基于Copula的层次风险聚合-树依赖抽样和

2022-6-28 02:27:31

此外，偿付能力II和巴塞尔协议III等监管框架也要求进行适当的风险管理。从数学上讲，风险可以解释为多变量随机变量X=（X，…，Xn），其中单变量随机变量X，xn表示个别风险（或边际风险）。鉴于个人风险具有共同的环境和社会经济条件，他们通常是相互依赖的。因此，大多数情况下，需要了解联合分布，才能正确衡量和分配风险。例如，假设一家保险公司对未来给定时期内的索赔付款总额感兴趣，即数量X:=X+…+Xn。为了计算该数量，merelyknow单个风险的分布并不足够。估计确定相依风险总和分布的最明显方法是首先确定联合分布函数F（x，…，xn）=P[x≤ x、，Xn公司≤ xn]个人风险。准确地模拟这种分布是一项非常具有挑战性的任务。虽然构成投资组合的个别风险可以很容易地用从数据和/或专家意见中得出的适当随机模型来描述，但通常情况下，很少有联合观察可用，在这种情况下，个别风险的联合分布基本上是未知的[2]。最近，copulas已经成为克服这一困难的特权工具。不熟悉copulas理论的读者将在第2.1节对其进行简要介绍。就目前而言，考虑一下1就足够了。引言copula是一个多元随机变量，描述了个体风险之间的依赖结构。copula理论中的一个著名结果（见定理2.2）表明，分布函数F可以写成F（x。

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2022-6-28 02:27:34

，xd）=C（F（x），Fd（xd）），其中Fi（x）=P[Xi≤ x] ，i=1，n、是边际分布函数和C:[0，1]n→ [0，1]是一个copula函数。通过这种方式，我们将依赖结构从利润中分离出来，并将上述问题简化为找到精确的利润模型F，fn以及通过copula C描述的依赖结构。在选择正确的copula时，我们可以依赖于过去几年开发和研究的广泛的不同copula模型。特别是，存在不对称连接词和具有尾部依赖性的连接词，它们试图反映实践中可以观察到的效果。然而，常见的参数copula模型在高维应用时往往存在问题，因为可实现的依赖结构是有限的。例如，它们往往过于对称。一种克服高维限制的非常优雅的方法通常被称为“基于copula的层次风险聚合”。该方法在该行业已经使用了十多年。考虑以下简单示例，我们在其中介绍其总体思路：示例1.1假设我们被赋予了四种不同的风险，由4-dim表示。随机变量X=（X1,1，X1,2，X2,1，X2,2）。这里X1,1代表“瑞士汽车保险”，X1,2代表“意大利汽车保险”。此外，X2,1代表“瑞士地震”，X2,2代表“意大利地震”。如果我们对总风险X感兴趣:= X1,1+X1,2+X2,1+X2,2，我们可以尝试通过首先建模个体风险的边缘分布F1,1、F1,2、F2,1和F2,2，并施加a4 dim，来找到X的联合分布函数F的模型。个人风险之间的copula C。

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2022-6-28 02:27:38

然后，联合分布由F（x，x，x，x）=C（F1,1（x），F1,2（x），F2,1（x），F2,2（x））和x的分布开始可以直接从F计算得出。或者，我们可以在第一步中，通过将风险X1,1和X1,2通过二元copula C组合，建立部分风险的分布模型，（X1,1，X1,2）和（X2,1，X2,2），而X2,1和X2,2通过二元copula C组合。了解部分风险的分布，然后我们可以很容易地计算部分和X：=X1,1+X1,2和X：=X2,1+X2,2的分布。然后，可以通过适当的二元copulamodel C将部分数X和X组合起来. 最后，这允许我们计算分布F总骨料X的:= X+X=X1,1+X1,2+X2,1+X2,2。这一过程被称为“基于copula的层次风险聚合”，最好用所谓的“聚合树”来说明。聚合树以图形方式表示图1.1：4维的图示。我们的lead示例1.1中描述的聚合树模型。反映了各个风险以何种方式联系在一起，以及假设它们之间存在何种依赖结构。图1.1显示了与上述情况相关的聚合树。分层风险聚合的主要优点是，我们不需要指定所有风险的copula。我们再次强调，很难找到一个能够充分描述大量风险之间依赖结构的copula模型。所有风险之间的联合观测太少，而公共参数copula模型可达到的依赖结构太有限。相反，我们按层次聚合风险，这只需要在不同的聚合步骤中指定聚合子投资组合之间的联合依赖性。

