大家当然对于极限运算非常熟悉了。今天我们想讨论一下极限运算中涉及到的无穷。
　　大家对于实分析中的无穷的阶梯当然非常熟悉了。但是可能并非所有人都想到过极限实质上并没有区分可数无穷与不可数无穷。换句话说，极限运算只是考虑了无穷，但是没有将无穷的阶梯进一步区分。
　　在数列极限的定义中，任意正数ε＞0，实际上可以换成是任意正数1/n，在极限的意义上完全等价。
　　在通常的数学分析中，人们增添了一个数即无穷大∞从而使得实数集R扩展为R*，而且人们还定义了∞有关的运算。这里的∞并没有区分可数无穷还是不可数无穷，总之只是无穷而已。确实，在通常的极限运算中，这样做并不会带来很多问题，而且极限运算不对可数无穷和不可数无穷进行区分，对于物理学等实际问题中的运用几乎没有什么困难。但是有人确构造了每点连续却每点都不可导的极端例子。下面以一个简单例子来说明极限运算不区分可数无穷与不可数无穷所带来的问题。
　　对于一个等腰直角三角形F1，斜边中点为原点，斜边在X轴上，斜边上的高在Y轴上。现在以X轴为斜边，做原三角形的两个全等的内接等腰直角三角形F21与F22，F21与F22的斜边在X轴上，并且等于F1的一半。把这个过程持续下去，设已进行了n轮，那么对于每个Fnk，k从1到2的n次方，再进行如同F1与F21、F22的相似关系的内接等腰直角三角形。把这个过程无限进行下去，那当然这个无限的步骤是可数无穷步而不是不可数无穷步。于是我们都知道，假如把这个潜无穷的划分过程进行下去，最终在思维上可以形成一个实无穷。那么这个实无穷的三角形斜边顶点，其实就是把一条线段不停地二等分，而且对于二等分的线段再二等分，永远进行下去。那么，我们很快知道，如果假设F1的斜边长2，即一半斜边长为1，那么Y轴右边的所有这些斜边顶点或二等分点，其实与0到1之间的二进制小数一一对应。问题就来了，当我们直接把上述的二等分过程以极限的方式进行表述时，这些二等分点与[0,1]上的二进制小数一一对应，结果以极限的眼光来看，这些二等分点就占満了整个[0,1]区间，因此所有这些分点的势为不可数。但是另一方面，我们知道每步的分点个数为有限，因此可数步二等分的分点总数应该为可数的。
　　为什么会出现这样的矛盾？
　　有人可能会说了，上述二等分永远不可能穷尽[0,1]上的所有的点，但是毕竟只要不停地进行下去，理论上，[0,1]上的每个人数都会被任意的逼近，在极限的意义上，每个[0,1]上的数都可以用一个二进制小数来表示，只不过无理数是无限不循环二进制小数罢了。
　　不仅上面的斜边顶点坐标会出现上述矛盾，而且所有这些三角形的直角边的顶点也是越来越接近X轴，并以X轴为极限，这些三角形的直角边与X轴之间的面积越来越小，最后这些直角边在极限的意义上以X轴上的区间[-1,1]为极限。但是我们又知道，每一轮的直角三角形的直角边之和总是等于F1的直角边长度即2倍根号2。在直观的极限意义上，这些直角边的长度趋于2，但是它们在每一轮Fnk，k从1到2的n次方，的长度之和总等于2倍根号2。这个矛盾如何解释。
　　目前对于这个矛盾，数学家们都视之为悖论或极限论的例外。
　　在我看来，其实这些问题之所以出现，原因就是极限理论没有区分可数无穷与不可数无穷。在对区间[-1,1]二等分过程中，实际上是一个可数无穷的过程，但是却一下子跳到了不可数无穷。这中间的过程并不非常清晰。实际上，实数上的闭区间套定理，也是这样的。这背后的根源就是人们通过有理数的极限运算来定义实数。极限的本质是无限接近。但是无限接近也可以分成是可数无限接近还是不可数的无限接近。
　　一个可数无穷的过程可以产生[0，1］上的所有实数。也就是说，用有理数的极限来定义实数时，实际上是用一个可数无穷的过程来定义一个涉及到不可数的无穷个数。或者说，极限过程涉及到用可数无穷来表示不可数无穷。这到底能否进行，实际上并无严格讨论。因此，直到今天，有关无穷小本质的争论仍然在进行。而且在可数无穷与实数势之间没有其它无穷，也只是一个假设或猜想，即连续统假设。