基于马尔可夫调制利维动力学的货币衍生品定价

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收藏 2022-06-26

英文标题：
《Pricing Currency Derivatives with Markov-modulated Levy Dynamics》
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作者：
Anatoliy Swishchuk, Maksym Tertychnyi, Robert Elliott
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
Using a Levy process we generalize formulas in Bo et al.(2010) for the Esscher transform parameters for the log-normal distribution which ensure the martingale condition holds for the discounted foreign exchange rate. Using these values of the parameters we find a risk-neural measure and provide new formulas for the distribution of jumps, the mean jump size, and the Poisson process intensity with respect to to this measure. The formulas for a European call foreign exchange option are also derived. We apply these formulas to the case of the log-double exponential distribution of jumps. We provide numerical simulations for the European call foreign exchange option prices with different parameters.
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中文摘要：
利用Levy过程，我们推广了Bo et al.（2010）中对数正态分布的Esscher变换参数公式，从而确保鞅条件适用于贴现汇率。利用这些参数值，我们找到了一个风险神经度量，并提供了关于该度量的跳跃分布、平均跳跃大小和泊松过程强度的新公式。推导了欧式看涨期权的计算公式。我们将这些公式应用于跳跃的对数双指数分布的情况。我们对不同参数的欧式看涨期权价格进行了数值模拟。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Pricing_Currency_Derivatives_with_Markov-modulated_Levy_Dynamics.pdf
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可人4

2022-6-26 09:21:43

Markov modulatedL'evy DynamicsAnatoliy Swishchuk，Maksym Tertychnyi，Robert Elliott卡尔加里大学数学与统计系货币衍生品定价，Canadaaswish@ucalgary.caDepartment卡尔加里大学数学与统计系，Canadamtertych@ucalgary.ca，maksym。tertychnyi@gmail.comDepartment卡尔加里大学数学与统计系，Canadarelliott@ucalgary.ca，罗伯特。elliott@haskayne.ucalgary.caAbstractUsingL'evy过程我们推广了Bo et al.（2010）中对数正态分布的Esschertransform参数公式，确保鞅条件适用于贴现汇率。利用这些参数值，我们找到了一个风险神经度量，并提供了关于该度量的跳跃分布、平均跳跃大小和泊松过程强度的新公式。还导出了欧洲看涨期权的公式。我们将这些公式应用于跳跃的对数双指数分布的情况。我们对不同参数的欧洲看涨期权价格进行了数值模拟。关键词：外汇汇率，Esscher变换，风险中性测度，欧式看涨期权，列维过程，马尔可夫过程。数学学科分类：91B70、60H10、60F25.1简介直到20世纪90年代初，关于外汇期权定价的现有学术文献可分为两类。在第一种情况下，国内和国外利率均假定为常数，而即期汇率则假定为非弹性。例如，参见Jarrow等人（1981，[3]）。第二类外币期权定价模型包含随机利率，基于默顿1973年[30]提出的股票期权定价随机利率模型。

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mingdashike22

2022-6-26 09:21:46

例如，参见Grabbe（1983，[23]）、Adams等人（1987，[1]）。不幸的是，这种定价方法没有将完整的期限结构模型集成到估价框架中。据我们所知，Amin et al.（1991，[3]）是第一个使用Heath et al.（1987）期限结构模型开始讨论和构建随机利率下外汇或有索赔定价的一般框架的人。Melino等人（1991年，[28]）研究了外汇汇率过程（在确定性利率下）、观察到的期权价格，Rumsey（1991年，[37]）考虑了交叉货币期权。Mikkelsen（2001，[32]）利用即期汇率的利率和确定性波动率的市场模型，通过模拟跨货币期权进行了研究。Schlogl（2002，[38]）将市场模型扩展到跨货币框架。Piterbarg（2005，[34]）开发了跨货币衍生品模型，如PRDC掉期，并对货币期权进行了校准；他既没有使用市场模型，也没有使用随机波动率模型。在Garman et al.（1983，[10]）和Grabbe（1983，[23]）中，外汇期权估值公式是在假设汇率遵循具有连续样本路径的扩散过程的情况下推导出来的。Takahashi et al.（2006，[42]）提出了一个新的近似公式，用于在随机利率环境下，使用跳差随机波动过程对即期汇率进行货币期权估值。特别是，他们应用了Brace et al.（1998）、Jamshidian（1997，[20]）和Miltersen et al.（1997，[31]）开发的市场模型来模拟利率的期限结构。此外，Ahn等人（2007年，[2]）推导出了当汇率动态受跳跃扩散过程控制时，欧洲外汇看涨期权和看跌期权价值的显式公式。