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2022-6-28 02:27:41

对于这些子投资组合，我们可以使用低维copula，众所周知，低维copula是更现实的依赖性度量，并提供更大的灵活性。特别是，该模型允许在每个聚合步骤中使用不同的依赖特性（尾部依赖、径向不对称等）。该模型可以看作是一种降维工具：复杂性和参数数量可以根据必要的复杂性和可用信息进行调整。从逻辑上讲，该方法没有规定各个风险的完全联合分布。换言之，通常有多个分布满足给定的聚合树模型。我们将这些分布称为“轻度树依赖”。近年来，发表了许多关于这一主题的论文。Arbenz等人[1]首次为基于copula的分层风险聚合方法提供了良好的数学基础。他们用图论的术语描述了模型的结构，并确定了导致独特多元分布的条件。这种条件被称为“条件独立假设”，其规定的唯一多元分布被称为“树依赖分布”。1、简介他们还提供了一种采样算法，并证明了该算法生成的样本与模型中的聚合子投资组合（例如X、X和X）近似在我们的主要示例1.1）中。C^ot\'e&Genest[4]和Bruneton[2]的论文专注于聚合树的结构。事实上，许多自由只是隐藏在风险聚集在一起的顺序和树的一般形状中。布鲁内顿（Bruneton）[2]认为，与肥树相比，瘦树的多样化效应更大。

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nandehutu2022

2022-6-28 02:27:44

C^ot\'e&Genest[4]提出了一种基于层次聚类技术选择树结构的程序。如果最终目标是为所有单个风险的总聚合找到近似值，则分层风险聚合方法尤其适用。在这种情况下，拟议战略不会导致独特的联合分销这一事实并不重要。然而，在实践中，我们也可能面临需要共同分配个别风险的情况。例如，一个流行的例子是风险分配，或者（与示例1.1更相关的）我们想要估计我们在瑞士承担的总风险的情况，即X1,2+X2,1的分布。不幸的是，图1.1中的聚合树模型并没有唯一指定此分布。上述论文提供的大多数结果和见解涵盖了以下情况：特别感兴趣。关于联合分配，有几个有趣的问题尚未充分解决。本文旨在更好地从数学上理解与聚合树模型相关的联合分布。第一个问题的主题是Arbenz等人提出的采样算法。如前所述，样本可用于近似总骨料X的分布个人风险。然而，目前还不确定样本是否也是轻度树依赖分布的近似值。我们将进行一个数值实验，表明样本近似于条件独立假设指定的唯一树依赖分布。这将鼓励我们开发一种改进的采样算法（MRA）。

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2022-6-28 02:27:47

在离散边缘的附加约束下，MRA得到了唯一树依赖分布的近似值。然而，如果有条件的独立性假设在实践中被视为合理的假设，这是值得怀疑的。如果不是，则确定由采样算法近似的联合分布是没有意义的。即使我们能够确定它，它也很难充分代表各个风险的真正联合分布。相反，更可取的做法是了解mildlytree依赖分布的空间，以及它如何受到聚合树模型和树结构的不同参数的影响。例如，一个有趣的问题是，是否有可能通过改变风险的聚集顺序来缩小轻度树依赖分布的数量。我们将在论文的第二部分解决这些问题，在那里我们研究并确定简单聚合树模型的mildlytree依赖分布的空间。我们相信，任何使用此类工具的保险人或再保险人都应该了解由此得出的见解，并且这种意识应该强烈要求设计充分适合业务的树。论文的组织。第2章介绍了聚合树模型及其所有基本定义和结果。Arbenz等人[1]提出的采样算法及其收敛性在第3章中进行了描述。在第四章中，我们提出了改进的采样算法（MRA），并讨论了其收敛性。第五章研究了轻度树依赖分布的空间。第六章总结全文。第2章分层风险聚合本章介绍了在本论文中起重要作用的基本定义和概念。我们在第一节2.1中简要介绍了copulasin。

