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何谓公理？公理与定理有何区别？
lwzxy
2012-7-4 13:05:19
在传统逻辑中，公理是无法被证明或决定对错，但被设为不证自明的一个命题。因此，其真实被视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其他（理论相关）事实的起点。当不断要求证明时，因果关系毕竟不能无限地追溯，而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单，且符合直觉，如“若a = b，则a+c = b+c”。

在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在两者之下，公理是用来推导其他命题的起点。和定理不同，公理（除非过多）是不能由演绎原则来推导，也不能经由数学证明来决定对错，只因为它们是起点；公理无法由任何其他地方推导而来（不然它们就会被归为定理）。

逻辑公理通常是被视为普通真实的陈述（如 (A ∧ B) → A），而非逻辑公理（如a + b = b + a）则实际上是在一特定数学理论（如算术）中的规范性质。在后者的意思之下，公理又可被称为“公设”。一般而言，非逻辑公理并不是一个不证自明的事实，而应该说是一个被用来推导以建构一个数学定律的形式逻辑表示式。
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冒充懂经济学
2012-7-4 14:03:38
bangfu999 发表于 2012-7-4 12:52
呵呵，你说的貌似不全是那么回事。

第一个问题，是2009年的数学大事件，中国的某个学者破解了这个难 ...
不是数学的前沿问题是物理化学，而是前沿的物理化学都用数学描述。

极限问题在数学上的解读，从来都是从逻辑的角度而不是物理的角度。即使当代也是如此。

你举的函数极限问题，哪里与实验相关？哪里与现代物理相关？科学反过来影响数学，不意味着数学不可以在思维中获得。1000年前也可以在思维和逻辑中，去找到你那个函数极限的叙述。
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bangfu999
2012-7-4 16:00:18
冒充懂经济学 发表于 2012-7-4 14:03
不是数学的前沿问题是物理化学，而是前沿的物理化学都用数学描述。

极限问题在数学上的解读，从来都是 ...
数学前沿的问题，基本上都是人类在物质世界遇到的物理、化学、生物、空间等问题。在上述“一个木块，日取其半”，而不是“一个数字，日取其半”，说明数学并非凭空想象而来。

而“木块日取其半”，必然遭遇一个物理问题：当木块无限小，如何得到切割木块的刀？在古代科技落后的条件下，如果古人深究这一命题，肯定会发现其中的问题。

在现代发达的科技条件下，切割无限小的粒子也会出现若干难题：如何切割夸克？是否存在比夸克小的粒子？切割最小的粒子是否会引发核反应或者时空变异？这之后如何继续切割？或许你认为这种分析有些荒诞，但寻找最小的粒子的确是物理学光荣而艰巨的任务。

也就是说，“一个木块，日取其半”，人类一直在对这个命题进行着检验，锲而不舍，从未停止。而且，可以预见，人类类似的冒险和努力，可能会引发数学上的新突破，从而促进数学的大发展。

据此，我得到如此大胆的数学猜想：粒子X的质量如果无限接近于0，则会产生磁效应和时空扭曲，体积迅速膨胀，膨胀的速度为光速的1.01倍，同时释放出巨大的能量。在这个释放的能量体中，会产生虫洞效应，时间在这个虫洞中停滞，一些反物质粒子在这个虫洞中以0时间成功穿越。

哈哈，如此，现有的极限定义必将遭到改写。
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soporaeternus
2012-7-4 16:06:29
看看欧式几何和非欧几何不就都明了了
数学早就摆脱了那些现实的束缚了，倒是很多学科都试图在数学中寻找表达方式
比如比较负责任的物理，和比较不负责任......
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冒充懂经济学
2012-7-4 16:42:48
bangfu999 发表于 2012-7-4 16:00
数学前沿的问题，基本上都是人类在物质世界遇到的物理、化学、生物、空间等问题。在上述“一个木块，日 ...
数学是否是凭空想象，那是个哲学问题。而可证伪性是在现实中的实验去检验。
我们知道数学不需要现实的实验检验，所以不需要证伪。这就行了。