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nandehutu2022

2022-6-26 09:21:48

Hamilton（1988）是第一个通过对制度变化的理性预期计量经济学分析来研究利率期限结构的人。痛风金属。（2011年，[11]）在汉密尔顿-马尔可夫制度转换框架下，使用修正的考克斯-英格索尔-罗斯模型研究了汇率。Zhou等人（2012，[43]）考虑了利率模型与制度转换的可访问实现。Siu等人（2008，[40]）考虑了双因素马尔可夫调制随机波动率模型下的货币期权定价。Swishchuk和Elliott在期权定价中应用了隐马尔可夫模型[41]。Bo等人（2010年，[8]）讨论了货币期权定价的马尔可夫调制跳跃差异（由复合泊松过程建模）。我们注意到，Bjork（1998，[6]）讨论了国内外股票市场的货币衍生工具，以及国内货币与固定外币之间的汇率以及固定利率。我们还提到Benth等人（2008年，[5]）讨论了在国内外利率不变的情况下远期和掉期价格的货币转换。在本文中，我们将[8]的结果推广到FXrate的动力学由一般L'evy过程驱动的情况下（[33]）。我们研究的主要结果如下：1）在第2节中，我们推广了[8]中关于Esscher变换参数的公式，该公式确保贴现外汇汇率的鞅条件是一般L'evy过程的阿马丁格尔（见（30））。使用这些参数值（见（39），（40）），我们继续进行风险神经度量，并提供跳跃分布的新公式（见（36））、平均跳跃大小（见（20））和与度量有关的泊松过程强度（见（19））。第2节末尾给出了欧洲看涨期权外汇期权的定价公式。

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nandehutu2022

2022-6-26 09:21:51

（它们与[8]中的相似，但新风险中性度量的平均跳跃大小和泊松过程强度不同）。2）在第3节中，我们将公式（19）、（20）、（39）、（40）应用于对数双指数过程（见（51）），用于跳跃（见（58）-（63））。3）在第5节中，我们提供了不同参数的欧洲看涨期权价格的数值模拟（在跳跃的对数双指数分布和指数分布的情况下）：S/K，其中S是初始即期外汇汇率，K是到期时间T的履约外汇汇率，参数θ、θ是对数双指数分布。附录中提供了用于期权价格数值模拟的Matlab函数代码。2通用L'evy Processlet的货币期权定价(Ohm, F、 P）是一个具有概率测度P的完整概率空间。考虑连续时间，有限状态马尔可夫链ξ={ξt}0≤t型≤吨(Ohm, F、 P）对于状态空间，单位向量集（e，···，en）∈ RN具有速率矩阵∏。链的动力学由以下公式给出：ξt=ξ+Zt∏ξudu+Mt∈ Rn，（1）其中M={Mt，t≥ 0}是关于（Fξt）0的Rn值鞅≤t型≤T、自然过滤（Ft）的缺失0≤t型≤T、由马尔可夫链ξ生成。考虑马尔可夫调制的默顿跳差，该跳差模拟spotFX利率的动力学，由以下随机微分方程给出（在后续SDE中，请参见[8]）：dSt=St-utdt+σtdWt+（eZt-- 1） dNt公司. （2）这里utis漂移参数；WT是布朗运动，σ是波动率；NTI是强度为λt，eZt的泊松过程-- 1是给定跳跃到达时间的跳跃幅度。zt的分布具有密度ν（x），x∈ R、使用有限状态马尔可夫链对参数ut、σt、λt进行建模：ut：=<u，ξt>，u∈ Rn+；σt：=<σ，ξt>，σ∈ Rn+；λt：=<λ，ξt>，λ∈ Rn+。

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kedemingshi

2022-6-26 09:21:54

（3）（2）的解为St=SeLt（其中Sis为t=0时的即期外汇汇率）。此处Ltis由以下公式得出：Lt=Zt（us- 1/2σs）ds+ZtσsdWs+ZtZs-dNs。（4）在我们的数值模拟中，我们考虑了三态马尔可夫链，并使用外汇市场欧元/美元货币对计算∏中的元素。该市场由aMarkov调制跳跃扩散模型驱动，存在多个等价鞅测度。我们将定义区域切换广义Descher变换，以确定特定的等价鞅测度。利用伊藤公式，我们可以推导贴现现货汇率的随机微分方程。为了确定贴现即期外汇利率，我们需要引入本国和外国无风险利率，用于本国和外国货币的债券。国内外利率（rdt）0≤t型≤T、（rft）0≤t型≤使用马尔科夫链（ξt）0定义皮重≤t型≤T（见[8]）：rdt=hrd，ξti，rd∈ Rn+，rft=hrf，ξti，rf∈ Rn+。贴现即期汇率为：Sdt=expZt（rds- rfs）dsSt，0≤ t型≤ T、（5）使用（5）、微分公式（见Elliott et al.（1982，[12]）和即期外汇汇率的随机微分方程（2），我们找到贴现即期外汇汇率的随机微分方程：dSdt-= Sdt公司-（rdt- rft+ut）dt+Sdt-σtdWt+Sdt-（eZt-- 1） dNt。（6）要得出主要结果，请考虑对数即期外汇汇率yt=logStS公司使用微分公式：Yt=Ct+Jt，其中Ct，Jt是Yt的连续和微分部分。它们在（7）、（8）中给出：Ct=Ztrds- rfs+usds+ZtσsdWs，（7）Jt=ZtZs-dNs。（8） Let（FYt）0≤t型≤t去除自然过滤（Ft）的P-增强0≤t型≤T、由Y生成。对于每个t∈ [0，T]设置Ht=FYt∨ Fξt。