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2022-6-28 02:27:50

在第2.2节中，我们将逐步描述分层风险聚合方法。我们故意选择非常密切地遵循Arbenz等人提出的结构和术语。完全熟悉报纸的读者不妨跳过本章。2.1在过去的几十年里，CopulasCopulas在学术界和从业者中越来越流行。事实证明，它们是一个强大而灵活的工具，可以建模随机变量之间的依赖关系。这在保险业尤为重要，因为不同风险之间的依赖结构最为重要。copula的定义非常简单[8]：定义2.1（copula）d维copula是[0，1]数据上的分布函数，具有标准的均匀边缘分布。我们保留符号C（u）=C（u，…，u）用于连接函数的多元分布函数。因此，C是形式C的映射：[0，1]d→[0，1]，即单位超立方体到单位区间的映射。Sklar定理证明了copulas的重要性：定理2.2（Sklar 1959）设F是与marginsF的联合分布函数，Fd。然后存在一个copula C：[0，1]d→ [0，1]这样，对于所有x，xd2.R=[-∞, ∞] ,F（x，…，xd）=C（F（x），Fd（xd））。（2.1）如果边距是连续的，则C是唯一的。相反，如果C是copula，F，FD是单变量分布函数，则（2.1）中定义的函数是与marginsF，…，的联合分布函数，Fd。Sklar定理可以用以下方式解释：1。该定理的第一部分指出，我们可以将任何分布函数分解为其边距和copula。这使我们能够独立于边际来研究多变量分布。2.

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2022-6-28 02:27:52

定理的第二部分指出，copula和边际分布函数可以用来构造新的多变量分布。2.2聚合树模型在引言中，我们提出了分层风险聚合的思想，并且我们了解到，这种方法最好用所谓的聚合树来表示。我们的目标是引入一些定义和符号惯例，以便以合理的数学方式描述分层风险聚合模型。我们将严格遵循Arbenz等人提出的术语。有根树采用图论中的部分术语来描述树结构似乎是合理的。因此，我们将首先介绍有根树的概念。有根树由分支节点和叶节点组成，其中一个不同的分支节点是根。根节点表示为而其他节点则由自然数ij的元组（i，…，id）表示∈ N、 Ifa节点（i，…，id）∈ NDI不是叶节点，它分支为多个n（i，…，id）∈ N个子元素，由（d+1）-元组（i，…，id，1），（i，…，id，2），（i，…，id，N（i，…，id））∈ Nd+1。定义2.3有限集τ{}∪S∞n=1nn表示有根树if1。根包含在τ，2中。对于每个节点，I=（I，…，id）∈ τ、儿童人数由NI给出∈ N、即节点i有一个子节点（i，…，id，k）∈ τif且仅ifk∈{n∈ 编号：1≤ n≤ NI}，2.2。聚合树模型3。每个节点（i，…，id-1，id）∈ τ的父节点由（i，…，id）表示-1) ∈τ.示例2.4 Letτ={, （1），（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2）}，如图2.1所示。

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2022-6-28 02:27:56

注意，τ定义了示例1.1中使用的结构树。图2.1：有根树τ的图示={, (1), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2)}.我们定义了每个根树τ的以下子集：1。叶节点用L（τ）={I表示∈ τ：NI=0}。2、分支节点为B（τ）={I∈ τ：NI>0}=τ\\L（τ）。3、节点I的子节点=（I，…，id）∈ B（τ）定义为C（I，τ）={（I，1），…，（I，NI）}。4、节点I的后代=（I，…，id）∈ τ定义为D（I，τ）={（j，…，jk）∈ τ：k≥ d、（j，…，jd）=（i，…，id）}。5、节点I的叶后代∈ τ定义为L D（I，τ）=L（τ）∩D（I，τ）。6、节点I的叶后代数∈ τ用MI=#L D（I，τ）表示。聚合树本节介绍了基于给定根树τ的风险聚合方法。我们定义了一些概率空间(Ohm, A，P）随机向量（SI）I∈分配给每个节点I的τ∈ τa随机变量XI：Ohm → Rsuch thato对于叶节点I∈ L（τ），XI代表我们感兴趣的聚合风险，o分支节点XI，I∈ B（τ）由其系数的总和给出：XI=XI，1+…+十一、镍。在下文中，我们将进一步使用这样的约定，即无论何时编写，我∈ B（τ），用粗体字母表示由xi定义的随机向量：=（XJ）J∈L D（I，τ），2。具有组件的分层风险聚合XJ，用于J∈ L D（I，τ），其中分量按其索引J按字典顺序排列。为了便于记法，每当含义明确时，我们会去掉索引向量的括号以及参数τ。例如，X（1,1）=X1,1，D（I，τ）=D（I）和L D（（1，1），τ）=L D（1，1）。上一节中定义的根树表示各个风险的聚合层次。

