U=lnC1+lnC2=lnC1+E{ln[(1+r)(Y1-C1)]}

r=Er+ε

一阶条件：

dU/dC1=0：

1/C1 + E{(-1)(1+Er+ε)/(1+Er+ε)(Y1-C1)}=0，

化简得到：

1/C1-E[1/(Y1-C1)]=0

Y1-C1不是随机变量，根据E(C)=C得到：

1/C1 -1/(Y1-C1)=0

C1=Y1/2

由此可见，即使利率是随机的，个人也仅仅把Y1的一半用于当期消费C1；把剩余的一半用于储蓄；

方法2：现值约束

由于消费者目标还是效用最大化，但是两个时期的约束是消费的支出（现值）不能超过收入（现值），即有数学规划：

Max：U(C1,C2)=lnC1+lnC2

s.t.：C1+C2/(1+r)<=Y1

注意：决策变量是消费，而不是利率，虽然利率随机，但对消费者而言，仍然是一个影响其两期消费分配决策的外生变量；即不能控制利率，只能控制消费分配。

拉格朗日函数为：

L=U+λ[Y1-C1-C2/(1+r)]

一阶条件：

L1=1/C1-λ=0.......................(1)

L2=1/C2-λ/(1+r)=0..............(2)

(2)/(1)：

C1/C2=1/(1+r)

又因为：

C2=(1+r)(Y1-C1)

C1/(Y1-C1)=1

C1=Y1/2

所以，无论r是随机的还是确定的，都不会影响消费者C1的决策，总是将Y1的收入用在C1上。