Black-Scholes框架下的统计套利

2022-5-6 08:31:51

布莱克-斯科尔斯框架下的统计套利*西安交通利物浦大学数学系，苏州，215123。联系人：土耳其伊斯坦布尔博加齐奇大学经济和计量经济学中心。艾哈迈特。Goncu@xjtlu.edu.cnAugust2018年12月21日摘要在这项研究中，我们通过考虑从无风险利率借款并在股票中持有多头头寸直到达到确定的障碍水平的交易策略，证明了Black-Scholes框架中存在统计套利机会。我们推导了折扣累积交易利润的预期值、方差和损失概率的分析公式。统计套利条件是在Black-Scholes框架下推导的，该框架对股票的夏普比率施加了约束。此外，我们通过大量的蒙特卡罗模拟验证了我们的理论结果。统计套利，Black Scho-les模式l，几何布朗运动，Montecarlo模拟。JEL代码：G121简介投资界认为，统计套利是根据证券的预期未来交易价值与现货价格之间的关系，对任何证券进行的错误定价。统计套利策略最初是从所谓的“配对交易”演变而来的，这种交易利用了基于各种标准确定的一对股票表现的均值反转。其中[7]、[10]、[6]、[8]和[1]研究了配对交易和统计套利策略的表现。[2]给出了Ornstein-Uhlenbeck过程的最优统计套利交易。[11]、[12]、[13]和[4]的研究给出了统计套利策略的数学定义。[4] 假设衍生品市场的存在，然而，在本研究中我们没有这样的假设。

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mingdashike22

2022-5-6 08:31:54

[11]、[12]和[13]利用统计套利的定义，并对统计套利的动态行为进行了一些额外的总结，得出了统计套利存在的假设检验。假设检验用于检验统计套利的存在和市场的有效性，从而避免了[9]中所述的联合假设问题。在[11]的研究中，以各种例子给出了统计套利的数学定义。根据[11]的定义，考虑[3]模型，股票价格遵循几何布朗运动过程，我们给出了统计套利策略的示例，并证明了统计套利机会的存在。如果投资者有更好的信息（与市场相比）来识别预期增长率高（或低）的股票，那么市场中就存在统计套利机会*通讯作者。电子邮件：艾哈迈特。Goncu@xjtlu.edu.cnBlack-股票价格动力学的斯科尔斯框架。本文提出了Black-Scholes模型中产生静态套利的交易策略，并推导出了非统计套利条件。推导出的无统计套利条件对股票的夏普比施加了约束。如果投资者知道或相信他知道满足统计套利条件的股票，那么这就足以设计统计套利交易策略。本文组织如下。在下一节中，我们将介绍统计套利的定义，并提供统计套利策略的示例。在第3节中，我们证明了Black-Scholes框架下统计比特率的存在性，并证明了非统计比特率条件。在第4节中，我们介绍了统计套利策略的一些其他性质。

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2022-5-6 08:31:57

我们在第5.2节统计Arb ITRAGE中得出结论，给出了贴现累积交易利润的随机过程，表示为{v（t）：t≥ 0}定义在概率空间上(Ohm, F、 P）统计套利定义如下（见[11]）。定义1统计套利是一种零初始成本、自我融资的交易策略{v（t）：t≥ 0}的累计贴现值v（t）为1。v（0）=02。极限→∞E[v（t）]>0,3。极限→∞P（v（t）<0）=0，和4。极限→∞如果P（v（t）<0）>0，则var（v（t））t=0，t<∞.[11] 声明第四个条件仅适用于总存在赔钱正概率的情况。否则，如果损失概率在有限时间T内为零，即P（v（T）<0）=0表示所有T≥ 这意味着标准套利机会的存在。一个标准的套利机会是一个特殊的统计仲裁者年龄的情况。事实上，对于标准套利策略V（自我融资），存在一个有限时间T，使得P（V（T）>0）>0和P（V（T）≥ 0）=1表示所有t≥ 以及该项目的收益可以存入moneymarket账户，用于剩余的最后期限。这就给出了V（s）=V（T）Bs/BTfors≥ t、该策略的贴现值由v（s）=v（t）（Bs/BT）（1/Bs）=v（t）给出，满足定义1。示例1:Black-Scholes[11]的示例（α>rf）：考虑股票价格（非股息支付）的标准Black-Scholes动力学，它根据t=Sexp（（α）演变- σ/2）t+σdWt，（1）其中wt是标准布朗运动过程，α是股票价格的增长率，r是无风险率，σ是波动率，假设为常数。在[11]之后，我们考虑α>rf。货币市场账户遵循Bt=exp（rft）。