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2022-6-28 02:27:58

为了完成聚合树模型，我们还需要定义边际分布FI，I∈ L（τ），以及分支节点I的子节点之间的依赖结构。依赖结构通过copulas CI，I给出∈ B（τ）。总之，聚合树模型由三元组给出τ、（FI）I∈L（τ），（C）I∈B（τ）（2.2）由o有根树τ；o分布函数FI:R→ [0，1]对于所有I∈ L（τ）；o连接词CI：[0，1]NI→ [0，1]对于所有I∈ B（τ）。示例2.5在我们的主要示例1.1中，三元组（2.2）将包含树τ={, (1), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2)}; 四个单变量分布函数F1,1、F1,2、F2,1和F2,2；和三个二元copula C，Cand C.轻度树依赖和树依赖随机向量基于三重（2.2），我们刻画了一类随机向量（X）I的分布∈τ.给定三（2.2），（X）I的定义2.6∈如果满足以下三个条件，则τ称为轻度树依赖对于每个叶节点I∈ L，随机变量xi具有分布FI；FI（x）=P[XI≤ x] 对于所有x∈ R、 o对于每个分支节点I∈ B、 XI是其子代的总和，即XI=∑NIi=1XI，i。xi的边际密度函数用FI表示：R→ [0, 1].o 对于每个分支节点I∈ B、其子代C的依赖结构由copula CI给出，即P【XI，1】≤ x、，十一、 NI公司≤ xNI]=CI（FI，1（x），FI，NI（xNI）），对于所有（x，…，xNI）∈ RNI。2.2. 聚合树模型下面的示例演示了一个轻度依赖于树的随机向量。示例2.7考虑聚合树模型τ、（FI）I∈L（τ），（C）I∈B（τ）来自示例2.5中规定的主要示例1.1。

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nandehutu2022

2022-6-28 02:28:01

假设（XI）I∈τ=（X, 十、 X1,1，X1,2，X2,1，X2,2，X）对模型有轻微的树依赖性τ、（FI）I∈L（τ），（C）I∈B（τ）:P[X1,1≤ x] =F1,1（x），P[X1,2≤ x] =F1,2（x），P[X2,1≤ x] =F2,1（x），P[X2,2≤ x] =F2,2（x），x∈ R、回想一下，X=X1,1+X1,2，X=X2,1+X2,2和X= X+X.copulac，C和C分别确定（X1,1，X1,2），（X2,1，X2,2）和（X，X）的依赖结构：P[X1,1≤ x、 X1,2≤ x] =C（F1,1（x），F1,2（x）），P[X2,1≤ x、 X2,2≤ x] =C（F2,1（x），F2,2（x）），P[x≤ x、 x个≤ x] =C（F（x），F（x））。回想一下，图1.1说明了聚合结构。根据Sklar定理2.1，应该清楚的是，在上述示例2.7中，随机向量（X1,1，X1,2）、（X2,1，X2,2）、（X，X）的分布，因此也包括总风险X的分布= X+X通过聚合树模型（τ，（FI）I）唯一特定∈L（τ），（C）I∈B（τ））。我们将在下一节中陈述一般结果。另一方面，如引言中所述，所有风险的联合分布（X1,1，X1,2，X2,1，X2,2）不是唯一规定的。换言之：给定一个聚合模型（τ，（FI）I∈L（τ），（C）I∈B（τ））一般存在多个轻度树依赖的随机向量（X）I∈τ.Arbenz等人[1]提出了一个额外的条件，使联合分布具有唯一性。该条件在以下定义中制定。定义2.8对于给定的三元组（2.2），轻度依赖树的随机向量（X）I∈对于每个分支节点I，τ称为树相关if∈ B（τ），给定XI，其后代（XJ）J∈D（I）在条件上独立于剩余节点（XJ）J∈τ\\D（I）：（XJ）J∈D（一）⊥（XJ）J∈τ\\D（I）| xi对于所有I∈ B（τ）。

