o提供索引选择的定价节约计划。o可转换债券定价可在到期时转换为股票的定价债券。总之，从偏微分方程理论的角度来看，数值变换是降低多维偏微分方程域空间维数的一种方法。2 PDE数字变更基础假设：考虑的红色期权价格取决于（n+1）风险源。（i） S（t）、S（t）、····、Sn（t）是不支付股息的可交易资产的无套利价格过程。（ii）在ris k中性测度下，S（t），S（t），···，Sn（t）satisfydSi（t）Si（t）=r（t）dt+mXj=1σijdWj（t），i=0，1，··，n（1）这里r（t）是短期利率（利率），Wj（j=1，···，m）是一维标准维纳过程，满足（dWi）=0，（2）V ar（dWi）=dt，（3）Cov（dWi，dWj）=0，（i 6=j）。（4） （iii）V（S，S，····，Sn，t）是到期日为t的多资产期权的无套利价格函数。由Jiang【9】，V（S，S，···，Sn，t）满足（n+1）-维BlackScholes方程：五、t+nXi，j=0aijSiSj五、硅Sj+r（t）nXi=0Si五、硅- r（t）V=0。（5） 其中，j=nXk=0σikσjk，（i，j=0，1，····，n）。（6） A=[aij]是一个正对称矩阵。（iv）期权的到期付款如下：V（S，S，·····，Sn，T）=P（S，S，····，Sn）。（7） 在多维Black-Schole偏微分方程3中使用N个数值期权的无套利价格V（s，s，···，Sn，t）是解决PDE（5）和（7）中存在的问题的一种方法。
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mingdashike22
2022-6-25 15:17:51
方程（5）是一个抛物线方程，其中（n+1）个空间变量反映（n+1）个风险源。定理1考虑{（S，S，···，Sn，t）域中的求解问题（5）和（7）∈Rn+1 | t>0，Si>0，i=0，1，····，n}。如果到期支付函数P满足同质性，即P（aS，aS，···，aSn）=aP（S，S，···，Sn），那么使用Sas作为数字时，a>0，即变量u=VS，zi=SiS，i=1，··，n，（8）我们可以将空间维度减少1。因此，（n+1）维问题（5）和（7）被转化为n维Black-Scholese方程的终值问题。证据表示F（z，···，zn）= P（1，z，··，zn）。那么，因为根据P的同质性假设，我们有P（1，z，···，zn）=P（S，S，···，Sn）S=V（S，S，···，Sn，T）S，我们可以这样写：U（z，··，zn，T）=F（z，··，zn）。（9） 因此，终端条件变为n维函数。在（5）中，如果我们使用关系V（S，S，·，Sn，t）=U（z，·，zn，t）S将V的Si导数转化为U的zi导数，那么Ut+nXi，j=1（a- ai0- a0j+aij）zizjUzi公司zj=0。（10） （QED）现在，如果我们可以使用多维Black-Scholes公式（Jiang[9]（7.3.22））来获得问题（10）和（9）的解表示。方程（10）系数的n维矩阵。Bn=[a- ai0- a0j+aij]ni，j=1是一个对称的正矩阵。
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能者818
2022-6-25 15:17:54
事实上，对称的性质是evide nt，对于每个ξ=（ξ，····，ξn）⊥∈ 注册护士(⊥平均转置矩阵），ξ⊥Bnξ=nXi，j=1（a- ai0- a0j+aij）ξiξj=a-nXi=1ξi+nXi=1ai0ξi-nXj=1ξj+nXj=1a0j-nXi=1ξi！ξj+nXi，j=1aijξiξj.4 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ningthey如果我们让η=-nXj=1ξi，ξ，····，ξn⊥∈ Rn+1，然后通过A的正性，我们得到ξ⊥Bnξ=η⊥Aη≥ 因此（10）是n维Black-Scholes方程，通过多维Black-Scholes公式，我们得到了（Z，t）=2π（T- t）编号：det Bn|-Z∞···Z∞F（y，···，yn）y，···，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- t）dy···dyn，其中z=（z，··，zn）⊥, ~α=（α，···，αn）⊥αi=lnziyi-一- 2ai0+所有（T-t） ，i=1，···，n。返回原始变量S，S，···，Sn，我们得到了（5）和（7）的解：V（S，S，···，Sn，t）=SU（Z，t）=S2π（T-t）编号：det Bn|-×Z∞···Z∞P（1，y，···，yn）y，···，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- t）dy···dyn，（11）αi=lnSiyiS-一- 2ai0+所有（T-t） ，i=1，···，n.（12）因此，我们证明了以下定理：（n+1）维问题（5）和（7）的n维表示由（11）和（12）提供。备注1无股息条件（i）和无相关性假设（4）并非仅用于简化的必要条件。3例3.1员工持股计划（ESOP）问题：ESO P是一种合同，其持有人有权以以下执行价格购买股票。例如，将到期日设为一年（T）。那么执行价是min（6个月后时间（T）的股票价格，一年后的股票价格（T））×85%（β）。那么ESO P的公平价格是多少？数学模型：在多维Black-Schole偏微分方程中使用N个数值，设s（t）为股票价格，t为到期日，t<t，0<β<1为折现率，v（s，t）为员工持股计划价格。那么到期付款如下：V（S，T）=[S（T）- βmin（S（T），S（T））]+=S（T）- βmin（S（T），S（T））。