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mingdashike22

2022-5-6 08:32:00

[11] 考虑一种自我融资交易策略，包括以恒定的无风险利率购买和持有货币市场账户融资的一股股票。时间t isV（t）=St时的累积利润值- Serft=S（e（α）-σ/2）t+σWt- erft），（2），而交易利润的贴现累积值为asv（t）=Sexp（（α）- σ/2 - rf）t+σWt）- 1.. （3）自Wt以来~ N（0，t）对于每一个t，我们得出e[v（t）]=S的结论e（α）-rf）t- 1.（4）和极限→∞E[v（t）]=∞. ASV（我们获得方差）=eσt- 1.se2（α-rf）t→ ∞ 作为t→ ∞. （5）因此，定义1中的条件4并不适用。Hogan等人（2004年）通过上述例子得出结论，根据定义1，Black-Scholes模式l排除了统计套利机会。该示例还用于证明定义1中存在第四个条件。在α的BlackScholes模型中，在没有第四个条件的情况下，买入和持有策略会产生统计套利机会- rf>σ/2。在下一个例子中，我们展示了第四个条件定义1可以满足不同的交易策略。但首先，作为示例1的自然结果，我们陈述以下命题。命题2：对于Black-Scholes模型中由一只股票组成的所有买入和持有交易策略，贴现累积交易利润的时间平均方差为单位，即limt→∞var（v（t））/t=∞, 对于α- 射频>-σ/2，α衰减为零- 射频≤ -σ/2.证据风险资产中的多头头寸具有现值e-rftSt。由于货币市场账户是确定的，我们交易收益的方差仅取决于风险资产St的投资。因此，方程5中给出的随机成分St的方差始终是e2（σ+α）顺序的指数项-射频）t。

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能者818

2022-5-6 08:32:03

然后明显地限制→∞var（v（t））/t=∞ 对于α- 射频>-σ/2并衰变为α的ze-ro- 射频≤ -σ/2.对于α-射频≤ -σ/2，我们可以通过卖空股票并在时间0时投资于货币市场账户，更新空头头寸并在货币市场账户中重新投资利润（或再融资损失），来创建统计套利。由于预期的累计折扣交易收益收敛，且时间平均方差衰减为零，因此产生了统计上的比特率。需要注意的是，要为预期增长率足够高的s股创造统计套利机会，我们需要在交易策略上设定停止或抛售条件。在没有停止边界的情况下，我们继续持有股票，根据命题2，我们不能满足方差e的时间平均必须衰减为零的条件。如果我们成功地在交易策略中引入这种抛售或停止条件，我们可以从股票价格的正预期增长中获益，但同时我们可以减少风险资产的持有（将风险资产的持有时间减少到零），并控制时均方差。接下来，我们用一个例子预发了这个想法。例2：我们为买入并持有策略引入一个终止条件，如下所示：每当股价过程达到一个恒定的障碍水平时，卖出股票并投资于货币市场账户。

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2022-5-6 08:32:07

通过这种方式，我们利用了布朗运动过程第一次通过时间的精确性。我们的“买入并持有直至障碍”策略中的贴现累积交易利润由V（t）=（Be）给出-rft*- S、如果没有*≤ tSte-rft- S、否则，（6）t*= min{t≥ 0:St=B}和B>Sis为恒定势垒水平。如果股票价格在最后一刻达到了关口水平，那么交易损失是S，而如果它在最后一刻达到了关口水平，那么我们必须-rft*- Sas是我们交易策略的贴现价值。考虑布朗运动过程，漂移为xt=ut+Wt，（7），其中Wt是标准的布朗运动，u∈ R, 注意这个过程的第一次通过时间τm=min{t≥ 0:X（t）=m}（8）对于固定的m。带漂移的布朗运动Xt在μ>0时几乎肯定会在有限时间内达到m级，即P（τm<∞) = 1.XT第一次通过时间的拉普拉斯变换等于（见[14]第120页）e[e]-rτm]=emu-M√2rf+u，适用于所有r>0的情况。（9）在方程9中，将Xt=ln（St/S）/σ，u=（α-σ/2）/σ和m=ln（B/S）/σ。那么Xt=ut+wt的过程与asSt=Sexp（（α）的过程相同- σ/2）t+σWt），（10），因为它在Black-Scholes模型下。交易利润的预期值为正值（如果α>rf）：请注意，等式9的右侧可以等效为学士学位(u-√2rf+u）/σ。方程9中的结果得出以下公式，用于计算足够大的t的预期交易利润：E[v（t）]=B学士学位(u-√2rf+u）/σ- S（11）具有积极的预期交易利润限制→∞E[v（t）]>0，（12）对于u>0和B>S。命题3如果u>0和m>0，则示例2中给出的交易策略中预期贴现利润的限制始终为正：limt→∞E[v（t）]=边界元u-M√2rf+u- S> 0。（13）证据。考虑由X（t）=ut+W（t）给出的随机过程，其中W（t）是标准布朗运动过程，我们有X（t）、τm和之前定义的m。

