背景知识：

1. 线性变换的性质
2. 标准正交基的几种等价形式
3. 线性变换与矩阵的关系

定理表述

对欧式空间 \( V^n \) 上的线性变换，下列条件等价：

1. \( T \) 是正交变换
2. \( T \) 保持向量长度不变，即：\(\forall \alpha \in V^n\) ，\( |T\alpha| = |\alpha| \)
3. \( T \) 将标准正交基映射为标准正交基
4. \( T \) 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵 \( A \)，当且仅当 \( AA^{\mathrm{T}} = I \) 或 \( A^{\mathrm{T}}A = I \)

证明

设 \( V_n \) 是 \( n \) 维欧几里得空间，\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 表示内积，\( |\cdot| \) 表示由 \( |\alpha| = \sqrt{\langle \alpha, \alpha \rangle} \) 定义的范数。设 \( T \) 是 \( V_n \) 上的线性变换。

下面证明四个条件的等价性（采用循环证明法：\( 1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1 \)）。

\( 1 \Rightarrow 2 \)

正交变换保持向量长度

假设 \( T \) 是正交变换，即对任意 \( \alpha, \beta \in V_n \)，有 \(\langle T\alpha, T\beta \rangle = \langle \alpha, \beta \rangle\)。特别地，取 \( \beta = \alpha \)，则

\[ |T\alpha|^2 = \langle T\alpha, T\alpha \rangle = \langle \alpha, \alpha \rangle = |\alpha|^2 \]

因此 \( |T\alpha| = |\alpha| \)，即 \( T \) 保持向量长度不变。

\( 2 \Rightarrow 3 \)

保长变换将标准正交基映射为标准正交基

假设 \( T \) 保持向量长度不变，即对所有 \( \alpha \in V_n \)，有 \( |T\alpha| = |\alpha| \)。

第一步：证明 \( T \) 保持内积不变（正交变换）

对任意 \( \alpha, \beta \in V_n \)，考虑

\[ |\alpha + \beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2 + 2\langle \alpha, \beta \rangle \]

由 \( T \) 的线性性和保长性，有

\[ |T(\alpha + \beta)|^2 = |T\alpha + T\beta|^2 = |T\alpha|^2 + |T\beta|^2 + 2\langle T\alpha, T\beta \rangle \]

第一个等号利用了 \( T \) 是线性变换的性质。因为

\[ |T(\alpha + \beta)| = |\alpha + \beta| \]

两个式子相等。

又 \( |T\alpha| = |\alpha| \)，\( |T\beta| = |\beta| \)，比较两式可得

\[ \langle \alpha, \beta \rangle = \langle T\alpha, T\beta \rangle \]

即 \( T \) 保持内积不变。

第二步：证明 \( T \) 映射的标准正交基也是标准正交基

设 \( \{e_1, e_2, \dots, e_n\} \) 是 \( V_n \) 的一组标准正交基，即

\[ \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases} \]

由 \( T \) 保持内积，有

\[ \langle Te_i, Te_j \rangle = \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} \]

因此 \( \{Te_1, Te_2, \dots, Te_n\} \) 也是标准正交基。

[此处为图片1]

\(\{Te_1, Te_2, \dots, Te_n\}\)也是标准正交基。

3 \Rightarrow 4：标准正交基的像对应于正交矩阵

假设\(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\)和\(\{Te_1, Te_2, \dots, Te_n\}\)都是标准正交基。

设\(T\)在基\(\{e_i\}\)下的矩阵为\(A = (a_{ij})_{n\times n}\)，即其中每一列可表示为

\[Te_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i, \quad j=1,2,\dots,n\]

计算内积（利用\(\{e_i\}\)的标准正交性）：

\[\begin{aligned} \langle Te_i, Te_j\rangle &= \left\langle\sum_{k=1}^n a_{ki}e_k, \sum_{l=1}^n a_{lj}e_l\right\rangle \\ &= \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n a_{ki}a_{lj}\langle e_k, e_l\rangle \\ &= \sum_{k=1}^n a_{ki}a_{kj} \end{aligned}\]

因为\(\{Te_i\}\)也是标准正交基，\(\langle Te_i, Te_j\rangle = \delta_{ij}\)，所以

\[\sum_{k=1}^n a_{ki}a_{kj} = \delta_{ij}\]

这正是\(A^T A = I_n\)的矩阵元素形式，因此\(A\)是正交矩阵。

4 \Rightarrow 1：标准正交基下的正交矩阵对应于正交变换

假设\(T\)在标准正交基\(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\)下的矩阵\(A\)是正交矩阵，即\(A^T A = I_n\)。

对任意向量\(\alpha, \beta \in V_n\)，设其坐标向量分别为

\[x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T,\quad y = (y_1, y_2, \dots, y_n)^T\]

即

\[\alpha = \sum_{i=1}^n x_i e_i,\quad \beta = \sum_{i=1}^n y_i e_i\]

则\(T\alpha\)和\(T\beta\)的坐标向量分别为\(Ax\)和\(Ay\)。

要证明\(T\)是正交变换，只需证\(\langle T\alpha, T\beta\rangle = \langle\alpha, \beta\rangle\)等式左边

\[\begin{aligned} \langle T\alpha, T\beta\rangle &= (Ax)^T(Ay) \\ &= x^T(A^TA)y \\ &= x^T I_n y \\ &= x^Ty \end{aligned}\]

等式右边，在标准正交基下，内积运算满足

\[\langle \alpha, \beta\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x^Ty\]

证毕

结论

通过循环证明法，我们已证明：

\[1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1\]

即这四个条件在维欧几里得空间 \( V_n \) 的线性变换 \( T \) 上等同。