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何人来此

2022-6-26 09:21:56

让我们也定义两类区域切换参数（θcs）0≤t型≤T、（θJs）0≤t型≤T： θmt=<θm，ξT>，θm=（θm，…，θmn） Rn，m={c，J}。定义随机Esscher变换Qθc，θJ~ 使用这些参数族（θcs）0≤t型≤T、（θJs）0≤t型≤T（详见【8】、【13】、【15】：Lθc，θJt=dQθc，θJdPHt=：（9）经验RtθcsdCs+RtθJs-DJE经验值RtθcsdCs+RtθJs-DJFξt.下面的定理给出了埃舍尔变换密度Lθc，θjt的显式公式。在[8]中，对数正态分布也证明了类似的说法。下面的公式可以通过Elliott和Osakwe（[14]）考虑的另一种方法获得。定理2.1。对于0≤ t型≤ T（9）中定义的Esscher变换的密度Lθc，θJt由Lθc给出，θJt=expZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×（10）经验ZtθJs-Zs公司-dNs-ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司.此外，随机Esscher变换密度Lθc，θJt（见（9），（10））是指数（Ht）0≤t型≤t可满足以下SDE：dLθc、θJtLθc、θJt-= θctσtdWt+（eθJt-Zt公司-- 1） dNt公司- λtZReθJtxν（dx）- 1.dt。（11）定理2.1的证明。复合泊松过程，驱动jumpsPNt（eZs--1）布朗运动是独立的过程。因此：E经验值ZtθcsdCs+ZtθJs-DJFξt=E经验值Ztθcs（us- 1/2σs）ds+ZtθcsσsdWs）FξtE经验值ZtθJs-Zs公司-dNsFξt. （12）让我们计算：E经验值ZtθJs-Zs公司-dNsFξt.WriteΓt：=扩展Ztαs-dNs, αs=θJsZs。利用微分规则（见[12]），我们得到了Γt的以下表示：Γt=Γ+MJt+Z]0，t]ΓsZR（eαs- 1） ν（dx）λsds，（13），其中mjt=Z]0，t]Γs-（eαs- 1） dNs-Z] 0，t]sZR（eαs- 1） ν（dx）λsds是关于Fξt的鞅。

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能者818

2022-6-26 09:21:59

利用这个事实和（13）我们得到：E经验值ZtθJsZs-dNsFξt= 经验值ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司（14）我们从差异规则中得到：EheuRtσsdWsi=expuZtσsds, （15）其中σ是市场的波动性。将（14）和（15）代入（12），我们得到：E经验值ZtθcsdCs+ZtθJs-DJFξt=经验值Ztθcs（us- 1/2σs）ds+Zt（θcsσs）ds）经验值ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司. （16）将（16）代入Lθc，θJtin（9）的表达式中，我们得到：Lθc，θJt=expZtθcs（us- 1/2σs）ds+ZtθcsσsdWs）经验值ZtθJs-Zs公司-dNs× (17)经验值Ztθcs（us- 1/2σs）ds+Zt（θcsσs）ds）经验值ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司-1=经验值ZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×经验值ZtθJs-Zs公司-dNs-ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司.如果我们以Lθc，θJt=eXt的形式表示Lθc，θJt（见（17））并应用微分规则，我们得到（11）。从（11）可以看出，Lθc，θjt是一个鞅。我们将推导贴现即期外汇汇率（（5））为鞅的以下条件。这些条件将用于计算风险中性Esscher transformparameters（θc，*s） 0个≤t型≤T、（θJ，*s） 0个≤t型≤然后给出度量值Q。然后我们将使用这些值来确定欧洲看涨期权货币衍生品的无套利价格。定理2.2。让随机Esscher变换由（9）定义。那么鞅条件（对于Sdt，请参见（5））成立，当且仅当马尔可夫调制参数（θct，θJt，0≤ t型≤ T）满足所有0≤ t型≤ T条件：rft- rdt+ut+θctσt+λθ，Jtkθ，Jt=0。（18）这里，泊松过程的随机Esscher变换强度λθ，Jt和主要跳跃大小百分比kθ，Jt分别由λθ，Jt=λtZReθJsxν（dx），（19）kθ，Jt=RRe（θJt+1）xν（dx）RReθJtxν（dx）给出- 1，（20）只要rreθJtxν（dx）<+∞,RRe（θJt+1）xν（dx）<+∞.定理2.2的证明。贴现即期外汇汇率的鞅条件dθc，θJ【Sdt | Hu】=Sdu，t≥ u