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何人来此
2022-6-25 15:17:56
（13） 假设：（i）在ris k中性测度下，股票价格满足sdS（t）=rS（t）dt+σS（t）dW（t）。（14） （ii）短速率r是确定性常数。事实上，这个问题本身相对简单，因此不使用数值的变化，我们可以很容易地得到解的公式。合同的风险中性价格符合标准Black-Scholes方程：五、t+σS五、S+rS五、S- rV=0。（15） 因此，E SOP的价格函数满足终值问题（15）和（13）。到期付款F（13）重写如下：V（S，T）=（1- β） S（T）+βmax（S（T）- S（T），0）。在区间（T，T）中，价格S（T）是已知的，因此合同可以看作是由1- 履约价格为（T）的股票的βsha和期权的βSHE。因此，时间t（t）的合同价格≤ t<t）由v（S，t）=（1）给出- β） S（t）+β[S（t）N（d）- S（T）e-r（T-t） N（d）]，t≤ t<Td=lnS（t）S（t）+r+σ（T- t） σ√T- t、 d=d- σpT- t、 特别是在时间t，V（S，t）=S（t）h1- β+βN（d1,0）- βe-r（T-T） N（d2,0）i，d1,0=rσ+σpT公司- T、 d2,0=d1,0- σpT- T、 （16）因此，其当时的价格与确定性股票的价格相同，因此，合同在T（0）时的价格≤ t<t）由v（S，t）=S（t）h1给出- β+βN（d1,0）- βe-r（T-T） N（d2,0）i，0≤ t型≤ T、 （17）其中d1,0和d2,0是（16）中的a s。使用数字变化：在（13）中，将S（T）视为可交易资产的时间T-价格并不那么自然。为了克服这一困难，在【1】中，新资产定义如下：S（t）=S（t），0≤ t型≤ T、 S（T）er（T-T） ，T≤ t型≤ T、 6 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，NingNote，Sis投资组合的时间T价格，其持有人在时间T=0时购买股票，将其保留到T=T，然后在时间T=时出售，并将S（T）数量的现金存入银行。
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2022-6-25 15:17:59
ThenS（T）=S（T）er（T-T） ，如果我们设k=e-r（T-T） ，（18）然后将到期付款f（13）重写如下：V（S，S，T）=S（T）- βmin（S（T），K·S（T））。（19） 在（19）中，S（T）可以被视为可转换资产S的时间价格，从定义和假设（14）中，我们可以知道，在风险中性度量下，Ssatis fiesds（T）=rS（T）dt+σS（T）dW（T），（20）其中σ（T）=σ, 0 ≤ t型≤ T、 0，T≤ t型≤ T、 使用无套利技术，我们可以建立合同风险中性价格函数V（S，S，T）满足的等式。通过-对冲构造投资组合∏：V- S- S、 选择 和因此投资组合∏在区间（t，t+dt）内是无风险的，也就是说，d∏=r∏dt，因此我们有dV- dS公司- dS=r（V- S- S） dt。（21）通过二维It^o公式，我们得到dV=五、t型+σS五、S+2σσ（t）SS五、SS+σ（t）S五、Sdt公司+五、十二烷基硫酸钠+五、SdS。（22）因此我们选择 =五、S=五、S、 （23）我们将（22）和（23）替换为（21），得到五、t型+σS五、S+2σσ（t）SS五、SS+σ（t）S五、S+r五、SS+r五、不锈钢-rV=0。（2 4）因此，E SOP价格的双因素模型就是终值问题（24）和（19）。除了波动率σ随时间变化的事实外，问题（24）和（19）满足定理1的所有条件。在这种情况下，数值Eu=VS，z=SS（25）的变化在多维Black-Schole偏微分方程7中使用N个数值效果很好，即使用（25）将问题（24）和（19）转化为一维Black-Scholes方程的以下终端问题：Ut+（σ- σ（t））zUz=0，U（z，T）=（1- β） z+β最大值（z- K、 0）。（26）求解（26）并返回原始变量，得到公式（17）。备注2公式（17）与【1】相同。3.2具有外币履约价格的期权定价有些期权的履约价格与外币相关。
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