数学公理即使来源于现实世界，也不需要实验检验。
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soporaeternus
2012-7-4 17:29:55
数学就是一套可以自治的逻辑
这个自治还是有限度的
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简单的树根
2012-7-4 18:58:50
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小しん子
2012-7-5 00:22:32
对这两个定义我也很疑惑，但大家众说纷纭，不知道该怎么判断好了囧。。
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xywang97
2012-7-5 04:32:47
你是以点带面了
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research
2012-7-5 06:59:11
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xingdi
2012-7-5 08:53:50
有些人就爱装逼，你装逼就装逼，关键是你没那本事还装逼，真可耻！
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ksk5808
2012-7-5 09:03:36
依我看，所谓“公理”，就是用来为其他证明作依据的一种假设条件，这种条件的存在性、正确性看似勿庸置疑，但往往却难以甚至不可能证明。
当然楼主是不是真正想讨论什么公理、定理，咱不得而知。
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淘宝网橙迷橙橙
2012-7-5 09:25:48
世界上没有绝对正确，所以公理必定自然成立，而定理可以证伪的说法是有问题的。
所谓公理的认定，依从于人的需要。任何一门学科，必然有几个假设前提，然后在这几个假设前提的基础上，依靠逻辑推演，逐步建立起这个学科的大厦。若这几个假设前提受到质疑，出现了问题，则依靠这几个假设前提建立起来的学科大厦将砰然倒塌，或者是衍生出一门新的学科来解释这些新问题。
因此，作为假设前提的公理，不需要证明，在这个学科体系里被认为自然成立，原理越质朴越好，表述越简单越好，逻辑越清晰越好，这样才会不受到质疑。数学就是这样，从1+1=2推演到无穷，从自然数衍生出整数、有理数、无理数、复数，等等。
而从公理推论出的结论，即为定理。只要有了公理，任何人都可以玩出定理，来完善这个学科体系，只要这个定理逻辑上没有问题，在这个学科体系里用途很广，大家都接受它。有时候，从公理推演出的定理可能会与原有公理或其他定理相悖，这时就得检讨原公理的合理性，这意味着这个学科需要一次新的革命了。
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apologize
2012-7-5 09:49:43
细节问题的讨论，其实不影响你学习的~
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sudaludan
2012-7-5 09:52:17
luguo
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h_g_yan
2012-7-5 09:52:36
bangfu999 发表于 2012-7-4 09:25
非也。即使全世界的人都支持某一公理式正确的，它也未必就是公理。大地平坦论、地球中心论等都曾经被广泛 ...
什么叫低成本？现在不能检验的，将来可能能检验，也可能永远都不能检验。
定理是公理经过逻辑推演的结论，是公理的逻辑产物，仅此而已。
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hlyz2008
2012-7-5 10:02:50
其实，目前的数学理论都是基于欧几里得空间的，这个空间是符合人类的日常生活的，所以在这个空间里公理自然是正确的，以此公理推出的定理自然也就符合逻辑，是正确的。但是一旦脱离这个空间，现有的公理就不成立，与之建立的一套理论体系都是错误的。所以，公理其实也还是有条件的。
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alice676
2012-7-5 10:19:22
俺 也一直对这两个概念搞不明白。
公理，既证明不了也推翻不了。
定理是要搞证明的。
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soporaeternus
2012-7-5 10:25:55
hlyz2008 发表于 2012-7-5 10:02
其实，目前的数学理论都是基于欧几里得空间的，这个空间是符合人类的日常生活的，所以在这个空间里公理自然 ...
真的只有很小一块是基于欧式空间的，非欧几何绝不能算是错误啊......
人生活或是能理解认为正常的的倒只是几组特解而已
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deng203
2012-7-5 11:03:42
公理是一门学科最基本的假设，是大家的共同认识，楼主文中所说的平行公理，只是欧几里得几何中的公理，在非欧几何中，平行线是相交的，三角形的内角和是可能大于或者小于180度的，例如球面上的三角，赤道上两点加上北极组成的三角形中，每个角都是直角，这个三角形的内角和则是270度。
定理则是可以通过公理来证明的命题，例如上面提到的三角形内角和定理，在不同的公理体系下，三角形的内角和是不一样的。
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冒充懂经济学
2012-7-5 12:00:55
不论公理来着先验的思维，还是来自客观的经验世界，公理都不需要证伪。

因为证伪是针对陈述性命题的，是一个比对客观世界的实验检验。可证伪性指针对客观事实的实验，而不是针对思维的辨别对错。

而公理的检验在逻辑和思维中进行，其对错在思维中检验，没有傻瓜会想着在现实世界用实验检验数学公理。
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cowman
2012-7-5 14:23:47
另辟蹊径的解释，在没有想到一个更好的解释之前，只能学习了
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乘法
2012-7-7 18:52:04
公理又称为公设，即公认的假设。
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乘法
2012-7-7 18:53:47
bangfu999 发表于 2012-7-4 09:25
非也。即使全世界的人都支持某一公理式正确的，它也未必就是公理。大地平坦论、地球中心论等都曾经被广泛 ...
这种说法有舍本求末的感觉
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mdyblog
2012-7-31 07:38:16
bangfu999 发表于 2012-7-4 11:25
老包：

物理学和化学为什么产生？其中一个重要原因，是对数学的证伪而得到的。比如假设物品的数量可以累 ...
你这种八卦的人！！！ 根本不适合在此谈哲学。！！！

数学， 不属于真理范畴。是纯粹的主观构造，其根本是名的命名。不存在证伪问题。
好比，一个人给自己的孩子七个名字；是纯粹的主观构造，其根本是名的命名；不存在证伪问题。

具体参见本人 《论知识》 《论哲学》  (mdyblog.blog.163.com)
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bangfu999
2012-7-31 07:54:57
mdyblog 发表于 2012-7-31 07:38
你这种八卦的人！！！ 根本不适合在此谈哲学。！！！
呵呵，不要冲动，不要动粗口，斯文一点，不要像个新罗人。