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大多数88

2022-6-26 09:22:02

（21）为了推导该条件，使用了Bayes公式：Eθc，θJ[Sdt | Hu]=E[Lθc，θJtSdt | Hu]E[Lθc，θJt | Hu]，（22）考虑到Lθc，θJt是关于Hu的鞅，所以：ELθc，θJt胡= Lθc，θJu。（23）使用公式（5）求解即期外汇汇率的SDE，我们得出贴现即期外汇汇率的表达式如下：Sdt=SduexpZtu（rfs- rds+us- 1/2σs）ds+ZtuσsdWs+ZtuZs-dNs, t型≥ u、（24）然后，使用（10），（24），我们可以将（23）重写为：ELθc，θJtLθc，θJuSdt胡= SduE公司经验值ZtuθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×（25）经验ZtuθJs-Zs公司-dNs-ZtuλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司×经验值Ztu（rfs- rds+us- 1/2σs）ds+ZtuσsdWs+ZtuZs-dNs|胡=SduE公司经验值Ztu（θcs+1）σsdWs- 1/2Ztu（（θcs+1）σs）ds×（26）经验Ztu（rFs- rDs+us+θcsσs）ds经验值ZtuλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司|胡×E经验值Ztu（θcs+1）Zs-dNs|胡.使用布朗运动特征函数的表达式（见（15））我们得到：E经验值Ztu（θcs+1）σsdWs- 1/2Ztu（（θcs+1）σs）ds|胡= 从（14）中我们得到：E经验值Ztu（θcs+1）Zs-dNs|胡= 经验值ZtλsZRe（θJs+1）xν（dx）- 1.ds公司. （28）将（27）、（28）替换为（26），我们最终获得：ELθc，θJtLθc，θJuSdt胡= SduexpZtu（rfs- rds+us+θcsσs）ds×（29）经验-ZtuλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司经验值ZtuλsZRe（θJs+1）xν（dx）- 1.ds公司.从（29）中，我们得到了贴现即期外汇汇率的鞅条件：rft- rdt+ut+θctσt+λtZRe（θJs+1）xν（dx）-ZReθJsxν（dx）= 0。（30）我们现在证明，在Esscher变换下，新的泊松过程强度和平均跳跃大小由（19）、（20）给出。请注意，LJt=RtZs-dNsis即期外汇汇率SDE解公式（4）中L’evy过程的跳跃部分。我们有：EQheLJti=ZOhm经验值ZTZ公司-dNsLθc，*,θJ，*t（ω）dP（ω），（31），其中P是初始概率测度，Q是新的风险中性测度。

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nandehutu2022

2022-6-26 09:22:04

将Esscher变换的密度（10）代入（31），我们得到了（另见[14]）：EQheLJti=EP经验值ZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds- （32）ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司EP公司经验值Zt（θJs+1）Zs-dNs.使用（14）我们得到：EP经验值Zt（θJs+1）Zs-dNs= 经验值ZtλsZRe（θJs+1）xν（dx）- 1.ds公司（33）将（33）代入（32），并考虑到布朗运动的特征函数（见（15）），我们得到：EQheLJti=expZtλsZReθJsxν（dx）“RRe（θJs+1）xν（dx）RReθJsxν（dx）- 1#ds公司. （34）返回到初始测量值P，但λθ，Jt，kθ，Jt不同，我们有：E∧，νheLJti=expZtλθ，JsZRex￠ν（dx）- 1.ds公司. （35）新强度λθ的公式（19），Jtof泊松过程直接来自（34），（35）。通过以下公式从（35）中确定新的跳跃密度：RRe（θJt+1）xν（dx）RReθJtxν（dx）=ZRex（dx）。（36）我们现在计算新的平均跳跃大小，给定跳跃到达相对于新度量Q:kθ，Jt=ZOhm（eZ（ω）-1） d￠ν（ω）=ZR（ex-1） ν（dx）=ZRexν（dx）-1=RRe（θJt+1）xν（dx）RReθJtxν（dx）-1，（37）其中，新测量值|ν（dx）由公式（36）定义。我们可以将贴现即期外汇汇率的鞅条件（30）改写为以下形式：rft- rdt+ut+θctσt+λθ，Jtkθ，Jt=0，（38），其中λθ，Jt，kθ，Jt分别由（19），（20）给出。如果我们把kθ，Jt=0，我们就得到了产生鞅条件（38）的区域切换Esschertransform参数的以下公式：θc，*t=rdt- rft公司- utσt，（39）θJ，*t： RRe（θJ，*t+1）xν（dx）RReθJ，*txν（dx）=1。（40）在下一节中，我们将把这些公式（39），（40）应用于跳跃的对数双指数分布。现在，我们继续讨论欧式调用的一般公式（参见[8]、[29]）。对于执行价格为K且到期时间为T的欧洲看涨期权，时间为0时的价格由∏（S，K，T，ξ）=Eθc给出，*,θJ，*他-RT（rDs-rFs）ds（ST- K） +| Fξti。

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kedemingshi

2022-6-26 09:22:07

（41）让Ji（t，t）表示在[t，t]，t<t期间，ξ在状态ei中的占据时间。我们引入几个新的量，将在未来的计算中使用：Rt，T=T- tZT（rds- rfs）ds=T- tnXi=1（rdi- rfi）Ji（t，t），（42），其中Ji（t，t）：=RTt<ξs，ei>ds；Ut，T=T- tZTtσsds=T- tnXi=1σiJi（t，t）；(43)λθ*Jt，T=T- tnXi=1λθ*JiJi（t，t）；(44)λθ*t、 t=t- tZTt（1+kθ*Js）λθ*Jsds=T- tnXi=1（1+kθ*Ji）λθ*JiJi（t，t）；（45）Vt，T，m=Ut，T+mσJT- t、（46）其中σJis是跳跃分布的方差。Rt，T，m=Rt，T-T- tZTtλθ*Jskθ*Jsds+T- tZTlog（1+kθ*Js）T- tds=（47）Rt，T-T- tnXi=1λθ*Jikθ*Ji+mT- tnXi=1log（1+kθ*Ji）T- tJi（t，t），其中m是间隔[t，t]中的跳跃数，n是马尔可夫链ξ的状态数。请注意，在我们的考虑中，上述所有一般公式（42）-（47）都因以下事实而简化：kθ*对于新的风险中性度量，Jt=0，Esscher变换参数由（39）、（40）给出。

