好好学习天天向上

网易公开课，《博弈论》有类似讲解。其实三发子弹跟一发子弹是一样的，都是看自己最后一颗子弹的命中率。因为两个人的命中率相等。画出二人的概率曲线，然后照着课程讲得方法分析应该就可以了吧？

网易公开课讲的是几发子弹？一颗子弹很简单，三颗子弹就难了。

我有个思路大家一起讨论。

根据题意，如果双方的目的是在保命的基础上，尽可能杀死对方。

以下分析先不考虑“每相距整数米时可以开1枪”的要求。假设随时可以开枪。

①甲1颗子弹对乙1颗子弹的局面：

当的击中概率（指击中对方概率，以下同）等于50%时，双方同时开枪。即当距离一旦小于50米，双方同时开枪。

②甲1颗对乙2颗：

设：开第一枪时的距离是s米

如果甲先开枪，甲的存活率是（100-s）/100，乙的存活率是1-（100-s）/100

如果乙先开枪，乙的存活率是（100-s）/100 + 0.5[1-（100-s）/100]

甲的存活率是0.5[1-（100-s）/100]

思路：当 甲先开枪甲的存活率 > 乙先开枪甲的存活率 时，甲会开枪。

（100-s）/100 ＞ 0.5[1-（100-s）/100]

解得：s ＜ 200/3

甲的存活率＞1/3

当 乙先开枪乙的存活率 ＞ 甲先开枪乙的存活率 时，甲会开枪。

（100-s）/100 + 0.5[1-（100-s）/100] ＞ 1-（100-s）/100

解得：s ＜ 200/3

乙的存活率＞2/3

即距离一旦小于200/3米，双方都会开枪。

极限下去，双方在距离200/3米处同时开枪。

但是，如果此时双方同时开枪：

甲的存活率是：（100-s）/100 * [1-（100-s）/100] = 2/9

乙的存活率是：1-（100-s）/100 = 2/3

由于同时开枪时甲的存活率变小，甲会选择在距离200/3米之前开枪（无限接近于200/3米）。

乙的理想策略则是与甲同时开枪。

因此，双方无纯策略均衡。MS双方在任何距离开枪都是可选策略。要在所有混合策略中找出最优混合策略是非常繁琐复杂的。

我猜测，甲的最优策略是66米和67米的混合策略。

算出②后，再逐步递推：

③甲1颗对乙3颗，

④甲2颗对乙2颗

⑤甲2颗对乙3颗

⑥甲3颗对乙3颗

MS每步都有混合策略，越到后面越难推算，极度繁琐复杂。

我觉得这个思路有点过于复杂了。不可能出现子弹数不同的情况的。因为两个人是对称的。如果知道对方此时不开枪，自己一定也不会开枪，走近一点才开枪。所以只需要算1v1，然后推到2v2，然后用这个概率再推到3v3的情况就可以了吧？

①甲1颗子弹对乙1颗子弹的局面：

当的击中概率（指击中对方概率，以下同）等于50%时，双方同时开枪。即当距离一旦小于50米，双方同时开枪。


这个是为什么呢？

首先，A的胜率+B的胜率+平手率=1，由于对称，A的胜率+（平手率/2）=0.5
从最后一颗子弹分析，设双方开枪的命中率为P1，
则A的胜率为：
P1(1-P1)        ①
双方的平手(都中或都不中)概率为：
{P1P1+(1-P1)(1-P1)}*0.5          ②
所以①+②的和为0.5
解得P1=0.5
即50米处最后一枪

从倒数第二颗子弹分析，设此时命中率为P2，
则在倒数第二颗子弹处，A胜或者和的概率为：
P2(1-P2)+P2P2/2      ③
如果倒数第二颗子弹都打不中，则在倒数第一颗子弹处，A胜或者和的概率为：
(1-P2)(1-P2)*(①+②)= (1-P2)(1-P2)*0.5    ④
将③、④式加起来和为0.5，发现形式跟上面一模一样，所以P2也等于0.5
即倒数第二颗子弹也是在50米处发射的。

同理可得，所有子弹都是在50米处发射的。

我还是觉得这题不难，是不是我什么地方想的太简单了？？？

你假设双方都是同时开枪，这假设不成立。

比如到49米时，甲开枪，乙不开枪。甲的存活率51%，乙的存活率49% 因此，在小于50米时双方为了不吃亏会先于对方开枪。极限下去，双方会在50米处同时开枪。

为什么不是两个人同时开枪？只要对方不开枪，另一个人完全也可以不开枪，然后走近一点再开枪啊。我上一个帖子已经解释了。

我没说不是两人同时开枪。
相距大于50米时先开枪的存活率小于50%，因此不会开枪。
相距小于50米时先开枪的存活率大于50%，于是争先开枪，极限下去，就是两人在50处同时开枪。

给你举个反例。比如双方都有1000发子弹，肯定双方都在距离大于99米处就开枪了，不会等到50米。

耶鲁公开课，那老师用的是两块海绵。。。有兴趣可以去看看