GraphPad Prism 对数轴

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收藏 2025-05-06

如果数据的取值范围很广，将其中一个轴设为对数轴，可能会更便于呈现结果。注意区分将数据转换为对数形式(这会生成一个新的结果表)和选择对数轴(这只是对轴进行缩放，不会改变数据本身)。

什么是对数轴
如何创建对数轴
对数轴不能包含零或负数
回归分析拟合的是数据，而非图形
何时使用对数轴
建议：在对数轴上绘制柱状图通常没有意义
绘制对数图 – 与使用对数轴不同
对数知识回顾

什么是对数轴

对数轴会改变轴的刻度

下面两图展示了相同的两个数据集，分别绘制在不同的轴上。

左侧图表的轴是线性(普通)轴，每对刻度之间的差值是更定的(本示例中为2000)。

右侧图表的轴式对数轴，每对刻度之间的差值并不恒定。从最下面的刻度(0.1)到相邻刻度的差值是0.9。从最上面的刻度(100,000)到相邻较高刻度(10,000)的差值是90,000。但比例是恒定的，每个轴刻度代表的值是前一个刻度的10倍。

红色圆点代表一个数据集，其值间隔相等。每个圆点代表的值比下面的圆点的Y值大500。在左侧图表中，圆点间隔均匀，但在右侧图表中则远非如此。为避免重叠，这些点在水平方向上左右抖动，因此它们不会重叠。红色圆点的水平位置没有其他意义。

蓝色圆点代表一个数据集，其中每个值的Y值是下面值的1.5倍。在左侧图表中，较低的值几乎重叠，很难看出值的分布情况(即使有水平抖动)。在右侧带有对数轴的图表中，这些点看起来间隔均匀。

为什么叫“对数”？

在上述示例中，刻度1、10、100、1000在图表上间隔均匀。1、10、100和1000在图表上间隔均匀。1、10、100和1000的对数分别是0、1、2、3，这些数值也是均匀分布的。由于图表上均匀分布的刻度，其对数在数值上也是均匀分布的，所以这种轴被称为“对数轴”。

在对数刻度间进行插值

在对数轴上，10和100之间的中间值是多少？您的第一个反应可能是这两个值的平均值55，但这是错误的。在对数轴上，值并非均匀分布。10的对数是1.0，100的对数是2.0，所以中间点的对数是1.5。对数为1.5的数值是10的1.5次方，即31.62。所以在对数轴上，10和100之间的中间值是31.62。同样的，100和1000之间对数轴上的中间值是316.2。

术语

术语“半对数”用于指一个轴为对数轴，而另一个轴不是对数轴的图表。当两个轴都是对数轴时，该图表被称为“双对数图”。

对数轴的优点

如上文所示，对数轴的一个优点是对数正态分布在对数轴上更容易观察。倾向于使用对数轴的另一个原因是，当数值跨度很大(相差多个数量级)时，若不采用对数轴，在普通线性图上难以呈现。(至少如果不发挥大量创意的话是这样！)

如何创建对数轴

本部分将展示如何将轴拉伸为对数刻度(这不会改变您的数据)。要将其与把数据转换为对数形式区分开来。

创建对数轴的步骤：

双击轴打开“设置坐标轴格式”对话框。在“刻度”部分，将轴设置为以10为底的对数(Log10)、以2为底的对数(Log2)或自然对数(Ln)。

此图表展示了以log10分布的次要刻度。在主刻度10和100之间的次要刻度表示20、30、40、50、60、70、80和90的位置。由于这些次要刻度在图表上并非均匀分布，我们称它们为对数分布的次要刻度。注意，这里有八个刻度，即九个间隔(很多人会错误地认为应该是十个)。

设置以10为底的对数轴的数字格式：

双击轴打开“设置坐标轴格式”对话框，然后在“数字”或“标签”部分设置数字格式。Prism为以10为底的对数轴提供了四种数字格式选项：

Antilog：反对数

Scientific：科学计数法

Power of 10：10的幂次方

Log：对数

设置自然对数(ln)轴的数字格式：

双击轴打开“设置坐标轴格式”对话框，然后在“数字”或“标签”部分设置数字格式。Prism为自然对数轴提供了三种数字格式选项：

Scientific：科学计数法

Power of e：e的幂次方

Ln：自然对数

设置对数轴的次要刻度间隔

双击轴打开“设置坐标轴格式”对话框，然后在“数字”或“标签”部分设置数字格式。选择“等距”或“对数间距”，以及主刻度之间所需的间隔数，而不是刻度数。

对数轴不能包含零或负数

负数和零的对数是没有定义的

让我们从对数的基本定义开始。如果10L=Z，那么L就是Z以10为底的对数。如果L是负数，那么Z就是一个小于1的正分数。如果L是0，那么Z等于1.0。如果L大于0，那么Z大于1.0。注意，不存在L的值能使Z为零或负数。对数对于零或负数根本没有定义。

