一、项目背景说明

在计算机科学领域，离散数学与集合论构成了专业课程体系中的理论基石。其中，“二元关系”及其相关的“闭包操作（Closure）”是核心知识点之一。通过关系矩阵的形式对二元关系进行建模，不仅实现了数学表达的结构化，也使其更易于被程序处理和分析。

在数据库系统、自动机设计、图论算法以及形式化验证等实际应用中，各类闭包运算具有广泛用途。常见的包括：

• 自反闭包（Reflexive Closure）
• 对称闭包（Symmetric Closure）
• 传递闭包（Transitive Closure）

其中，自反闭包和对称闭包的实现逻辑相对直接，适合作为初学者掌握关系操作的基础实践内容。本项目聚焦于使用 C 语言完成以下功能：

给定一个有限集合上的二元关系 R，并以 n×n 的 0-1 矩阵形式表示，计算其自反闭包与对称闭包。

二、功能与结构要求详解

1. 核心功能需求

2. 模块化程序架构

为保证代码可读性与维护性，程序应具备清晰的函数划分，至少包含以下模块：

• 用于输入关系矩阵的数据录入函数
• 负责输出矩阵的打印函数
• 实现自反闭包的独立函数
• 执行对称闭包处理的专用函数

3. 内存管理规范

所有关系矩阵需采用动态内存分配方式创建，确保灵活性与资源高效利用。

malloc

程序运行结束后，必须释放所有已申请的堆内存空间，防止出现内存泄漏问题。

4. 可拓展性设计目标

整体结构应支持后续功能扩展，便于集成如下新特性：

• 引入 Warshall 或 Floyd 算法实现传递闭包计算
• 添加判断关系性质的功能（如是否自反、对称或传递）
• 兼容图论中的邻接矩阵表示方法
• 支持将当前关系矩阵保存至外部文件以便持久化存储

三、关键技术点解析

为顺利使用 C 语言完成闭包操作的编程实现，需深入理解以下几个关键概念：

动态二维数组的构建与释放

在 C 中，由于无法直接根据变量大小声明二维数组，因此需要通过指针与动态分配机制手动构建 n×n 矩阵结构。

具体步骤如下：

1. 首先分配指向指针数组的空间，作为行索引
2. 再逐行为每个指针分配列数据存储区

int **R = malloc(n * sizeof(int*)); for i: R[i] = malloc(n * sizeof(int));

程序结束前，必须按相反顺序依次释放每一行的数据空间及顶层指针数组，完成完整回收流程。

for i: free(R[i]); free(R);

四、实现方案设计思路

整个程序的执行流程可分为以下几个阶段：

步骤 1：获取集合元素数量 n

由用户输入整数 n，表示集合中元素个数，进而确定关系矩阵的维度为 n×n。

步骤 2：动态创建关系矩阵 R[n][n]

利用标准库函数 malloc 实现堆上内存的动态分配，构建二维存储结构。

malloc

步骤 3：读入原始关系数据

通过循环交互方式，接收用户输入的 0 或 1 值，填充初始关系矩阵。

步骤 4：构造自反闭包

遍历主对角线位置（即 R[i][i]），将其全部置为 1，从而满足自反性要求。

步骤 5：生成对称闭包

检查每一对非对角元素 R[i][j]，若其值为 1，则同步设置 R[j][i] = 1，确保矩阵对称性。

步骤 6：格式化输出结果矩阵

分别展示原关系矩阵、自反闭包结果与对称闭包结果，保持统一排版风格。

步骤 7：清理并释放内存

所有运算完成后，及时释放动态分配的内存区域，保障程序安全性与稳定性。

五、完整代码实现

/************************************************************
 * 文件：relation_closure.c
 * 功能：求有限集上关系的自反闭包与对称闭包
 * 编译：gcc relation_closure.c -o closure
 * 运行：./closure
 ************************************************************/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/************************************************************
 * 函数：printMatrix
 * 作用：打印 n×n 的关系矩阵
 ************************************************************/
void printMatrix(int **R, int n){
    printf("-------------------------\n");
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            printf("%d ", R[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    printf("-------------------------\n");
}

/************************************************************
 * 函数：reflexiveClosure
 * 作用：计算关系的自反闭包
 * 方法：将矩阵所有对角线元素置为 1
 ************************************************************/
void reflexiveClosure(int **R, int n){
    for(int i = 0; i < n; i++){
        R[i][i] = 1;
    }
}

/************************************************************
 * 函数：symmetricClosure
 * 作用：计算关系的对称闭包
 * 方法：若 R[i][j] = 1 则令 R[j][i] = 1
 ************************************************************/
void symmetricClosure(int **R, int n){
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(R[i][j] == 1){
                R[j][i] = 1;
            }
        }
    }
}

/************************************************************
 * 主函数：读取输入、计算闭包并输出结果
 ************************************************************/
int main(){
    int n;
    printf("请输入集合大小 n：");
    scanf("%d", &n);

    /* 动态申请二维关系矩阵 */
    int **R = (int **)malloc(n * sizeof(int *));
    for(int i = 0; i < n; i++){
        R[i] = (int *)malloc(n * sizeof(int));
    }

    /* 输入关系矩阵 */
    printf("请输入 %d×%d 的关系矩阵（0/1）：\n", n, n);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            scanf("%d", &R[i][j]);
        }
    }

    printf("原关系矩阵：\n");
    printMatrix(R, n);

    /* 计算自反闭包 */
    reflexiveClosure(R, n);
    printf("自反闭包矩阵：\n");
    printMatrix(R, n);

    /* 计算对称闭包 */
    symmetricClosure(R, n);
    printf("对称闭包矩阵：\n");
    printMatrix(R, n);

    /* 释放内存 */
    for(int i = 0; i < n; i++){
        free(R[i]);
    }
    free(R);

    return 0;
}