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nandehutu2022

2022-6-26 09:22:11

根据inMerton（1976，[29]）的定价公式，让我们定义（见[8]）π（S，K，T；R0，T，U0，T，λθ*0，T）=∞Xm=0e-Tλθ*,J0，T（Tλθ*0，T）嗯！×（48）BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m），其中BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m）是标准的Black-Scholes价格公式（见[6]），具有初始即期外汇汇率S、履约价格K、无风险利率r、波动率平方σ和时间T。然后，欧式看涨期权定价公式的形式为：∏（S，K，T）=Z[0，T]n∏（S，K，T；R0，T，U0，T，λΘ）*,J0，T）×（49）ψ（J，J，…，Jn）dJ。。。dJn，其中ψ（J，J，…，Jn）是占用时间的联合概率分布密度，由以下特征函数确定（见【14】）：E经验值胡，J（t，t）i= hexp{（π+diag（u））（T- t） }·E[ξ]，1i，（50），其中1∈ Rn是1的向量，u=（u，…，un）是变换变量的向量，J（t，t）：={J（t，t），…，Jn（t，t）}。3对数双指数过程的货币期权定价Zt的对数双指数分布-（eZt-- 1是（2）中的跳跃，在数学金融中起着基础作用，描述了一段时间内的即期外汇汇率变动。它由密度函数的以下公式定义：ν（x）=pθe-θxx个≥0+(1 - p） θeθxx<0。（51）该分布的平均值为：平均值（θ，θ，p）=pθ-1.- pθ。（52）该分布的方差为：var（θ，θ，p）=2pθ+2（1- p） θ-pθ-1.- pθ. （53）Kou在[24]中首次研究了双指数分布。他还提出了在数学金融中使用这种分配的经济理由。双指数分布有两个有趣的特性：轻量级特征（见[22]，§3；[24]）和无记忆特性（如果对于任何非负实数t和s，我们有Pr（X>t+s | X>t）=Pr（X>s），则X的概率分布是无记忆的，见示例[45]）。

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能者818

2022-6-26 09:22:14

最后一个属性继承自指数分布。如果峰值（更高的峰度）高于正态分布，则统计分布具有轻轨特征。这个高峰值和相应的胖尾表明，与正态分布相比，分布更集中在平均值周围，标准偏差更小。有关厚尾分布及其在数学金融中的应用，请参见【44】中的详细信息。轻轨分布意味着微小变化的可能性较小，因为历史值以平均值为中心。然而，这也意味着在厚尾中，大的波动有更大的可能性。图1：双指数分布（绿色）与正态分布（红色），平均值=0，偏差=2。在【27】中，该分布用于模糊环境下的资产定价模型。与L'evy过程描述的其他模型相比，包括对数双指数分布跳跃在内的模型的一些优点包括：1）该模型恰当地描述了股票和外汇市场的一些重要实证结果。双指数跳变扩散模型能够反映收益分布的波动特征。此外，在[36]中进行的实证检验表明，对数双指数跳变扩散模型比对数正态跳变扩散模型更适合股票数据。2）该模型给出了显式解，便于计算。3）该模型具有经济性解释。4）广泛的实证研究表明，市场往往对好消息或坏消息反应过度或反应不足。该模型的跳跃部分可以被视为市场对外部消息的反应。在没有外部消息的情况下，资产价格（或即期外汇汇率）随时间变化为几何布朗运动。