关键在于：对数轴只能绘制正值。在对数轴上确实没有办法表示负值或零。

在Prism中在对数轴上绘制零的技巧

如果您真的想在对数轴上包含零，就得动点脑筋。不要输入0，而是输入一个很小的数。例如，如果数据中最小的值是0.01，就把零值输入为0.001。然后使用“设置坐标轴格式”对话框创建一个不连续的轴，并使用Prism的额外刻度功能将轴上的那个点标记为0.0。

回归分析拟合的是数据，而非图形

选择对数刻度会改变图表的呈现方式，但不会改变数据值。线性或非线性回归是将一个方程拟合到您的数据上，您对坐标轴刻度的选择不会影响任何计算。

下面展示的三张图表通过线性回归表示相同的数据。

下面的图表具有线性的X轴和Y轴，所以线性回归线看起来是直的。

下面的图表具有对数X轴。您看到的曲线是线性回归的结果。它是对Y=截距+斜率*X这个方程的最佳拟合。线性回归使用的X值是您输入的X值。在对数轴上绘制这条线性回归线会得到一条曲线。

下图具有对数Y轴。同样，最佳拟合的线性回归线在对数轴上绘制时看起来是弯曲的。

何时使用对数轴

当X值呈对数分布时，使用对数X轴会很有帮助

X轴通常用于绘制自变量(即您所控制的变量)。如果您选择的X值具有恒定的比例，而非恒定的差值，那么在对数轴上绘制图形会更便于观察。

下面两幅图展示了相同的数据。X是剂量，Y是响应值。这些剂量的选取方式是后一个剂量是前一个剂量的两倍。当使用线性轴绘制时(左图)，许多值会重叠，难以看清具体情况。而使用对数轴绘制时(右图)，这些值是水平方向上均匀分布，使图形更易于理解。

对数轴在绘制比率时很有用

比率本质上是不对称的。比率为1.0表示没有变化。所有减少情况的比率介于0.0到1.0之间，而所有增加情况的比率大于1.0(无上限)。

相比之下，在对数尺度上，比率是对称的。比率为1.0(无变化)处于比率为0.5(风险减半)和比率为2.0(风险加倍)的中间位置。因此，在对数尺度上绘制比率(如下所示)更易于解读。下图绘制了三项病例 – 对照回顾性研究的比值比，但任何比率在对数轴上绘制都会更有优势。

上图中，结果(比值比)是水平绘制的。由于这些值是测定出来的(并非由实验者设定)，所以尽管水平轴在方向上是水平的，但它实际上是Y轴。

对数轴使复利和指数增长线性化

下图展示了指数增长，这等同于复利增长。在时间t=0时，Y值为100。每增加1.0，在X轴上绘制的值就是前一个Y值的1.1倍。这就是指数增长(有充足空间和养分时)的模式，也是投资(或债务)随时间以固定利率增长的模式。

右侧的图与左侧的图相同，只是Y轴采用了对数刻度。在此刻度上，指数增长呈现为一条直线。指数增长具有固定的翻倍时间。在此例中，投资(或账户价值)每隔7.2667个时间单位就会翻倍。在对数轴上，指数衰减也会呈现为线性，不过前提是衰减最终会趋于零。

建议：在对数轴上绘制柱状图通常没有意义

Prism软件可以创建带有对数Y轴的柱状图，但在决定制作此类图表前请三思。柱状图的意义在于让人们比较柱的高度和面积。在大多数情况下，制作柱状图时应尽量避免使用对数轴。

下图中(采用线性轴)，处理组的柱高度(面积)是对照组的四倍，这表明处理使响应增加了四倍。由于Y轴是线性的，这种解读非常直观。

注意，带对数轴的柱状图。由于零无法在对数轴上显示，您需要确定轴的起始位置。对数刻度没有逻辑起点，所以选择具有任意性。下图展示的是与上图相同的数据，但Y轴分别从0.001、10或100开始。

