引理1：柯西-施瓦兹不等式：
对任意随机变量X与Y都有：|EXY|^2<=E(X^2)*E(Y^2)
证明：
对任意实数t，定义u(t)=E[(tX-Y)^2]=(t^2)*E(X^2)-2*t*E(XY)+E(Y^2)，显然对一切t，u(t)>=0，因此二次方程u(t)=0没有实根或者之后一个重根，所以[E(XY)]^2-E(X^2)*E(Y^2)<=0，从而引理1得证

随后将协方差的定义带入此引理即可证明，|r|<=1

0 ≤  ∑ {[ xi / ( ∑(xi)2]1/2 ) ] ± [ yi / ( ∑(yi)2 ]1/2 )}2
=
∑ ([xi/(∑(xi)2]1/2) 2+∑ ([yi/(∑(yi)2]1/2) 2
± 2 ∑ ([xi/(∑(xi)2]1/2) ([yi/(∑(yi)2]1/2)
=  1 + 1 ± 2r

∴   1  ≤  r  ≤  -1

本文来自: 人大经济论坛 计量经济学与统计 版，详细出处参考： https://bbs.pinggu.org/forum.php? ... &from^^uid=774031