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大多数88

2022-6-26 09:22:16

好消息（在我们的例子中，外汇市场的外部冲击）是根据泊松过程得出的，即期外汇汇率根据跳跃大小分布而变化。由于双指数分布既有高峰又有重尾，因此可以应用它来模拟对外界新闻的过度反应（描述重尾）和反应不足（描述高峰）。5）对数双指数模型是自洽的。在数学金融学中，这意味着模型是无套利的。区域切换Esscher变换参数族由（39）、（40）定义。让我们定义θJ，*t、（第一个参数θc，*thas与一般情况下的公式相同）by:ZRe（θJs+1）xpθe-θxx个≥0+(1 - p） θeθxx<0dx=（54）ZReθJsxpθe-θxx个≥0+(1 - p） θeθxx<0dxWe需要对（54）中积分的收敛性进行额外限制：-θ<θJt<θ。（55）那么（54）可以用以下形式重写：pθθ- θJt- 1+(1 - p） θθ+θJt+1=pθθ- θJt+（1- p） θθ+θJt（56）求解（56）我们得到了二次方程：（θJt）（pθ- (1 - p） θ）+θJt（pθ+2θθ）- (1 - p） θ）+（57）pθθ+pθθ- θθ+ θθ= 0.如果pθ- (1 - p） θ6=0我们有两个解，其中一个满足限制条件（55）：θJt=-pθ+2θθ- (1 - p） θ2（pθ- (1 - p） θ）±（58）p（pθ+2θθ- (1 - p） θ）- 4（pθ- (1 - p） θ）（pθθ+pθθ- θθ+θθ）2（pθ- (1 - p） θ）则泊松过程强度（见（19））为：λθ，Jt=λtpθθ- θJt+（1- p） θθ+θJt. （59）与一般情况一样，新的平均跳跃大小（见（20））为：kθ，Jt=0（60）。当我们进行一个新的风险中性度量Q时，我们有一个新的跳跃密度νИν（x）=pθe-θxx个≥0+(1 - p）θeθxx<0。（61）可以使用（36）：pθ计算新概率▄p-θJt-1+(1-p） θθ+θJt+1pθθ-θJt+（1-p） θθ+θJt=～pθθ- 1+(1 - pθ）θ+1。（62）从（62）中，我们得到了▄p的显式公式：▄p=pθ-θJt-1+(1-p） θθ+θJt+1pθθ-θJt+（1-p） θθ+θJt-θθ+1θθ-1.-θθ+1.

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nandehutu2022

2022-6-26 09:22:19

（63）4对数正态过程的货币期权定价[8]研究了跳跃的对数正态分布和uj均值、σj偏差（见[46]），及其在货币期权定价中的应用。有关这些分配以及适用于外汇市场的其他分配的更多详细信息，请参见[47]。我们在这里给出了一个从[8]得到的结果的草图，以将其与本文讨论的跳跃对数双指数分布的情况进行比较。本文的主要目的是将这一结果推广到任意L'evy过程。[8]领域提供的结果如下：定理2.3。对于0≤ t型≤ T（9）中定义的Esscher变换的密度Lθc，θJt由θc给出，θJt=expZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×（64）经验ZtθJs-Zs公司-dNs-ZtλseθJsuJ+1/2（θJsσJ）- 1.ds公司,式中，uJ，σJ分别为跳跃的平均值和偏差。此外，therandom-Esscher变换密度Lθc，θJt，（参见（9），（10）），是指数（Ht）0≤t型≤t满足以下SDEdLθc、θJtLθc、θJt-= θctσtdWt+（eθJt-Zt公司-- 1） dNt公司- λteθJtuJ+1/2（θJtσJ）- 1.dt。（65）定理2.4。让随机Esscher变换由（9）定义。那么鞅条件（对于Sdt，请参见（5））成立，当且仅当马尔可夫调制参数（θct，θJt，0≤ t型≤ T）满足所有0≤ t型≤ 条件：rfi- rdi+ui+θciσi+λθ，Jikθ，对于所有i，Ji=0，1≤ 我≤ Λ. （66）其中泊松过程的随机Esscher变换强度λθ，Ji和平均跳跃大小百分比kθ，jire分别由λθ，Ji=λieθJiuJ+1/2（θJiσJ），（67）kθ，Ji=euJ+1/2σJ+θJiσJ给出- 1对于所有i.（68），满足鞅条件（66）的区域切换参数由以下公式给出：θc，*iis与（39）中的相同，θJ，*i=-uJ+1/2σJσJ，对于所有i.（69），参数θJ的值，*i： kθ*,Ji=0，λθ*,Ji=λi-uJ2σJ+σJ对于所有我。

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nandehutu2022

2022-6-26 09:22:22

（70）注意，这些公式（67）-（70）直接遵循我们对于一般L’evy过程的公式，（参见（19）、（20）、（40））。特别是kθ*,Ji=0，将（40）替换为kθ的表达式，Jiin（20）。从（40）我们得出：RRe（θJ，*i+1）xν（dx）RReθJ，*ixν（dx）=1（71）AsZReθJ，*ixν（dx）=p2πσJZReθJ，*ixe公司-（十）-uJ）2σJdx=e（σJθJ，*i） +θJ，*iuJ（72）我们从（71）中得到以下等式：e（σJ（θJ，*i+1））+（θJ，*i+1）uJ=e（σJθJ，*i） +θJ，*iuJ.（73）Esscher变换参数θJ值的表达式，*iin（69）紧跟在（73）之后。插入θJ的值，*对于λθ的表达式，我们得到了公式（70）。在数值模拟中，我们假设隐马尔可夫链有三种状态：向上、向下、侧向，并使用十三年期间（2000年1月3日至2013年11月）的实际外汇数据计算相应的利率矩阵。为了计算所有概率，我们使用Matlab脚本（见附录）。5数值模拟在图2-4中，我们将提供跳跃幅度由对数双指数分布描述的情况下的数值模拟。这三张图显示了欧洲看涨期权价格与S/K的相关性，其中S是初始即期汇率，K是不同到期时间T年的履约汇率：0.5、1、1.2。我们在Matlab中使用以下函数：Draw（S\\u 0，T，approx\\u num，steps\\u num，teta\\u 1，teta\\u 2，p，mean\\u normal，sigma\\u normal）来绘制这些图。

