第二十二章 自回归条件异方差模型

一、ARCH模型的基本思想

ARCH模型由Engle在1982年提出，用于对时间序列数据的波动性进行建模和预测。该模型的基本思想是：扰动项的条件方差依赖于它的前期值，即扰动项具有某种自相关性。具体来说，ARCH模型假设扰动项的平方遵循一个自回归过程。

二、ARCH(1)模型

ARCH(1)模型是ARCH模型的最简单形式，它假设扰动项的条件方差只与前一期的扰动项平方有关。数学表达式为：

• 扰动项的条件方差σt²是前一期的扰动项平方ε²(t-1)和常数项的线性函数。
  

三、ARCH(m)模型

ARCH(m)模型是ARCH(1)模型的推广，它假设扰动项的条件方差依赖于前m期的扰动项平方。数学表达式为：

• 扰动项的条件方差σt²是前m期的扰动项平方ε²(t-i)（i=1,2,...,m）和常数项的线性函数。
  

四、ARCH模型的性质与特点

• 波动性聚集：ARCH模型能够捕捉到时间序列数据中波动性的聚集现象，即大的波动性后面往往跟着大的波动性，小的波动性后面往往跟着小的波动性。
• 条件异方差：ARCH模型假设扰动项的条件方差是变化的，这与传统的同方差假设不同。
• 非负性：ARCH模型保证了扰动项的条件方差始终为非负值。
  

五、ARCH模型的检验与估计

• ARCH效应的检验：常用的检验方法有拉格朗日乘数检验（Lagrange Multiplier Test，简称LM检验）等。这些检验方法用于判断时间序列数据是否存在ARCH效应。
• ARCH模型的估计：由于ARCH模型涉及条件方差，因此需要使用极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）进行估计。在Stata中，可以使用arch命令来估计ARCH模型。
  

六、ARCH模型的应用

ARCH模型在金融时间序列分析中具有广泛的应用，如股票收益率的波动性建模、汇率的波动性预测等。此外，ARCH模型还可以与其他经济计量模型相结合，以更准确地描述和预测经济现象。

综上所述，自回归条件异方差模型（ARCH模型）是时间序列分析中一种重要的工具，它能够捕捉到时间序列数据中波动性的聚集现象和条件异方差性。在《高级计量经济学及Stata应用》（陈强）的第二十二章中，详细介绍了ARCH模型的基本思想、数学表达式、性质与特点、检验与估计方法以及应用等方面的内容。