凸包及凸体的包含测度
本论文以凸体为研究对象,主要涉及两个方面的内容:平面凸集的凸包为闭集的充分必要条件;特殊凸体(椭圆)的包含测度。 (1) 平面凸集的凸包为闭集的充要条件 如果A是开集,则A集合的凸包convA也是开集。
那么是不是闭集的凸包也是闭集呢?答案显然是否定的。例如:在E~2中,如果A={(x,y)|x~2y~2=1且y>0},则A为闭集,但convA={(x,y|y>0}不闭!!那么什么样的集合的凸包为闭集呢?凸包为闭集的集合又具有什么样的特征呢?换句话说就是:在E~2中,集合的凸包为闭集的充分必要条件是什么?本论文通过给出平面中凸集的相关性质,并利用平面中这些凸集的相关性质及引进的准支持线和左准内点、右准内点的概念,得到了E~2中的点集的凸包为闭集的充分必要条件。
(2) 凸体的包含测度 文献引入凸域的广义支持函数和限弦函数两个新概念,利用它们建立了凸域内定长线段的运动测度(即包含测度)的普遍公式,并对矩形区域进行了讨论。文献讨论了平行四边形、三角形和正六边形三种区域,找出它们的广义支持函数和限弦函数,计算出了这些凸多边形内定长线段的运动测度的具体表达式。 ...