第五节  乘法原理和加法原理

基于布尔代数，将分步计数原理和分类计数原理由自然数引申至实数形成乘法原理和加法原理。布尔代数是乘法、加法的极限形式。

一、乘法原理：如果因变量(f )与自变量(x1,x2,x3,….xn)之间存在直接正比关系并且每个自变量存在质的不同，缺少任何一个自变量均导致因变量(f )失去其意义，则存在:

用n维空间描述：以点(x1,x2,x3,….xn)、 (x1,0,003,….0)、 (0,x2,0,….0)、…. 、 (0,0,0,….xn) 、原点为顶点的n维空间立体的体积为f。例如：二维空间是面积，三维空间是体积，多维空间也称之为体积。

二、加法原理：如果因变量(f )与自变量(z1,z2,z3,…. zn)之间存在直接正比关系并且每个自变量存在相同的质，缺少任何一个自变量均不能导致因变量(f )失去其意义，则存在:

用n维空间描述：自变量为同一坐标轴上的n个自原点至zi之间的线段，f 为这n个线段的总长度。

以上所说的质是按照自变量的作用来划分的。

此原理是逻辑乘法和逻辑加法的定量表述。

例1、求取矩形的面积。

对于矩形，长、宽可以看做分别在二维空间的两个维内，且两个维相互正交，如果缺少长、宽中任何一个，矩形面积就失去意义，则矩形面积与长、宽的关系为：面积=长x宽。

例2、求取矩形的周长。

对于矩形的周长，长、宽虽然在二维空间的两个维内，且两个维相互正交，但是如果缺少长、宽中任何一个，周长仍然有长度意义（还是长度，只是不完整），则周长与长、宽的关系为：周长=长+宽+长+宽。

例3、现有4筐苹果，每筐20千克，求总共苹果重量（W）有多少千克？

用加法解答：W=20+20+20+20=80(千克)，其含义为4筐苹果的重量之和。因为W与各筐苹果之间存在直接正比关系，缺少任何一筐苹果，W仍然是苹果的重量。此处20千克含义为“一筐苹果的重量”， 单位为“重量”。

用乘法解答：W=20x4=80（千克），其含义为“每筐苹果的重量”与筐的数量乘积。因为W与自变量“每筐苹果的重量”与“筐的数量”之间都存在直接正比关系，自变量“每筐苹果的重量”与“筐的数量”是不同的质，缺少“每筐苹果的重量”或者“筐的数量”W都无意义，所以用乘法表示。此处20千克的含义为“每筐苹果的重量”，单位为“重量/框”。

至今在教学中我们仍视乘法为加法的简便记法。这是不对的，乘法和加法存在本质的区别。