The Pricing of Credit Risk and Credit Risk Derivatives
by Philipp J. Sch¨onbucher
University of Bonn, Department of Statistics
this version February 2000

pdf文件，176页。好像前两页是空白的

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Contents

Notation 8

Preliminaries 12

1 Firm’s Value Models 14

1.1 The Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.2 Modelling Philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.4 State Variables and Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.5 The time of default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Pricing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.2 The Firm’s Value Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3 The Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4 Some other securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.4.1 Coupon Payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.4.2 Convertible Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.4.3 Callable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.4.4 Derivatives on Defaultable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.5 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Solutions to the Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

0.0. 3

1.3.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.2 The 􀀀 -Forward Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3 Time Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.4 The hitting probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.5 Putting it together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.6 The Longstaff-Schwartz Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Advantages and disadvantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Guide to the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Intensity Models 35

2.1 Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2 Intuitive construction of a Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.3 Properties of Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.4 Inhomogenous Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.5 Compound Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.6 Monte Carlo simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Pricing with Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Zero recovery security pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.3 Pricing with positive recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.4 Multiple defaults and fractional recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.5 Pricing using probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.6 Random recovery and seniority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.7 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Stochastic Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2 Cox Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.3 The pricing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

0. Contents 4

2.3.4 Defaultable bonds and yield spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.5 Intensity models in a Heath, Jarrow, Morton framework . . . . . . . . . . 50

2.3.6 Model building strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Intensity Models: Guide to the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Defaultable HJM 55

3.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Setup and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Pricing with Zero Recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Dynamics: The defaultable Forward Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.2 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.3 Absence of Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Modelling the Spread between the Forward Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.1 Independence of Spreads and default-free Rates . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.2 Negative Forward Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Positive Recovery and Restructuring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.1 The Model Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6.2 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6.3 Dynamics and Absence of Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6.4 Seniority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7 Instantaneous Short Rate Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.8 Jumps in the Defaultable Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.8.1 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.8.2 Absence of Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.9 Ratings Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 Pricing Credit Risk derivatives 92

0.0. 5

4.0.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Structures and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.2 Asset Swap Packages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.3 Total Rate of Return Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.4 Default Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.5 Credit Spread Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.5.1 Credit Spread Forward and Credit Spread Swap . . . . . . . . 99

4.2.5.2 Credit Spread Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.6 Options on Defaultable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.7 Basket Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.8 Credit Linked Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.9 Applications of Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 Defaultable Bond Pricing with Cox Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.1 Model Setup and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.2 The Time of Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.3 The Fractional Recovery Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.4 The Equivalent Recovery Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.5 Implied Survival Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4 Direct Valuation of Credit Risk Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4.1 Forms of Payment for Default Protection . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4.2 Default Digital Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.4.2.1 Payoff at Maturity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.4.2.2 Payoff at Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.4.2.3 The Default Digital Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4.3 Default Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4.3.1 Difference to Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

0. Contents 6

4.4.3.2 Difference to default-free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.4 Defaultable FRNs and Default Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.5 Credit Spread Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4.6 Credit Spread Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4.7 Put Options on Defaultable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.5 Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6 The Multifactor Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.7 Credit Derivatives in the Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.7.1 Implied Survival Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.7.2 The Survival Contingent Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7.3 Default Digital Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.7.4 The Credit Spread Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.7.5 The Put on a Defaultable Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.8 The Multifactor CIR Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.8.1 Bond Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.8.2 Affine Combinations of 􀀀__ Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.8.3 Factor Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.9 Credit Derivatives in the CIR Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.9.1 Default Digital Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.9.2 Credit Derivatives with Option Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.11 Credit Derivatives Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5 Rating Transitions 139

5.1 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1.2 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1.3 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.1.4 Deriving the Generating Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

0.0. 7

5.2 Pricing rating transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.2 Pricing Zero Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.3 Pricing Derivatives on the Credit Rating . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2.3.1 European-style payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2.4 General Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2.5 Downgrade triggers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2.6 Hedging rating transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2.7 Stochastic Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3 Markov Models: Guide to the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Appendix 152

A Calculations to the Gaussian Model 153

A.1 Proof of Lemma 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

A.2 Proof of Lemma 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

A.3 Proof of Proposition 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.4 Proof of Proposition 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.5 Proof of Proposition 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B Calculations to the CIR Model 163

B.1 Proof of Lemma 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

B.2 Proof of Proposition 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.3 Proof of Proposition 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

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