图表中右侧的柱相对高度看起来几乎相同，而左侧的柱相对高度差异很大。对数刻度上柱的相对高度(或面积)无法提供有效信息。

如果目的是制造宣传效果，使用对数轴的柱状图是个好工具，因为它能让您夸大或缩小组间差异。您只需仔细选择轴的范围，以营造出您想要的效果。如果您的目的是诚实地展示数据，就不要使用对数轴来制作柱状图。

所知道的使用对数轴绘制柱状图有意义的唯一场景，是当Y轴表示某物的倍数变化时。此时，1.0的基线(无变化)是合理的，对数刻度也是合理的。

绘制对数图 – 与使用对数轴不同

将数据转换为对数

如果分析中需要对数数据，您可以直接输入对数，也可以转换现有数据。例如，当用X表示剂量的对数来拟合S形剂量 – 响应方程时，若输入的是浓度值，在进行非线性回归前就需要将其转换为对数。

及那个数据转换为对数的步骤如下：

点击分析按钮，选择内置分析，然后从数据处理列表中选择转换，选择“X=log(X)”，同时勾选对话框底部的为结果创建新图表选项。Prism会生成转换后数据的结果表和新图表。要对转换后的数据进行非线性回归，可从结果表或新图表中点击分析。

绘制已输入的对数数据

如果输入的数据是对数形式，或者要绘制对数转换后的结果，应该使用线性轴来绘制数据，不要选择对数刻度！因为数据已经是对数形式了。如果数据代表对数，您可以设置轴编号格式来明确这一点。

下图比较了小数格式(默认)、10的幂次方格式和反对数格式的外观。

在下图中，X值代表浓度的对数。对数直接输入到数据表的X列中。这些数据的图表具有线性(非对数)X轴。该轴采用10的幂次方编号格式，并带有九个按对数间距分布的次刻度间隔(见图表下方的对话框设置)。

在下图中，另一种表明数据为对数的方法是选择反对数编号格式(仅当间隔为1、最小值大于或等于-9且最大值小于或等于9时，此选项才可用)。

对数知识回顾

以10为底的普通对数

理解对数的最佳方式是通过示例。例如，如果您求10的三次方(10×10×10)，结果是1000。1000以10为底的对数就是3。您可以通过测试幂函数来验证：1000以10为底的幂次方就是得出1000的那个幂次。所以1000以10为底的对数是3。

您可以将10取-3次幂，会得到0.001。也就是说，取10的-3次幂与取103的倒数是一样的，所以10-3等于1/103，即0.001。0.001以10为底的对数就是-3。

您可以求10的分数次幂。10的1/2次幂等于10的平方根，也就是3.163。所以3.163以10为底的对数是0.5。

至于10的0次幂，等于1。因此1以10为底的对数是0。

负数和0的对数是没有定义的，因为不存在10的某次幂能得出负数或0。

其他底数的对数

前面展示的对数被称为以10为底的对数，因为计算时是将10进行幂运算。它们也被称为常用对数。

您可以计算任何底数的对数。数学家们偏爱以e(2.7183…)为底的自然对数。尽管如此，对大多数习惯使用以10为底对数的科学家来说，以e为底的对数似乎并不“自然”。

生物学家有时会使用以2为底的对数，且常常没有意识到这一点。以2为底的对数表示将数值翻倍的次数。所以16以2为底的对数是4，因为从1开始翻倍4次(2、4、8和16)就能得到16。免疫学家经常以2倍的倍数连续稀释抗体，所以常使用对数刻度来绘制数据。细胞生物学家使用以2为底的对数，将细胞计数转换为翻倍次数。

不同底数的对数之间成比例关系。因此，从自然对数转换为常用对数有点像单位换算。将自然对数除以2.303可得到对应的常用对数。将常用对数乘以2.303可得到对应的自然对数。

对数的数学性质

对数将乘法转换为加法，将除法转换为减法，将乘方转换为乘法：

log(A.B) = log(A) + log(B)

log(A/B) = log(A) - log(B)

log(An) = n.log(A)

反对数

反对数(也称为antilog)是对数变换的逆运算。由于1000以10为敌的对数等于3，所以3的反对数是1000。计算以10为底对数的反对数，就是求10的该次幂。

计算自然对数的反对数，需求e的相应次幂。1000的自然对数是6.908。所以6.908的反对数是e6.908，即1000。电子表格和计算机语言中用exp(6.908)来表示。

与对数发音相似的术语：logit和logistic

logistic这个词听起来像是和对数有关。实际上，logistic这个术语有三种不同的含义，并非都与对数相关。

logit函数，用于逻辑回归，是概率P(取值在0.0到1.0之间)除以1-P的自然对数：