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2022-6-28 02:28:04

（2.3）在续集中，（2.3）将被称为条件独立假设。示例2.9再次考虑前面示例中的聚合模型，条件独立性假设如下：（X1,1，X1,2，X）⊥（X2,1，X2,2，X，X) | 十、（X2,1，X2,2，X）⊥（X1,1，X1,2，X，X) | 十、 2。层次风险聚合一可以表明，在这种附加条件下，树依赖的随机向量存在且唯一。我们将在下一节中说明一般结果。有条件的独立性假设（2.3）乍一看似乎很令人困惑，这在实践中是否合理值得怀疑。我们稍后将在第4.3.2.3节存在性和唯一性中讨论这一点。在这一节中，我们将讨论树依赖和轻度树依赖随机向量分布的存在性和唯一性。再次回顾树依赖和轻度树依赖的定义，很明显，轻度树依赖比树依赖涵盖了更大的多变量分布空间。任何依赖于树的随机向量都是依赖于树的，反之则不成立。给定聚合树模型τ、（FI）I∈L（τ），（C）I∈B（τ）, 轻度树依赖随机向量（X）I的存在性∈根据Sklar\'sTheorem 2.1，τ相当明显。我们之前已经提到，一般来说，轻度依赖树的随机向量的分布不是唯一的。考虑到较小的树相关随机向量类，其存在性不明显。Arbenz等人[1]证明，在轻度依赖树的分布中，确实存在一个满足（2.3）的分布：定理2.10给出了聚合树模型（2.2），依赖树的随机向量（X）I∈τ存在，其联合分布是唯一的。证明见【1】第125页。

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可人4

2022-6-28 02:28:07

我们还陈述了以下关于依赖于mildlytree的随机向量的一个重要性质的结果。命题2.11给出了聚合树模型（2.2）和一些固定的∈ B、然后，对于所有轻度树依赖向量（X）I，向量（XI，1，…，XI，NI）的分布相等∈τ.证明Sklar定理2.1的简单应用。见[1]126页。特别是，根据命题2.11，总骨料X的分布对于任何轻度依赖树的随机向量（X）I也是一样的∈τ.第3章样本重新排序算法在大多数情况下是感兴趣的数量（例如，X的分布) 对于无法解析计算的聚集树模型，Arbenz等人[1]提出了一种用于轻度树相关性数值近似的采样算法。例如，通过该算法获得的样本可用于近似总骨料X的分布.在本章中，我们首先介绍了Arbenz等人提出的样本重新排序算法。然后，我们陈述了一些收敛结果，并在本章末尾进行了一个数值示例，提出了新的问题并激励了后续章节。3.1算法定义Arbenz等人[1]的采样算法使用自下而上的方法来实现轻度树依赖的数值近似。其基本思想可概括如下：1。模拟所有叶节点的独立边缘样本XI，I∈ L2、模拟来自CIF的所有分支节点的独立copula样本∈ B3、对于I∈ B、根据第1步至第2步的经验裕度和经验总体，递归确定XIand（XI，1，…，XI，NI）分布的近似值。为了便于记法，让GI:RNI→ [0，1]对于I∈ B表示（XI，1，…，XI，NI）的联合分布函数，XI的子函数：GI（x，…，xNI）=P[XI，1≤ x、，十一、 NI公司≤ xNI]=CI（FI，1（x）。

