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一条数学证明
remlus
8090 17
2013-03-03
悬赏 20 个论坛币 已解决
设f是一个从实数R到实数R的函数，并满足f(m+n+1)=f(m)+f(n)，证明：对于所有实数x，都有f(x)=1+x成立。

（记得，是实数啊，光证明整数不够的）

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因f(m+n+1)=f(m)+f(n)，所以，f(x+0+1)=f(x)+f(0)=f(x)+1, 即f(x+1)= f(x)+1，即f(x+1)- f(x)=1，即f(x+1)- f(x)=（x+1）-x; 因（x+1）-x不为0，式子可变形为：［f(x+1)- f(x)］/［（x+1）-x］=1; 上式对任意的x都成立，又f(x)是连续的，所以f(x)为线性函数。 设其表达式为：f(x)=x+h.因f(0)=1，f(0)=0+h=1，即h=1. 所以，对于所有的实数x，有f(x)=1+x. 这个是百度知道上的。
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pkdell
2013-3-3 19:31:48
因f(m+n+1)=f(m)+f(n)，所以，f(x+0+1)=f(x)+f(0)=f(x)+1,
即f(x+1)= f(x)+1，即f(x+1)- f(x)=1，即f(x+1)- f(x)=（x+1）-x;
因（x+1）-x不为0，式子可变形为：［f(x+1)- f(x)］/［（x+1）-x］=1;
上式对任意的x都成立，又f(x)是连续的，所以f(x)为线性函数。
设其表达式为：f(x)=x+h.因f(0)=1，f(0)=0+h=1，即h=1.
所以，对于所有的实数x，有f(x)=1+x.
这个是百度知道上的。
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lc19940813
2013-3-3 20:33:34
f(x)=k(1+x)吧。。。。
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remlus
2013-3-3 22:00:20
pkdell 发表于 2013-3-3 20:24
因f(m+n+1)=f(m)+f(n)，所以，f(x+0+1)=f(x)+f(0)=f(x)+1,
即f(x+1)= f(x)+1，即f(x+1)- f(x)=1，即f(x+1) ...
放个20币的东西我来买，谢谢。
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pkdell
2013-3-4 10:41:55
没做过类似的，就直接参考了。

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ljchuan1988
2013-4-8 19:35:59
缺少条件，还在乱证明。
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