max：u=a^(1/3)b^(2/3)

s.t.  ：p1*a+p2*b<=y

L=u+t(y-p1*a-p2*b)

dL/da=0.......(1)

dL/db=0.......(2)

dL/dt=0........(3)

由(1)(2)消去拉格朗日乘子，得到2p1*a=p2*b，带入(3)式，求得最优消费量：

a=y/3p1........(4)

b=2y/3p2......(5)

(4)(5)带入直接效用函数u，得到间接效用函数v：

v(p,y)=(y/3)(1/p1)^(1/3)(2/p2)^(2/3)

二、

基本的方法还是通过拉格朗日方法求得最优消费水平，进而计算MRS。但是这里提供一个比较简便的方法。

形如：u=a^αb^β的CD效用函数形式，消费者均衡时，在商品a上的总支出站全部预算支出的α/(α+β)，商品b的花费占全部预算支出的β/(α+β)。那么本题中：ab的花费分别是：

y(a)=10α/(α+β)

y(b)=10β/(α+β)

通过预算约束中的价格Pa=1，Pb=3，求得ab的最优消费量：

a=10α/(α+β)

b=10β/3(α+β)

MRS：

U(a,b)=C

全微分：MUada+MUbdb=0，MRS=MUa/MUb=αb/βa=1/3.

事实上，当消费者均衡时，无差异曲线和预算线是相切的（不考虑角解），无差异的曲线的斜率是

db/da=-MUb/MUa

预算线的斜率是-Pa/Pb=-1/3

所以均衡点时无差异曲线的斜率是-1/3，相应地：MUb/MUa=1/3.