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2022-5-6 08:32:10

按照[14]第111页给出的类似步骤，我们首先编写鞅过程Z（t）asZ（t）=exp（σX（t）-（σu+σ/2）t），（14）这显然是一个Z（0）=1的指数鞅，利用这个事实我们得到exp（σX（t）∧ τm）- （σu+σ/2）（t∧ τm）= 1，t≥ 对于σ>0和m>0，我们知道≤ exp（σX（t）∧ τm）≤ eσm.如果τm<∞, 我们有经验(-（σu+σ/2）（t∧ τm））=exp(-（σu+σ/2）τm）足够大，而如果τm=∞, 我们有经验(-（σu+σ/2）（t∧ τm））=exp(-（σu+σ/2）t），指数项收敛到零。我们可以把这两个案子写在一起→∞经验(-（σu+σ/2）（t∧ τm））=exp(-（σu+σ/2）τm），（16）我们记得，由于等式9，第一次通过时间几乎肯定是有限的，即P（τm）<∞) = 对于足够大的t，我们有exp（σX（t∧τm）=exp（σX（τm））=exp（σm）=B/S。将两个指数项的乘积写成limt→∞exp（σX（t）∧ τm）- （σu+σ/2）（t∧ τm）=exp（σm）- （u+σ/2）τm）（17）并利用支配收敛定理交换极限和期望，得到1=E[exp（σm）- （σu+σ/2）τm）]，（18）式中u=（α）- σ/2)/σ. 这意味着(-ατm）]=e-mσ=SB。（19）注意limt→∞v（t）=Be-rfτm- 沙限→∞E[v（t）]=E[limt→∞v（t）]=BE[e-rfτm]-S、在哪里-rfτm]- S> BE[电子]-ατm]- 对于α>rf>0，通过等式19，S=0，从而证明了贴现累积利润方差的正性。交易利润方差：接下来，我们推导出交易利润方差的分析公式。对于效率较高的t，我们写下R（v（t））=E[v（t）]- E[v（t）]，（20）其中→∞E[v（t）]=E[limt→∞v（t）]（21）=BE[e-2rfτm]- 2BSE[e-rfτm]+S.（22）因此，累计贴现交易利润的方差极限为极限→∞var（v（t））=B学士学位(u-√4rf+u）/σ-学士学位(2u-2.√2rf+u）/σ.

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2022-5-6 08:32:13

（23）首次通过时间：实施交易策略的投资者也有兴趣了解首次通过时间的分布和出售股票的时机。如果满足α>σ/2和B>的条件，则方程7中漂移到水平m=log（B/S）/σ的布朗运动的首次通过时间由τm给出~ 搞笑mu，m, （24）式中，IG表示预期利润相对于障碍水平的逆高斯分布变化：图1：预期利润作为股票α和σ的函数（假设α>rf=0.05，S=1，B=1.3）0.10.150.20.250.30.350.10.150.20.250.30.350.40.450.50.060.080.10.120.140.160.180.20.220.26α预期交易利润σ看到障碍增加的影响B级关于随机贴现率和交易利润，我们采用等式9和11的偏导数。我们获得E[E]-rfτB]B=（u）-p2rf+u）σE[E-rfτB]B<0，（25），正如预期的那样，这是负的，因为势垒水平的增加意味着我们平均在较短的时间内击中势垒，并且在击中时间获得的一个do的当前值降低。然而，相对于B级屏障，读数的偏导数（对于足够大的t）为正。将方程11与B进行微分，我们得到E[v（t）]B=（σ+u）-p2rf+u）σ学士学位(u-√rf+u）/σ>0，表示α>rf。（26）上述结果表明，当barr-ier水平足够大时，预期收益随着barr-ier水平的增加而增加，而更高的势垒水平意味着我们平均需要等待更长的时间才能观察到有界的方差。换言之，虽然我们的预期收益增加，但我们在任何时间t都会受到更高水平方差的影响。为了更好地理解方程11，在图1中，我们绘制了从策略中获得的与α和σ的不同值相关的百分比收益。

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nandehutu2022

2022-5-6 08:32:17

我们观察到，当波动率较高时，相对于股票α的增加，股价的收益率较高。这与我们的直觉一致，因为在低波动水平下，股票价格路径已经达到了最低点，与预期增长率没有太大偏差。同样清楚的是，对于足够大的t，P（τB<∞) = 1，那么方差对于几乎肯定在有限时间内终止的策略是有界的。再次，我们得出结论→∞var（v（t））/t=0。损失概率：损失概率的极限由IMT给出→∞P（v（t）<0）=P（τm>σm/rf）=1-图（σm/rf）（27）图2：实施统计套利策略与时间策略相关的贴现累积交易收益的蒙特卡罗模拟。

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2022-5-6 08:32:21

参数：S=1，B=1.2，α=0.16，rf=0.04，σ=0.2，N=10000，M=252-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.20100020003004000500060007000一年一次-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2010002000000060007008000两年-0.8-0.6-0.4-0.20 0.201000200000000005000600070080000五年-1.-0.5 0.5010002000300040005000600070080009000十年频率收益率-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2010002000030040005000600070080000二十年利润-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.20100020000300005000600070080000五十年绩效图3：示例2.0 10 20 30 40 500.080.090.10.110.120.130.140.15交易利润平均值时间（年）利润0 10 20 30 40 5000.511.522.533.544.55x 10中给定交易策略的平均值、时间平均方差和损失概率的演变-3时间平均方差方差/时间（年）0 10 20 30 40 5000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2损失概率时间（年）蒙特卡罗模拟分析公式蒙特卡罗模拟分析公式蒙特卡罗模拟分析公式其中FIG为逆高斯分布的cdf。请注意，在这种策略中，损失概率不会衰减到ze ro，这违反了统计套利的定义。接下来，我们展示了蒙特卡罗实验的结果，以验证我们在本例中的结论。蒙特卡罗实验示例2：让我们考虑示例2中描述的策略，其中α=0.16，rf=0.04，波动率σ=0.2。我们以无风险利率借款，并在时间0时做多一个单位的股票。我们设定=1，势垒等于1.2。我们模拟了每天股票价格的10000条路径，时间步长M=252（即。t=1/252）。我们执行我们的交易策略，当我们从未触及1.2美元的关口时，立即将所有资金投入货币市场账户。

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nandehutu2022

2022-5-6 08:32:25

因此，一旦股价达到临界点，方差变为零，我们的利润以无风险的rf增长。贴现累积利润的经验分布如图2所示，投资期限为一年、二年、五年、十年、二十年和十五年。经验分布收敛于有界方差，但损失概率并不像我们预期的那样为零。如图3所示，Mo-nte Carlo模拟结果与理论结果一致，时间平均方差按预期衰减为零。图4：关于时间1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.8时间逆高斯PDF（时间）的首次通过时间密度τb图5：用几何布朗运动的模拟路径演示示例3中的交易规则。如果股价达到停止边界（参数：rf=0.04，α=0.16，σ=0.2）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.80.911.11.21.31.41.5年内的时间股价如果达到无风险增长，卖出股票的预期增长图4描绘了第一次通过时间的密度。我们观察到，随着时间的推移，首次通过时间密度迅速衰减为零，我们的交易策略终止的概率非常高，因为投资范围非常大。然而，在这个例子中，总是存在股票价格路径到达障碍太晚，无法产生正收益。在我们的下一个例子中，我们修改了交易策略，以获得收敛到零损失概率。例3:（“买入并持有直到障碍”）与前一个示例不同，在这个示例中，我们使用确定性停止边界，并说明如何获得统计套利。我们的交易策略如下：一开始，我们通过向银行借款，多头买入一个单位的股票。

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2022-5-6 08:32:28

如果股价下跌，立即卖出股票。该策略如图5所示，其中我们模拟了一年内10个每日股价路径，k为0.05。该策略的贴现累积交易利润可以写成sv（t）=（Sk如果τk∈ [0，t]Ste-rft- 选择（28），其中τk=min{t≥ 0:St=S（1+k）erft}。（29）如果股票价格达到B=S（1+k）erft的势垒水平，那么我们可以等价地把这个事件写成漂移击中ln（1+k）/σ的布朗运动。障碍物等级k*对于漂移为xT的布朗运动，给出k*= ln（1+k）/σ，因为ln（e）-rftSt/S）/σ=ln（1+k）/σ。在这个例子中，我们考虑了贴现股价过程，我们可以写出ext=ut+Wt（30）τk*= min{t≥ 0:Xt=k*} （31）对于k*= ln（1+k）/σ>0且u=（α）- 射频- σ/2)/σ.与前面的例子类似，我们得出结论，带漂移的布朗运动的首次通过时间是逆高斯分布的τk*~ 搞笑K*u，k*. （32）交易利润的预期值和方差：假设xu>0，我们有P（τk*< ∞) = 1，对于足够大的t，股票价格会到达决定性的障碍。然后限制→∞E[v（t）]=E[limt→∞v（t）]=Sk>0。v（t）和limt的有界性→∞v（t）=Sk表示极限→∞var（v（t））/t=0。在这种交易策略中，风险资产的持有量在足够大的情况下变为零，并且差异在时间上变为零。损失概率：设M（t）为时间间隔[0，t]内过程Xt的最大值，且最大值小于势垒k的概率*= ln（1+k）/σ用P（M（t）<k表示*).

