Perron（1989）首先构造了一个纳入单一结构突变的检验法。他在零假设及备择假设中，加入一个外生性的结构突变，以虚拟变量来连接结构突变点的前后序列，不过这些结构突变点是由事前观测而得知的。
Perron（1989）的模型可区分为有结构突变的确定趋势模型（deterministic trend
model with breaks）和结构突变的随机趋势模型(stochastic trend model with breaks)，并各自分为三种突变的情况来讨论。有结构突变的随机趋势模型是检验过程中的零假设，而有结构突变的确定趋势模型则是备择假设。我们采用Perron（1989）相同的符号，因此，有一个结构突变的单根检验，零假设为：
模型A： 2-1
模型B： 2-2
模型C： 2-3
代表发生结构突变的时点，如果 ，则 ，否则 ；若 ，则 ，否则 ；2-1式允许序列均值有一次性的结构突变，2-2式表示序列增长率有一次性的外生变动，2-3则是包含二者。 是一ARMA（p，q）的随机过程。同样地，确定趋势的备择假设为：
模型A： 2-4
模型B： 2-5
模型C： 2-6
其中，如果 则 ，否则 ；若 则 ，否则为 ；
Perron（1989）发现，当数据是象上述备择假设，沿着发生一次结构突变的确定时间函数波动，如果我们未考虑此结构突变，而经自用序列 对截距项、时间趋势项与滞后一期的应变量作回归如下：
2-7
并以蒙特卡洛法对式2-7进行多次的重复试验，结果显示当冲击越来越大时， 的回归系数 的累积分布函数越来越向1集中。这显示数据实际上含有结构突变的确定性趋势序列，却被我们误认为有单根的模型，产生了所谓的虚假单根（spurious unit root)的现象。再者，若以结构突变的时点当分界点，将数据分开估计，则分段估计的 值会明显下降，但单根检验的检验功效，会因分段估计所造成样本观察期间的缩短而受影响。所以即使分段估计的 值变小，仍无法拒绝单根假设。若以全部资料来估计，虽然观察期较长，却会有前面所说的因结构突变，而高估 的可能性。
为应对传统单根检验会导致虚假单根，Perron（1989）在有结构突变的前提下，依据不同的误差结构提出几种检验法;
一、当误差项是i.i.d，先将原序列对截距项、确定趋势项、以及虚拟变量作回归，可得相对应的残差项 ， ，如下所示：
A 为 对截距项、确定趋势项、及 做回归的残差；
B 为 对截距项、确定趋势项、及 做回归的残差；
C 为 对截距项、确定趋势项、及 与 做回归的残差。
考虑下列的回归式：
， 2-8
则DF检验可直接使用，不过仍需重新模拟常态偏误 与 统计量 的临界值。两者的极限分布都受参数 的影响[1]，根据不同的 可模拟出不同的临界值表。而当 或为1时，三种模型的极限分布都是一样的，并且与标准的DF的临界值相似。
二、当误差项存在自我相关时，即 ，代表三种模型的极限分布不只受 影响，也有 与 的作用，此时可用Phillps（1987）和Phillps and Perron（1988）的方法，将常态偏误与 检验统计量做一调整，则可套用残差项为i.i.d时，Perron所推导的临界值，调整统计量为：
2-9
2-10
与 分别为 和 的一致估计式；而 则是 对下列三式做回归后的残差平方和。
A
B
C
三、仿照DF与Said and Dickey（1984）的方式，加进额外的滞后项的一阶差分值当解释变量，可使极限分布不受 和 的影响，因此，所查的表与前述i.i.d的例子相同，检验的回归式如下：
， 2-11
此时， ，而检验 的 统计量则为 （ ）。不过Phillps的调整方式，相当于结构突变的传递被限制在只有一期的调整；而Said and Dickey的方法，则适用于时间序列受重大事件的影响，须有一段调整期间来传递。
Perron（1989）以ADF检验来检测结构突变的单根，在容许零假设模型有一个结构突变下，对应（A）冲击模型、（B）增长率突变模型、以及（C）均值与增长率都突变的模型，考虑下列回归式：
模型A： 2-12
模型B： 2-13
模型C： 2-14
且零假设（有单根），备择假设（趋势定态）依序如下：
A
B
C
此时，在式2-12到式2-14种检验 的 统计量（ ）分别为 、 和 。其中， 和 的渐进分布与2-8式的 统计量： （ ）相同；然而2-13式的 统计量 的渐进分布与2-8式的 统计量： （ ）不一致，代表当基本假设是二段相连而斜率却不同的确定时间序列时，用第2-13式无法进行单根检验，因为2-13式中的 统计量： 会比第2-11式的统计量 来得小，如此一来以2-13式作单根检验会损失检验功效。不过仍可用下列回归式做检验：
2-15
上式中的 统计量： 与第2-11式的渐进分布相同，当相较于第2-13式少了 ，隐含着在零假设中不容许漂移项（drift）的改变。
[1] 为突变分数（break fraction）定义为发生结构突变前的样本占总样本的比例。
这个是我对1989年文章的粗略翻译，公式没有显示出来，可以参考文章，希望大家指正。
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