现实生活中的数量可以累加吗？世界上有两片相同的树叶吗？没有的话，如何累加？
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mdyblog
2012-7-31 08:32:29
bangfu999 发表于 2012-7-31 07:54
呵呵，不要冲动，不要动粗口，斯文一点，不要像个新罗人。

现实生活中的数量可以累加吗？世界 ...
  不是我动粗，而是因为你这种人，是在没有一点这些的基本条件，没有一点罗技基础。
看你的文字，完全就是在看无聊的“八挂”。不要再“八挂”了，好不。

物理学和化学为什么产生？其中一个重要原因，是对数学的证伪而得到的。比如假设物品的数量可以累加，就会出现如下的笑话：
              1杯水+1杯糖=2杯水糖
通过实证，发现这样累加是错误的，于是产生了物理学。
再如：        1杯水+1杯硫酸=2杯液体
通过证实，发现这样累加也是错误的，于是产生了化学。

你反问：现实生活中的数量可以累加吗？世界上有两片相同的树叶吗？没有的话，如何累加？
你的问题本身就显式你根本没有入门，回复你完全是浪费我的宝贵时间。

1片(红)树叶 ＋  1片(绿)树叶 ＝ 2片树叶
这没有问题。
注意不是：
1片(红)树叶 ＋  1片(绿)树叶 ＝ 2片红树叶
1片(红)树叶 ＋  1片(绿)树叶 ＝ 2片绿树叶

这是由生产实践的需要的决定的（因而根本来源是价值范畴）。
某种时候，我们不关心具体的颜色差异，等差异，就想知道总数量。
同样，有的时候我们只需要一个班上有多少学生。
我们不是说他们没有区别，而是在某具体的问题中，这些差异是不必考虑的。
比如，每个学生都一个座位，而学生的差异不必考虑。只需要一个总数。
1片(红)树叶 ＋  1片(绿)树叶 ＝ 2片树叶
就解决这样的实际问题。
数学只是人类发明的一种价值工具而已。不要从本体论的角度考虑“是什么”的本体！
参见本人《东方经济学（哲学）》（mdyblog.blog.163.com）

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红色的小枣
2012-7-31 08:41:04
我一下我的愚见
公理就是经过长期的社会实践后自发形成的认识，定理是某专家权威提出并被一致认可的认识。
  一般认为，前者更能经得过时间的考验，应用范围更广，后者在某一领域更为常用，要经历不断修正。

   
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bangfu999
2012-7-31 09:11:06
mdyblog 发表于 2012-7-31 08:32
不是我动粗，而是因为你这种人，是在没有一点这些的基本条件，没有一点罗技基础。
看你的文字，完全就 ...
呵呵，你还真能整啊。树叶相加，无非是幼儿园的智力。给你一个小学的：

         1杯液态水+1杯液态硫酸=2杯液态物？

再给你一个大学的：

       一个木块，日取其半，无数天过去后，最终等于多少？你能切割最小的粒子吗？

哈哈哈哈
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mdyblog
2012-7-31 10:04:06
bangfu999 发表于 2012-7-31 09:11
呵呵，你还真能整啊。树叶相加，无非是幼儿园的智力。给你一个小学的：

         1杯液态水+1杯液态 ...
你这种八卦，根本没有资格在此谈论哲学，一点哲学的严肃性、严谨性都没有！！！

数学知识一个价值工具， 具体的适用场合（范围），不是数学决定的，这是价值母域的问题。
数学 属于形而上逻辑， 其使用前提是“原子性”（不分裂，不消失）。【参见本人东方哲学《论哲学》mdyblog.blog.163.com】
1杯液态水+1杯液态硫酸
这里 1杯液态水 和  1杯液态硫酸 , 如果被混合， 从 “杯”的角度，不具有原子性，因为
合并后原来的 “杯”的存在形态消失。
但是从原子角度看， 具有原子性。原子总数目不变。

这些随实际问题而变。
如在核子实验中， 原子 也不具备 原子性；可以创生，可以消失。

上面 1杯液态水+1杯液态硫酸=2杯液态物
如果不是混合，而只是简单的摆放。 比如，老师叫学生统计有多少杯液态物，
这个过程，原子性没有破坏， 所以上面的表达式在这里依然适用。

还如， 如果单纯的统计（一般如此）有：
1个鸡蛋甲 ＋ 1个鸡蛋乙 ＝ 2个鸡蛋
2：
》》一个木块，日取其半，无数天过去后，最终等于多少？你能切割最小的粒子吗？
这种问题，本身超出数学的范畴。
由于 “无数天过去后”这种不确定的存在，甚至超出物理学的范畴。
这种天真的无知的问题，不能当真！！！！！


数学只是 人类创造， 被人类使用的 价值 工具而已。
其适用前提，是由使用的人来保证的。
好比 你用斧头 收稻子， 不是斧头的错，而是你的愚蠢！！！！

斑竹提示：请注意语言文明！

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