1    Graphs and Weighted Graphs  ...................................        1
1.1      Graph Theory  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     2
1.2      Weighted Graph Theory  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3      Heavy Paths and Optimal Cycles   ............................      11
1.4      Tritrees and Cyclic Extremal Graphs   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
1.5      Weighted Digraphs   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  47
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2    Connectivity  ...................................................      53
2.1      Strength of Connectedness  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.2      Strong Edges and Strong Paths   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3      Partial Blocks  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4      Partial Trees  ..............................................      66
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  69
3    More on Connectivity  ...........................................      71
3.1      Precisely Weighted Graphs   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2      Generalized Menger’s Theorem   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3      Generalized Connectivity Parameters  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4    Cycle Connectivity   .............................................      89
4.1      Strongest Strong Cycles  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
4.2      Cycle Connectivity   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  91
4.3      Cycle Connectivity of Weighted Graphs   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4      Cyclic Cut Vertices and Cyclic Bridges  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
4.5      Cyclically Balanced Graphs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5    Distance and Convexity  .........................................    105
5.1      Weighted Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
5.2      Self Centered Weighted Graphs   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3      The Distance Matrix  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113
5.4      Weighted Center of Trees  ...................................    115

5.5      Complement of a Weighted Graph   ...........................    116
5.6      Geodetic Convex Sets  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
5.7      Geodetic Blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
5.8      Geodetic Boundary and Interior   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  123
5.9      Monophonic Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.10    Monophonic Blocks   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.11    Monophonic Boundary and Interior  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  132
6    Degree Sequences and Saturation  ................................    133
6.1      Sequences in a Weighted Graph   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
6.2      Characterization of Partial Blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  134
6.3      Characterization of Partial Trees  .............................    137
6.4      Vertex and Edge Saturation Counts   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5      Saturation  ................................................    146
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  154
7    Intervals and Gates  .............................................    155
7.1      Distances in Weighted Graphs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
7.2      Intervals in Weighted Graphs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3      Operations on Strong Intervals   . .............................    167
7.4      Strong Gates in Weighted Graphs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  177
8    Weighted Graphs and Fuzzy Graphs  .............................    179
8.1      Isomorphisms of Different Families of Fuzzy Sets  . . . . . . . . . . . . . .    181
8.2      Weighted Graphs and Fuzzy Graphs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3      t -Conorm Fuzzy Graphs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
8.4      Nonstandard Analysis  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  190
8.5      Nonstandard Weighted Graphs   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9    Fuzzy Results from Crisp Results  ................................    197
9.1      Derivation of Fuzzy Results from Crisp Results  . . . . . . . . . . . . . . . .    197
9.2      Fuzzy Results from Crisp Results Continued   . . . . . . . . . . . . . . . . . .    200
9.3      Fuzzifiable Operations   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.4      Fuzzification of Fuzzifiable Operations  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
203
9.5            ( A) and    ( A) Generate the Same Variety of Algebras  . . . . . . .    204
9.6      Undirected Power Graphs of Semigroups   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    206
9.7      Fuzzy Subgraphs of Undirected Power Graphs  . . . . . . . . . . . . . . . . .    207
References   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  208
Bibliography  ......................................................    209
Index  .............................................................    213