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nandehutu2022

2022-6-26 09:22:25

该函数的参数是：Sis是确定S/K比率第一点的起始即期FXrate，T是到期时间，Abrox num描述了在欧洲看涨期权定价公式中尝试计算积分平均值的次数（见第2节，（49）），steps num表示计算（49）中积分的时间间隔数；teta 1、teta 2、p是对数双指数分布中的θ、θ、p参数（见第3节，（51））。平均正态分布、西格玛正态分布是对数正态分布的平均值和偏差（见第4节）。在这三个图中：θ=10，θ=10，p=0.5；平均正态=0，西格玛正态=0.1。蓝线表示对数双指数，绿线表示对数正态，红线表示无跳跃的绘图。信噪比范围为0.8至1.25，阶跃为0.05；期权价格范围为0到1，步长为0.1。时间间隔数：num=10。从这三个图中，我们得出结论，将跳跃风险纳入即期外汇汇率模型非常重要。由无跳跃的Black-Scholes方程描述，图上的红线明显低于蓝线和绿线，分别代表跳跃的对数双指数分布和对数正态分布。对于两种类型的跳跃：对数正态和对数双指数，所有三个图的平均值均为0，偏差大致相等。

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能者818

2022-6-26 09:22:28

我们在不成立的情况下进行调查（见图5-7）。正如我们所看到的，对数双指数曲线与对数正态曲线相比上升，期权价格没有跳跃。如果我们将θ参数的值固定在对数双指数分布中，且s/K=1，则相应的图如图8所示。图9显示了欧洲看涨期权价格对对数双指数分布中参数θ、θ值的依赖关系图，同样S/K=1。所有绘图的Matlab脚本可根据要求提供图2:S=1，T=0.5，θ=10，θ=10，p=0.5，平均法线=0，σ法线=0.1图3:S=1，T=1.0，θ=10，θ=10，p=0.5，平均法线=0，σ法线=0.1图4:S=1，T=1.2，θ=10，θ=10，p=0.5，平均法线=0，σ法线=0.1图5:S=1，T=0.5，θ=5，θ=10，p=0.5，平均法线=0，sigma normal=0.1图6：S=1，T=1.0，θ=5，θ=10，p=0.5，平均正态=0，sigma normal=0.1图7：S=1，T=1.2，θ=5，θ=10，p=0.5，平均正态=0，sigma normal=0.1图8：S=1，T=0.5，θ=10，p=0.5图9：欧洲看涨期权价格：S=1，T=0.5，p=0.56结论，我们将[8]的结果推广到FXrate的动力学由一般L'evy过程驱动的情况。我们的主要研究结果如下：1）我们推广了[8]中关于Esscher变换参数的公式，从而确保贴现汇率的鞅条件是广义过程的鞅。利用这些参数的值，我们进行了风险神经度量，并提供了关于度量的跳跃分布、平均跳跃大小和泊松过程强度的新公式。

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kedemingshi

2022-6-26 09:22:31

还给出了欧洲看涨外汇期权的定价公式（它们与[8]中的公式类似，但新的风险中性度量的平均跳跃大小和泊松过程强度不同）；2）将所得公式应用于对数双指数过程的情形；3）我们还对不同参数的欧洲看涨期权价格进行了数值模拟。还提供了用于期权价格数值模拟的Matlab函数代码。参考文献[1]Adams P.和Wyatt S.（1987）：期权价格的偏差：来自外汇期权市场的证据。J、银行和金融，12月11日，549-562。[2] Ahn C.、Cho D.和Park K.（2007）：跳跃扩散过程下的外汇期权定价。J、期货市场，27，7669-695。[3] Amin K.和Jarrow R.（1991）：在随机利率下的外汇期权定价。J、实习生。《货币与金融》，10310-329。[4] 贝茨，D.S.，1996年。跳跃和随机波动：德国马克期权中隐含的汇率过程。财务研究回顾9，69-107。[5] Benth F.、Benth J.和Koekebakker S.（2008）：电力和相关市场的随机建模。世界科学[6]Bjork T.（1998）：连续时间套利理论。第二版牛津大学出版社。[7] Black、F.和M.Schotes。（1973）：期权定价和公司负债，政治经济学杂志81637-659。克拉克，P。。1973年，A从属随机[8]Bo L.，Wang Y.和Yang X.（2010）：货币期权定价的马尔可夫调制跳变差。保险：数学与经济学，46461-469。[9] Brace A.、Gatarek D.和Musiela M.（1998）：Heath、Jarrow和Morton的多因素Gauss-Markov实现。《数学金融》，7127-154。[10] Garman M.和Kohlhagern S.（1983）：外币期权价值。J