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2022-5-6 08:32:32

在我们的交易策略中，损失概率P（v（t）<0）由P（v（t）<0）=P（St<Serft，τk）给出*> t） =P（St<Serft |τk）*> t） P（τk）*> t）（33）=P（（α）- 射频- σ/2）t+σWt<0 | M（t）<k*)P（M（t）<k*)≡P（Z<-(α - 射频- σ/2)√t/σ|τk*> t） ×Φ（k）*- (α - 射频- σ/2）t/σ√（t）- e2k*(α-射频-σ/2)/σΦ(-K*- (α - 射频- σ/2）t/σ√（t）,其中Z是标准正态随机变量，Φ（.）是标准的正常cdf。对于α- 射频≥ σ/2作为t→ ∞ 损失概率为零，而α- rf<σ/2我们几乎肯定会因为t而亏损→ ∞. 在0<α的情况下，损失的概率不会降至零- rf<σ/2。在0<α的情况下- rf<σ/2，作为t→ ∞ 从等式33中我们得到：→∞P（v（t）<0）=1- e2k*(α-射频-σ/2）/σ>0，（34），这意味着对于0<α-rf<σ/2在等待障碍策略下，损失概率不收敛于零。α情形下带漂移的布朗运动的有限首次通过时间- rf>σ/2，意味着总存在一个足够大的T，使得v（T）=Sk代表所有T≥ 这是什么限制→∞P（v（t）<0）=0。对于α- rf>σ/2，对于足够大的t，方差变为零。

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2022-5-6 08:32:35

因此，我们得出结论，在Black-Scholes框架下存在统计套利机会。接下来，我们通过蒙特卡罗实验证明了统计套利的存在。图6：从例3给出的交易策略中获得的贴现累积交易收益的经验分布的演变。-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.101000200030004000600070080009000一年一次-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.101000200030004000600070080009000100002年-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.10100020003000400060007008000900000005年-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.10100020003000400050006000700800090001000010年收益率（%）-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05 0.050100002000300400050006000700800090000200年收益率（%）0.05 0.05 0.05 0.05 0.05010000300400050006000700800090001050年收益率（%）图7：平均值、时间平均方差的演变，以及示例3.0 10 20 30 40 500.0250.030.0350.040.0450.050.0550.06中给定交易策略的损失概率交易利润的平均值（%）时间（年）0 10 20 30 40 5000.511.522.53x 10-3时间平均方差时间（年）010 20 30 40 5000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1损失概率（年）概率蒙特卡罗实验例3：为了验证例3中统计套利策略的有效性和收敛性，我们给出了蒙特卡罗实验的结果。我们用日常时间步长模拟了10000条样本路径，即对于T=1、2、5、10、20、50年的不同投资水平，M=252。我们设置=1，k=0.05，α=0.16，rf=0.04，σ=0.2。如图5所示，每当一个模拟的股票价格路径达到S（1+k）erft的决定论障碍时，我们就把股票出售，然后全部投资到货币市场账户。

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2022-5-6 08:32:38

对于足够大的t，贴现累积交易利润的平均值在E（v（t））=k时变成一个点质量，如图6中的n所示。在图7中，我们验证了对于足够大的t，预期贴现收益会共同收敛于tok，而时间平均方差和损失概率都会衰减为零。因此，蒙特卡罗结果与我们的理论结果一致，表明Black-Scholes框架下存在统计套利机会。在下一个例子中，我们考虑这样一种情况，即投资者知道一个给定的股票将在低预期增长率下表现不佳。在这种情况下，也存在统计上的大比特率机会。示例：4（“短到障碍”）如果α<rf，那么我们可以使用与示例3类似的策略，但这次我们缩短了图8：从示例4给出的交易策略中获得的贴现累积交易收益的经验分布的演变。-1.5-1.-0.50.502000400060008000001200014000100018000一年一次-2.-1.5-1.-0.50.500.20.40.60.811.21.41.61.82x 1042年-4.-3.-2.-10100.20.40.60.811.21.41.61.82x 1045年-4.-3.-2.-1 0 100.20.40.60.811.21.41.61.82x 104十年有效频率-8.-6.-4.-200.20.40.60.811.21.41.61.82x 10420年业绩-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 100.20.40.60.811.21.41.61.82x 10450年期0时的收益率，按无风险利率rf投资于货币市场。

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2022-5-6 08:32:41

每当股价达到基准点S（1+k）时，我们就会关闭短期仓位-请原谅。在这种交易策略中，如果τk，则我们策略中的贴现累积交易利润可以写为v（t）=（Sk/（k+1）∈ [0，t]S- Ste-rftelse，（35），其中τk=min{t≥ 0:St=S（1+k）-1erft}，障碍物水平为B=S（1+k）-请原谅。这相当于带漂移τ的布朗运动的击中时间-K*= 最小（t）≥ 0 : -Xt=-K*),k在哪里*= ln（1+k）/σ。设u=σ/2-(α-rf）σ到obta in-Xt=-ut- Wt=-ut+Wt=（α- 射频- σ/2）/σ+Wt。因此，之前的结果可以应用于α- rf<σ/2。因此，我们的交易策略“短到壁垒”满足统计套利条件，因为我们有P（τ-K*< ∞) = 1.或者，在不考虑止损边界的情况下，你可以继续做空股票，将收益投资于货币市场账户。由于贴现股票价格如命题2所示为零，方差也衰减为零，而limt→∞E[v（t）]=S.蒙特卡罗实验例4：我们考虑例4中引入的卖空策略，其参数集如下：α=0.01，rf=0.05，σ=0.2，N=10000，M=252，k=0.05。

