令y0表示我们想为之构造一个置信区间——我们有时也称为预测区间(prediction interval)——的估计值。比如,y0可以表示不在我们原样本中的一个人或企业。令 为新的自变量值(假定我们能观测得到),并u0令为观测不到的误差。因此我们有
(6.33)
和前面一样,我们对y0的最佳预测,就是给定解释变量,从OLS回归线估计y0的期望值:
。用 来预测y0的预测误差是
(6.34)
现在,由于 是无偏的,所以 。(和前面一样,这些期望值都以自变量的样本值为条件。)由于u0的均值为零,所以 。我们已经证明,预测误差的期望值为零。
在求 的方差时注意到,由于u0与用来得到 的样本的方差不相关,所以u0与每个 都不相关。根据协方差的基本性质(参见附录B),u0和 也不相关。于是,预测误差的方差(variance of the prediction error)就是二者方差之和: