线性回归是一种在统计学领域广泛运用的有监督学习技术，主要用于研究自变量与因变量间的线性联系。该方法的核心在于通过减少预测值与实际值之间的差距来构建线性模型。

算法原理

线性回归模型的基本公式为：

y = wx + b，这里 w 表示回归系数，b 表示截距。模型通过最小化损失函数（例如均方误差 MSE）来确定最佳参数。均方误差用来评估预测值与实际值的偏差程度，通过逐步调整参数使得 MSE 达到最小。

参数求解方法

正规方程法：利用矩阵运算直接得出参数：

θ = (X^TX)^-1X^Ty。此方法理论上简洁明了，且结果精确，适用于特征数目不多的数据集。然而，当特征数量庞大时，计算矩阵的逆变得非常复杂，甚至可能出现矩阵不可逆的情况，导致无法求解。

梯度下降法：采取迭代方式优化，沿损失函数的负梯度方向更新参数：

θ^t+1 = θ^t - αJ(θ)。其中 α 代表学习率，决定了参数更新的步伐大小。依据每次迭代所用数据量的不同，梯度下降分为批量梯度下降、随机梯度下降及小批量梯度下降。对于大型数据集，小批量梯度下降不仅能够保持较快的收敛速度，还能有效节省计算资源。

应用场景

线性回归特别适合解决目标变量为连续数值的预测任务，例如基于房屋的面积和卧室数来预测房价，或是利用过往数据预测文章的阅读次数等。

扩展方法

当数据间的关系并非完全线性时，可以采用多项式回归来捕捉非线性模式。此外，为了防止模型过拟合，还可以应用样条回归等更为灵活的非线性手段。