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2022-5-6 08:32:45

我们模拟股票价格路径，当股票价格达到S（1+k）的障碍水平时-1请关闭短位置。在图8中，交易利润柱状图的时间演变表明，交易利润的分布在极限交易利润处收敛到一个点质量[1]- 1/（1+k）]=Sk/（1+k）=0.0496作为t→ ∞.由于空头头寸需要在相对较短的时间内平仓，投资者可以随时平仓t时间增量，并立即重新打开一个新的空头头寸，这不会影响您的交易成本。图9：平均值、时间平均方差、，示例4.0 10 20 30 40 500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05交易利润平均值时间（年）利润10 20 30 50 000.0020.0040.0060.0080.010.0120.014时间平均方差/时间（年）0 10 20 30 5000.020.040.060.080.10.120.140.16损失概率时间（年）图9清楚地表明贴现交易利润的预期值正在收敛到Sk/（1+k），而损失概率正在衰减到零。根据统计套利定义的要求，时间平均方差为零。在下一节中，我们将介绍Black-Scholes模型中保证统计比特率存在的条件。3.统计套利的存在在本节中，我们给出了在Black-Scholes框架下保证统计套利地质机会存在的条件。在下一个定理中，我们给出了股票价格过程几乎肯定会在有限时间内遇到障碍的情况。定理4假设股票价格遵循由t=Sexp给出的几何布朗运动(α - σ/2）t+σWt, σ > 0.

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2022-5-6 08:32:48

（36）我们定义了一个确定的停止边界B=S（1+k）erft，其中α，rf，k>0是常数，第一次通过时间表示为τB=min（t）≥ 0:St=B）。（37）那么股票价格过程的第一个经过时间几乎肯定是确定的，即P（τB<∞) = 1对于α- rf>σ。证据让我们定义一个带漂移的布朗运动过程，如下所示：Xt=ln（e-rftSt/S）σ=（α- 射频- σ/2）σ|{z}ut+Wt.（38）注意St=B=S（1+k）erftif且仅当Xt=ln（1+k）/σ时。让k*= ln（1+k）/σ>0且停止时间τk*= 最小（t）≥ 0:Xt=k*).因此，P（τB<∞) = 1当且仅当P（τk）*< ∞) = 1.按照[14]中给出的类似过程（见第120页），我们引入了一个指数鞅过程sz（t）givenbyZ（t）=exp（θX（t）- （θu+θ）t），（39），其中Z（0）=1，θ是任意非负常数。因为任何停止鞅都是鞅，所以我们有经验θX（t）∧ τk*) - （θu+θ）（t）∧ τk*)= 1.（40）图10：在0的情况下，买入并持有（多头）直至障碍交易策略的平均值、时间平均方差和损失概率f的演变≤ α -射频≤σ. 给出的参数为α=0.05，rf=0.04，k=0.05，σ=0.2，N=10000，M=252.01050-4.-2024681012x10-3平均利润时间（年）利润0 10 20 30 40 5000.0020.0040.0060.0080.010.012时间平均方差/时间（年）0 10 20 30 40 5000.050.10.150.20.25损失概率时间（年）蒙特卡罗模拟限制概率。如果τk*= ∞ 术语exp(-（θu+θ）（t）∧ τk*)) 去ze ro，当τk*< ∞, 我们有经验(-（θu+θ）（t）∧ τk*)) = 经验(-（θu+θ）τk*) 对于足够大的t，另一项exp（θX（t∧ τk*)) 总是以exp（θk）为界*) 如果τk*= ∞. I fτk*< ∞,这个项等于exp（θW（t∧τk*)) = exp（θk）*).

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nandehutu2022

2022-5-6 08:32:51

两个独立项的乘积可以由imt来接受→∞经验θX（t）∧ τk*) - （θu+θ）（t）∧ τk*)= 1{τk* <∞}经验θk*- （θu+θ）τk*, （41）其中1{τk* <∞}=（1）如果τk*< ∞如果τk为0*= ∞.取方程40中的极限，并将极限与期望互换，作为支配收敛定理的结果，我们得到：{τk* <∞}exp（θk）*- （θu+θ/2）τk*)= 1（42）E[1{τk* <∞}E-（θu+θ/2）τk*] = E-θk*,这适用于（θu+θ/2）>0和θ>0。对于u>0的情况（即α- rf>σ/2），我们可以取方程42中θ两边的极限↓ 产生P（τk）的0*< ∞) = 1.然而，对于u<0和u>- θ/2，θ只能收敛到正常数θ↓ -2u，我们得到[1{τk* <∞}] = e2uk*< 1，对于u<0（43），因此P（τk*< ∞) < 1.情况的蒙特卡罗实验：0<α- rf<σ/2我们证明，对于0<α，我们没有获得统计套利- rf<σ/2，通过买入并持有（多头）直至障碍策略。考虑由α=0.05，rf=0.04，k=0.05，σ=0.2，N=100 00，M=252给出的参数。在图E10中，我们绘制了所考虑交易策略的平均值、时间平均方差和损失概率的时间演化图。我们观察到，从等式33中给出的分析公式中获得的损失概率与蒙特卡罗估计值非常接近。我们还绘制了当T→ ∞, 如等式34中的分析公式所示。在这个例子中，统计套利并不是简单地得到的，因为对于长距离障碍策略，只有当我们有α时，损失的概率才衰减为零-rf>σ/2a如等式33所示。

