理解事物之间的联系不是件容易的事情，这方面的难度和年龄成反比，特别是线性代数中抽象的定义、性质和定理。最近，在不同场合，不同的学生提到了同样的问题—线性代数的复习稍显薄弱。就此，谈谈自己对线性代数的认识，以飨奋斗的学子。只言片语不可能概括线性代数的全貌，唯有断章取义，直奔主题。

Matrix，这是线性代数的核心，也是《黑客帝国》的英文原意。与电影一样，在线性代数中，同样有相关、秩序、变换、复制等概念。微积分是用放大镜看细节，而线性代数是用射线来透视一个“有机体”的结构，这个有机体即抽象的向量空间。透视的目的是了解向量之间的相互关系，以及在变换后能否依旧保持这种关系。比如一个可逆变换，即乘以一个可逆矩阵，这不改变原来矩阵的秩。因为，可逆矩阵是一个不会说谎的镜子，它不能让两个人在蚌埠没有血缘关系，而到了北京就成了亲兄弟，也不可能把西施变成周星驰，当然也不会让皇帝穿上新衣。

Independence，这是线性代数的魅力。不是每个人都能我行我素的，那是少数人的权力。最大线性无关组是唯一的权威，它们决定了向量组本质上是什么，以及可以是什么。因此，判断一个企业或事业单位的现状和前途，只需要接触或了解那么几个说话算的领导，您就可以知道这个企业有没有发展“空间”，以及这个企业是几维的。因为，细枝末节只是最大线性无关组派生出来的。

Ergodic，这是线性代数的民主。正确的行列式展开，是每个元素都被“照顾”一次。行列式等于零意味着，它构成的矩阵是非满秩的（好几个行列式的性质都是这个含义），即某行或某列是“多余”的，可以被剔除。这就是民主，在被剔除之前，进行了充分的考察。在行列式以及矩阵中，凡是可以被剔除的，都是随波逐流的，即它们是最大线性无关组可以表示出来的，缺少独立性，因此对于整体（空间）而言没有什么“额外”的价值。

Characteristic，这是线性代数的钥匙。我们似乎是先知道了1+2=2+1，后来才知道了a+b=b+a。理解抽象公式的便捷方法是尽可能的找一些具有代表性的例子，擒贼先擒王。比如任何n+1个n维向量必然线性相关，这在二维坐标系中是最容易理解的；并且，通过特例的认知，也引导了思路，即想法设法把其中一个向量用另外两个向量表示。

Image，这是线性代数的秘密。在抽象的空间概念面前，想象是不能少的。比如，特征向量不是孤立的，它是某个矩阵，或者某个变换的属性，这个向量经过变换没有改变方向，只是改变了长度，长度的伸缩程度（尺度）就是特征值。单位矩阵是一种特殊的变换，算是比较便宜的复印机。又如，我相信自己到了另一个空间，出现在贝塔星球时，我的手脚并没有交换，可能身高会有变化，因为带着我到另一个空间的变换矩阵最多是四维的矩阵，即长、宽、高、时间，并且因为我不相信“时间”这个“分量”能把自己变成天使或者禽兽。