试验目的：

学会用MATLAB的各种方法求定积分，比如梯形法，辛普森求积公式（抛物线公式），蒙特卡罗方法，平均值法，能够熟练的运用它们求解各种有关的积分问题。

试验理论：

梯形法和辛普森公式法：

用矩形面积在小区间上近似曲边梯形的面积于是在整个区间（a,b）构成台阶形，容易知道两个台阶的面积，将两者平均，则每个小区间上的小矩形变为小梯形，整个区间上的结果即为梯形求积。为提高精度可用分段二次插值函数作为f(x)的近似，由于每段要用到相邻两个小区间端点的三个函数值，所以小区间的数目必须是偶数，在第k段的两个小区间上用三个节点做二次插值，然后积分，求m段之和即为所求积分。

蒙特卡罗法：

（1）随机投点法（2）均值估计法  都是根据当试验的次数非常多的时候其频率就接近概率的方法来求

试验内容：

一正方形里有四分之一单位圆，如果向边长为1的正方形里随机投n块小石头，当n很大时小石头会均匀的分布在正方形中，数一下落在四分之一圆里的小石头，假定有k个，那么k/n就能看作是四分之一单位圆面积pi/4 的近似值，于是有pi=4*k/n显然这可以看做近似计算pi的一种方法。

试验要求：用四种方法求出上述的问题。

方法一：梯形法

程序如下：

function s=ozftixing(f,a,b,M)

h=(b-a)/M;

s=0;

for k=1:(M-1)

    x=a+h*k;

    s=s+feval(f,x);

end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h*s

pi=4*s

其中的调用函数为function y=tixing(x)

                  y=sqrt(1-x^2);

也可以直接利用梯形公式的命令直接求出pi

方法如下：

function tixingfa

x=0:1/1000000:1;

y=4*sqrt(1-x.^2);

trapz(x,y)

得出结果：

Ans=3.1416

方法二：辛普森公式|（抛物线法）

function y=xinpusen(f,a,b,M)

a=0;b=1;M=10000;

h=(b-a)/(2*M);

s1=0;

s2=0;

for k=1:M

    x=a+h*(2*k-1);

    s1=s1+feval(f,x);

end

for k=1:(M-1)

    x=a+h*2*k;

    s2=s2+feval(f,x);

end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;

pi=4*s

其中的调用函数为function y=xinpu(x)

                  y=sqrt(1-x^2);

故可以xinpusen('xinpu',0,1,100000)这样求出pi

也可以直接利用其函数的命令来求出pi

方法如下：

function paowuxianfa

quad('sqrt(1-x.^2)*4',0,1)

得出结果：

Ans=3.1416

方法三：随机投点法

function suiji

n=0;

for i=1:10^6

    x=rand;

    y=rand;

    if x^2+y^2<=1

     n=n+1;

end

end

pi=4*n/10^6

得到结果

pi = 3.1423

方法四：平均值法

function suijitoudianwenti

x=rand(1,1000000);

y=4*sqrt(1-x.^2);

q=sum(y)/1000000;

vpa(q,8)

得出结果：

ans =3.1415006     （注：结果不唯一，波动范围非常小）

试验心得：通过这次的试验，我们学习了matlab解决定积分的四种方法，其中有用到的方法有梯形法，辛普森公式（抛物线法），随机投点法，平均值法，各种方法当分的很小的时候，计算的都比较准确，我个人觉的蒙特卡罗的理论应用更广泛，今后希望能有更多的机会接触蒙特卡罗的学习。