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2022-5-6 08:32:54

因此，定义1中的条件3显然不满足。下一个推论说明了α的对称结果- rf<σ/2。推论5定理4中得到的结果适用于对称情况，即第一对边界定义为B=S（1+k）-1erft，（在滥用旋转的情况下，我们仍然用B表示障碍物）τB=min（t≥ 0:St=B）。（44）那么，股票价格过程到B级的第一段时间几乎肯定是确定的，即P（τB<∞) = 1，对于α- rf<σ/2和P（τB<∞) < 1代表α- 射频≥ σ/2.证据考虑Xt=ln（Ste-rft/S）和Xt=-ut+Wt，其中u=rf-α+σ/2σ. 然后我们可以等效地写出Xt=-ut- 让k*= -ln（1+k）/σ<0，停止时间τk*= 最小（t）≥ 0:Xt=k*).按照[14]第110页中的类似参数，我们考虑以下指数Martingalez（t）=exp-θXt- （μθ+θ/2）t, （45）其中θ>0是任意常数。术语exp(-θXt）总是以eθk为界*. 我们得到了-（μθ+θ/2）τk*{τk* <∞}] = E-K*θ. （46）有两种情况需要考虑：（i）u>0；（ii）u<0和θ>-2u. 在第一种情况下，我们可以让θ→ 0，然后得到P（τk）*< ∞) = 1代表α- rf<σ/2。在第二种情况下，u<0和θ>-2u，我们有α- 射频≥ σ/2和θ收敛到一个正常数，因此我们有p（τk）*< ∞) < 1.定理6在Black-Scholes模型中，存在定义为1α的统计套利- rf6=σ/2。如果α- rf>σ/2，则长直到障碍策略存在统计套利，而如果α- rf<σ/2时，短期障碍策略存在统计套利。证据首先考虑情况- rf>σ。我们构建了“长期障碍”类型的交易策略，如下所示。通过在利率rf向银行借款，在时间0多头买入s股票，并持有该股票，直到其达到障碍，然后在s（1+k）erft水平卖出。然后，根据定理4，我们得到了P（τk）*< ∞) = 1.

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2022-5-6 08:32:57

正如我们在例3中所讨论的，为了有效地提高t，我们得到了给定asv（t）=（Sk ifτk）的贴现交易利润*∈ [0，t]，Ste-rft- 塞尔塞。（47）那么，我们有极限了→∞E[v（t）]=Sk>0，limt→∞var（v（t））/t=0，由于有效的大股票价格过程几乎肯定会达到临界水平，因此损失的概率衰减为零，即极限→∞P（v（t）<0）=0。因此，定义1是满足的。对于第二种情况，α- rf<σ/2，我们可以考虑“短到障碍”类型的交易策略。在时间0时，做空一个单位的股票并在货币市场账户中投资。正如我们在例4中分析的，如果τk，则累计贴现交易利润为asv（t）=（Sk/（k+1）*∈ [0，t]，S- Ste-瑞特尔斯。（48）同样，我们也有限制→∞E[v（t）]=Sk/（k+1）>0，limt→∞var（v（t））/t=0，由此推论，5个股票价格路径几乎肯定会在一定时间内达到障碍，即。P（τk）*< ∞) = 1.当交易利润的平均值收敛到Sk/（1+k）时，损失的可能性衰减到ze ro。因此，对于α- rf>σ/2和α- rf<σ/2，我们可以分别通过多向和短向障碍策略获得统计套利。4.关于统计套利的定义在本节中，我们通过定义1证明了统计套利策略特征iz的其他性质。在下一个命题中，我们证明，如果方差本身在时间上衰减为零，那么这意味着损失的概率衰减为零。因此，定义1的条件3是多余的。我们还证明，如果预期交易利润在时间上趋于一致，且方差收敛到常数，则这意味着条件3是满足的。假设概率空间为命题7(Ohm, A、 P）和随机过程{v（t）：t≥ 0}定义在此空间中。假设我们的交易策略{v（t）具有以下性质：≥ 0}1. v（0）=02。极限→∞E[v（t）]>0,3。