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2022-6-28 02:28:10

，FI，NI（xNI））。3、样本重排序算法算法3.1 Fix n∈ N1、从叶节点XI、I生成n个独立样本∈ L和copulas CI，I∈ BoXkI~ FI，对于k=1，n、 oUkI=（英国，1I，…，英国，NII）~ CI，对于k=1，n、 2。确定经验利润FnI:R→ [0，1]，I∈ L，byFnI（x）=nn∑k=1{XkI≤x} ，x∈ R、和经验copulas CnI:[0，1]NI→ [0，1]，I∈ B、 byCnI（u）=nn∑k=1（Rk，1In≤uRk，NIIn≤uN），对于u=（u，…，uNI）∈ [0，1]NI，其中Rk，iI是英国的排名，iI在setnUj内，iIonj=1:Rk，iI=n∑j=1nUj，iI≤英国，iIo。3、对于I∈ B、递归定义为GIand FI的近似值：GnI（x，…，xNI）=CnI（FnI，1（x），FnI，NI（xNI）），对于（x，…，xNI）∈ RdandFnI（t）=ZRNI{x+…+xNI≤ t} dGnI（x，…，xNI），用于t∈ R、事实证明，将经验copulas应用于经验利润率（用于GnI定义）可以有效地表示为样本排序。这个想法可以追溯到Iman和Conover[6]，Arbenz等人[1]对此进行了改编：定理3.2在下面，置换表示从{1，2，…，n}到{1，2，…，n}的双射映射让排列pIfor I∈ τ \\ 通过pI确定，i（k）=Rk，iI，k=1，n、 3.2。收敛结果o递归确定样本XkI，k=1，n、对于I∈ B byXkI公司=∑J∈C（I）X（pJ（k））J=X（pI，1（k））I，1+…+X（pI，NI（k））I，NI，其中X（k）j表示nxj的k阶统计量，XnJo:X（1）J≤ X（2）J。≤ X（n）J.然后是GnI，代表I∈ B、还有FnI，因为我∈ τ、满意度ygni（x，…，xNI）=nn∑k=1X（pI，i（k））i，i≤XI对于所有i=1，。。。，镍, （3.1）FnI（x）=nn∑k=1{XkI≤x} 。（3.2）证明见【1】第127页。算法3.1现在可以根据样本重新排序来制定。Westart独立模拟叶节点和连接函数，从而获得样本XkI，k=1，n、对于I∈ L和UkI，k=1，n、对于I∈ B

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2022-6-28 02:28:13

然后，我们使用排列pI，ito连接适当的顺序统计量，并定义GnIby（X（pI，1（k））I，1，X（pI，NI（k））I，NI），k=1，n（3.3）因此，通过加入适当的顺序统计量，可以使用置换PICA将正确的依赖结构引入最初独立的样本中。对于分支节点I∈ B、成分总和确定了FIas XkI=X（pI，1（k））I，1+…+的原子X（pI，NI（k））I，NI。我们迭代地从树的底部到顶部重新排序。可以在[1]中找到一个插图示例。稍后，我们将提出另一种重新排序样本的方法。另一种方式似乎不太自然，也不太容易理解，但产生的原子完全相同，因此定理3.2的陈述仍然成立。此外，它允许我们就我们改进算法近似的轻度树依赖向量的联合分布得出一些结论。话虽如此，我们在下一节继续讨论一些收敛结果。3.2收敛结果在本节中，我们陈述了算法3.1的主要收敛结果。在这里，我们克制自己，提供一个深入的演绎和分析3。示例重新排序算法显示了以下结果，我们参考Mainik[7]以获得更一般设置中的详细推导。为了表述结果，我们需要一些额外的符号。对于连续边距和t∈ 定义BI（t）∈ [0，1]NIasBI（t）=n（FI，1（x），FI，NI（xNI））：（x，…，xNI）∈ RNI，x+。

