以下是关于无法表示为初等函数的不定积分及其证明的核心内容总结：

‌一、非初等积分的本质‌

初等函数指由基本函数（幂函数、指数函数、三角函数等）通过有限次四则运算和复合构成的函数，其原函数未必仍为初等函数。这类积分虽存在原函数，但无法用初等函数表达，需借助特殊函数（如误差函数、正弦积分等）或数值方法求解‌

‌二、典型示例‌

• ‌指数型‌：[size=1.21em]∫e−x2dx∫e−x2dx（高斯积分）‌
  
• ‌三角函数型‌：[size=1.21em]∫sin⁡xxdx∫xsinx​dx（正弦积分）‌
  
• ‌对数复合型‌：[size=1.21em]∫exxdx∫xex​dx（指数积分Ei）‌
  
  

‌三、判定方法‌

• ‌刘维尔定理‌：通过分析积分结构的代数特性（如有理函数项与对数项的组合）判定非初等性‌5。
• ‌微分域扩张理论‌：类比Galois理论，研究函数域的扩张性质‌5。
  

‌四、应用与意义‌此类积分在概率论（正态分布）、光学（菲涅尔衍射）等领域有重要应用，实际求解常采用特殊函数或数值逼近‌