悬链线复杂变化

                       于德浩 2024.7.3

提出问题，分析问题，解决问题。由易到难，从简单特殊，到一般复杂问题。比方说，单位圆的函数曲线方程是x^2+y^2=1，推广到一般情形，通过上下或左右平移参照系，就是 (x-c1)^2+(y-c2)^2=R^2，多了三个待定参数而已。悬链线方程的一般形式就是，y=a*ch((x-c1)/a)+c2，其中a，c1，c2，是三个待定参数。双曲余弦函数定义为，chθ＝1/2*（e^θ+e^-θ）；而shθ＝1/2*（e^θ-e^-θ）。

前面文章，我计算了两个悬挂点A（-1,0），B（1,0），绳长π=3.14米。悬链线函数参数a=0.58米，c1=0，c2=-1.68米。质心坐标是（0，-0.655），底部（0，-1.10）。

现在，若改为3个悬挂点，再加一个O点（0,0），会怎样变化呢？ 显然，从物理对称性上，这分成了两个悬链线，分段函数。左侧悬链线，对称轴参数c1=（-1+0）/2=-1/2；a也降为一半，a=0.29米；c2=-0.839。底部坐标是（-1/2，-0.549），质心是（-0.5，-0.326）。右侧与左侧对称，只是参数c1=1/2。这里注意，O（0,0）点有极大值，但导数不为零，这曲线“不连续”，因为第3个悬挂点的原因。即，y’（0+）≠y’(0-)≠0。

整体4段曲线（4*π/2）是对称的，所以，质心坐标是（0，-0.326），底y坐标是-0.549。这些恰好是2段曲线（2*π/2）的一半大小。这从物理一般常识，似乎应该能直接看出来。

不管是几个悬挂点，从物理上都是“悬挂的绳子的形状，有且仅有一种状态”。从数学泛函分析中，积分最小作用量，就是存在极值条件，一阶导数为零，满足欧拉-拉格朗日方程，从而必须是唯一解的悬链线函数曲线方程。这里的约束条件，是物理上的“势能最小，重心最低”。若是对称区间[x1，x2]，质心x坐标应满足∫x*(1+y’^2)^0.5*dx=0，也就是在对称轴上，y值存在极小值或极大值，使得f’((x1+x2)/2)=0。根据这些初始条件约束方程，就能定出几个待定参数。

    我们再考虑更复杂的情形。第三个悬挂点选在（0，-1），相当于从对称的悬链线底部向上施力抬高。显然，整体还是对称的，也是“悬链线”分段函数。但左侧局部已经明显不是对称图形了。这里的三个约束条件，y（-1）=0，y（0）=-1，∫dl=π/2。积分区间是从[-1,0]。

但是，具体求解这3个参数，很难。一是没有解析解，二是近似数值解也要同时调两个参数a及c1。这里根据物理经验，让对称轴c1小幅左移，增大拉力a。大约得出参数a=0.59，c1=-0.01，c2=-1.63。再去计算底部是y=-1.04米，整体质心坐标是（0，-0.647）。这比两个悬挂点的重心稍微上移，但仍然比半圆弧的质心-0.637要低。

在泛函分析中，质心y坐标最低，我们能得到特殊函数，双曲余弦函数y=a*ch（x/a）。如果要让质心x坐标取极值，会是怎么样呢？这里拉氏量，L=x*(1+y’^2)^0.5，由于显含x变量，我们用第一类拉格朗日方程约束条件，整理可得微分方程，x*y’/(1+y’^2)^0.5=C; 通过变量代换，令x/c=chθ，把根号消掉，就可以解出y=ln[x+(x^2-1)^0.5]的特殊函数曲线，这是双曲余弦函数的反函数，本质是对数函数lnx形式。这个函数应该好好研究一番。

重力场在竖直方向发力，就出现特殊函数双曲余弦函数；而若在水平方向发力，则可能就是它的反函数了。对数函数一般用于增长模型中，前期增速很快，但后期达到饱和维持，几乎不再增长。