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2022-6-28 02:28:16

+xNI=toLet Uδ（BI（t））表示BI（t）在[0，1]NI中的δ-邻域：Uδ（BI（t））=nx∈ [0，1]NI:kx- 对于某些y，yk<δ∈ BI（t）o。对于绝对连续的copulas CI，我们用CI表示密度：[0，1]NI→[0, ∞).定理3.3假设∈ B copulas CIare绝对连续且满足limδ→∞支持∈RZUδ（BI（t））cI（u，…，uNI）du···duNI=0。然后，对于每个分支节点I∈ B、 limn公司→∞supx公司∈RNI | GnI（x）- GI（x）|=0 P- a、 s.，limn→∞支持∈R | FnI（t）- FI（t）|=0 P- a、美国证明见Mainik【7】。正确把握定理3.3的含义至关重要。定理3.3没有说明算法3.1中重新排序的样本是否接近（轻度）树依赖的随机向量。相反，它简单地告诉我们，只要满足连接函数的条件，样本就近似于分布GI，I∈ B、具有轻度树依赖分布的特征。特别是，样本近似于分布F总骨料X的.3.3数值实验在前面的章节中，我们介绍了分层聚合树模型。到目前为止，关于这一主题的论文主要集中在X的总量上作为利息的数量。Arbenz等人[1]提出了重新排序算法3.1（包括定理3.2），该算法产生的样本近似于总骨料的分布（回忆定理3.3）。尚未解决的问题是，这些样本是否实际上近似于轻度依赖于树的3.3。数值实验，甚至树相关随机向量。在下文中，我们现在将重点转向这一相关问题。我们强调，以下内容尚未在之前的任何论文中讨论，并且超出了当前关于这一主题的理论结果。我们从一个数字激励示例开始讨论。

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2022-6-28 02:28:19

该示例的结果令人惊讶，并给出了问题答案的第一个提示。定义模型首先是聚合树模型τ、（FI）I∈L（τ），（C）I∈B（τ）需要特别说明。我们再次考虑潜在客户示例1.1中的情况。通过示例2.5，我们知道在该设置中，聚合树模型包含树τ={, (1), (1, 1), (1, 2) , (2, 1), (2, 2), (2)}; 四个单变量密度函数F1,1、F1,2、F2,1和F2,2；和三个二元copulac，Cand和C.假设F1,1、F1,2、F2,1和F2,2由均值为4,2,0,3的正态分布给出；方差3、4、10、2分别为：F1,1（x）=Φx个-4.√, F1,2（x）=Φx个-2.√,F2,1（x）=Φx个√, F2,2（x）=Φx个-3.√.进一步假设C，C正态copula与correlationmatricesR=1 0.70.7 1, R=1 0.50.5 1, R=1 0.20.2 1.请注意，在我们的模型中，所有叶节点都是法线，所有连接函数都是法线连接函数。因此，我们处理的是高斯聚合树模型。高斯聚集树模型具有唯一树相关向量（XI）I∈τ是多元正态分布，可以通过简单的递归公式显式计算（见[1]中的命题2.8]）。对于树相关随机向量（XI）I∈τ、我们根据[1]中的命题2.8推导出X的分布= （XJ）J∈L D()= （X1,1，X1,2，X2,1，X2,2）~N（u, Σ) 多变量正态分布，u=, Σ=3 2.4249 0.9502 0.32902.4249 4 1.1254 0.38960.9502 1.1254 10 2.23610.3290 0.3896 2.2361 2. (3.4)3. 样本重新排序算法Numerical resultWe现在将重新排序算法应用于上述聚合树模型。

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2022-6-28 02:28:22

Let（XI）I∈τ是树相关随机向量，注意，根据定理3.2中所述的收敛结果，我们知道重新排序的样本近似于oX=（X1,1，X1,2）和X=（X2,1，X2,2）；oX=X1,1+X1,2和X=X2,1+X2,2；o（X，X）和总骨料X= X+X。尚不清楚样本是否提供了以X分布为特征的树相关随机向量的近似值~ N（u, Σ).为了研究这个问题，我们计算样本协方差矩阵∑样本大小为n=10的重新排序样本的：\'∑=2.9985 2.4252 0.9513 0.33012.4252 4.0025 1.1278 0.39090.9513 1.1278 9.9978 2.23370.3301 0.3909 2.2337 1.9994. （3.5）值得注意的是，样本协方差∑重新排序的样本数和协方差矩阵∑在（3.4）中，依赖于树的随机向量区域几乎相同。这有力地表明，在我们的示例中，重新排序算法生成的样本近似于唯一的树依赖向量。为了支持我们的假设，我们还进行了多元正态性检验。回想一下，根据[1]中的命题2.8，树相关随机向量是多变量正态分布的。评估多元正态性的测试有很多，我们选择应用“Henze-Zirkler多元正态性测试”【10】。在0.05显著性水平上，该检验并不拒绝多元正态性的完全假设，与Henze-Zirkler统计量相关的p值为0.7848365。数值结果表明，重新排序的样本近似于唯一的树相关随机向量。很自然，这就引出了这样一个问题：这是否普遍成立，还是一切都只是巧合。我们将在下一章讨论这个问题。结论性评论可能会想，上述问题是否真的相关。

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2022-6-28 02:28:25

我们真的需要为描述多元分布而烦恼吗。重新排序样本近似的数值实验？仅仅知道总骨料X近似值是否正确？例如，考虑上述示例，并回顾在示例1.1中，我们指出X1,1代表“瑞士汽车保险”，X1,2代表“意大利Carinsurance”，X2,1代表“瑞士地震”，X2,2代表“意大利地震”。假设一家保险公司不会对总风险感兴趣，但也会对其在瑞士承担的总风险感兴趣，即X1,1+X2,1。图1.1中所示的聚合树模型并不能唯一确定该分布，因此我们非常希望确定哪一个分布是通过抽样算法近似的。我们认为，澄清本节中出现的问题是非常值得的。第4章依赖于树的抽样我们在前一章的末尾看到，有关重新排序算法的一些问题尚未得到充分解决。特别是，尚不清楚样本是否近似于唯一的树依赖分布或其他有待确定的分布。第3.3节中的数值试验表明，实际上，依赖于树木的分布是近似的。在本章中，我们提出了对重新排序算法的修改，我们声称，对于离散边缘，我们获得了树依赖分布的近似值。此外，我们改进的算法具有生成i.i.d.实现的便利性；然而，以更差的算法效率为代价。本章首先介绍修改后的算法。

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2022-6-28 02:28:28

上述主张的证明将成为本章第二部分的主题。4.1改进的重新排序算法基于Arbenz的重新排序算法（算法3.1和定理3.2），我们提出了一种改进的重新排序算法（MRA）。这些修改将在定理4.5的证明中发挥重要作用，我们将在下一节中说明。第一个修改涉及实现相互关联的顺序。请看下面的示例4.1，其中我们说明了这是什么意思。例4.1考虑最简单的树τ={, 1，2}，带两个边距X~F、 X个~ 由copula U给出的依赖结构~ C. 假设4。n=3的树相关采样模拟得出以下Xk、Xk和Uk:X=1，X=4，X=2，X=9，X=0，X=3，U= （0.6，0.8），U= （0.3，0.7），U= (0.5, 0.1).回想一下，我们用Rk，Ii表示英国的等级，Ii在setnUj内，iIonj=1。copula样本的ranks为（R1,1, R1,2) = （3，3），（R2，1, R2,2) = （1，2），（R3，1, R3,2) = (2, 1).对于π，i（k）：=Rk，ii，置换是p,1: (1, 2, 3) 7→ （3，1，2），p,2: (1, 2, 3) 7→ (3, 2, 1).此外，我们用Qk表示，1（分别为Qk，2) 集合中Xk（分别为Xk）的等级Xk公司k=1（分别为。Xk公司k=1）并确定置换q,1（k）：=Qk，1andq公司,2（k）：=Qk，2:q,1: (1, 2, 3) 7→ （1，3，2），q,2: (1, 2, 3) 7→ (3, 1, 2).我们还将使用逆置换p的表示法-1.,1，p-1.,2，q-1.,1和q-1.,在下文中，我们提出了两种不同的再订购订单。我们从Arbenz等人[1]在定理3.2中提出的更自然的一个开始。重新订购1（Arbenz）LetRe1X,Re1X,Re1X表示重新排序的向量。下标“Re1”表示应用了“重新排序1”。按照定理3.2中的顺序，我们得到了re1xk:=X（p,1（k））X（p,2（k））=Xq公司-1.,1（p,1（k））Xq-1.,2（p,2（k））对于k=1。

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