在城市规划与环境研究领域，掌握建筑群周边的流场特性及其污染物扩散状况极为关键。格子玻尔兹曼方法（LBM）提供了一个有效的数值模拟途径，而Matlab作为强大的工具，使得这一模拟成为可能。

LBM简介

LBM是一种基于介观尺度的数值计算技术，它从微观粒子动力学的角度解释宏观流体行为。相较于传统计算流体力学（CFD）方法，LBM具备更好的并行处理能力和更简便的边界条件设定。

LBM建立在格子气自动机模型基础上，将流体视为由大量在规则网格上移动和相互作用的虚拟粒子构成。每个粒子依据特定的速度方向在网格中移动，经过一定周期后，粒子会发生碰撞，从而改变其运动轨迹。

使用Matlab实现LBM模拟建筑群流场

首先，我们需要确定网格的结构与参数。以下是一个简单的Matlab代码示例，用于网格的初始化：

% 定义格子的大小
Lx = 100; % 长度方向格子数
Ly = 100; % 宽度方向格子数
% 初始化分布函数
f = zeros(9, Lx, Ly);
% 定义速度模型（D2Q9模型）
c = [0 0; 1 0; 0 1; -1 0; 0 -1; 1 1; -1 1; -1 -1; 1 -1];

在此代码段中，我们设定了一个二维网格的尺寸为

Lx

乘以

Ly

，并且初始化了分布函数

f

。这里采用了D2Q9模型，即二维九速度模型，

c

数组定义了每个速度方向的位移。

接下来是碰撞过程的代码实现：

% 定义松弛时间
tau = 0.55; 
omega = 1 / tau;
% 平衡态分布函数
feq = zeros(9, Lx, Ly);
for i = 1:9
    feq(i, :, :) = rho.* w(i).* (1 + 3 * (c(i, 1) * ux + c(i, 2) * uy) + 9/2 * (c(i, 1) * ux + c(i, 2) * uy).^2 - 3/2 * (ux.^2 + uy.^2));
end
% 碰撞步骤
f = (1 - omega) * f + omega * feq;

在碰撞过程中，我们首先定义了松弛时间和松弛频率

tau

和

omega

。通过计算平衡态分布函数

feq

，结合每个速度方向的权重

w

以及宏观密度

rho

、速度

ux

和

uy

来更新分布函数

f

。

处理建筑群的边界条件

在模拟建筑群流场时，对于建筑物所在区域的边界条件需要特别设置。例如，可以使用反弹边界条件，相应的代码如下：

% 假设建筑物区域已经定义为一个二值矩阵 building，1表示建筑物
for i = 1:size(building, 1)
    for j = 1:size(building, 2)
        if building(i, j) == 1
            for k = 1:9
                f(k, i, j) = f(opposite(k), i, j);
            end
        end
    end
end

其中，

opposite(k)

是一个函数，返回与速度方向

k

相对的方向索引。这样，在建筑物区域内，粒子碰撞后会反弹回原处，以此模拟真实的障碍物效应。

污染物扩散的模拟

基于流场模拟，还可以进一步探讨污染物的扩散。污染物的扩散可以通过对流-扩散方程来描述，在LBM框架内实现时可以与流场模拟相结合。假设污染物浓度由

C

表示，下面是一个简单的耦合更新代码示例：

% 污染物浓度更新
for i = 1:9
    Cnew = C + omega_c * (Ceq(i, :, :) - C);
    C = Cnew;
    % 对流步骤
    C = circshift(C, [c(i, 1), c(i, 2)], [1, 2]);
end

在这里，

omega_c

是污染物浓度更新的松弛频率，

Ceq

是污染物的平衡态浓度。通过这样的更新机制，污染物能够在流场的作用下扩散开来。

通过上述步骤，借助LBM和Matlab，我们能够相对精确地模拟建筑群流场及污染物扩散的情况，为城市规划和环境评估等领域提供了宝贵的参考资料。该模拟方法的灵活性和高效性预示着其在相关领域的广泛应用潜力。