刚才又想了一下,好象那个q对于实际中的交易意义不是很大吧,因为没有红利是按这种比率来发的,那么这样算的话只能是对红利的一个平均，其含义有点类似债券的净价（就是quote price），但是债券在交易的时候还要加上accrued interest，那么也就是说这样的计算方式是为了使得期权的价格平滑？？

Natenberg, Option Volatility & Pricing有比较详细地讲stock-type settlement和futures-type settlement的区别，但是没有具体地讲到底价格有什么区别，Black-Scholes公式到底应该怎么改动。

Taleb，Dynamic Hedging在讲early exercise的时候也模模糊糊的提了一下，他叫hard American和soft American。

文章也狠少，我看的是这个，http://ssrn.com/abstract=825104，他主要是证明early exercise is never optimal，然后和利率是无关的，也没有具体的call和put的公式，后面references里面几篇重要的文章大部分都是90年代早期的Journal of Futures Markets，找不到，说不定onesource可以找到。具体的公式可能在Lieu的那篇文章里面。不过ssrn好像暂时有问题，上不去。

自己推的公式，其实狠简单，

\frac{\partial f}{partial t} + \frac{1}{2} \sigma ^2 F^2 \frac{\partial ^2 f}{\partial F^2} = 0

跟Black-Scholes PDE的区别就是右面是0，不是 r f，这是因为futues和futures-type settled option都没有最初的收入和支出，所以delta hedged的portfolio总是0。

解出来，其实就是没有贴现的Black 1976

c = F N(d_1) - K N(d_2)

p = K N(-d_2) - F N(-d_1)

d_1 = \frac{\log \frac{F}{K}}{\sigma \sqrt{T-t}} + \frac{1}{2} \sigma \sqrt{T-t}

d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t}

对t求导数，可得theta不可能是正的，我太懒了不写了。

我翻了一下Hull的书，第5版，310页，Theta is usually negative for an option，然后有个脚注说

An exception to this could be an in-the-money European put option on a non-dividend paying stock or an in-the-money European call option on a currency with a very high interest rate.

其实和Natenberg说得一回事，European call option on a currency with a very high interest rate就是q足够大，但是currency option一个货币的call就是另外一个的put，和European put with a very high r是一回事。

8楼和9楼的推导基本都明白,就是这边,为什么futures-type settled option没有最初的收入和支出?如果一个futures-type settled option和另一个stock-type settled option的条款全部相同,那么futures-type settled option的操作和stock-type settled option的差别在哪里呢?

假如option是$1，underlying是$100，delta是0.5，我short call option，delta hedge。

假如underlying是股票，option是stock-style settlement，我short option收到$1，需要再借$49买股票，我的initial portfolio价值$49，因为我delta hedge，所以portfolio should grow at the risk free rate，所以Black-Scholes PDE里面有r f。

假如underlying是futures，option是futures-style settlement，我short option并没有收到$1，我long 0.5 futures，也不需要借$49，initial portfolio价值是0，因为我delta hedge，arbitrage free argument说这样应该一直都是0，所以那个PDE的右边是0，换句话说，和利率没有关系。

恩,明白了。futures-style settlement的期权费用是不是和它的期权的价值在同一个帐户中，而将来的该帐户的头寸实际上对多方是净头寸（BS期权价格-期权费）的变化，空方相反？？

没看懂，不过我可以举例子，假如现在期权是$1，多头不用立刻付给空头$1，假如一天结束后结算价格$1.5，空头的保证金帐户划$0.5到多头的保证金帐户，假如第二天结束后结算价格$1.4，多头保证证金帐户划$0.1到空头保证金帐户，以此类推，直到期权的到期日，到期日的结算价格其实就是payoff，这种结算方式和期货是一样的，mark to market，所以叫futures-type settlement。

如果到期的时候期权不被执行,那么就是多方要付给空方期权费么?

不管是不是执行，最后那个结算价格都要付的。继续前面的例子，假如第三天到期了，out of the money，结算价格就是$0，多头保证金帐户划$1.4到空头，多头付$0给空头，三天合计多头的保证金帐户0.5 - 0.1 - 1.4 = -$1，就是最初多头应该付的期权费。假如到期的时候in the money，payoff是$2，结算价格就是$2，空头保证金帐户划$0.6到多头，多头付$2给空头，三天合计多头的保证金帐户0.5 - 0.1 + 0.6 = $1，再减去付给空头的$2，还是最初多头应该付的期权费$1。这时候多头可以要求执行，假如是call，他拿到underlying以后马上卖掉，盈利是$2，因为是payoff，最后的净利润是$1，相当于最后的payoff结算价格$2减去最初的期权费$1。假如多头不执行，等于净亏$1。

这个和期货到期是一模一样的，期货到期的时候多头按最后的结算价格交钱，空头交货，只不过这里的货是一个到期的期权，可以马上执行的。

[此贴子已经被作者于2007-4-2 23:57:48编辑过]

恩,了解了.可能我12楼表达的不太合适,呵呵,意思差不多就是这样