样本方差与样本均值，都是随机变量，都有自己的分布，也都可能有自己的期望与方差（由此进一步讨论估计量的无偏性与有效性）。

取分母n-1，可使样本方差的期望等于总体方差，即这种定义的样本方差是总体方差的无偏估计。

举个例子

比如说让十跟人任意取十个数,很容易理解可以随便取.十个都是自由的.

如果我加一个条件,十个人取十个数,但是这是个书加起来必须得零.

第一个人可以随便取,第二个人也可以,第九个也可以,都是自由的,

但是第十个人不能随便自由取,只能取特定的数,才能保证这十个数的

和是零.所以加了一个条件就丢了一个自由度

谢谢各位！

由于有一个约束条件，所以最后一个变量不能随便取。为了满足这个约束条件，第n个变量不能随机取值，它的值由前n-1个变量确定了。

问题是：虽然第n个变量不能随机取，假设取10以满足约束条件，但10与均值的离差仍然存在。分子中，包括了这个离差平方，但分母却不考虑它。

是不是可以这样理解：按照方差的“定义”，分母仍应取n。只是为了保证无偏性，对样本方差进行调整。通过计算，分母应当取n-1。这时的方差实际是“调整后的样本方差”，只不过我们仍将它叫做“样本方差”。

不知这样理解对不对？

伍德里奇的书中，样本方差的分母是n-（k+1）,即在一元回归中的，样本方差的分母应是n-2。

倒底用n-1,还是n-2呀？

你能说一下k的含义吗？

从你的说法上看，好像在说拟合优度。

他/她上面说的K是指线性模型中所要估计的变量(如果公式是N-(K+1),我

想这不包括intercept?)

比如说一元回归,当你做最小二乘法的时候,只要你

用这个方法估计,你实际上给error term 限定了两个

条件 sum(e-hat)=0 and sum(e-hat*x)=0,所以自由度

就只有n-2

对于t检验而言，在一元回归中，刚才我们说了对于一个变量而言损失了一维自由度，

对因变量同样也损失了一维自由度，因此一元的情况就是n-2的自由度。

t检验中用的是相公系数公式，同时含有因变量和自变量与各自均值的偏差，每一个都损失了一维自由度，所以损失了n-2，对于一元而言。

如果在做t检验，扰动项方差的估计量能叫“样本方差”吗？

样本方差分母为n-1,可根据无偏性证明。样本方差的期望等于总体方差。推导过程只是方差运算。

n-1的由来——样本方差无偏估计证明推导公式,样本方差与自由度2008-08-25 23:33证明S2(x)=1/(n-1)∑[xi-E(x)]2为var2(x)的无偏估计

需证明E(S2)=var2(x)

∑[xi-E(x)]2=∑[xi-1/n∑xj]2，∑条件为j=1→n

         =1/n2∑[(n-1)xi-∑xj]2，∑条件为j=1→n且j≠i

         =1/n2∑[(n-1)2xi2-2(n-1)∑(xi xj)+ ∑xj2+2∑xj xz]，∑条件为j=1→n，z=1→n，且j≠z≠i

E∑[xi-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2 E(xi2)-2(n-1)∑E (xixj)+ ∑E (xj2)+2∑E(xjxz)]，

知抽样样本相互独立E (xixj)=E(xi)E(xj)，且var(x)= E(x2)- E(x)2，且∑有n项，∑有n项，∑有n-1项，∑有(n-1)(n-2)/2项

E∑[x-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2E(xi2)-2(n-1)(n-1)E(x)2+(n-1)E(xj2)+(n-1)(n-2)E(x)2]，

           =1/n2∑[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]，

           =1/n2 * n *[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]

           =(n-1) var2(x)

所以E(S2)=var2(x)


自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。如果E(x)为一常数u，那么 var2(x)=1/n∑(x-u)2 。抽样样本方差估计中 E(x)由样本本身确定。当平均数的值和其中n-1个数据的值已知时，另一个数据的值就不能自由变化了，因此样本方差无偏估计的自由度为n-1。

因为是样本均值计算过程中损失了一个自由度   所以分母的个数要减一

在一元回归中的，误差项方差的分母应是n-2。这里的k是解释变量的个数，一元回归时，k=1.

n-k-1=n-2.

17# zhang3333
谢谢高手，终于见到这么清晰的解释

∑[xi-E(x)]2=∑[xi-1/n∑xj]2，∑条件为j=1→n

         =1/n2∑[(n-1)xi-∑xj]2，∑条件为j=1→n且j≠i

这里的，∑条件为j=1→n应该为1--（n-1）,且j≠i, 因为j=i的一项已经与前面的xi合并为（n-1）xi, 故这里的加和少一项，所以才有后面的条件“且j≠i”
同样的问题出在下面的-------------且∑有n项，∑有n项，∑有n-1项，∑有(n-1)(n-2)/2项
但后面的计算是正确的，估计这里是笔误
个人愚见，不知道是否正确，如有错误，请见谅哈

我靠，这还清晰？问题的关键是：为什么是推测的时候需要分母减去1，而如果是计算本身的方差的时候就不需要了？这才是问题的关键。

哪有这么多理由，只是为了保证无偏性而已
未必就是好的估计

谢谢

学习了

这我也想知道！

为什么要有无偏估计？我觉得大致可以这样做进行理解（不知道是否正确，只是自己的猜测，所以希望能跟有兴趣的朋友讨论讨论）：概率论是研究理想状态的一种模型，而数理统计是从现实的样本出发来研究样本规律（从而对现实生活、实践做指导），概率和数理统计是两个问题，然而两者通过大数定律进行联系，之所以进行联系是因为我们希望对现实的样本进行建模以方便研究。于是对于所得到的统计数据，我们的一个最大的目标就是希望能够对它进行建模，于是我们对数据的各种处理的原则都要考虑这一点，而样本方差正是因为这样而不得不在无偏估计进行考虑，从而导致样本的方差是除以n-1而不是n。

厉害  第一次这么亲密的理解自由度

受教了