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mingdashike22

2022-5-6 08:33:00

极限→∞var（v（t））=0，则条件1- 3.限制→∞P（v（t）<0）=0。证据C antelli不等式[5]是切比雪夫线性性质的单尾形式，它表明，对于具有均值u和方差σP（X）的实随机变量X- u ≥ （a）≤σσ+a，（49）其中a≥ 0.我们可以改变X的符号并考虑-带平均值的X-u哪个是ieldsP(-X+u≥ a） =P（X）≤ u - （a）≤σσ+a，（50）对于时间t的每一个fix值，我们有一个随机变量v（t），其均值和方差σt≤ ut-（a）≤σtσt+aby设置a=ut。通过上述条件2，我们总能找到足够长的时间T≥ t、 ut=E[v（t）]>0，这意味着P（v（t）<0）≤σtσt+ut.以s两侧的极限为例，我们有极限→∞P（v（t）<0）=需要0秒。在下一个命题中，我们证明了统计套利策略v（t）的第二个性质。命题8假设我们的交易策略{v（t）具有以下性质：≥ 0}1. v（0）=02。极限→∞E[v（t）]=∞,3.限制→∞var（v（t））=c，其中c是一个正常数。那么，条件1- 3.暗示限制→∞P（v（t）<0）=0。证据证明类似于第7条的证明。在任何初始时间t（t≥ t），让满足定义1的随机过程v（t）的组合用C表示。在下一个命题中，我们证明了C是一个凸集。命题9给出了任意两种交易策略v（t），v（t）∈ C、它们的线性组合v*（t） =av（t）+（1）- a） v也是C.Proof。设v（t）和v（t）是满足定义1的任意两个随机过程。乐视网络电视*= av（t）+（1）- a） v（t）其中a∈ [0, 1].

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2022-5-6 08:33:04

（i）既然v（0）=0和v（0）=0，那么*(0) = 0.（ii）我们有限制→∞E[v（t）]=limt→∞E[av（t）]>0和（1- a）极限→∞E[v（t）]=limt→∞E[（1）-a） v（t）]>0，这意味着limt→∞E[av（t）+（1）- a） v（t）]=limt→∞E[v]*（t） ]>0。（iii）我们有限制→∞P（v（t）<0）=limt→∞P（av（t）<0）=0，并且类似地限制→∞P（（1）- a） v（t）<0）=0，这意味着limt→∞P（v）*（t） <0）=0。（iv）var（av（t）+（1）-a） v（t））=avar（v（t））+（1-a） var（v（t））+2a（1）-a） cov（v（t），v（t））因为cov（v，v）=ρσ和ρ∈ [0,1]，我们得到了限制→∞var（v）*（t））t=0如果P（v*（t） <0）>0，t<∞.由于统计套利交易策略集的凸性，我们可以在最小化方差的最优投资权重中考虑两种交易策略（即s和obta）的线性组合。更一般地说，投资组合理论的均值-方差分析可用于获得一组有效的统计套利策略，这些策略投资于满足我们推导的统计套利条件的一组股票。备注10我们可以最小化两个统计套利策略的线性组合的方差asminaaσ+（1）- a） σ+2a（1）- a） ρσ，（51）式中∈ [0,1]，σ和σ是v（t）和v（t）的标准偏差，关于。使方差最小的最优投资组合权重由^a=σ给出- ρσσσ+ σ- 2ρσσ, 1 - ^a=σ- ρσσσ+ σ- 2ρσ时间t.（52）5结论统计套利机会可以被视为有限期内的无风险盈利机会。在一个经济体中，统计交易机会的存在和此类交易机会的可容许集合与市场效率密切相关。

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2022-5-6 08:33:07

当交易者发现时，可以利用统计套利机会，这有助于市场走向高效。在这项研究中，我们推导了Black-Scholes模型中的无统计套利条件，由0<α给出- rf<σ/2，这意味着任何给定股票的夏普比率必须以σ/2为界。我们表明，如果市场中存在不足，那么投资者可以利用Black-Scholes框架中的统计套利机会。我们通过引入停止边界来设计交易策略，以确保统计套利的存在。我们的研究结果表明，未来的研究方向多种多样。首先，我们可以考虑Black-Scholes模型的推广，并推导出更一般模型的无统计套利条件。此外，我们的结果可以推广到股票投资组合，并且可以通过最小化统计套利投资组合的方差来设计最优的统计套利策略。6致谢我要感谢佛罗里达州立大学的吉雷·奥克滕教授对改进手稿的宝贵意见。参考文献[1]Avellaneda，M.，Lee，J.-H.（2010）美国股票市场的统计套利。定量金融，10:761-782。[2] Bertram，W.K.（2010）最优统计套利交易的解析解。物理学：统计力学及其应用，389（11）：2234-2243。[3] 布莱克，F.，斯科尔斯，M.（19 73）期权定价和公司负债。《政治经济学杂志》，81（3）：637-654。[4] Bondarenko，O.（2003）统计套利和证券价格。《金融研究回顾》，16（3）：875-919。[5] 坎泰利·F.（1910年）在里希奥大教堂的教堂里。意大利博莱托德尔协会。[6] 康明斯，M，布卡，A。

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