几类拓扑性质及其与数学分析的联系

　　　更远大侠

　　下面分组列出拓扑性质及其与数学分析的联系。
　　一、连通性connectedness,道路连通性path connectedness,局部连通性local connectedness,局部道路连通性local path connectedness
　　1.四个概念之间的关系
　　　道路连通必连通，局部道路连通必局部连通。
　　　　　道路连通　　　＝＞　　　连通　　　
　　　　　＜＞　　　　　　　　　　＜＞
　　　　局部道路连通　　＝＞　　局部连通
　　　于是，只可能有以下几种情况：
　　（1）一个拓扑空间只是连通空间，而非道路连通，非局部连通，非局部道路连通
　　　例：拓扑学家的正弦曲线，A＝｛(x,y)|y=sin(1/x),0<x<2/pai},B={0}×[-1,1],A的闭包Cl(A)＝AUB，作为平面欧氏空间子空间只是连通空间，而非道路连通、非局部连通、非局部道路连通。
　　（2）一个拓扑空间只是局部连通，而非连通，非局部道路连通，非道路连通。
　　　目前还未找到这样的例子，请各位补充。或者证明这种情况不存在。
　　（3）一个拓扑空间是道路连通，从而必然连通，但非局部道路连通，也非局部连通。
　　例：梳子空间，A＝{0,1,1/2,…，1/n，…}×[0,1]，B＝[0,1]×{0},C=AUB，C是道路连通，从而连通，但非局部道路连通，也非局部连通。
　　（4）一个拓扑空间局部道路连通，从而必然局部连通，但非道路连通，也非连通。
　　　例：A=(0,1)U(2,3)作为平面欧氏空间的子空间。
　　（5）一个拓扑空间同时是道路连通、连通、局部道路连通、局部连通，如一个平面开圆盘。
　　2.运用
　　道路连通与连通是连续映射不变性，但局部连通、局部道路连通不具有连续映射不变性，甚至不是一一连续不变性；道路连通与连通经过开映射不具有不变性，而局部连通经过开映射仍然是局部连通的，局部道路连通经过连续开映射仍然是局部道路连通的。但四个性质都是拓扑不变性。
　　介值定理的本质是连通性：如果一个连续映射f:X->Y，（X，T）是连通的拓扑空间，p、q是X中两点，则f可以取到f(p)与f(q)之间的一切值。在数学分析中，实数区间是连通空间，所以满足介值定理。但在数学分析中，常用闭区间套定理来证明介值定理。闭区间套定理实际上在更一般拓扑空间中推广为非空闭集套之交非空定理，它与可数紧致性是等价的。
     二、A1the first countability与A2 the second countability，可数性
    第一可数性是局部性质，第二可数性是整体性质。显然A2=>A1。A2=>lindelof性质
    (1)A1性非常重要，在A1空间中，下面两个命题等价
    集合B有聚点x <=> B-{x}存在点列xn->x。
    (2)通常在实数空间中，下面两个命题都成立。
    如果一个集合B为闭集，那么B中任何一个存在极限的点列的极限点也属于于B。
    如果B中存在极限的点列的极限点也属于B(序列闭)，那么B为闭集。
     但是在一般拓扑空间中后一个命题不成立。
    上述两个命题要等价，必须加上A1空间的条件，即在A1空间中，闭集与收敛点列封闭等价。
  　从上可以看出，序列闭与闭两个概念不相同。
    (3)度量空间是A2空间，因为度量是拓扑空间到实数空间上的映射，而实数中的有理数稠密就是第二可数性这个一般拓扑概念的来源。
    (4)一个拓扑空间要具有A1性，那么其开集就必须要足够小，从而能够在一个点的任何领域中找到一个较小的开领域位于任意领域之内。