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nandehutu2022

2022-6-26 09:22:34

实习生货币和金融。2, 231-237.[11] Goutte S.和Zou B.（2011）：马尔可夫制度转换模型下的汇率。CREA讨论论文系列。卢森堡大学。[12] Elliott，R.J.（1982）：随机微积分和应用。斯普林格。[13] Elliott，R.J.，Chan，L.，Siu，T.K.（2005）：制度转换下的期权定价和Esscher变换。《金融年鉴》1423-432。[14] Elliott，R.J.，Osakwe，Carlton James U.（2006）：带有马尔可夫切换补偿器的纯跳跃过程的期权定价。《金融与随机》，第10卷，第2期，第250-275页。[15] Elliott，R.J.、Siu，T.K.、Chan，L.、Lau，J.W.（2007）：广义马尔可夫调制跳跃扩散模型下的期权定价。随机分析与应用25821-843。[16] 汉密尔顿J.（1988）：制度变迁的理性预期计量经济学分析：利率期限结构调查。J、经济。Dyna。控制，12（2-3），385-423。[17] Heath D.、Jarrow R.和Morton A.（1987）：债券定价和利率期限结构：未定权益估值的新方法。康奈尔大学，10月。[18] Heston，S.L.（1993）：随机波动性期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。财务研究回顾6327–343。[19] Hull，John C.期权、期货和其他衍生品。皮尔逊国际版，2006年。[20] Jamshidian F.伦敦银行同业拆借利率和掉期市场模型和措施。《金融与随机》，1293-330。[21]Jarrow R.和Old Field G.（1981）：远期合同和期货合同。J、金融经济学，9373-382。【22】约翰逊，N.，S.科茨，N.巴拉克里希南。（1995）：连续单变量分布，第2卷，第2版。Wiley，纽约。[23]Grabbe O.（1983）：外汇看涨期权和看跌期权的定价。J、实习生。《货币与金融》，12月2日，239-253年。[24]Kou S.G。

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nandehutu2022

2022-6-26 09:22:37

（2002）：期权定价的跳差模型。《管理科学》，48（8），1086–1101。[25]Lech A.Grzelak，Cornelis W.Oosterlee。（2010）：关于具有仓促波动和相关利率的跨货币模型。慕尼黑个人RePEc档案馆；http://mpra。ub。uni公司- 慕尼黑。de/23020/[26]Luenberger，投资科学博士。牛津大学出版社，1998年。【27】张丽华、张伟国、徐文军、肖伟林。（2012）：模糊环境下欧洲期权定价的双指数跳差模型。经济建模，29780-786。【28】梅利诺。Turnbull S.（1991）：外汇期权定价。加拿大。经济学，24251-181。【29】默顿，R.C.，1976年。基础股票收益不连续时的期权定价。《财经杂志》3125-144。默顿R.（1973）：理性期权定价理论。贝尔J.经济学。管理。Sci。，弹簧，4141-183。[31]Miltersen K.、Sandmann K.和Sondermann D.（1997）：具有长期正常利率的期限结构衍生品的闭式解。J、《金融》，52409-430。[32]Mikkelsen P.（2001）：跨货币LIBOR市场模型。奥胡斯大学。[33]Papapantoleon A.（2000）：介绍了Levy过程及其在数学金融中的应用。课堂讲稿。[34]Piterbarg V.（2005）：一个具有外汇波动偏斜的多货币模型。工作文件。[35]Privault N.（2013）：随机金融注释。课堂讲稿。Nicolas PrivaultNotes论随机金融http://www.ntu.edu.sg/home/nprivault/indext.html.[36]Ramezani，C.A.，Y.Zeng。（1999）：非对称跳跃扩散过程的最大似然估计：证券价格的应用。威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学统计系工作报告。[37]Rumsey J.（1991）：跨货币期权定价。J、期货市场，11，89-93。[38]Scholgl E。

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kedemingshi

2022-6-26 09:22:40

（2002）：对数正态利率市场模型的多币种扩展。《金融与随机》，6173-196。【39】Shreve S.E.（2000）：金融学的不确定性微积分2。第二版，斯普林格。[40]Siu T.K.，Yang H.和Lau J.（2008）：双因素马尔科夫调制随机波动率模型下的货币期权定价。保险：数学与经济学，43295-302。【41】Swishchuk A.，Elliott R.，定价期权。《金融学中的隐马尔可夫模型》，Springer，2007年。[42]Takahashi A.、Takehara K.和Yamazaki A.（2006）：在即期汇率跳变随机波动过程下，利用利率的amarket模型对货币期权进行定价。CIRJE-F-451，工作文件。[43]Zhou N.和Mamon R.S.（2012）：带有regimeswitching的利率模型的可访问实现。专家系统及其应用，39（5），4679-4689。DOIURL:10.1016/j.eswa。2011.09.053.[44] http://vudlab.com/fat-tails.html[45] http://www.mast.queensu.ca/stat455/讲师备注/set4。pdf[46]http://www.fordham.edu/economics/mcleod/LogNormalDistribution.pdf[47] http://www.mql5.com/en/articles/271AppendixTheMatlab函数用于计算马尔可夫链模型的概率矩阵，以模拟外汇市场中货币对的交叉汇率。我们假设马尔可夫链只有三种状态：“趋势上升”、“趋势下降”、“趋势横向”。FXmarket的许多文章（见www.mql5.com）证明了这样一种国家选择的合理性。在文件MaxDataFile中打开。CSV日本蜡烛的欧元/ESD货币对的开放价格为13年。

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