我的书从P97才开始讲混合策略的啊。P61是讲智猪博弈。这书有新版本出来了？

楼主说的公式我没找到，不知道是不是P102的内容。

P-i是什么意思呢？代替混合策略的那个希腊字母？

那Sik1的意思应该是除Sik之外的纯战略。（之前给定的条件是最优混合策略以严格正概率选择Sik这个纯战略）

如果讨论的是这个问题，那很显然啊，直接用反证就可以了。

剔除劣战略后，严格等式成立。

未经他本人的同意，我先帖上一部分：

混合策略纳什均衡(MSE)基本定理

版本一

基本定义是用概率向量来定义的：

MSE是，给定对方的混合策略，你的混合策略是最优的，这对每个人都成立。

这一定义等价于

MSE处，给定对方的混合策略，

1）你以正的概率选取的纯策略带来的期望收益应当相等

2） 你以正的概率选取的纯策略带来的期望收益应当大于或者等于你以零概率选择的纯策略带来的期望收益

这对每个人都成立。

先证明 必要性：前者推得后者

（下面的你都是任意选取的一人）在MSE处，假如你的条件1不满足，则在这些纯策略中必定存在某一（或者一些）纯策略，能带来最高的期望收益，那么用以正的概率选取的期望收益较低的纯策略的概率选择这些纯策略，显然能给你带来更高的期望收益（因为你的混合策略的预期收益等于，你选择各个纯策略的预期收益乘以各自的概率）。这和你已经选择了最优的混合策略矛盾，所以条件1满足。

同理，在MSE处，假如你的条件2不满足，则在这些以零概率选取的纯策略中必定存在某一（或者一些）纯策略，能带来更高的期望收益，那么用以正的概率选取的期望收益较低的纯策略的概率选择这些纯策略，显然能给你带来更高的期望收益（因为你的混合策略的预期收益等于，你选择各个纯策略的预期收益乘以各自的概率）。这和你已经选择了最优的混合策略矛盾，所以条件2满足。

再证明 充分性：后者推得前者

假定条件1和2满足，但是此时的混合策略不是纳什均衡。这时你有一个混合策略提供的期望支付高于你的前一个混合策略。那么这个混合策略中一定有一个以正的概率选取的期望收益最高的纯策略的期望收益高于前一个混合策略，

由条件1和2知，原混合策略的期望收益一定大于等于其不以正的概率选取的纯策略的期望收益，或者等于以正的概率选取的纯策略的期望收益，和上一段的推理矛盾。

所以原假设错误，充分性得证。

[此贴子已经被作者于2005-3-29 22:11:21编辑过]

版本二

基本定义是用概率向量来定义的：

MSE是，给定对方的混合策略，你的混合策略是最优的，这对每个人都成立。

这一定义等价于

MSE处，给定对方的混合策略，

1）你以正的概率选取的纯策略带来的期望收益应当相等

2） 你选择的混合策略期望收益应当大于或者等于你以零概率选择的纯策略带来的期望收益

这对每个人都成立。

先证明 必要性：前者推得后者

在你的MSE处，假如条件1不满足，则在这些纯策略中必定存在某一（或者一些）纯策略，能带来最高的期望收益，那么用以正的概率选取的期望收益较低的纯策略的概率选择这些纯策略，显然能给你带来更高的期望收益（因为你的混合策略的预期收益等于，你选择各个纯策略的预期收益乘以各自的概率）。这和你已经选择了最优的混合策略矛盾，所以条件1满足。

同理，在你的MSE处，假如条件2不满足，则在这些纯策略中必定存在某一（或者一些）纯策略，能带来更高的期望收益，那么用以正的概率选取的期望收益较低的纯策略的概率选择这些纯策略，显然能给你带来更高的期望收益（因为你的混合策略的预期收益等于，你选择各个纯策略的预期收益乘以各自的概率）。这和你已经选择了最优的混合策略矛盾，所以条件2满足。

再证明 充分性：后者推得前者

由条件1和2知道， MSE处，给定对方的最优混合策略，你选择的混合策略的期望收益应当大于或者等于选择你的策略集中所有纯策略带来的期望收益。

因为你的混合策略的期望收益等于，你选择各个纯策略的预期收益乘以各自的概率（混合策略的期望收益是你的策略集中的纯策略的凸组合）。所以，给定别人的混合策略，你所有可能的混合策略都小于或者等于选择纯策略能得到的最大期望收益。所以此时给定别人的混合策略，你选择的该混合策略的期望收益是所有可能的混合策略中最大的，命题得证。

[此贴子已经被作者于2005-3-29 22:13:46编辑过]

引理：在MSE，你以正的概率选择的纯策略的期望收益等于你此时的混合策略的期望收益。

引理：在MSE，未退化的混合策略纳什均衡不是强纳什均衡

引理：在MSE，给定对方的均衡策略，在给定的以正的概率选取的纯策略集合上的任意概率分布都产生相同的期望收益。

怎么没人讨论？

我们共同讨论，深入理解啊